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Problème 1 : Mesures d’impédances
A. Mesure de l’impédance de sortie d’un générateur basse
fréquence (GBF)
1.
2. Dans le premier montage, on a
s m 0 m
8 V
u E E E E= ⇒ = ⇒ = .
Dans le second montage, on a un pont diviseur de tension :
0 c
s 0 g c g
g c g
50
2
E R
R
u E E R R R
R R R R
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = Ω
+ +
.
B. Mesure de l’impédance d’entrée d’un oscilloscope
1.
0
1 M
R
≈ Ω
.
2. On note
sm
U
l’amplitude de la tension
s
u
.
Diviseur de tension :
0 0
s sm m
0 0
R R
u E U E
R R R R
= ⇒ =
+ +
.
Pour
0
R
=
, on a
0 m
E E
=
.

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Pour
1 M
R
= Ω
, on a
0 0 m 0 0
0
1 M
2
E R
E R R R
R R
= ⇒ = ⇒ = Ω
+
.
On retrouve bien l’ordre de grandeur annoncé en 1.

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3.
On a
1 0
1 0
1 1
j
Y C
Z R
ω
= = + .
Diviseur de tension :
1
s
1 1
0
0
11 j
Z
E E
u E
R Z RY R RC
R
ω
= = =
+ + + +
.
On a donc
( )
0 m
2
2
0
0
2
1
E E
RRC
R
ω
=
+ +
et
0 m
E E
=
.
On en déduit
( )
2
2
0 0
0 0
0
4
0, 04 nF
2
R R R
C C
fRR
− +
= ⇒ =
π.
C. Mesure d’impédances par la méthode des ponts
I. Condition d’équilibre du pont
On a
BD BC CD
U U U
= +
avec
2
BC AC
1 2
Z
U U
Z Z
=+ et
3
DC AC
4 3
Z
U U
Z Z
=+ .
Le pont est équilibré pour
BD 1 3 2 4
0
U Z Z Z Z
= ⇒ = .
II. Pont de Hay

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1.
1
j
Z R L
ω
= + et
3
1
j
Z r
C
ω
= + .
2. La condition d’équilibre du pont s’écrit
( )
1
j
j
R L r PQ
C
ω
ω
+ + = .
On en déduit
( ) ( )
2 2
2 2
j
j 2
1 1
rC PQrC
R L PQC R R
rC rC
ω ω
ω ω
ω ω
+
+ = ⇒ = ⇒ = Ω
+ +
.
De plus, on obtient
( )
2
0, 09 H
1
PQC
L L
rC ω
= ⇒ =
+
.
III. Pont de Maxwell
1. On a maintenant
3
1 1
j
C
Z r
ω
′
= +
′
.
D’autre part,
2 4
1
3
1
j j
Z Z
PQ
Z R L PQ C R
Z r r
ω ω
′
= ⇒ + = + ⇒ =
′ ′
et
L PQC
′
= .
2. On a donc
3 M
PQ
r r
R
′ ′
= ⇒ = Ω
et
15 nF
L
C C
PQ
′ ′
= ⇒ = .
IV. Pont de Wien
1. On a maintenant
1 1
1
1
j
Z R
C
ω
= +
,
2
Z P
=
,
3
Z Q
=
et
4
1 1
j
C
Z R
ω
= + .
La condition d’équilibre du pont s’écrit
21 1
2
4 1 3 1
1
j
1 1 j1
Z
Px x
C
Z Z Z R QR
x
ω
+
= ⇒ + = + .
On en déduit
1
2 2
1 1
1Q
R R
PR C
ω
= + et
( )
1
2
1 1
1
PC
C
Q R C ω
=
+
.
2. On obtient
1
R
= Ω
et
0,5 mF
C
=
.

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Problème 2 : Quartz et électronique
A. Modèle électromécanique du résonateur à quartz
1. Système : élément de masse
m
.
Référentiel : laboratoire supposé galiléen.
Forces :
 force élastique :
1
x
F kxu
= − ;
 frottements :
2
x
F hxu
= −
ɺ
;
 force due à l’effet piézoélectrique :
(
)
3
x
F V t u
β= .
Loi de la quantité de mouvement :
1 2 3
ma F F F
= + + .
Selon
x
u
:
(
)
mx kx hx V t
β
= − − +
ɺɺ ɺ
.
On obtient donc
( )
h k
xxxVt
m m m
β
+ + =
ɺɺ ɺ
.
2.a.
0 r
P
S
C
e
ε ε
= et
2
4
d
S
π
= , d’où
2
0 r
P P
8, 00 pF
4
d
C C
e
ε ε π
= ⇒ = .
La valeur obtenue correspond à celle proposée dans la partie B.
b.
(
)
1 P
q C V t
= .
3.
( )
2
2 2 2 2
2
d d
d
d
q q q
h k
x q V t
m t m m
t
βγ
γ
= ⇒ + + = .
4. D’après la loi des mailles :
( )
S
2
S
d
d
R C L
q
i
V t u u u Ri L
C t
= + + = + +
.
Or
2
d
d
q
i
t
= , d’où
(
)
2
2 2 2
2S
d d
d
d
V t
q q q
R
L t LC L
t+ + =
.