Master 1 Mathématiques - Université Blaise Pascal Sujets de TER

Master 1 Mathématiques - Université Blaise Pascal
Sujets de TER 2008/2009
Le TER est un court stage d’initiation à la recherche encadré par un membre du laboratoire de mathé-
matiques, qui consiste en l’étude de textes mathématiques sur un domaine voisin de ceux au programme
du M1. Ce travail se conclut par la rédaction d’un mémoire et un exposé oral (20 minutes par étudiant).
Les étudiants devront communiquer leur choix pour le lundi 19 janvier. Le début effectif du TER est
donc fixé au 20 janvier.
Table des matières
1 Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulation-fragmentation. 3
2 Anneaux semisimples et groupe de Brauer d’un corps 3
3 Quelques calculs de groupes de Galois 3
4 Le critère de simplicité d’Iwasawa. Application aux groupes projectifs linéaires 4
5 Le théorème d’uniformisation de Riemann 4
6 Etude de modèles de populations en intéraction 4
7 Le théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre pnqm5
8 Introduction à la dynamique topologique en basse dimension 5
9 Séries de fonctions aléatoires 5
10 Groupes libres et arbres 6
11 Courbure et Topologie 6
12 Géométrie hyperbolique 6
13 Sur le problème des sous espaces invariants : théorème de Lomonosov 7
14 Preuve analytique du théorème de Brouwer 7
15 Le spectre d’un opérateur de Tœplitz à symbole continu 7
16 EDP du premier ordre pour les populations structurées 8
17 Théorèmes de transcendance 8
18 Arithmétique et nombres premiers 8
19 Introduction aux courbes elliptiques 9
20 Courbes elliptiques et cryptographie 9
21 Théorème des nombres premiers 10
1

22 Modèles d’urnes : exemples de modèles de parts de marché. Processus de renforcement aléa-
toire. 10
23 Coût de transport et distance de Wasserstein pour les mesures de probabilités sur Ret RN10
24 Inégalités exponentielles et gaussiennes en probabilités 10
2

1 Problème de Cauchy pour une équation discrète de coagulation-
fragmentation.
Sujet proposé par Véronique Bagland
On considère un système infini d’amas de particules dont la dynamique est régie par des phéno-
mènes de coagulation et de fragmentation. Les amas peuvent fusionner pour former de plus grands
amas ou, au contraire, se diviser en de plus petits amas. Ces amas sont uniquement déterminés par leur
taille i∈N∗. Pour chaque i∈N∗, on note ci(t)le nombre d’amas de taille ipar unité de volume au
temps t. Les (ci)i≥1vérifient un système infini d’équations différentielles. On s’intéresse ici au poblème
de Cauchy associé.
Bibliographie
H. Amann, Ordinary Differential Equations, An Introduction to Nonlinear Analysis.
J. M. Ball ; J. Carr, The discrete coagulation-fragmentation equations : existence, uniqueness, and density
conservation, J. Statist. Phys., 61 : 203–234, 1990.
S. Lang, Analyse réelle.
http ://math.univ-bpclermont.fr/ bagland/ter.pdf
2 Anneaux semisimples et groupe de Brauer d’un corps
Sujet proposé par Julien Bichon
Un module sur un anneau quelconque n’est pas libre en général. Pour palier ce défaut, on cherche
des notions qui vont remplacer la liberté, par exemple la semisimplicité : un module est dit semisimple
s’il est somme directe de modules simples (un module non nul est dit simple si ses seuls sous-modules
ont (0)et lui-même).
Un anneau est dit semisimple quand tous ses modules sont semisimples. Ce TER propose de mon-
trer le théorème de classification de Wedderburn des anneaux semisimples : ils sont isomorphes à des
produits d’anneaux de matrices sur des corps éventuellement non commutatifs.
Comme application de la théorie, on construira la groupe de Brauer Br(k)d’un corps commutatif k,
et on calculera Br(R).
Références. [1] B. Farb, R. Dennis, Noncommutative algebra, Springer, 1993.
[2] S. Lang, Algebra, third edition, Addison-Wesley, 1993.
3 Quelques calculs de groupes de Galois
Sujet proposé par Julien Bichon
Le but du TER est d’étudier quelques méthodes de calculs de groupes de Galois. On s’intéressera en
particulier
- au calcul du groupe de Galois d’un polynôme irréductible de degré 4 [1];
- au calcul de groupes de Galois par réduction. Cela permet par exemple de montrer que chaque
groupe symétrique Snest un groupe de galois sur Q. Par ailleurs la démonstration de la technique de
réduction fournira l’occasion d’étudier les extensions d’anneaux, la généralisation naturelle des exten-
sions de corps [2].
Références. [1] L.C. Kappe, B. Warren, An elementary test for the Galois group of a quartic polynomial,
Amer. Math. Monthly 96 (1989), 133-137.
[2] S. Lang, Algebra, third edition, Addison-Wesley, 1993.
3

4 Le critère de simplicité d’Iwasawa. Application aux groupes pro-
jectifs linéaires
Sujet proposé par Julien Bichon
Le critère d’Iwasawa (1941) assure qu’un groupe opérant sur un ensemble d’une manière adéquate
est simple. Il permet de montrer, par exemple, que les groupes projectifs speciaux linéaires (PSLn(k) =
SLn(k)/Z(SLn(k)) et les groupes projectifs symplectiques sont presque tout le temps simples. Quand
le corps de base est fini, cela fournit de nouveaux exemples de groupes finis simples, par exemple un
groupe fini simple à 168 éléments.
L’objectif du TER est de montrer le critère d’Iwasawa et d’en déduire la simplicité des groupes men-
tionnés plus haut. Il combine des notions d’algèbre abstraite et de l’algèbre linéaire.
Référence. L.C. Grove, Classical groups and geometric algebra, Graduate studies in mathematics 39,
American mathematical Society, 2002.
5 Le théorème d’uniformisation de Riemann
Sujet proposé par Jérôme Chabert
Ce théorème affirme que n’importe quel ouvert simplement connexe (c’est à dire en gros “sans trou”)
de C(autre que Clui même) peut être mis en bijection holomorphe avec le disque unité ouvert.
En particulier, une telle bijection conserve les angles, ce qui rend ce résultat surprenant : il est possible
de mettre en bijection holomorphe le disque ouvert et l’intérieur d’un carré, par exemple.
La démonstration de ce théorème important fait appel à des notions classiques d’analyse complexe.
On prouvera en particulier que sur un ouvert simplement connexe, une fonction holomorphe admet
une primitive holomorphe.
Prérequis : Le cours d’analyse complexe de L3.
Bibliographie : W. Rudin, “Real and complex analysis”, McGraw Hill L.V. Ahlfors, Complex Analysis,
McGraw-Hill.
6 Etude de modèles de populations en intéraction
Sujet proposé par Claire Chainais
On propose de s’intéresser à différents modèles de populations à deux espèces : les modèles de
proies-prédateurs, les modèles de compétition et les modèles de symbiose. D’un point de vue mathéma-
tique, il s’agit de systèmes différentiels (non linéaires) de deux équations à deux inconnues. On s’inté-
ressera notamment à l’étude qualitative des solutions : comportement en temps long, existence de cycle
limite, stabilité des points fixes... Une partie du travail portera sur l’étude des solutions d’un système
différentiel linéaire 2 ×2.
Références : MURRAY, Mathematical biology, I. An introduction.
HIRSCH, SMALE, Differential equations, dynamical systems and linear algebra.
BRAUN, Differential equations and their applications.
4

7 Le théorème de Burnside sur la résolubilité des groupes finis d’ordre
pnqm
Sujet proposé par François Dumas
Il s’agit de démontrer que tout groupe fini dont l’ordre admet seulement deux diviseurs premiers est
résoluble. Il se situe donc dans la continuité des connaissances acquises en cours sur la notion de groupe
résoluble (existence d’une suite de Jordan-Hölder dont les facteurs sont cycliques d’ordres premiers)
et sur les entiers algébriques, tout en nécessitant d’apprendre les premiers éléments de la théorie des
caractères pour les groupes finis.
Références bibliographiques (les ouvrages ci-dessous sont tous présents à la bibliothèque de maths) :
- J.L. Alperin et R.B. Bell, Groups and representations, Springer, 1995
- M. Burrow, Representation theory of finite groups, Academic Press, 1965
- D. Gorenstein, Finite groups, Harper & Row, 1968
- M.-P. Malliavin, les groupes finis et leurs représentations complexes, Masson, 1981
- Derek J.S. Robinson, A course in the theory of groups, Springer, 1996
8 Introduction à la dynamique topologique en basse dimension
Sujet proposé par François Gautero
Étudier la dynamique d’une application (continue, différentiable, mesurable,. . .) fsur un espace
(topologique, C∞, mesuré,. . . ) Xrevient à étudier le devenir des points de Xsous les itérations succes-
sives de f. On se propose dans un premier temps de considérer le cadre des applications continues de
l’intervalle. Après avoir introduit les notions et outils classiques dans ce contexte, une première étape
sera de prouver le théorème de Sharkovskii : si une application continue de l’intervalle possède une
orbite périodique de période 3, elle possède une orbite périodique de chaque période. Selon les affinités
de l’étudiant(e), on pourra ensuite soit approfondir l’étude d’une famille particulièrement importante
d’applications de l’intervalle fµ(x) = µx(1−x), et ainsi s’initier à la théorie des bifurcations, soit s’in-
téresser aux difféomorphismes du cercle, soit passer en dimension 2 et étudier le fer à cheval de Smale
par exemple.
Bibliographie : An introduction to chaotic dynamical systems, R. Devaney.
9 Séries de fonctions aléatoires
Sujet proposé par Yanick Heurteaux
Le calcul des probabilités et l’introduction de “coefficients aléatoires” s’avère très performant dans
la recherche d’exemples et de contre-exemples. Une situation classique est la suivante. Considérons la
série entière +∞
∑
n=0
εnzn
où εnest un pile ou face, c’est à dire une suite de variables aléatoires indépendantes vérifiant P[εn=1] =
P[εn=−1] = 1/2. La série entière est alors de rayon 1 et définit une fonction holomorphe (aléatoire) f
dans le disque unité. On peut montrer que, presque sûrement, le cercle unité est une frontière naturelle
pour la fonction f, c’est à dire que fne se prolonge analytiquement au voisinage d’aucun point du cercle
unité.
Lors de ce TER, on propose de visiter quelques chapitres du livre de Jean-Pierre Kahane ([1]) et
d’aborder, par le biais des série aléatoires, quelques questions liées par exemple aux séries entières, aux
séries de Fourier, aux recouvrements du cercle par des intervalles aléatoires.
Prérequis : Analyse de licence, analyse complexe (fonctions holomorphes), probabilités
Références : [1] Jean-Pierre Kahane, Some random series of functions, Cambridge studies in advances
mathematics.
5