Diffraction acoustique par une ou plusieurs plaques : comportement

Diffraction acoustique par une ou plusieurs plaques :
comportement singulier pour des petits nombres de Mach
S. Job, E. Lunéville et J.-F. Mercier
Laboratoire de Simulation et de Modélisation des phénomènes de Propagation,
ENSTA, UMR 2706 du CNRS, Paris, FRANCE
Email : [email protected], [email protected], [email protected]
1
Introduction
Nous nous intéressons à la diffraction acoustique par une plaque en présence d’un écoulement
de nombre de Mach M dans un conduit. Le cas avec écoulement n’est pas une simple extension
du cas d’un fluide au repos : lorsque M 6= 0, l’interaction entre l’onde acoustique incidente et
l’écoulement porteur donne naissance à un sillage d’amplitude F derrière la plaque. Le comportement du sillage lorsque la vitesse de l’écoulement diminue devient singulier : oscillations
horizontales de très petites longueurs d’onde et extension verticale très fine. Ce comportement
pose des problèmes numériques (nécessité d’un maillage très fin près du sillage) et pose des
questions théoriques délicates sur la convergence du problème de diffraction pour M → 0. En
effet ce comportement est surprenant car il n’existe pas de sillage lorsque M = 0.
Dans un premier temps nous allons présenter une méthode numérique fondée sur une approximation par éléments finis permettant d’accéder aux variations de F pour les petites valeurs
de M sans raffiner excessivement le maillage. Puis nous considérerons le cas de deux plaques
alignées, pour lequel il est intéressant d’étudier l’interaction entre les sillages issus des plaques.
De plus cette configuration fait apparaı̂tre un nouveau phénomène : l’incidence d’un sillage sur
le bord d’attaque d’une plaque. Cette interaction pose des problèmes de modélisation délicats,
car le sillage ne se contente pas de ”glisser” sur la plaque. Il existe différents modèles pour la
condition aux limites sur la plaque avale, et nous avons étudié l’influence de cette condition sur
le champ diffracté.
2
Modélisation
Nous considérons un conduit D de hauteur h à parois ∂D rigides. Une plaque rigide est
placée en y = η entre x = 0 et x = L, et le fluide compressible occupant le domaine Ω (conduit
privé de la plaque) est animé d’une vitesse uniforme U . Une onde acoustique de pulsation ω est
envoyée sur la plaque (voir Fig.1).
Derrière la plaque prend naissance un sillage S [1, 2, 3] que nous allons maintenant caractériser.
1
y=h
y
∂D
guide d’onde
Γ
sillage
S
plaque
ϕinc
U
Ω
x
y=0
Fig. 1 – Système étudié
2.1
Sillage
Les perturbations de pression p et de vitesse v satisfont les équations d’Euler linéarisées
ρ
Dv
+ ∇p = 0,
Dt
1 Dp
+ ρ div v = 0,
c2 Dt
dans Ω\S, où D/Dt = −iω + U ∂/∂x en régime fréquentiel (dépendance temporelle en e−iωt ). ρ
est la masse volumique du fluide en l’absence de perturbation et c la vitesse du son.
Nous allons à présent déterminer où les perturbations sont irrotationnelles. Si U = 0 on
obtient ρiωv = ∇p, donc rot v = 0 dans tout le fluide. La situation diffère en présence
d’écoulement. A partir des équations d’Euler on obtient que D (rot v)/Dt = 0. Le rotationnel
de v se conserve donc le long des lignes de courant (la solution générale est rot v = f (y)eikx/M
où f est donnée par les conditions en amont de la plaque). Si les perturbations sont supposées
irrotationnelles en amont de la plaque, on obtient rot v = 0 dans tout le fluide sauf derrière la
plaque, où un sillage prend naissance. Il s’agit d’une allée de tourbillons émise depuis le bord de
fuite de la plaque à la fréquence de l’onde acoustique incidente, et convectée par l’écoulement
porteur.
Les conditions aux limites naturelles sur le sillage sont [uy ] = 0 = [p] où [.] désigne le saut
à travers le sillage et où u est la perturbation du déplacement du fluide. Remarquons que ces
dernières conditions aux limites incitent à utiliser les variables u ou p pour résoudre le problème
de diffraction. Il a d’ailleur été proposé une méthode d’éléments finis reposant sur une formulation
mixte déplacement-pression [4], mais nous avons préféré utilisé une inconnue unique.
2.2
Choix de variable
Les conditions aux limites naturelles sur les parois du guide u.n = 0 et la continuité du
déplacement vertical à travers la sillage semblent indiquer que la variable la mieux adaptée au
problème est le déplacement.
2.2.1
Formulation en déplacement
Le déplacement satisfait l’équation de Galbrun
D2 u
− ∇div u = 0,
Dt2
dans Ω\S, où à présent on note D/Dt = −ik + M ∂/∂x avec k = ω/c et où on a introduit le
nombre de Mach M = U/c. Les conditions aux limites sur le sillage, exprimées en fonction du
déplacement seul, deviennent [uy ] = 0 = [divu] (on a p = −ρc2 divu).
2
Lorsque U = 0, l’équation de Galbrun peut être résolue par deux méthodes à base d’éléments
finis : l’emploi d’éléments finis mixtes conformes H(div) [5], ou la régularisation qui permet
d’employer des éléments finis de Lagrange [6]. Lorsque U 6= 0, seule la régularisation permet de
résoudre l’équation de Galbrun par éléments finis.
Dans le cas où rot u = 0 en dehors du sillage, la régularisation consiste formellement à
ajouter le terme rotrotu dans l’équation de Galbrun, qui ainsi devient
HM (u) =
D2 u
− ∆u = 0.
Dt2
(1)
Dans le cas où Ω n’est pas convexe et contient un coin rentrant, ce qui est notre cas, il n’est pas
possible de montrer que la solution de l’équation (1) est équivalente à la solution de l’équation de
Galbrun. Ceci est dû au fait que la solution de (1) est plus régulière que la solution de l’équation
de Galbrun près des bords de la plaque. Ce type de problème est classique en électromagnétisme
lorsqu’on détermine le champ électrique près d’un coin rentrant d’un conducteur (effet de pointe)
[7]. L’équation de Galbrun n’est donc pour l’instant pas capable de prendre en compte un obstacle
présentant des coins rentrant dans Ω.
2.2.2
Formulation en pression
La pression satisfait HM (p) = 0 dans Ω\S avec les conditions aux limites [p] = 0 = [∂p/∂y].
Cependant si on résout cette équation avec des éléments finis de Lagrange on obtient que près du
bord
√ d’attaque A de la plaque la pression et la vitesse restent finies (elles se comportent comme
r où r est la distance à A). Il est connu [8] que ces quantités doivent être infinies près de A.
Il est donc nécessaire de formuler le problème avec le potentiel des vitesses ϕ, défini par
v = ∇ϕ en √
dehors du sillage (ce qui est possible car rot v = 0). On obtient alors que
√ ϕ se
comporte en r près de A, ce qui donne un comportement singulier de p et de v en 1/ r.
3
3.1
Formulation du problème en potentiel des vitesses
Equations
Si on note ϕinc le champ incident, le potentiel des vitesses diffracté ϕ satisfait HM (ϕ) = 0
dans Ω\S. Sur le sillage on a [∂ϕ/∂y] = 0 = D [ϕ] /Dt = 0 donc [ϕ] = F eikx/M où F est
l’amplitude du sillage. Enfin sur la plaque on a ∂ϕ/∂n = −∂ϕinc /∂n et ∂ϕ/∂n = 0 sur les parois
du conduit.
3.2
Conditions de rayonnement
Il reste à écrire les conditions de rayonnement à l’infini. Pour cela nous avons besoin des modes
propres du guide, sur laquelle toute vibration du fluide se décompose (en dehors de la plaque et du
±
= eiβn x cos (nπy/h) avec n un entier,
solution de HM (ϕ±
sillage). Les modes propres sont ϕ±
n) = 0
n√
p
±
2
2
2
2
dans tout le guide. Pour n < kh/π 1 − M on a βn = [−kM ±
]/(1 −
√ k − (1 − M )(nπ/h)
±
2
2
M
p ) : il s’agit alors d’un mode propagatif. Pour n > kh/π 1 − M on a βn = [−kM ±
i (1 − M 2 )(nπ/h)2 − k 2 ]/(1 − M 2 ) ce qui correspond à un mode evanescent. Les modes +
correspondent aux modes qui rayonnent vers la droite, et les modes − rayonnent à gauche.
Les conditions de rayonnement expriment le fait que tout champ diffracté vers la droite (respectivement vers la gauche) ne se décompose que sur les modes + (respectivement sur les modes
−). La prise en compte des conditions de rayonnement à l’infini lors de la résolution numérique
3
du problème de diffraction en domaine borné est classique et est réalisée en introduisant des
conditions transparentes sur les bords du domaine [9].
3.3
Problèmes posés par le sillage
Le sillage pose trois problèmes :
1. son amplitude F est une inconnue du problème. Elle est fixée en appliquant la condition de
Kutta [1, 2, 3] : la vitesse doit être finie au bord de fuite de la plaque. Il est donc nécessaire
de connaı̂tre finement le comportement du potentiel des vitesses près du bord de fuite.
2. en présence de sillage la condition de rayonnement à droite n’est pas valable (on a [ϕ±
n] =
0, ∀n, incompatible avec un sillage).
3. la résolution numérique est effectuée dans un domaine borné alors que le sillage correspond
à un terme source qui s’étend jusqu’à l’infini.
Pour remédier à ces problèmes on se ramène à résoudre deux problèmes sans sillage.
3.4
Découplage du problème
On introduit la décomposition du potentiel des vitesses ϕ = ϕa +F ϕS . ϕa satisfait le problème
de diffraction sans sillage, et ϕS est solution du problème de diffraction avec un sillage d’amplitude unité : HM (ϕS ) = 0 dans Ω\S avec [ϕS ] = eikx/M , [∂ϕS /∂y] = 0 et ∂ϕS /∂n = 0 sur
∂D ∪ Γ.
Afin de se ramener à un terme source de support fini, un relèvement est utilisé.
3.4.1
Relèvement
On introduit la fonction ζ(y) solution de HM (ζeikx/M ) = 0 dans le guide sans plaque mais en
présence d’un sillage infini. On obtient
½ −
ζ (y) = A cosh (ky/M )
si y < η,
ζ(y) =
+
ζ (y) = B cosh [k(h − y)/M ] si y > η.
£
¤
£
¤
¡
¢
A et B sont calculés tels que ζeikx/M = eikx/M , (dζ/dy)eikx/M = 0 et ∂ ζeikx/M /∂n = 0 sur
∂D. Alors on peut définir le champ de sillage ϕ̃S = θ(x)ζ(y)eikx/M . θ est une fonction C 2 (R) qui
tient compte de la présence du sillage uniquement en aval de la plaque : θ = 0 si x < d1 et θ = 1
si x > d2 , où 0 < d1 < d2 < L.
Remarque : ce n’est pas vraiment le sillage mais plutôt ϕ̃S qui présente un comportement
singulier lorsque M → 0. En effet ϕ̃S oscille horizontalement avec une longueur d’onde λ et
s’étale verticalement sur une epaisseur δ, toutes deux variant en M/k.
3.4.2
Problèmes de diffraction résolus
On considère le problème modèle de diffraction P : HM (ϕ) = f dans Ω, ∂n ϕ = g sur
Γ, ∂n ϕ = 0 sur ∂D avec en plus les conditions de rayonnement. On obtient que si on utilise la
décomposition ϕ = ϕa +F (ϕ̃S +ϕc ), alors ϕa satisfait le problème P avec f = 0 et g = −∂ϕinc /∂n,
tandis que ϕc satisfait aussi ce problème avec f = −HM (ϕ̃S ) (de support contenu dans ]d1 , d2 [)
et g = −∂ ϕ̃S /∂n. ϕc est appelé le champ correctif.
4
3.4.3
Détermination de F
Pour appliquer la condition de Kutta il faut connaitre le comportement de ϕc au voisinage
du bord de fuite B de la plaque. Pour cela on détermine le champ correctif dans la boule Σ de
centre B et de rayon R (voir Fig.2). On choisit le rayon suffisamment petit pour que le terme
source HM (ϕ̃S ) soit nul dans la boule (il faut simplement R < L − d2 ). Alors on peut déterminer
analytiquement ϕc (décomposition sur une base de fonctions de Bessel) à condition qu’on ait
une condition de Neumann homogène sur Γ+ , le bout de plaque dans la boule (∂ ϕ̃S /∂n 6= 0 sur
Γ+ ). Il faut introduire un nouveau relèvement pour avoir une telle condition aux limites.
Σ
B
Γ+
∂Σ
Fig. 2 – Boule construite autour du bord de fuite
C’est cette étape qui pose des problèmes numériques lorque la vitesse de l’écoulement porteur est faible. En effet une première idée était de définir la variable ψ = ϕc + ψS où ψS =
ζ − (y)θ(x)eikx/M dans tout Ω. Ainsi on a bien ∂ψ/∂n = 0 sur Γ+ , et ψ peut être calculé explicitement dans Σ [9]. Cependant on obtient sur la paroi supérieure du conduit ∂ψ/∂y =
A(k/M ) sinh(kh/M )θ(x)eikx/M , qui prend de grande valeur lorsque M → 0. Pour remédier à ce
problème, nous avons utilisé un autre relèvement en utilisant la même fonction ψS mais définie
seulement dans la boule Σ (et nulle en dehors de la boule). Ainsi le terme source n’est plus localisé sur le bord supérieur du conduit mais sur le bord ∂Σ de la boule, où le facteur d’amplification
(k/M ) sinh(ky/M ) prend des valeurs beaucoup moins grandes.
4
4.1
Résultats
Comportement de F pour M → 0
Sur les figures 3 et 4 sont représentées les isolignes des parties réelles du champ total ϕinc + ϕ
pour M = 0.3. La Fig. 3 correspond à L = 4 et k = 2 tandis que la Fig. 4 correspond à une
Fig. 3 – Isolignes de la partie réelle du potentiel des vitesses total pour M = 0.3, L = 4 et k = 2
plaque plus courte L = 1 et une fréquence plus basse k = 1. Les tourbillons constituant le sillage
apparaissent nettement derrière la plaque.
L’évolution de F (M ) pour deux valeurs de la longueur
de la plaque et deux fréquences est
√
représentée en Fig. 5. Il apparaı̂t que F varie comme M lorque la vitesse de l’écoulement est
faible. Ce résultat avait été obtenu semi-analytiquement dans le cas d’une plaque semi-infinie,
5
Fig. 4 – Isolignes de la partie réelle du potentiel des vitesses total pour M = 0.3, L = 1 et k = 1
1/2
|F|
0
10
∝M
Vortex sheet magnitude |F|
[L=4;k=2]
[L=4;k=1]
[L=1;k=2]
−1
10
1/2
|F|
[L=1;k=1]
−2
∝M
−1
10
10
Mach Number
10
0
Fig. 5 – Variation de log(F ) en fonction de log(M ) pour différentes longueurs de plaque et
fréquences
par une méthode de Wiener-Hopf [10]. Nous avons donc prouvé que ce résultat se généralise
à une plaque de longueur finie (du moins pour des plaques dont la longueur est de l’ordre de
grandeur de la hauteur du conduit).
4.2
Interaction entre deux plaques alignées
Cette configuration est une étape vers la modélisation complète d’un silencieux de pot d’echappement. Il s’agit d’un tube perforé dans lequel s’ecoulent les gaz d’echappement. Dans le modèle
2D les parois du tube deviennent une double allée de plaques alignées, et chaque plaque emet un
sillage qui rencontre la plaque suivante (voir Fig.6). Dans la pratique le gaz est au repos en dehors
champ
diffracté
I inc
onde
U
incidente
onde
transmise
fluide au repos
I trans
Ω
L
Fig. 6 – silencieux de pot d’echappement
6
du silencieux, et notre configuration correspond au cas plus simple de seulement deux plaques
et d’un fluide en écoulement partout (voir Fig.7). La plaque avale émet un sillage d’amplitude
y
∂D
y=h
guide d’onde
S1
S2
Γ1
Γ2
ϕinc
Ω
x
y=0
Fig. 7 – Configuration de deux plaques alignées
F2 qui part vers l’infini. Le sillage d’amplitude F1 issu de la plaque amont rencontre la plaque
Γ2 , et l’interaction de ce sillage avec la seconde plaque est une question délicate. Il existe deux
types de conditions aux limites utilisées sur la plaque Γ2 [11]
1. une condition de type paroi rigide : ∂n ϕ = 0.
2. la condition ∂ϕ/∂y = F3 ei5kx/3M . Il ne s’agit pas d’un sillage, même si on retrouve la
périodicité horizontale en k/M . Cette condition est obtenue en tenant compte de l’instabilité de Tollmien-Schlichting qui se développe dans la couche limite visqueuse de Blasius
autour de la plaque (voir Fig. 8). Bien sûr cette couche limite existe aussi autour de la
λ∼
3M
5 k
Fig. 8 – Instabilité de la couche limite de Balsius (ici au dessus de la plaque avale)
plaque amont, mais contrairement à la situation de la plaque avale, la plaque P1 n’est pas
exitée par un sillage sur son bord d’attaque.
Dans le premier cas les amplitudes F1 et F2 sont obtenues en appliquant des conditions de
Kutta aux deux bords de fuite. Dans le second cas, en plus des conditions précédentes, l’amplitude
F3 est obtenue en appliquant une condition de Kutta sur le bord d’attaque de Γ2 . Bien sûr dans
les deux cas les conditions de Kutta introduisent des couplages entre les différents sillages.
4.2.1
Cas Neumann homogène
La Fig. 9 représente le cas d’une condition de plaque rigide utilisée sur la plaque avale pour
M = 0.3, L = 4 pour les deux plaques et k = 1. Les deux sillages ont des amplitudes équivalentes.
Fig. 9 – Isolignes de la partie réelle du potentiel des vitesses total en présence de deux plaques
alignées, pour M = 0.3, L = 4 et k = 1 : cas Neumann homogène sur Γ2
7
4.2.2
Cas Neumann non homogène
Pour les même paramètres que le paragraphe précédent, la Fig. 10 considère une condition
de couche limite instable sur la plaque avale. On voit que dans ce cas la potentiel des vitesses
Fig. 10 – Isolignes de la partie réelle du potentiel des vitesses total en présence de deux plaques
alignées, pour M = 0.3, L = 4 et k = 1 : cas Neumann non homogène sur Γ2
est intense sur Γ2 , les amplitudes des deux sillages restant du même ordre de grandeur.
En l’absence de résultat expérimental il est difficile de trancher entre les deux modélisations.
Nous pensons néanmoins que la condition de Neumann non homogène n’est plus valable lorsque
la plaque avale est courte. En effet la condition aux limites de type couche limite instable a
été utilisée dans le cas d’une plaque avale de longueur infinie (pour la modélisation d’un tuyau
d’orgue [11]). Dans notre cas d’une plaque avale courte, on peut imaginer que la couche limite
de Blasius ne peut pas se développer suffisamment pour devenir instable.
Références
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A, 303 :151–180, 1981.
8