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T STI2D AC 1 Devoir à la maison de mathématiques n°1 Année 2015/2016 À préparer pour le vendredi 11 SEPTEMBRE 2015 Pour toute question sur le DM : [email protected] EXERCICE 1 : 1. On donne l’algorithme ci – dessous. 0 n Tant que 4n2 + 1 ≤ 2000 n + 1 n Fin Tant que Afficher n Fin (a) À quoi sert – il ? (b) Programmer cet algorithme sur la calculatrice ou le logiciel « Algobox ». Quel résultat obtient – on ? 2. Soit (𝑢𝑛 ) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 2𝑛3 + 5. (a) Écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel 𝑛0 tel que : 𝑢𝑛0 > 5 000. Programmer cet algorithme et déterminer la valeur de 𝑛0 . (b) Modifier l’algorithme de la question précédente pour obtenir le plus petit entier naturel 𝑛1 tel que : 𝑢𝑛1 > 10 000. (c) Soit 𝐴 un nombre réel. Écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel 𝑁 tel que : 𝑢𝑁 > 𝐴. (d) Tester l’algorithme avec 𝐴 = 106 , puis avec 𝐴 = 1010 . Quelle conjecture peut – on faire sur la limite de la suite (𝑢𝑛 ) ? EXERCICE 2 : Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est de 1 013 hectopascals. Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m. Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑃𝑛 la pression atmosphérique, exprimée en hectopascals, à l’altitude 100𝑛, exprimée en mètres. On a alors 𝑃0 = 1 013. 1. Calculer les pressions atmosphériques 𝑃1 et 𝑃2 , arrondies à l’hectopascal près, aux altitudes 100 m et 200 m. 2. (a) Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑃𝑛+1 en fonction de 𝑃𝑛 . (b) Quelle est la nature de la suite (𝑃𝑛 ) ? Préciser sa raison et son premier terme. (c) En déduire, pour tout entier naturel 𝑛, une expression de 𝑃𝑛 en fonction de 𝑛. 3. Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l’unité, à l’altitude 3 200 m. T STI2D AC 1 Devoir à la maison de mathématiques n°1 Année 2015/2016 À préparer pour le vendredi 11 SEPTEMBRE 2015 Pour toute question sur le DM : [email protected] EXERCICE 1 : 1. On donne l’algorithme ci – dessous. 0 n Tant que 4n2 + 1 ≤ 2000 n + 1 n Fin Tant que Afficher n Fin (a) À quoi sert – il ? (b) Programmer cet algorithme sur la calculatrice ou le logiciel « Algobox ». Quel résultat obtient – on ? 2. Soit (𝑢𝑛 ) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 2𝑛3 + 5. (a) Écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel 𝑛0 tel que : 𝑢𝑛0 > 5 000. Programmer cet algorithme et déterminer la valeur de 𝑛0 . (b) Modifier l’algorithme de la question précédente pour obtenir le plus petit entier naturel 𝑛1 tel que : 𝑢𝑛1 > 10 000. (c) Soit 𝐴 un nombre réel. Écrire un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel 𝑁 tel que : 𝑢𝑁 > 𝐴. (d) Tester l’algorithme avec 𝐴 = 106 , puis avec 𝐴 = 1010 . Quelle conjecture peut – on faire sur la limite de la suite (𝑢𝑛 ) ? EXERCICE 2 : Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est de 1 013 hectopascals. Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m. Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑃𝑛 la pression atmosphérique, exprimée en hectopascals, à l’altitude 100𝑛, exprimée en mètres. On a alors 𝑃0 = 1 013. 1. Calculer les pressions atmosphériques 𝑃1 et 𝑃2 , arrondies à l’hectopascal près, aux altitudes 100 m et 200 m. 2. (a) Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑃𝑛+1 en fonction de 𝑃𝑛 . (b) Quelle est la nature de la suite (𝑃𝑛 ) ? Préciser sa raison et son premier terme. (c) En déduire, pour tout entier naturel 𝑛, une expression de 𝑃𝑛 en fonction de 𝑛. 3. Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l’unité, à l’altitude 3 200 m.
