D M 5 O pt. DM5 • Miroirs sphériques et lentilles minces

DM5 • Miroirs sphériques et lentilles minces
I
Télescope à deux miroirs sphériques
Soient deux miroirs concaves (M1 ) (de sommet S1 , de centre C1 ) et (M2 ) (de sommet S2 , de
centre C2 ) de même axe optique.
xxxx
xxxx
On cherche à obtenir la formation de l’image d’une
xxxx
xx
xx
xx
étoile par ce système de deux miroirs dans le plan
xxx
xx
xxx
xx
de front passant par S1 .
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
On note R1 le rayon algébrique du miroir (M1 ).
xx
xx
xxx
xxx
(D)
xx
xx
L’étoile est vue sous le diamètre angulaire ǫ.
x
x
xx
xx 2
xx
xx
xxx
xxxx
xxxx
x
S1 xxx
S
xx
x
xx
1) On souhaite que l’image finale A2 B2 soit trois fois
xx
xx
xxx
plus grande que l’image intermédiaire A1 B1 (Quel
xx
xx
doit alors être le signe du grandissement transversal
xxx
xx
xxx
x
xxx
Gt2 du miroir (M2 ) pour l’objet A1 B1 ?)
xxx
→ Déterminer la position (S2 S1 ) et le rayon algébrique (R2 ) du miroir (M2 ) en fonction de R1
pour avoir une telle image finale.
2) Représenter sur la feuille de papier millimétrée fournie les rayons lumineux issus de l’étoiles
et leur chemin dans le télescope donnant l’image A2 B2 si R1 = S1 C1 = −16 cm.
II
Télescope équivalent à une lentille mince
xxx
xxx
xxx
1xxx
2
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xxx
xxx
xxx
xxx
xxx (∆)
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
S
1) On note d = S2 S1 .
Déterminer d pour que tout rayon incident parallèle
à l’axe optique et réfléchi par les deux miroirs passe
par S1 . Vérifier le calcul par un graphique à l’échelle
de 2 cm (ou 2 carreaux) pour 1 m.
Dans la suite, on conserve cette valeur de d.
S
2) Déterminer la position des foyer objet et image (F et F ′ ) de ce système.
3) Vérifier que ce système optique est équivalent à une lentille mince dont on donnera les
caractéristiques (distance focale, position du centre).
III
Microscope et profondeur de champ
Un microscope peut être modélisé par deux lentilles minces convergentes (L1 ) et (L2 ) alignées
sur le même axe optique.
(L1 ) modélise l’objectif et possède une distance focale image f1′ = 5, 00 mm.
(L2 ) modélise l’oculaire et possède une distance focale image f2′ = 40, 00 mm.
DM5 • Opt.
On réalise un système optique constitué par l’association de deux miroirs sphériques (M1 )
(concave, de sommet S1 centre C1 ) et (M2 ) (convexe, sommet S2 , centre C2 ) de même axe
optique principal, disposés comme ci-contre.
Le miroir est percé en son sommet S1 d’un petit trou
permettant à la lumière de passer mais ne modifiant
xxx
pas ses propriétés.
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(M1)
(M2)
xxx
xxx
xxx
xxx
Les distances focales f1 et f2 des deux miroirs (M1 )
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xxx
xxx
xxx
xxx
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et (M2 ) sont telles que f1 = −3 m et f2 = −2 m.
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xxx
xxx
Optique géométrique — Miroirs sphériques, lentilles, télescopes
2012-2013
La distance ∆ (appelée « intervalle optique ») entre le foyer image F1′ de (L1 ), et le foyer objet
F2 de (L2 ) vaut ∆ = 145, 000 mm.
On rappelle que la distance minimale de vision distincte d’un œil normal vaut dm = 25 cm.
C’est la plus petite distance entre l’œil et un objet pour laquelle on peut voir l’objet net (limite
d’accommodation).
D’autre part, un œil normal voit net sans accommoder si l’objet est à l’infini.
On observe au microscope un petit objet AB, A étant placé sur l’axe optique et AB perpendiculaire à l’axe optique. L’œil est placé sur l’axe optique après l’oculaire.
On s’intéresse dans cet exercice à la position l’objet par rapport à l’objectif.
1) On note (O1 A)PR la position de A par rapport à O1 pour que l’œil observe AB à travers le
microscope sans accommoder.
Donner l’expression littérale (en fonction de f1′ et ∆) et faire l’application numérique.
2) On considère deux rayons lumineux parallèles émergeant du microscope par (L2 ).
Dessiner leur trajet à travers le microscope et trouver ainsi graphiquement la position de AB.
• On prendra soin de faire apparaître sur la figure les points particuliers des deux lentilles ainsi
que l’image intermédiaire A1 B1 de l’objet AB par la lentille (L1 ).
• Pour le dessin, prendre f1′ = 2, 0 cm, f2′ = 4, 0 cm et ∆ = 6, 0 cm et des rayons émergents peu
inclinés par rapport à l’axe optique.
♦ Définition : Le profondeur de champ ou latitude de mise au point désigne la
distance qui sépare les positions extrêmes de l’objet telles que l’image se trouve dans
la zone de vision distincte de l’œil – c’est-à-dire entre le punctum proximum (PP) et
le punctum remotum (PR) de l’œil.
DM5 • Opt.
3) On suppose pour cette question qu’un œil normal est placé en F2′ .
Calculer la profondeur de champ l de ce microscope. Commenter.
2
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Corrigé
I
Télescope à deux miroirs sphériques
1) Pour que le miroir concave (M2 ) fasse de A1 B1 une image réelle agrandie, il faut que A1 soit
A2 B2
= −3 < 0.
entre le foyer F2 et le centre C2 . Alors Gt2 =
A1 B1
L’axe du télescope étant dirigé vers une étoile, donc vers un objet à l’infini on a à vérifier les
deux relations suivantes :
1
1
2
2
M1
M2
• D∞ −−→
F1 = D1 −−→
D2 = S1
soit :
(1)
+
=
=
R2
S2 S1 S2 F1
S2 C2
• Gt2 =
A2 B2
= −3
A1 B1
soit : Gt2 = −
S2 S1
(2).
S2 F1
On déduit de (2) → S2 S1 = 3 S2 F1 = 3 (S2 S1 +S1 F1 ), ce qui conduit à :
3
S2 S1 = − R1
4
>0
(car R1 = S1 C1 < 0).
Alors, de (1), on déduit :
3
R2 = − R1
8
> 0.
2)
Image finale A2B2
M1
Image intermédiaire A1B1
dans le plan focal de M1
B2
B
A1
M2
C1
F2
S2
C2
S1
F1
D
DM5 • Opt.
B1
A
A2
II
Télescope équivalent à une lentille mince
1) Schéma de fonctionnement :
(M2 )
(M1 )
A∞ −−−−−−→ F1 −−−−−−→ S1 = F ′
La relation de conjugaison avec origine au sommet pour le miroir (M2 ) s’écrit :
1
1
1
+
= ′
f2
S2 S1 S2 F1
⇔
1
1
1
= ′
+
′
d d + f1
f2
⇔ d2 + (f1′ − 2f2′ ).d − f1′ .f2′ = 0
Rq : on pouvait utiliser la relation de conjugaison avec origine au(x) foyer(s) :
F2 S1 .F2 F1 = −f2′
2
⇔ (F2 S2 + S2 S1 ).(F2 S2 + S2 S1 + S1 F1 ) = −f2′
Soit :
(−f2′ + d).(−f2′ + d+′1 ) = −f2′
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2
2
⇔ d2 + (f1′ − 2f2′ ).d − f1′ .f2′ = 0
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3
Optique géométrique — Miroirs sphériques, lentilles, télescopes
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Soit, puisque f1′ = −3 m et f2′ = −2m, d = S2 S1 est solution de : d2 + d − 6 = 0
Le discriminant du polynôme est : ∆ = 25 ; le polynôme admet une seule racine positive (et donc
√
−1 + ∆
=2m
physiquement acceptable) : d =
2
A
(π2)
(M2)
C1
F2
F1
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
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xxx
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xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
S2
C2
xxx
xxx
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xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
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xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
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xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
(M1)
S1
F' (∆)
2) Le foyer image a été défini à la question précédente (F = S1 ). Quant au foyer objet :
(M2 )
(M1 )
F −−−−−−→ F2 −−−−−−→ A′∞
xxx
(M1) xxx
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2
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xxxxxxxxxxxxxxxxxx
1
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xxxxxxxxxxxxxxxxxx
1
1
2
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xxxxxxxxxxxxxxxxxx
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xxx
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xxx
xxx
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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x
xxx
∆
2
xxx
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xxx
2
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x
xxx
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1
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xx
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(π)
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xxxxxxxxxxxxxxxxxx
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xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
relation de conjugaison avec origine au sommet pour le miroir (M1 ) s’écrit :
DM5 • Opt.
(M )
C
C
O
A=F
S
F
F
( )
S
B
La
1
1
1
+
= ′
f1
S1 F2 S1 F
Soit : S1 F =
⇔
1
1
1
+
= ′
f1
S1 S2 + S2 F2 S1 F
B'
⇔
1
1
1
= ′ −
f1 −d + f2′
S1 F
f1′ .(d − f2′ )
= −12 m
d − f2′ + f1′
3) Sur le graphe précédent, on vérifie qu’un objet O placé en C1 = C2 est sa propre image par
le système {M1 ; M2 }. Il s’agit donc du centre optique du système :
(M1 )
(M2 )
O = C1 −−−−−−→ C1 = C2 −−−−−−→ C2 = O
On vérifie que O est au milieu de [F, F ′ ]
Cl : Le système est équivalent à une lentille sphérique de centre optique O = C1 = C2 , de foyers
F et F ′ , et de focale f ′ = OF ′ = C1 S1 = 6 m
4
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2012-2013
III
Microscope et profondeur de champ
1) Schéma de fonctionnement :
(L2 )
(L1 )
′
AB −−−−−→ A1 B1 = F2 B1 −−−−−→ A′∞ B∞
L’image A′ B ′ est à l’infini (virtuelle) pour une observation à l’infini (sans accommodation donc).
On en déduit que l’objet intermédiaire A1 B1 est dans le plan focal objet de la lentille oculaire
(L2 ). Soit A1 F2 .
Par conséquent, la lentille objectif (L2 ) conjugue les points A et F2 .
On applique la relation de Newton, en introduisant ∆ = F1′ F2 :
F1′ F2 .F1 A = −f1′
2
⇒ F1 A = −
f1′ 2
∆
Comme F1 A = F1 O1 + O1 A, on en déduit, puisque la position de AB correspond à une image
′ observée au punctum remotum d’un œil « normal » :
finale A′∞ B∞
f′
(O1 A)PR = −f1′ . 1 + 1 = −5, 17 mm
∆
2)
x
x
x
x
(L1) xxx
(L2)xxx
x
x
x
x
(π2)
(πx1)
x
x
x
x
x
x
x
x
∆
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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xx
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x
1
1
2
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x 1
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x
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x
x
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x
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
2
1
∆
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
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x
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x
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xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxx
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x
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1
x
xxxxxxxxxxxxxxxx
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xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
'
B
O
F'
A =F
A F
O
( )
B'
B
3) Schéma de fonctionnement :
(L2 )
(avec A′ au punctum proximum de l’œil)
• La relation de Newton appliquée à la lentille (L2 ), pour un œil placé au foyer image F2′ :
F2′ A′ .F2 A1 = −f2′
2
⇒ F2 A1 = −
f2′ 2
F2′ A′
=
f2′ 2
dm
La relation de Newton appliquée à la lentille (L1 ) : F1′ A1 .F1 A = −f1′ 2
f′2
Comme : F1′ A1 = F1′ F2 + F2 A1 = ∆ + 2
dm
f1′ 2
la relation de Newton devient : F1 A = −
f′2
∆+ 2
dm
• Comme F1 A = F1 O1 + O1 A, on en déduit, puisque la position de AB correspond à une image
finale A′ B ′ observée au punctum proximum d’un œil « normal » :
!
′ .d
f
m
1
= −5, 16 mm
(O1 A)PP = −f1′ . 1 +
∆.dm + f2′ 2
• D’où la latitude de mise au point : l = (O1 A)PP − (O1 A)PP = 7, 4.10−3 mm = 7, 7 µm
Commentaire : la mise au point nécessite l’utilisation une vis micrométrique.
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5
DM5 • Opt.
(L1 )
A −−−−−→ A1 −−−−−→ A′