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2nde : correction du contrôle no 1 (Géométrie repérée)
I
(1,5 point) IV
(2,5 points)
Dans un repère (0 ; I ; J), on considère les points
A(2 ; 1), B(5 ; 2), C (7 ; 5) et D(4 ; 4).
Soit M le milieu de la diagonale [AC].
y A + yC
x A + xC
9
et y M =
xM =
=
= 3.
2
2
2
II
(3 points) Soit M’ le milieu de la diagonale [BD].
9
yB + yD
xB + xD
=
= 3.
et y M ′ =
xM ′ =
ABCD est un carré ; E est le symétrique de A par
2
2
2
rapport à D ; F est le symétrique de C par rapport à D. Les points M et M’ ont les même coordonnées donc
M = M′ .
ABCD est un quadrilatère dont les diagonales ont le
même milieu : c’est un parallélogramme.
E
Voir cours !
×
V
(3 points)
Dans un repère (0 ; I ; J), on considère les points
A(1
; -3), B(5 ; 1), C (3 ; 7).
F×
×
×
Les diagonales [AC] et [BD] doivent avoir le même milieu.
M, milieu de [AC] a pour coordonnées :
y A + yC 4
x A + xC 4
= = 2 et y M =
= = 2.
xM =
B
2
2
2
2
×
×
On note xD et y D les coordonnées de D.
A
On doit donc avoir :
5 + xD
xB + xD
donc 2 =
. On en déduit 5 + xD =
xM =
2
2
1. Dans le repère (A ; B ; D)., les coordonnées des 2 × 2 = 4 d’où xD = 4 − 5 = −1 .
yB + yD
1 + yD
six points de la figure sont :
yM =
donc 2 =
. On en déduit 1 + y D =
2
2
A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1), D(0 ; 1), E(0 ; 2) et
2 × 2 = 4 d’où y D = 4 − 1 = 3 .
F(-1 ; 1).
D a pour coordonnées D(−1 ; 3) .
D
C
2. Dans le repère (C ; B ; D)., les coordonnées des
six points de la figure sont :
A(1 ; 1), B(1 ; 0), C(0 ; 0), D(0 ; 1), E(-1 ; 1) et
F(0 ; 2).
b
C
6
4
b
D
2
b
M
b
III
(2 points)
2
−2
−2
b
B
4
A
Dans un repère (O ; I ; J), on considère les points
−4
A(2 ; 5) et B(3 ; 1).
Les cordonnées du point M, milieu du segment [AB]
VI
(4 points)
sont :
x A + xB 5
y A + yB 6
Dans un repère orthonormé (0 ; I ; J ), on consixM =
= et y M =
= = 3.
2
2
2
µ 2 ¶
dère les points A(2 ; -1), B(5 ; 1) et C(0 ; 2).
5
;3
Par conséquent, on a : M
1. Figure :
2
2
b
On trouve les même coordonnées, donc les
deux diagonales ont le même milieu : ABCD est
un parallélogramme.
C
1
b
B
3.
1
−1
−1
2
b
3
A
4
5
q −2
¡
¢2
2. AB = (xB − x A )2 + y B − y A
p
p
p
= (5 − 2)2 + (1 − (−1))2 = 32 + 22 = 13 .
q
¢2
¡
BC = (xC − xB )2 + yC − y B
p
p
p
=
(0 − 5)2 + (2 − 1)2 =
(−5)2 + 12 =
26 .
q
¡
¢
2
AC = (xC − x A )2 + yC − y A
p
p
p
= (0 − 2)2 + (2 − (−1))2 = (−2)2 + 32 = 13 .
3. On a AB = AC donc le triangle ABC est isocèle
en A.
BC 2 = 26 ; AB 2 + AC 2 = 13 + 13 = 26 donc
BC 2 = AB 2 + AC 2 .
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
Conclusion : le triangle ABC est isocèle rectangle en B
VII
(4 points)
Remarque : il s’agit du même exercice que le no 41
page 233 fait en classe ; je n’ai changé que les coordonnées des points !
Dans un repère (0 ; I ; J ), on considère les points
A(2 ; -1), B(5 ; 1), C(4 ; 4). et D(1 ; 2).
1. Figure :
4
b
C
3
2
D
b
1
−1
−1
−2
−3
b
1
2
b
A
3
4
B
5
6
b
E
2. Les coordonnées
du milieu de la diagonale [AC]
µ
¶
3
sont 3 ;
.
2
Les coordonnées
du milieu de la diagonale [BD]
¶
µ
3
.
sont 3 ;
2
(a) Puisque ADBE est un parallélogramme, les
longueurs AD et BE sont égales, de même
que DB et AE. On utilise alors un compas
pour construire E en reportant les deux
longueurs.
(b) Puisque ABCD est un parallélogramme, les
droites (AD) et (BC) sont parallèles.
ADBE est un parallélogramme, donc les
droites (AD) et (BE) sont parallèles.
La droite (AD) est parallèle aux droites
(BC) et (BE) donc ces deux droites (BC) et
(BE) sont parallèles. Elles ont le points B
en commun, donc elles sont confondues.
On en déduit que les points B, C et E sont
alignés.
(c) On a de même AD == BC et AD = C E
donc BC = C E .
BC = C E et ces points sont alignés, donc C
est le milieu de [BE].
(d) Les diagonales [AB] et [DE] du parallélogramme ADBE ont le même milieu, donc
ont les mêmes coordonnées.
x A + xB
xD + xE
Pour les abscisses :
=
2
2
2+5
1 + xE
7
1 + xE
donc
=
d’où =
. On
2
2
2
2
en déduit xE = 6.
y A + yB
yD + yE
Pour les ordonnées :
=
2
2
−1 + 1 2 + y E
0 2 + yE
donc
=
d’où =
. On
2
2
2
2
en déduit y E = −2.
E a pour coordonnées E (6 ; −2) .
On peut aussi utiliser que C est le milieu de
[BE] et calculer alors les coordonnées de E
à partir de celles de B et de C.
xB + xE
4 + xE
xC =
donc 5 =
d’où
2
2
4 + xE = 10 et xE = 10 − 4 = 6.
yB + yE
4 + yE
yC =
donc 1 =
d’où
2
2
4 + y E = 2 et y E = 2 − 4 = −2.
On en déduit E(6 ; -2) .
(e) Les coordonnées du milieu de [CE] sont :
xC + x E 4 + 6
=
= 5 = xB
2
2
yC + y E 4 + (−2)
=
= 1 = yB .
2
2
B est bien le milieu de [CE] .