ELEMENTS DE COURS

ELEMENTS DE COURS
La première colonne indique les propriétés les plus
importantes
La deuxième colonne indique que la propriété doit être sue à la
fin de ce niveau

MILIEU
*
6
Si un point est le milieu d’un segment alors ce point appartient à ce segment et est
équidistant des extrémités du segment
*
6
Si un point appartient au support d' un segment et est équidistant des extrémités du segment alors ce point est
le milieu du segment
*
Si I est le milieu de [AB] alors
1
AI=IB= AB
2
CERCLE
*
6
Si la distance d’un point au centre d’un cercle est égale au rayon de ce
cercle alors ce point appartient au cercle.
*
6
Si un point appartient à un cercle alors la distance de ce point au centre du cercle est égale au rayon du cercle.
6
Si un segment est un diamètre d'un cercle alors le centre du cercle est le milieu du segment et la longueur du
segment est le double du rayon du cercle.
6
Si une droite est la perpendiculaire en un point d’un cercle à la droite qui passe par ce point et par le centre du
cercle alors cette droite est la tangente au cercle en ce point
6
Si une droite est la tangente à un cercle en un point du cercle alors cette droite est la perpendiculaire en ce
point à la droite qui passe par le centre du cercle et ce point
Ou : étant donnés un cercle
C
de centre O, A un point et (d) une droite.
Si (d) est la tangente en à
C
en A alors
 A appartient à
C
 A appartient à (d)
 (d) est perpendiculaire à (OA)
méthode
*
6
A étant un point du cercle
C
et de la droite (d) pour démontrer que (d) est la tangente en A au cercle
C
de
centre O il suffit de démontrer que (d) est perpendiculaire à (OA)
PERPENDICULAIRES ET PARALLELES
6
Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles.
*
6
Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une d’elles alors elle est
perpendiculaire à l’autre
*
6
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles.
Si deux droites parallèles ont au moins un point commun alors elles sont confondues
TRIANGLE ISOCELE
Propriétés
*
6
Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de même longueur.
*
6
Si un triangle est isocèle alors ses deux angles à la base sont égaux
Pour démontrer qu’un triangle est isocèle
*
6
Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle.
*
6
Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle.
6
Si un triangle a un axe de symétrie alors il est isocèle
Méthodes
**
6
1°) Pour démontrer qu’un triangle est isocèle, il suffit de démontrer qu’il a deux côtés de la même longueur
**
6
2°) Pour démontrer qu’un triangle est isocèle, il suffit de démontrer qu’il a deux angles égaux
*
6
3°) Pour démontrer qu’un triangle est isocèle, il suffit de démontrer qu’il a un axe de symétrie
TRIANGLE EQUILATERAL
Propriétés
*
6
Si un triangle est équilatéral alors ses trois côtés ont la même longueur.
*
5
Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles sont égaux à 60°.
Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral
*
6
Si un triangle a ses trois côtés de même longueur alors il est équilatéral.
*
6
Si un triangle a ses trois angles égaux alors il est équilatéral
*
5
Si un triangle a deux angles de 60° alors il est équilatéral
6
Si un triangle a trois axes de symétrie alors il est équilatéral
méthodes
**
6
1°) Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il suffit de démontrer qu’il a trois côtés de même longueur
**
6
2°) Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il suffit de démontrer qu’il a trois angles égaux
**
5
3°) Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il suffit de démontrer qu’il a deux angles de 60°
*
6
4°) Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, il suffit de démontrer qu’il a deux axes de symétrie

TRIANGLE RECTANGLE
propriétés
*
6
Si un triangle ABC est rectangle alors il a deux côtés perpendiculaires
*
4
Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de
l'hypoténuse
5
Si un triangle est rectangle alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
*
4
Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.
Si
ABC
est rectangle en
A
alors
2 2 2
AB AC BC
*
4
Si dans le triangle ABC
2 2 2
AB AC BC
alors le triangle ABC n’est pas rectangle en A
4
Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est
égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse
*
4
Si un triangle est rectangle alors le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la
longueur du côté adjacent à l'angle par la longueur de l'hypoténuse
*
3
Si un triangle est rectangle alors le sinus d'un angle aigu est égal au quotient de la
longueur du côté opposé à l'angle par la longueur de l'hypoténuse
3
si un triangle est rectangle alors la tangente d'un angle aigu est égal au quotient de la
longueur du côté opposé à l'angle par la longueur du côté adjacent à l'angle
Pour démontrer qu’un triangle est rectangle
*
6
Si un triangle a deux côtés perpendiculaires alors il est rectangle.
5
Si dans un triangle deux angles aigus sont complémentaires alors ce triangle est rectangle.
*
4
Si un triangle est inscrit dans le demi-cercle de diamètre un de ses côtés alors le triangle
est rectangle et ce côté est son hypoténuse
4
Si dans un triangle la médiane relative à un côté a pour longueur la moitié de celle de ce
côté alors le triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse
*
4
Si dans un triangle le carré de la longueur d'un côté est égale à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle
Si dans un triangle
ABC
on a
2 2 2
AB AC BC
alors le triangle est rectangle en A
Méthodes
*
6
1°) pour démontrer qu’un triangle est rectangle il suffit de démontrer qu’il a deux côtés
perpendiculaires
5
2°) pour démontrer qu’un triangle est rectangle il suffit de démontrer qu’il a deux angles
complémentaires
*
4
3°) pour démontrer qu’un triangle est rectangle il suffit de démontrer qu’il est inscrit dans
le demi-cercle de diamètre un de ses côtés
4
4°) pour démontrer qu’un triangle est rectangle il suffit de démontrer que la médiane
relative à un côté a pour longueur la moitié de celle de ce côté
**
4
5°) pour démontrer qu’un triangle est rectangle il suffit de démontrer que le carré de la
longueur d'un côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés

TRIANGLE: PARALLELES ET MILIEUX
4
Si dans un triangle une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle au support d’un
deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu
4
Si dans un triangle une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au
support du troisième côté de ce triangle
4
Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d’un triangle alors sa longueur
est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle
4
Si dans un triangle ABC on a M
[AB)
N
[AC)
(MN) // (BC)
alors
AM AN MN
AB AC BC
*
3
Théorème de Thalès Si (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A
B et M sont deux points de (d) distincts de A
C et N sont deux points de (d’) distincts de A
(BC) et (MN) sont parallèles
alors
AM AN MN
AB AC BC
*
3
Si (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A
B et M sont deux points de (d) distincts de A
C et N sont deux points de (d’) distincts de A
AM AN
AB AC
A , B et M d’une part et A , C et N d’autre part sont alignés dans le même ordre
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles
4
Si dans un triangle ABC on a M
[AB)
N
[AC)
AM AN
AB AC
alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles

MEDIATRICE
propriétés
*
6
Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce
segment en son milieu.
*
6
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des
extrémités de ce segment.
*
6
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la
médiatrice de ce segment.
5
Si un point est le point d’intersection des médiatrices d’un triangle alors ce
point est le centre du cercle circonscrit au triangle.
5
Si un point est le centre du cercle circonscrit à un triangle alors ce point est le
point d’intersection des médiatrices du triangle
*
5
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le
centre du cercle circonscrit au triangle.
Pour démontrer qu’une droite est la médiatrice d’un segment
*
6
Si un droite est perpendiculaire à un segment en son milieu alors cette droite
est la médiatrice de ce segment
5
Si dans un triangle une droite passe par un sommet et par le centre du cercle
circonscrit au triangle alors cette droite est une médiatrice du triangle
Méthodes
**
6
1°) pour démontrer qu’une droite est la médiatrice d’un segment il suffit de
démontrer qu’elle est perpendiculaire au support du segment et qu’elle passe
par le milieu du segment
**
6
2°) pour démontrer qu’une droite est la médiatrice d’un segment il suffit de
démontrer qu'elle passe par deux points distincts équidistants des extrémités
du segment
HAUTEUR
Propriétés
*
6
Si une droite passant par un sommet d’un triangle est une hauteur du triangle
alors elle est perpendiculaire au support du côté opposé à ce sommet
*
6
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé
l’orthocentre du triangle
Pour démontrer qu'une droite est une hauteur d’un triangle
*
4
Si une droite passe par un sommet d’un triangle et est perpendiculaire au côté
opposé à ce sommet alors c’est une hauteur du triangle.
4
Si dans un triangle une droite passe par un sommet et par l’orthocentre du
triangle alors cette droite est une hauteur du triangle