Texte de l'activité

Comment évolue une population au cours du temps ?
1- Poser des hypothèses
Peut-on trouver une simulation pour modéliser l'évolution dans le temps d'une population donnée No de
noyaux radioactifs à partir d'une date t = 0 ?
Pour être guidée par l'intuition, on se pose la question de l'évolution d'une population humaine donnée (sans
renouvellement), dont les âges seraient supposés, pour simplifier, être répartis uniformément.
a/ Une épidémie mortelle sévit dans cet échantillon, comment évolue le nombre d'individus en fonction du
temps. Proposer l'allure du graphe N = f(t).
b/ Il n'y a pas d'épidémie mais les individus meurent tous au même âge. comment évolue le nombre
d'individus en fonction du temps. Proposer l'allure du graphe N = f(t).
c/ Un tyran fou décide de la mort des individus en jouant aux dés: à intervalle régulier, il lance autant de dès
que d'individus restants. Chaque fois que le dé tombe sur 1, l'individu est éliminé: on parle de mort aléatoire
sans vieillissement. Comment évolue le nombre d'individus en fonction du temps. Simuler cette situation
avec des dés pour donner l'allure du graphe N = f(t).
2- Simulation avec des dés
Chaque groupe de 2 élèves dispose de 80 dés qu’il lance 1 fois pour effectuer une mesure. Chaque dé qui
présente la face 1 est donc retiré du lot pour le prochain lancer. Le nombre de dés restants est compté, puis le
lancer recommence… L’ensemble des résultats est regroupé dans le tableau joint.
3- Exploitation des résultats expérimentaux:
A l’aide du tableur, construire la courbe traduisant l’évolution du nombre N de dés restants en fonction du numéro du
lancer t .
Proposer un modèle mathématique traduisant la décroissance observée.
Comparer le modèle aux points expérimentaux. En déduire la valeur de la constante λ.
Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour passer d’une population de 800 individus à une population de 400 ,
d’une population de 600 individus à une population de 300 . Conclure . Comment se nomme cette durée
caractéristique ?
4- Conclusion
Par comparaison avec les évolutions des populations dans les trois situations différentes, l'évolution d'un échantillon de
noyaux radioactifs répond-elle à un de ces modèles ?
Comment peut-on qualifier cette évolution ?

Lancers des dés
Numéro du
lancer
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Groupe 4
Groupe 5
Groupe 6
Groupe 7
Groupe 8
Total

Lancers des dés
Numéro du
lancer
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Groupe 1
Groupe 2
Groupe 3
Groupe 4
Groupe 5
Groupe 6
Groupe 7
Groupe 8
Total