D M 5 O pt. DM5 • Miroirs sphériques et lentilles minces

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DM5 •Miroirs sph´eriques et lentilles minces
I T´elescope `a deux miroirs sph´eriques
Soient deux miroirs concaves (M1) (de sommet S1, de centre C1) et (M2) (de sommet S2, de
centre C2) de mˆeme axe optique.
On cherche `a obtenir la formation de l’image d’une
´etoile par ce syst`eme de deux miroirs dans le plan
de front passant par S1.
On note R1le rayon alg´ebrique du miroir (M1).
L’´etoile est vue sous le diam`etre angulaire ǫ.
1) On souhaite que l’image finale A2B2soit trois fois
plus grande que l’image interm´ediaire A1B1(Quel
doit alors ˆetre le signe du grandissement transversal
Gt2du miroir (M2)pour l’objet A1B1?)
S2S1
(D)
→D´eterminer la position (S2S1) et le rayon alg´ebrique (R2) du miroir (M2) en fonction de R1
pour avoir une telle image finale.
2) Repr´esenter sur la feuille de papier millim´etr´ee fournie les rayons lumineux issus de l’´etoiles
et leur chemin dans le t´elescope donnant l’image A2B2si R1=S1C1=−16 cm.
II T´elescope ´equivalent `a une lentille mince
On r´ealise un syst`eme optique constitu´e par l’association de deux miroirs sph´eriques (M1)
(concave, de sommet S1centre C1) et (M2) (convexe, sommet S2, centre C2) de mˆeme axe
optique principal, dispos´es comme ci-contre.
Le miroir est perc´e en son sommet S1d’un petit trou
permettant `a la lumi`ere de passer mais ne modifiant
pas ses propri´et´es.
Les distances focales f1et f2des deux miroirs (M1)
et (M2) sont telles que f1=−3met f2=−2m.
1) On note d=S2S1.
D´eterminer dpour que tout rayon incident parall`ele
`a l’axe optique et r´efl´echi par les deux miroirs passe
par S1. V´erifier le calcul par un graphique `a l’´echelle
de 2 cm (ou 2 carreaux) pour 1 m.
Dans la suite, on conserve cette valeur de d.
(M1)
S1
(∆)
S2
(M2)
2) D´eterminer la position des foyer objet et image (Fet F′) de ce syst`eme.
3) V´erifier que ce syst`eme optique est ´equivalent `a une lentille mince dont on donnera les
caract´eristiques (distance focale, position du centre).
III Microscope et profondeur de champ
Un microscope peut ˆetre mod´elis´e par deux lentilles minces convergentes (L1) et (L2) align´ees
sur le mˆeme axe optique.
(L1) mod´elise l’objectif et poss`ede une distance focale image f′
1= 5,00 mm.
(L2) mod´elise l’oculaire et poss`ede une distance focale image f′
2= 40,00 mm.

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Optique g´eom´etrique — Miroirs sph´eriques, lentilles, t´elescopes 2012-2013
La distance ∆ (appel´ee « intervalle optique ») entre le foyer image F′
1de (L1), et le foyer objet
F2de (L2)vaut ∆ = 145,000 mm.
On rappelle que la distance minimale de vision distincte d’un œil normal vaut dm= 25 cm.
C’est la plus petite distance entre l’œil et un objet pour laquelle on peut voir l’objet net (limite
d’accommodation).
D’autre part, un œil normal voit net sans accommoder si l’objet est à l’infini.
On observe au microscope un petit objet AB,Aétant placé sur l’axe optique et AB perpendi-
culaire à l’axe optique. L’œil est placé sur l’axe optique après l’oculaire.
On s’intéresse dans cet exercice à la position l’objet par rapport à l’objectif.
1) On note (O1A)PR la position de Apar rapport à O1pour que l’œil observe AB à travers le
microscope sans accommoder.
Donner l’expression littérale (en fonction de f′
1et ∆) et faire l’application numérique.
2) On considère deux rayons lumineux parallèles émergeant du microscope par (L2).
Dessiner leur trajet à travers le microscope et trouver ainsi graphiquement la position de AB.
• On prendra soin de faire apparaître sur la figure les points particuliers des deux lentilles ainsi
que l’image intermédiaire A1B1de l’objet AB par la lentille (L1).
• Pour le dessin, prendre f′
1= 2,0cm,f′
2= 4,0cm et ∆ = 6,0cm et des rayons émergents peu
inclinés par rapport à l’axe optique.
♦D´efinition : Le profondeur de champ ou latitude de mise au point d´esigne la
distance qui s´epare les positions extrˆemes de l’objet telles que l’image se trouve dans
la zone de vision distincte de l’œil – c’est-`a-dire entre le punctum proximum (PP) et
le punctum remotum (PR) de l’œil.
3) On suppose pour cette question qu’un œil normal est placé en F′
2.
Calculer la profondeur de champ lde ce microscope. Commenter.
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Optique g´eom´etrique — Miroirs sph´eriques, lentilles, t´elescopes
Corrig´e
I T´elescope `a deux miroirs sph´eriques
1) Pour que le miroir concave (M2)fasse de A1B1une image réelle agrandie, il faut que A1soit
entre le foyer F2et le centre C2. Alors Gt2=A2B2
A1B1
=−3<0.
L’axe du télescope étant dirigé vers une étoile, donc vers un objet à l’infini on a à vérifier les
deux relations suivantes :
•D∞
M1
−−→ F1=D1
M2
−−→ D2=S1soit : 1
S2S1
+1
S2F1
=2
S2C2
=2
R2
(1)
•Gt2=A2B2
A1B1
=−3soit : Gt2=−S2S1
S2F1
(2).
On déduit de (2) →S2S1= 3 S2F1= 3 (S2S1+S1F1), ce qui conduit à : S2S1=−3
4R1>0
(car R1=S1C1<0).
Alors, de (1), on déduit : R2=−3
8R1>0.
2)
S1
B
F2C2
C1
B2
B1
A2
A1
M1
S2
M2
A
F1
Image intermédiaire A1B1
dans le plan focal de M1
Image finale A2B2
D
II T´elescope ´equivalent `a une lentille mince
1) Schéma de fonctionnement :
A∞
(M1)
−−−−−−→ F1
(M2)
−−−−−−→ S1=F′
La relation de conjugaison avec origine au sommet pour le miroir (M2)s’écrit :
1
S2S1
+1
S2F1
=1
f′
2⇔1
d+1 d+f′
1
=1
f′
2⇔d2+ (f′
1−2f′ 2).d −f′ 1.f′ 2= 0
Rq : on pouvait utiliser la relation de conjugaison avec origine au(x) foyer(s) :
F2S1.F2F1=−f′
2
2⇔(F2S2+S2S1).(F2S2+S2S1+S1F1) = −f′
2
2
Soit :
(−f′
2+d).(−f′ 2+d+′ 1) = −f′ 2
2⇔d2+ (f′
1−2f′ 2).d −f′ 1.f′ 2= 0
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Optique g´eom´etrique — Miroirs sph´eriques, lentilles, t´elescopes 2012-2013
Soit, puisque f′
1=−3met f′ 2=−2m,d=S2S1est solution de : d2+d−6 = 0
Le discriminant du polynôme est : ∆ = 25 ; le polynôme admet une seule racine positive (et donc
physiquement acceptable) : d=−1 + √∆
2= 2 m
(M1)
(M2)
F2F1
S2
S1
C2
C1
F' (∆)
(π2)
A
2) Le foyer image a été défini à la question précédente (F=S1). Quant au foyer objet :
F(M1) −−−−−−→ F2
(M2)
−−−−−−→ A′
∞
(M1)
(M2)
(∆)
F2F1
B1
S2
S1
C2
C1
A=F
B'
(π)
O
La relation de conjugaison avec origine au sommet pour le miroir (M1)s’écrit :
1
S1F2
+1
S1F=1
f′
1⇔1
S1S2+S2F2
+1
S1F=1
f′
1⇔1
S1F=1
f′
1−1
−d+f′
2
Soit : S1F=f′
1.(d−f′
2)
d−f′
2+f′ 1
=−12m
3) Sur le graphe précédent, on vérifie qu’un objet Oplacé en C1=C2est sa propre image par
le système {M1;M2}. Il s’agit donc du centre optique du système :
O=C1
(M1)
−−−−−−→ C1=C2
(M2)
−−−−−−→ C2=O
On vérifie que Oest au milieu de [F, F ′]
Cl : Le système est équivalent à une lentille sphérique de centre optique O=C1=C2, de foyers
Fet F′, et de focale f′=OF ′=C1S1= 6 m
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Optique g´eom´etrique — Miroirs sph´eriques, lentilles, t´elescopes
III Microscope et profondeur de champ
1) Schéma de fonctionnement :
AB (L1) −−−−−→ A1B1=F2B1
(L2)
−−−−−→ A′
∞B′ ∞
L’image A′B′est à l’infini (virtuelle) pour une observation à l’infini (sans accommodation donc).
On en déduit que l’objet intermédiaire A1B1est dans le plan focal objet de la lentille oculaire
(L2). Soit A1F2.
Par conséquent, la lentille objectif (L2)conjugue les points Aet F2.
On applique la relation de Newton, en introduisant ∆ = F′
1F2:
F′
1F2.F1A=−f′
1
2⇒F1A=−f′
1
2
∆
Comme F1A=F1O1+O1A, on en déduit, puisque la position de AB correspond à une image
finale A′
∞B′ ∞observée au punctum remotum d’un œil « normal » :
(O1A)PR =−f′
1.1 + f′
1
∆=−5,17 mm
2)
(L1)(L2)
(∆)
A1=F2
F1
B1
O1
A
B'
(π2)
F1
'
O2
B
∆
(π1)
'
3) Schéma de fonctionnement :
A(L1) −−−−−→ A1
(L2)
−−−−−→ A′(avec A′au punctum proximum de l’œil)
• La relation de Newton appliquée à la lentille (L2), pour un œil placé au foyer image F′
2:
F′
2A′.F2A1=−f′
2
2⇒F2A1=−f′
2
2
F′
2A′=f′
2
2
dm
La relation de Newton appliquée à la lentille (L1):F′
1A1.F1A=−f′
1
2
Comme : F′
1A1=F′ 1F2+F2A1= ∆ + f′
2
2
dm
la relation de Newton devient : F1A=−f′
1
2
∆ + f′
2
2
dm
• Comme F1A=F1O1+O1A, on en déduit, puisque la position de AB correspond à une image
finale A′B′observée au punctum proximum d’un œil « normal » :
(O1A)PP =−f′
1. 1 + f′
1.dm
∆.dm+f′
2
2!=−5,16 mm
• D’où la latitude de mise au point : l= (O1A)PP −(O1A)PP = 7,4.10−3mm = 7,7µm
Commentaire : la mise au point nécessite l’utilisation une vis micrométrique.
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