Master 1 Mathématiques - Université Blaise Pascal Sujets de TER

Master 1 Mathématiques - Université Blaise Pascal
Sujets de TER 2008/2009
Le TER est un court stage d’initiation à la recherche encadré par un membre du laboratoire de mathématiques, qui consiste en l’étude de textes mathématiques sur un domaine voisin de ceux au programme
du M1. Ce travail se conclut par la rédaction d’un mémoire et un exposé oral (20 minutes par étudiant).
Les étudiants devront communiquer leur choix pour le lundi 19 janvier. Le début effectif du TER est
donc fixé au 20 janvier.
Table des matières
1
Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulation-fragmentation.
3
2
Anneaux semisimples et groupe de Brauer d’un corps
3
3
Quelques calculs de groupes de Galois
3
4
Le critère de simplicité d’Iwasawa. Application aux groupes projectifs linéaires
4
5
Le théorème d’uniformisation de Riemann
4
6
Etude de modèles de populations en intéraction
4
7
Le théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre pn qm
5
8
Introduction à la dynamique topologique en basse dimension
5
9
Séries de fonctions aléatoires
5
10 Groupes libres et arbres
6
11 Courbure et Topologie
6
12 Géométrie hyperbolique
6
13 Sur le problème des sous espaces invariants : théorème de Lomonosov
7
14 Preuve analytique du théorème de Brouwer
7
15 Le spectre d’un opérateur de Tœplitz à symbole continu
7
16 EDP du premier ordre pour les populations structurées
8
17 Théorèmes de transcendance
8
18 Arithmétique et nombres premiers
8
19 Introduction aux courbes elliptiques
9
20 Courbes elliptiques et cryptographie
9
21 Théorème des nombres premiers
10
1
22 Modèles d’urnes : exemples de modèles de parts de marché. Processus de renforcement aléatoire.
10
23 Coût de transport et distance de Wasserstein pour les mesures de probabilités sur R et R N
10
24 Inégalités exponentielles et gaussiennes en probabilités
10
2
1
Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulationfragmentation.
Sujet proposé par Véronique Bagland
On considère un système infini d’amas de particules dont la dynamique est régie par des phénomènes de coagulation et de fragmentation. Les amas peuvent fusionner pour former de plus grands
amas ou, au contraire, se diviser en de plus petits amas. Ces amas sont uniquement déterminés par leur
taille i ∈ N∗ . Pour chaque i ∈ N∗ , on note ci (t) le nombre d’amas de taille i par unité de volume au
temps t. Les (ci )i≥1 vérifient un système infini d’équations différentielles. On s’intéresse ici au poblème
de Cauchy associé.
Bibliographie
H. Amann, Ordinary Differential Equations, An Introduction to Nonlinear Analysis.
J. M. Ball ; J. Carr, The discrete coagulation-fragmentation equations : existence, uniqueness, and density
conservation, J. Statist. Phys., 61 : 203–234, 1990.
S. Lang, Analyse réelle.
http ://math.univ-bpclermont.fr/ bagland/ter.pdf
2
Anneaux semisimples et groupe de Brauer d’un corps
Sujet proposé par Julien Bichon
Un module sur un anneau quelconque n’est pas libre en général. Pour palier ce défaut, on cherche
des notions qui vont remplacer la liberté, par exemple la semisimplicité : un module est dit semisimple
s’il est somme directe de modules simples (un module non nul est dit simple si ses seuls sous-modules
ont (0) et lui-même).
Un anneau est dit semisimple quand tous ses modules sont semisimples. Ce TER propose de montrer le théorème de classification de Wedderburn des anneaux semisimples : ils sont isomorphes à des
produits d’anneaux de matrices sur des corps éventuellement non commutatifs.
Comme application de la théorie, on construira la groupe de Brauer Br(k) d’un corps commutatif k,
et on calculera Br(R).
Références. [1] B. Farb, R. Dennis, Noncommutative algebra, Springer, 1993.
[2] S. Lang, Algebra, third edition, Addison-Wesley, 1993.
3
Quelques calculs de groupes de Galois
Sujet proposé par Julien Bichon
Le but du TER est d’étudier quelques méthodes de calculs de groupes de Galois. On s’intéressera en
particulier
- au calcul du groupe de Galois d’un polynôme irréductible de degré 4 [1] ;
- au calcul de groupes de Galois par réduction. Cela permet par exemple de montrer que chaque
groupe symétrique Sn est un groupe de galois sur Q. Par ailleurs la démonstration de la technique de
réduction fournira l’occasion d’étudier les extensions d’anneaux, la généralisation naturelle des extensions de corps [2].
Références. [1] L.C. Kappe, B. Warren, An elementary test for the Galois group of a quartic polynomial,
Amer. Math. Monthly 96 (1989), 133-137.
[2] S. Lang, Algebra, third edition, Addison-Wesley, 1993.
3
4
Le critère de simplicité d’Iwasawa. Application aux groupes projectifs linéaires
Sujet proposé par Julien Bichon
Le critère d’Iwasawa (1941) assure qu’un groupe opérant sur un ensemble d’une manière adéquate
est simple. Il permet de montrer, par exemple, que les groupes projectifs speciaux linéaires (PSLn (k) =
SLn (k)/Z(SLn (k)) et les groupes projectifs symplectiques sont presque tout le temps simples. Quand
le corps de base est fini, cela fournit de nouveaux exemples de groupes finis simples, par exemple un
groupe fini simple à 168 éléments.
L’objectif du TER est de montrer le critère d’Iwasawa et d’en déduire la simplicité des groupes mentionnés plus haut. Il combine des notions d’algèbre abstraite et de l’algèbre linéaire.
Référence. L.C. Grove, Classical groups and geometric algebra, Graduate studies in mathematics 39,
American mathematical Society, 2002.
5
Le théorème d’uniformisation de Riemann
Sujet proposé par Jérôme Chabert
Ce théorème affirme que n’importe quel ouvert simplement connexe (c’est à dire en gros “sans trou”)
de C (autre que C lui même) peut être mis en bijection holomorphe avec le disque unité ouvert.
En particulier, une telle bijection conserve les angles, ce qui rend ce résultat surprenant : il est possible
de mettre en bijection holomorphe le disque ouvert et l’intérieur d’un carré, par exemple.
La démonstration de ce théorème important fait appel à des notions classiques d’analyse complexe.
On prouvera en particulier que sur un ouvert simplement connexe, une fonction holomorphe admet
une primitive holomorphe.
Prérequis : Le cours d’analyse complexe de L3.
Bibliographie : W. Rudin, “Real and complex analysis”, McGraw Hill L.V. Ahlfors, Complex Analysis,
McGraw-Hill.
6
Etude de modèles de populations en intéraction
Sujet proposé par Claire Chainais
On propose de s’intéresser à différents modèles de populations à deux espèces : les modèles de
proies-prédateurs, les modèles de compétition et les modèles de symbiose. D’un point de vue mathématique, il s’agit de systèmes différentiels (non linéaires) de deux équations à deux inconnues. On s’intéressera notamment à l’étude qualitative des solutions : comportement en temps long, existence de cycle
limite, stabilité des points fixes... Une partie du travail portera sur l’étude des solutions d’un système
différentiel linéaire 2 × 2.
Références : M URRAY, Mathematical biology, I. An introduction.
H IRSCH , S MALE, Differential equations, dynamical systems and linear algebra.
B RAUN, Differential equations and their applications.
4
7
Le théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre
pn qm
Sujet proposé par François Dumas
Il s’agit de démontrer que tout groupe fini dont l’ordre admet seulement deux diviseurs premiers est
résoluble. Il se situe donc dans la continuité des connaissances acquises en cours sur la notion de groupe
résoluble (existence d’une suite de Jordan-Hölder dont les facteurs sont cycliques d’ordres premiers)
et sur les entiers algébriques, tout en nécessitant d’apprendre les premiers éléments de la théorie des
caractères pour les groupes finis.
Références bibliographiques (les ouvrages ci-dessous sont tous présents à la bibliothèque de maths) :
- J.L. Alperin et R.B. Bell, Groups and representations, Springer, 1995
- M. Burrow, Representation theory of finite groups, Academic Press, 1965
- D. Gorenstein, Finite groups, Harper & Row, 1968
- M.-P. Malliavin, les groupes finis et leurs représentations complexes, Masson, 1981
- Derek J.S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer, 1996
8
Introduction à la dynamique topologique en basse dimension
Sujet proposé par François Gautero
Étudier la dynamique d’une application (continue, différentiable, mesurable,. . . ) f sur un espace
(topologique, C ∞ , mesuré,. . . ) X revient à étudier le devenir des points de X sous les itérations successives de f . On se propose dans un premier temps de considérer le cadre des applications continues de
l’intervalle. Après avoir introduit les notions et outils classiques dans ce contexte, une première étape
sera de prouver le théorème de Sharkovskii : si une application continue de l’intervalle possède une
orbite périodique de période 3, elle possède une orbite périodique de chaque période. Selon les affinités
de l’étudiant(e), on pourra ensuite soit approfondir l’étude d’une famille particulièrement importante
d’applications de l’intervalle f µ (x) = µx(1 − x), et ainsi s’initier à la théorie des bifurcations, soit s’intéresser aux difféomorphismes du cercle, soit passer en dimension 2 et étudier le fer à cheval de Smale
par exemple.
Bibliographie : An introduction to chaotic dynamical systems, R. Devaney.
9
Séries de fonctions aléatoires
Sujet proposé par Yanick Heurteaux
Le calcul des probabilités et l’introduction de “coefficients aléatoires” s’avère très performant dans
la recherche d’exemples et de contre-exemples. Une situation classique est la suivante. Considérons la
série entière
+∞
∑ ε n zn
n=0
où ε n est un pile ou face, c’est à dire une suite de variables aléatoires indépendantes vérifiant P[ε n = 1] =
P[ε n = −1] = 1/2. La série entière est alors de rayon 1 et définit une fonction holomorphe (aléatoire) f
dans le disque unité. On peut montrer que, presque sûrement, le cercle unité est une frontière naturelle
pour la fonction f , c’est à dire que f ne se prolonge analytiquement au voisinage d’aucun point du cercle
unité.
Lors de ce TER, on propose de visiter quelques chapitres du livre de Jean-Pierre Kahane ([1]) et
d’aborder, par le biais des série aléatoires, quelques questions liées par exemple aux séries entières, aux
séries de Fourier, aux recouvrements du cercle par des intervalles aléatoires.
Prérequis : Analyse de licence, analyse complexe (fonctions holomorphes), probabilités
Références : [1] Jean-Pierre Kahane, Some random series of functions, Cambridge studies in advances
mathematics.
5
10
Groupes libres et arbres
Sujet proposé par Michael Heusener
Le but de ce projet est de montrer le théorème de Schreier : un groupe est libre si et seulement s’il
agit librement sur un arbre simplicial. Dans ce cas, le rang du groupe libre est déterminé par le groupe
fondamental du quotient.
Dans [2], en développant certains outils sur les graphes finis, Stallings donne un moyen d’obtenir
une présentation canonique d’un sous-groupe du groupe libre, à partir d’un système de générateurs
fixé.
Objectifs : Le projet est modulable et peut s’adapter facilement au niveau de l’étudiant. Il est prévu
de commencer par le livre de Massey [1]. Si l’étudiant progresse vite, on pourra s’attaquer à l’article de
Stallings [2].
Pré-requis : Algèbre de L3.
Références :
[1] Massey. A Basic course in algebraic topology, GTM 127.
[2] J.R. Stallings “Topology of finite graphs” Inventiones Mathematicae 71 (1983).
11
Courbure et Topologie
Sujet proposé par Michael Heusener
Descriptif : Si M est une variété riemannienne, la courbure de M est un invariant local d’isométrie :
en dimension 2, M a courbure positive, resp. nulle, resp. négative, en un point x si un petit cercle centré
en x a une longueur plus grande, resp. égale, resp. plus petite, que 2π. La formule de Gauss-Bonnet lie
la courbure d’une surface à sa topologie, via la caractéristique d’Euler.
Objectifs : L’étudiant commencera par une étude approfondie des notions élémentaires de géométrie
riemannienne : connexion, courbure, géodésique,....
Le but serait de donner une démonstration du théorème de Gauss-Bonnet.
Pré-requis : Calcul différentiel au niveau de L3. Cours “courbes et surfaces” de L3 ou “Geometrie
differentielle” de M1.
Références :
M.P. do Carmo “Differential Geometry of curves and surfaces”.
Guillemon et Pollack, Differential Topology.
J.M. Lee “Riemannian manifolds, an introduction to curvature” GTM 176 Springer-Verlag.
Stoker. Differential Topology.
12
Géométrie hyperbolique
Sujet proposé par Michael Heusener
Descriptif (Wikipedia) : En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie
de Lobatchevsky) est une géométrie non-euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat
que « par un point extérieur à une droite passe plus d’une droite parallèle ». On démontre qu’alors il y
a une infinité de droites parallèles.
En géométrie hyperbolique, le théorème de Pythagore n’est plus valable et la somme des angles
d’un triangle n’est plus égale à π. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin
joignant deux points sur une surface.
Objectifs : acquérir les notions de bases de la géométrie hyperbolique.
Pré-requis : de bonnes connaissances en géométrie euclidienne au niveau L2 seront suffisantes.
Références :
Anderson. Hyperbolic Geometry, Springer.
Fenchel. Elementary Geometry in hperbolic space. de Gruyter.
Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds.
6
13
Sur le problème des sous espaces invariants : théorème de Lomonosov
Sujet proposé par Khalid Latrach
Le problème du sous espace invariant s’énonce comme suit : Est ce que tout opérateur linéaire borné
T sur un espace de Banach X admet un sous espace Y invariant, c’est-à-dire T(Y) ⊆ Y. On entend par
sous espace un sous espace vectoriel fermé différent de {0} et X. Il est clair que si l’opérateur T admet
une valeur propre, alors le sous espace propre associé à cette valeur propre est un sous espace invariant. Si l’espace est de dimension infinie et non séparable, tout opérateur borné admet des sous espaces
propres (orbites des vecteurs non nuls). Il s’agit d’un problème difficile qui est, à ma connaissance, encore ouvert pour les espaces de Hilbert séparables. Toutefois, en 1973, Lomonosov a montré en utilisant
le théorème du point fixe de Schauder que si un opérateur borné T non multiple de l’identité sur un
espace de Banach commute avec un opérateur compact, alors il existe un sous espace invariant par tous
les opérateurs qui commutent avec T (cet espace est évidemment invariant par T). L’objet de ce TER est
de présenter le théorème de Lomonosov ainsi que les résultats (significatifs) concernant ce problème qui
lui sont antérieurs (ils ne sont pas nombreux).
14
Preuve analytique du théorème de Brouwer
Sujet proposé par Khalid Latrach
Soit n un entier naturel non nul. On désigne par Bn la boule unité fermée de l’espace Rn . Le théorème
de Brouwer affirme que toute application continue f de Bn dans Bn admet au moins un point fixe, c’està-dire il existe un point x de Bn tel que f (x) = x. Bien que la preuve de ce résultat en dimension un est
élémentaire, lorsque n ≥ 2, elle est non triviale est fait appel à des techniques (sophistiqués) de topologie
algébrique. L’objet de ce TER est de présenter une preuve analytique (due à Milnor 1979) de ce théorème
ne faisant intervenir que des arguments du niveau licence L3 et Master 1.
15
Le spectre d’un opérateur de Tœplitz à symbole continu
Sujet proposé par Jean-Marie Lescure
Une matrice de Toeplitz (ou “circulante”) est une matrice dont les coefficients sur une diagonale
descendant de gauche à droite sont les mêmes.
Plus généralement, on dit qu’un opérateur sur `2 (N) est un opérateur de Tœplitz s’il associe à la
suite (xn ) la suite de terme général ∑k∈N cn−k xk , (où (cn )Z est une suite complexe fixée).
Ces opérateurs apparaissent dans de multiples situations en mathématiques et le calcul de leur
spectre est une branche de recherche encore active.
Le but de ce TER est de comprendre le cas particulier de tels opérateurs “à symboles continus”. Ce
cas élémentaire fait intervenir à la fois des notions de théorie des opérateurs, d’analyse complexe et de
topologie des courbes. On abordera l’étude de l’algèbre de Calkin et des opérateurs de Fredholm. La
démarche est décrite dans [1] et [2].
Prérequis : le cours de théorie spectrale.
Bibliographie :
[1] W. Arveson, “A short course in spectral theory”, GTM 209, Springer
[2] K. Davidson, “C ∗ -algebras by example”, Field institute monographs, AMS.
7
16
EDP du premier ordre pour les populations structurées
Sujet proposé par Bertrand Lods
On propose de se consacrer ici à l’analyse mathématique de modèles de dynamique des populations
structurées. Plus précisément, on étudiera un problème de renouvellement cellulaire régit par une équation aux dérivées partielles du premier ordre. On montrera l’existence de solutions d’ une telle équation,
en utilisant par exemple un théorème de point fixe ou encore la méthode des caractéristiques. On pourra
aussi s’intéresser au comportement en temps grand des solutions de cette équation par des méthodes
d’entropie relative.
Références :
B. P ERTHAME. Transport equations in biology, Birkhauser, 2006.
J. D. M URRAY. Mathematical biology, Springer, 2002.
L. C. E VANS. Partial Differential Equations, AMS, 1998.
17
Théorèmes de transcendance
Sujet proposé par François Martin
Un réel est dit transcendant s’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients rationnels. L’existence
de nombres transcendants est claire pour des raisons de cardinalité, mais la construction d’un nombre
transcendant a été longtemps un problème. Historiquement, le premier nombre réel dont on a su montrer qu’il était transcendant est la constante de Liouville ∑n≥0 101n! . On propose ici de comprendre la
démonstration d’un théorème célèbre qui a comme corollaire deux résultats fondamentaux de transcendance :
1. le théorème de Hermite-Leidemann : si α 6= 0, un des deux réels α et eα est transcendant. Ce
théorème montre en particulier la transcendance de e, de π, de ln(r) ou er pour r un rationnel non
nul.
2. le théorème de Gelfond-Schneider : si α est algébrique, avec α 6= 0 ou 1, et si β est algébrique et
irrationnel, alors α β = e β ln(α) est transcendant.
La démonstration de ce théorème combine l’utilisation d’outils algébriques de théorie des corps et
d’analyse complexe.
Prérequis : Analyse complexe (fonctions holomorphes), théorie des corps
Références : C. Liaw - H. Ulfarsson, Transcendance of e and π
S. Lang, Algebra
18
Arithmétique et nombres premiers
Sujet proposé par François Martin
La répartition des nombres premiers dans N est un sujet de recherche active en théorie analytique
des nombres. On propose ici de comprendre la démonstration d’un théorème célèbre : le théorème de la
progression arithmétique (de Dirichlet), qui montre que (hormis les obstructions évidentes) les nombres
premiers sont répartis dans toutes les classes de congruences. Son énoncé précis est le suivant :
Soit q ∈ N et a ∈ Z tels que (a, q) = 1. Il existe une infinité de nombres premiers p vérifiant p ≡ a[q].
En fait, la démonstration proposée donne un résultat plus précis, qui montre qu’en plus la répartition
est uniforme : on définit une “densité” sur les nombres premiers, alors à q fixé la densité des nombres
1
(ϕ(q) étant la fonction indicapremiers congrus à a modulo q (pour tout a ∈ (Z/qZ)∗ ) est égale à
ϕ(q)
∗
trice d’Euler, qui désigne entre autres le cardinal de (Z/qZ) ).
La démonstration de ce résultat est très instructive, et combine des méthodes d’arithmétique et
d’analyse complexe. Pour les obtenir, on étudiera entre autres les fonctions arithmétiques classiques
et les séries de Dirichlet.
8
Prérequis : Analyse complexe (fonctions holomorphes), arithmétique élémentaire
Références : W. W. L. Chen, Distribution of prime numbers
19
Introduction aux courbes elliptiques
Sujet proposé par Marusia Rebolledo
But.– La théorie des courbes elliptiques est un des sujets où se rencontrent diverses branches des mathématiques : théorie des nombres, géométrie algébrique, analyse complexe, théorie des représentations.
Etudiées déjà par Fermat (1601-1665) dans l’optique de résoudre certaines équations diophantiennes, ces
courbes n’ont depuis lors cessé d’intriguer les mathématiciens, parmi lesquels Poincaré et Levi dans les
années 1900. L’étude des courbes elliptiques a trouvé un point culminant ces dernières années dans la résolution d’un des plus grands problèmes d’arithmétique : le théorème de Fermat démontré par Wiles et
Wiles-Breuil-Conrad-Diamon-Taylor en 1995, problème resté sans solution pendant plus de trois siècles.
Ce projet de TER a pour objet d’introduire les courbes elliptiques et certaines de leur propriétés arithmétiques. On s’attachera notamment à démontrer tout ou partie du théorème de Mordell concernant la
structure des points rationnels de ces courbes sur le corps des rationnels et de donner une idée de la
généralisation de ce théorème due à Weil sur un corps de nombres.
Prérequis.– Algèbre de M1 et L3, en particulier notions sur les groupes, les extensions de corps, la
théorie de Galois.
Références
[Kna92] Anthony W. Knapp. Elliptic curves, volume 40 of Mathematical Notes. Princeton University Press, Princeton,
NJ, 1992.
[Kob93] Neal Koblitz. Introduction to elliptic curves and modular forms, volume 97 of Graduate Texts in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, second edition, 1993.
[Sil92]
Joseph H. Silverman. The arithmetic of elliptic curves, volume 106 of Graduate Texts in Mathematics. SpringerVerlag, New York, 1992. Corrected reprint of the 1986 original.
[ST92]
Joseph H. Silverman and John Tate. Rational points on elliptic curves. Undergraduate Texts in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, 1992.
20
Courbes elliptiques et cryptographie
Sujet proposé par Marusia Rebolledo
La théorie des courbes elliptiques est un des sujets où se rencontrent diverses branches des mathématiques : théorie des nombres, géométrie algébrique, analyse complexe, théorie des représentations. Outre
les applications d’ordre théorique, parmi lesquelles on peut citer la récente démonstration du théorème
de Fermat par Wiles et al. (1995), l’étude de ces courbes a donné lieu également à des applications dans
les domaines de l’algorithmique et de la cryptographie.
Ce projet de TER a pour objet d’introduire les courbes elliptiques et de présenter certaines de ces
applications.
Prérequis.– Algèbre de M1 et L3, en particulier notions sur les groupes, les extensions de corps, la
théorie de Galois, arithmétique de base.
Références : les mêmes que le sujet précédent.
9
21
Théorème des nombres premiers
Sujet proposé par Emmanuel Royer
Pour tout réel x ≥ 2 on note π(x) le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Le but du
travail proposé est d’établir que la fonction x 7→ π(x) est bien approchée (en un sens que l’on précisera)
par la fonction
Z x
dx
.
x 7→
ln
x
2
Prérequis : le cours d’analyse complexe, du goût pour l’analyse.
Bibliographie : Multiplicative Number Theory de Harold Davenport.
22
Modèles d’urnes : exemples de modèles de parts de marché. Processus de renforcement aléatoire.
Sujet proposé par Laurent Serlet
En TP de probabilité nous avons fait des simulations de part de marché dans un modèle concurrentiel où deux technologies s’affrontent (par exemple Airbus contre Boeing, PC contre Mac, et dans
le passé VHS contre Bétamax, etc...). Dans certains cas on observe un phénomène que les économistes
appellent lock-in. Les physiciens ont aussi observé ce genre de comportement d’auto-organisation. Le
modèle mathématique que nous avons simulé est très simple et porte le nom d’urne de Polya, éventuellement généralisée. Des preuves des phénomènes que nous avons observés peuvent être faites et c’est
l’objet de ce TER. Les prolongements à d’autres applications ou à d’autres modèles de renforcement sont
nombreux et l’étudiant choisira en fonction de ce qui l’intéresse. Le document d’où le travail pourra
partir est D.A. Freedman, Bernard Friedman’s urn. Annals of Math. Stat. 36 (3), 956-970 (1965) mais les
preuves sur l’urne de Polya se trouvent dans une multitude d’autres références. Une vision beaucoup
plus générale est fournie par l’excellent survey de Robin Pemantle : A survey of random process with
reinforcement, Probability Surveys, 2007 qui donnera de nombreuses idées de prolongement.
23
Coût de transport et distance de Wasserstein pour les mesures de
probabilités sur R et R N
Sujet proposé par Liming Wu
Ce sujet, partant du probleme de Monge-Ampère, a pour objectif de mesurer la distance de deux probalilités et de caracteriser le transport optimal, raffinant la convergence étroite de mesures et le théorème
limite dans le cours de probabilités.
24
Inégalités exponentielles et gaussiennes en probabilités
Sujet proposé par Liming Wu
Ce sujet consiste à donner une liste d’inégalités très utiles pour controler la probabilité de queue :
inégalité de Cramer, Hoeffding, Bennett etc. C’est pour raffiner le théorème de limite centrale.
10