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Y. Marouan/2005-06
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Chapitre-5
Réflexion et transmission de la lumière
Coefficients de Fresnel
5.1 Introduction :
Considérons une onde monochromatique plane qui tombe sur un dioptre plan séparant deux
milieux diélectriques d’indice respectifs
1
n et
2
n (figure-5.1). Cette onde incidente
d’expression complexe )(exp rktjEE
i
imi
−= ω se décompose en deux ondes de même
pulsation : l’une représente une onde réfléchie )(exp rktjEE
r
rmr
−= ω l’autre une onde
transmise ou réfractée )(exp rktjEE
t
tmt
−= ω .
Les lois de Descartes et le principe de Fermat nous renseigne sur la direction de propagation
de ces ondes sans se référer au caractère ondulatoire de la lumière. En allant plus loin que la
simple direction de propagation, les équations de Maxwell permettent de déterminer les
amplitudes de ces ondes , c’est à dire les quantités de lumière transmise et réfléchie à chaque
interface.
5.2- Les lois de Descartes :
Figure-5.1 :Réflexion et transmission d’une onde
Milieu
1
n
Milieu
2
n
Σ
ΣΣ
Σ
i
Σ
ΣΣ
Σ
r
Σ
ΣΣ
Σ
t
θ
θθ
θ
i
θ
θθ
θ
r
θ
θθ
θ
t
i
u
t
u

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La figure (FigV.1) représente l’arrivée d’une onde incidente plane sur l’interface de deux milieux
diélectriques d’indice
1
n et
2
n . D’une façon générale une partie de l’onde est réfléchie et l’autre
partie est transmise. Dans la figure nous avons représenté les fronts d’ondes et les rayons lumineux :
les fronts d’ondes sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation. Le rayon lumineux qui
correspond à la normale au front d’onde est donc, dans un milieu isotrope, colinéaire la direction de
propagation.
Pour qu’une relation entre les amplitudes de ces trois ondes puisse exister, en tout point
r
de
l’interface et à tout instant
t
, il est nécéssaire que les termes de phases soient égaux. Par conséquent :
r
t
kr
r
kr
i
k... ==
ce qui entraine, si l’on désigne par N la normale à la surface de séparation,
Nckk
ri
)(
1
=− et Nckk
ti
)(
2
=−
21
et cc étant deux réels. Comme ii unkk
10
= , rr unkk
10
= et t
t
t
unkk
0
= nous retrouvons les loi
de Descartes vues en optique géométrique :
Nauun
ir 11
)( =− et Naunun
it 212
)( =−
♦ La première loi de réflexion : le plan de réflexion
(
)
Nu
r
, est le même que le plan d’incidence
(
)
Nu
i
, .
♦ La deuxième loi de réflexion : En projetant sur la surface de séparation, on obtient :
ri
θθ −=
♦ La première loi de réfraction : le plan de réfraction
(
)
Nu
t
, est le même que le plan d’incidence
(
)
Nu
i
, .
♦ La deuxième loi de réfraction : En projetant sur la surface de séparation, on obtient :
ti
nn θθ sinsin
21
= (5-1)
♦
♦♦
♦ La réflexion totale
Si le milieu incident est moins réfringent, c’est à dire
21
nn p , la loi de réfraction (4-1) est
toujours vérifiée. Dans le cas où
21
nn f , cette relation n’est vérifiée que si
li
i p θ où
l
i est
défini par :
1
2
sin n
n
i
l
= (5-2)
au de la de cette limite il n y a pas de réfraction et l’onde est totalement réfléchie

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5.3- Formules de Fresnel
5.2.1 Conditions liées à la source :
Supposons que la source impose à l’onde incidente :
- la pulsation ω ;
- la direction de propagation définie par l’angle i ;
- l’amplitude caractérisée par le module de E
im
- l’état de polarisation
Les milieux de propagation 1 et 2 sont parfaits, homogènes, isotropes et d’indices de
réfraction respectives n
1
et n
2
.
Un état de polarisation quelconque étant la superposition linéaire de deux états de polarisation
rectiligne, examinons les cas où
im
E est parallèle et perpendiculaire au plan d’incidence. En
choisissant l’origine des phases tel que
im
E soit réel, on a :
)(exp rktiEE
i
im
i
−= ω avec
01
knk
i
= (5-3)
5.2.2 Conditions liées à l’interface
La théorie électromagnétique fournit des équations de passage relatives aux composantes du
champ électrique et du champ magnétique d’une onde lumineuse qui passe d’un milieu
diélectrique, transparent, dans un autre. Les composantes tangentielles (parallèles à la surface
de séparation) des deux champs,
E
et
B
doivent être continues, c’est à dire avoir la même
valeur des deux cotés de la surface. Les composantes normales (perpendiculaire à la surface)
du déplacement électrique
D
et de l’induction magnétique
H
sont continues.
- Ecrivons la continuité des composantes tangentielles des champ éléctrique et magnétique :
=−+∧
=−+∧
0)(
0)(
tmrm
im
z
tmrm
im
z
BBBe
EEEe (5-4)
z
e étant le vecteur unitaire normal à la surface de séparation ( ou la normale tout court)
- Ecrivons la continuité des composantes normale du déplacement électrique et de l’induction
magnétique :
Vecteur déplacement électrique : EnED
2
== ε
Vecteur induction magnétique : HB µ = (
0
µµ = le milieu étant non magnétique)
[
]
=−+
=−+
0).(
0)(.
2
2
2
1
tmrm
im
z
tmrm
im
z
BBBe
EnEEne (5-5)

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- Exprimant la relation (II-9) liant le champ électrique et le champ magnétique des ondes
planes :
ω
Ek
B ;
ω
Ek
B ;
ω
Ek
B
tm
t
tm
rm
r
rm
im
i
im
∧
=
∧
=
∧
= (5-6)
Nous avons ainsi 7 équations : (5-4), (5,5) et 5-6) et 5 inconnues :
tmrmimtmrm
BBBEE et ,,, ,
(le champ électrique incident étant connu car imposé par la source). Par conséquent, deux
équations de continuité suffisent pour les déterminer en fonction de
im
E.
5.2.3 Formules de Fresnel )(
l
ii p
Introduisons les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude r et t :
im
rm
E
E
r= et
im
rm
E
E
t= (5-7)
Leurs valeurs complexes permettent de rendre compte d’eventuels déphasage à la réflexion ou
à la réfraction de l’onde incidente.
Figure-5.2
a) Onde incidente polarisée perpendiculairement au plan d’incidence
Í
im
B
im
E
i
k
i
i
Í
y
z
x
r
Í
tm
E
t
k
tm
B
rm
B
Í
r
k
tm
B
tm
E
x
t
k
Í
y
z
i
i
⊗
rm
E
rm
B
r
k
im
E
Í
im
B

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Si la polarisation de l’onde est perpendiculaire au plan d’incidence (
x
im
im eEE
= ), le champ
magnétique est contenu dans ce plan qui est un plan d’ antisymétrie pour le système formé par
la source et les deux milieux (voir cours d’électromagnétisme). Les champs des ondes
réfléchie et transmise respectent cette symétrie (Figure-4.2). Par conséquent :
x
im
tm
x
im
rm eEtEeErE
et ==
0.. ==
x
tm
x
rm eBeB
- Explicitons les équations de continuité (5-4) en adoptant les orientations de la figure 4.2 ::
(1) Selon Ox :
⊥
⊥
=+ ⇒ −+ tEEE
tm
rm
im
r1
(2) Selon Oy :
0cos )cos( =−−
ttmi
rm
im
BBB θθ
les relation le rapport des amplitudes du champ électrique et du champ magnétique de l’onde
plane cette dernière équation donne :
0coscos)1(
21
=−−
⊥
⊥
ti
ntnr θθ
On en déduit :
ti
i
ti
ti
nn
n
t
nn
nn
r
θθ
θ
θθ
θ
θ
coscos
cos2
et
coscos
coscos
21
1
21
21
+
=
+
−
=
⊥
⊥
On obtient ainsi les formules de Fresnel que l’on peut écrire sous d’autre formes en tenant
compte de la loi de réfraction :
)sin(
cossin2
et
)sin(
)sin(
it
it
it
it
tr
θθ
θ
θ
θθ
θ
θ
+
=
+
−
=
⊥
⊥
et
Resultats :
(1)
⊥
t étant réel et positif, l’onde transmise ne subit aucun déphasage.
(2) En revanche,
⊥
r étant réel et négatif lorsque
i
r
p c’est à dire
12
nn f , l’onde réfléchie
subit, dans le cas d’une réflexion sur un milieu plus réfringent, un déphasage de
π
. Notons
que si le milieu 2 est moins réfringent (
12
nn p ), elle reste en phase avec l’onde incidente.
(3) Examinons quelques valeurs particulières de l’angle d’incidence :
• incidence normale ( 0=
i
θ ):