ch5

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Chapitre-5
Réflexion et transmission de la lumière
Coefficients de Fresnel
5.1 Introduction :
Considérons une onde monochromatique plane qui tombe sur un dioptre plan séparant deux
milieux diélectriques d’indice respectifs n1 et n2 (figure-5.1). Cette onde incidente
d’expression complexe E i = E im exp j (ωt − k i r ) se décompose en deux ondes de même
pulsation : l’une représente une onde réfléchie E r = E rm exp j (ωt − k r r ) l’autre une onde
transmise ou réfractée E t = E tm exp j (ωt − k t r ) .
Les lois de Descartes et le principe de Fermat nous renseigne sur la direction de propagation
de ces ondes sans se référer au caractère ondulatoire de la lumière. En allant plus loin que la
simple direction de propagation, les équations de Maxwell permettent de déterminer les
amplitudes de ces ondes , c’est à dire les quantités de lumière transmise et réfléchie à chaque
interface.
5.2- Les lois de Descartes :
Σi
θi
θr
Σr
Milieu n1
ui
ut
Σt
Milieu n2
θt
Figure-5.1 :Réflexion et transmission d’une onde
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La figure (FigV.1) représente l’arrivée d’une onde incidente plane sur l’interface de deux milieux
diélectriques d’indice n1 et n 2 . D’une façon générale une partie de l’onde est réfléchie et l’autre
partie est transmise. Dans la figure nous avons représenté les fronts d’ondes et les rayons lumineux :
les fronts d’ondes sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation. Le rayon lumineux qui
correspond à la normale au front d’onde est donc, dans un milieu isotrope, colinéaire la direction de
propagation.
Pour qu’une relation entre les amplitudes de ces trois ondes puisse exister, en tout point r de
l’interface et à tout instant t , il est nécéssaire que les termes de phases soient égaux. Par conséquent :
k i .r = k r .r = k t .r
ce qui entraine, si l’on désigne par N la normale à la surface de séparation,
(k i − k r ) = c1 N et (k i − k t ) = c 2 N
c1 et c 2 étant deux réels. Comme k i = k 0 n1 u i , k r = k 0 n1 u r et k t = k 0 nt u t nous retrouvons les loi
de Descartes vues en optique géométrique :
n1 (u r − u i ) = a1 N
(n2 u t − n1 u i ) = a 2 N
et
(
)
♦ La première loi de réflexion : le plan de réflexion u r , N est le même que le plan d’incidence
(u , N ).
i
♦ La deuxième loi de réflexion : En projetant sur la surface de séparation, on obtient :
θ i = −θ r
(
)
♦ La première loi de réfraction : le plan de réfraction u t , N est le même que le plan d’incidence
(u , N ).
i
♦ La deuxième loi de réfraction : En projetant sur la surface de séparation, on obtient :
n1 sin θ i = n 2 sin θ t
(5-1)
♦ La réflexion totale
Si le milieu incident est moins réfringent, c’est à dire n1 p n2 , la loi de réfraction (4-1) est
toujours vérifiée. Dans le cas où n1 f n2 , cette relation n’est vérifiée que si θ i p il où il est
défini par :
n
sin il = 2
(5-2)
n1
au de la de cette limite il n y a pas de réfraction et l’onde est totalement réfléchie
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5.3- Formules de Fresnel
5.2.1 Conditions liées à la source :
Supposons que la source impose à l’onde incidente :
- la pulsation ω ;
- la direction de propagation définie par l’angle i ;
- l’amplitude caractérisée par le module de Eim
- l’état de polarisation
Les milieux de propagation 1 et 2 sont parfaits, homogènes, isotropes et d’indices de
réfraction respectives n1 et n2.
Un état de polarisation quelconque étant la superposition linéaire de deux états de polarisation
rectiligne, examinons les cas où E im est parallèle et perpendiculaire au plan d’incidence. En
choisissant l’origine des phases tel que E im soit réel, on a :
E i = E im exp i (ωt − k i r )
k i = n1k 0
avec
(5-3)
5.2.2 Conditions liées à l’interface
La théorie électromagnétique fournit des équations de passage relatives aux composantes du
champ électrique et du champ magnétique d’une onde lumineuse qui passe d’un milieu
diélectrique, transparent, dans un autre. Les composantes tangentielles (parallèles à la surface
de séparation) des deux champs, E et B doivent être continues, c’est à dire avoir la même
valeur des deux cotés de la surface. Les composantes normales (perpendiculaire à la surface)
du déplacement électrique D et de l’induction magnétique H sont continues.
- Ecrivons la continuité des composantes tangentielles des champ éléctrique et magnétique :
e z ∧ ( E im + E rm − E tm ) = 0

 e z ∧ ( B im + B rm − B tm ) = 0
(5-4)
e z étant le vecteur unitaire normal à la surface de séparation ( ou la normale tout court)
- Ecrivons la continuité des composantes normale du déplacement électrique et de l’induction
magnétique :
Vecteur déplacement électrique : D = ε E = n 2 E
Vecteur induction magnétique : B = µ H ( µ = µ 0 le milieu étant non magnétique)
[
]
e z . n12 ( E im + E rm ) − n 22 E tm = 0

e z .( B im + B rm − B tm ) = 0
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(5-5)
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- Exprimant la relation (II-9) liant le champ électrique et le champ magnétique des ondes
planes :
B im =
k i ∧ E im
ω
; B rm =
k r ∧ E rm
ω
; B tm =
k t ∧ E tm
ω
(5-6)
Nous avons ainsi 7 équations : (5-4), (5,5) et 5-6) et 5 inconnues : E rm , E tm , B im , B rm et B tm ,
(le champ électrique incident étant connu car imposé par la source). Par conséquent, deux
équations de continuité suffisent pour les déterminer en fonction de E im .
5.2.3 Formules de Fresnel (i p il )
Introduisons les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude r et t :
r=
E rm
E im
et
t=
E rm
E im
(5-7)
Leurs valeurs complexes permettent de rendre compte d’eventuels déphasage à la réflexion ou
à la réfraction de l’onde incidente.
z
kt
z
kt
B tm
E tm
E tm
Í
B tm
r
x
x
Í
y
Í
y
E rm
B rm
i
i
⊗
Í
B im
ki
kr
i
i
B rm
E im
Figure-5.2
a) Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d’incidence
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Í
kr
Í
E im
B im
5
Si la polarisation de l’onde est perpendiculaire au plan d’incidence ( E im = Eim e x ), le champ
magnétique est contenu dans ce plan qui est un plan d’antisymétrie pour le système formé par
la source et les deux milieux (voir cours d’électromagnétisme). Les champs des ondes
réfléchie et transmise respectent cette symétrie (Figure-4.2). Par conséquent :
E rm = r E im e x
et
E tm = t E im e x
B rm .e x = B tm .e x = 0
- Explicitons les équations de continuité (5-4) en adoptant les orientations de la figure 4.2 ::
(1) Selon Ox :
E im + E rm − E tm ⇒ 1 + r ⊥ = t ⊥
(2) Selon Oy :
(Bim − B rm)cosθi − Btm cosθt =0
les relation le rapport des amplitudes du champ électrique et du champ magnétique de l’onde
plane cette dernière équation donne :
(1−r ⊥)n1cosθi −t ⊥ n2 cosθt =0
On en déduit :
r⊥ =
n1cosθi −n2 cosθt
n1cosθi +n2 cosθt
et t ⊥ =
2n1cosθi
n1cosθi + n2 cosθt
On obtient ainsi les formules de Fresnel que l’on peut écrire sous d’autre formes en tenant
compte de la loi de réfraction :
r⊥ =
sin(θt −θi)
sin(θt +θi)
et
t⊥=
2sinθt cosθi
sin(θt +θi)
et
Resultats :
(1) t ⊥ étant réel et positif, l’onde transmise ne subit aucun déphasage.
(2) En revanche, r ⊥ étant réel et négatif lorsque r p i c’est à dire n2 f n1 , l’onde réfléchie
subit, dans le cas d’une réflexion sur un milieu plus réfringent, un déphasage de π . Notons
que si le milieu 2 est moins réfringent ( n2 p n1 ), elle reste en phase avec l’onde incidente.
(3) Examinons quelques valeurs particulières de l’angle d’incidence :
• incidence normale ( θ i = 0 ):
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θr = 0 ; r =
n1 − n2
n1 + n2
t=
et
2n1
n1 + n2
Nous avons omis le signe ⊥ car le plan d’incidence n’est pas défini : ces deux valeurs sont
indépendantes de l’etat de polarisation.
• incidence rasante ( θi =
π
2
) dans le cas où n2 f n1 . On a :
θi = π ; r ⊥ =−1 et t ⊥ =0
2
• incidence limite ( θ i = θ l ) dans le cas n2 p n1 :
θi =θl ; r ⊥ =1 et t ⊥ =2
b) Onde incidente polarisée dans le plan d’incidence
Si la polarisation de l’onde incidente est dans le plan d’incidence, le champ magnétique est
perpendiculaire à ce plan ( B im = Bim e x ). Les milieux étant isotropes, ce plan est plan de
symétrie pour le système (voir cours d’électromagnétisme) ; par conséquent les vecteurs B rm
et B tm sont aussi dirigés suivant e x et les vecteurs E rm et E tm sont contenus dans le plan
Oyz (Figure-4.2). Explicitons les relation de continuité (5-4) :
(1) Selon Ox :
Bim − B rm − B tm = 0 ce qui conduit
n1 (1 − r // ) − n 2 t // = 0
(2) Selon Oy :
−(Eim + E rm)cosθi + E tm cosθt =0
⇒ (1+r // )cosθi −t // cosθt =0
Nous obtenons ainsi deux nouvelles formules de Fresnel :
r // =
n1cosθt −n2 cosθi
n1cosθt +n2 cosθi
et
t // =
2n1cosθi
n1cosθt +n2 cosθi
que l’on peut exprimer uniquement en fonction des angles :
r // =
tan(θt −θi)
tan(θt +θi)
et
t // =
2sinθt cosθi
sin(θt +θi)cos(θt −θi)
Resultats:
(1) t // étant réel positif : l’onde transmise n’est pas déphasée
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(2) Le signe de r // est donné par :
sgn(r // )=sgn[tan(θt −θi)]×sgn[tan(θt +θi)]
La valeur pour laquelle tan(θt +θi) change de signe , soit lorsque θi +θt prend la valeur
π
, est
2
remarquable. Elle ne conduit cependant à aucune discontinuité de E rm car r // devient nul :
l’onde est alors entièrement transmise. L’incidence correspondante est appelée brewterienne,
du nom du physicien D. Brewster. Calculons l’angle incident de Brewster θ B . Comme
θ B +θt =π , on a :
2
n1 sin θ B = n2 sin θ r = n2 cos θ B
d’où :
tan θ B =
n2
n1
Notons que θ B p θ l :
sin θ l =
n2
sin θ B
= tan θ B =
f sin θ B
n1
cos θ B
Exemple : dans le cas de l’interface air-verre ( n1=1 et n2 ≈1.5 ), les valeurs de θ l et θ B sont
respectivement :
θl = Arcsin( 1 )≈42° et θB = Arc tan(1,5)≈56°
1 ,5
(3) pour l’incidence normale on retrouve les mêmes valeurs qu’auparavant.
b) Coefficients de réflexion et de transmission en énergie
Les puissances moyennes rayonnées par ces ondes, à travers un élement de surface du plan
d’incidence, orienté du milieu 1 verts le milieu 2 s’écrivent (voir chapitre-3) :
⟨dPr⟩ = ⟨ P⟩ cosθ dS = I cosθ dS
avec Iν =
ε 0 cn
2
E .E
θr
n
*
Milieu 2
dS
⟨ dPri⟩ =
ε 0cn1
⟨dPrr⟩ =
ε 0cn1
⟨ dPrt⟩ =
ε 0cn2
2
2
Eim cosθi dS
2
Erm cosθi dS
2
Etm cosθt dS
Milieu 1
2
2
Figure-5.3
Par définition, les coefficients de réflexion et de transmission en énergie R et T sont les
coefficients positifs suivants :
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R ≡
⟨ Prr⟩
⟨ Pri⟩
et
T ≡
⟨ Prt⟩
⟨ Pri⟩
Des expressions précédentes, on déduit aisement que
R= r
Notons que T diffère de t
2
2
T =t
et
2
n2 cosθt
n1cosθi
car, contrairement au cas de la réflexion, le débit d’énergie, à
travers des sections de plans d’onde différents ( θ1 ≠θ2 ), se produit avec des vitesses différentes
( n1 ≠ n2 ).
Les figures-5.4 représentent les variations de R⊥ et R// en fonction de l’angle d’incidence θi ,
pour les deux types de polarisation envisagés et dans les deux cas n1 pn2 et n1fn2 . Lorsque
n1 pn2 la réflexion est toujours partielle et relativement faible sauf lorsque l’incidence devient
rasante. Ce résultat est aisement vérifié en pratique : une surface de verre ou d’eau tranquille
( n2 =1,33 ) est très transparente sauf en incidence rasante où un effet de miroir est observé.
En incidence brewstérienne, seule l’onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence
est partiellement réfléchie. Pour l’autre type de polarisation, la transmission est totale ( T// =1 ).
Dans le cas d’une source de lumière naturelle, où l’onde incidente présente tous les états de
polarisation, l’onde réfléchie est alors polarisée dans un plan perpendiculaire au plan
d’incidence.
c) Bilan énergétique
Le bilan d’énergie conduit à écrire :
⟨ dPri⟩ = ⟨ dPrr⟩ + ⟨ dPrt⟩
⟨ dPrt⟩
⟨ dPrr⟩
+
= 1
⟨ dPri⟩
⟨ dPri⟩
soit
On a donc :
R + T = 1
Cas particuliers :
♦Incidence normale( θi =θ r =0 ) :
 n −n 
R = 1 2 
 n1 + n2 
2
2
4n1n2
 2n1  n2
T = 
=
= 1− R

(n1+n2 )2
 n1 + n2  n1
et
♦Cas de la réflexion totale ( n1f n2 et θi fθl ) :
2
R = r =1
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et
T =0
9
Figures-5.4
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