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UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
"C< "C< "c<,;I- "C<"C<
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
"c< "c< ,;I-"c< "c<,;I-
THESE D"ETAT
PRÉSEliTÉE PAR:
Mamado(l SANGHfiRE
Pour obtenir le grade de Docteur és-Scïences Mathématiques
50UTEliUE LE 17 DÉCEMBRE 1993 DEVAKT LA COMMI5510K D' EXRMEIi :
MM.
Souleymane NlANG
Professeur A l'UCAD
Akry KOULIBALy
Professeur' l'Université de Ouagadougou
ArttbanO MICALI
Professeur A l'Université de Montpellier fi
Doouda SANGARE
Professeur à. l'Université d'Abidjan
Chérif HADJI
Professeur A l'U.C.A.D.
Hamet SEYDJ
Professeur A l'U.C.AD.
Gérard LEVY
Professeur A l'U.CAO.
Richard EMILION
Professeur A J'U.C.AD.
Président
Examinateurs
TABLE DES MATIERES
Pages
INTRODUCTION
.
CHAPITRE 1 : Préliminaires
.
3
.
14
CHAPIIRE Ill : Une caractérisation des anneaux commutatifs artiniens
à idéaux principaux
CHAPITRE III : Sur quelques classes d'anneaux liés
au lemme de Fitting
".
28
CHAPITRE IV : Sur les Scanneaux dont les idéaux à gauche
et les idéaux à droite sont bilatères.................................................................
39
CHAPITRE V : On S-duo-rings
51
CHAPITRE VI : Algèbres dont les modules vérifiant la propriété de Fiuing
sont de longueur finie..........................................
..
60
CHAPITRE VII: Sur les I-algèbres de groupes nilpotents
71
CHAPITRE VIII: Sous-anneaux des l-anneaux et des S-anneaux
CHAPITRE IX : Sur 1'aniniété des Il- anneaux
.
83
CHAPITRE X: I-anneaux er Scunneaux
PROBLEMES OUVERTS
..
91
.
107
[
REMERCIEMENTS
Je tiens à remercier sincèrement Monsieur le Professeur Souleymane NIANG pour
l'intérêt qu'il a porté à mon travail et pour l'honneur qu'il me fait en acceptant de
présider mon jury de thèse.
Je liens à exprimer ma profonde gratitude à Monsieur le professeur Hamel SEYDI
qui a accepté de diriger mes travaux ct dont les conseils el les encouragements m'ont
conduit dans une voie favorable à mon épanouissement.
Je suis très reconnaissant à Monsieur le Professeur Chérif BADJI pour J'aide qu'Il
m'a apportée, pour l'intérêt qu'il a porté à mon travail et pour l'honneur qu'il me fait en
faisant partie du jury de thèse.
Je suis très reconnaissant à Monsieur le Professeur Arbibann MICALI pour
l'intérêt qu'il a toujours parlé à mes activités de recherche. Il m'a toujours encouragé ct
aidé plusieurs fois à exposer mes travaux à des congrès internationaux dc mathématiques.
Qu'il soit remercié pour l'honneur qu'il mc fait d'être rapporteur el examinateur dans ce
Jury.
Je désire remercier très sincèrement Messieurs les Professeurs Akry KOULIBALY
el Daouda SANGARE pour être rapporteurs el examinateurs dans ce
jury
de thèse.
Mes remerciements vont à Monsieur le Professeur Gérard LEVY el à Monsieur
le Professeur Richard EtvITLIüN pour J'honneur qu'ils mc lont en acceptant de raire
partie du jury de thèse.
Mes remerciements vont également aux Professeurs A. TOC"iNOU ct A.
CARANTI qui m'ont bien accueilli dans l'équipe d' Algèbre el de Logique dl' lUnivcr sité
de Trente pendant une longue période el m'ont permis à plusieurs reprises d'exposer mes
Il
travaux au Séminaire de cette équipe el facilité le déplacement pour participer à des
colloques internationaux de Mathématiques organisés en Italie et ailleurs,
C'et un grand plaisir pour moi que de pouvoir exprimer ma reconnaissance à
Monsieur le Professeur A. M. KAIDI qui m'a Initié à la recherche, et m'a toujours
témoigné son affection.
Je remercie sincèrement tous les collègues du Département de Mathématiques.
J'ai plaisir à remercier Mesdames MBA YEet NDIA YB secrétaires au Département
de Mathématiques et Monsieur Omar GUEYE pour la diligence et le soin avec lesquels
ils ont assuré la réalisation matérielle de ce travail,
Ces remerciements seraient incomplets si je ne mentionnais pas l'aide morale de
ma femme et la patience de nos enfants. IL n'est que justice de leur dédier ce travail.
LISTE DES PUBLICATIONS
[ 1]
Une caractérisation des anneaux artiniens à idéaux principaux (en
collaboration avec A. M. KAIDI). Lee. Notes in Math. Sprmger- Verlag
(1988) p. 245-254.
[2 ]
Sur les S-anneaux dont les idéaux à gauche et les idéaux à droite sont
bilatères (en collaboration avec A. M. KAIDI), Cahiers Math. Montpellier
n" 39 (1992) p. 214-224.
[3]
Sur quelques classes d'anneaux liés au lemme de Fiülng, Rend. sem. Mat.
Univ. Padova 87 (1992) p. 29·37.
[4
1
[5]
On S-duo-rings. Comm. in A1gebra 20(8) (1992) 2183 - 2189.
Characterizations of Aigebras whose Modules with Finings properly arc
of finite length, Exl. Math. 7(2) (1992).
[6
1
Sur l'artiniété des II-aneaux, Afrika Matcmatika, Serie 3 Vol. 2 (1993) p.
33-37 (à paraître).
17 l
Algèbres de groupes nilpotents sur lesquelles tout module véfifiant le
lemme de Fiuing est de longueur finie. Afrika Matematika. Serie 3 Vol.
(1993) p. 29-32 Cà paraître).
[8 J
Subrings of I-rings and S-rings (soumis à publication).
[ 91
On !cft I-rings and leû S-rings (soumis à publication).
-i
INTRODUCTION
Cette
Thèse
essentiellement
est
l'étude
à
un
ensemble
de
des
I-anneaux,
travaux
des
consacrés
S-anneaux
et
des
F-anneaux.
Soit
A
un
anneau
associatif
non
(nécessairement)
commutatif possédant un élément unité l ± O. On dit qu'un A-module
à
gauche
M
vérifie
la
propriété
(I)
{resp.
(S»)
si
tout
endomorphisme injectif (resp. surjectif) de M est un automorphisme
de
M,
on
dit
que
M
vérif ie
la
propriété
(F)
si
pour
tout
endomorphisme f de M il existe un entier 'fi 2: l
tel que
n.
n
M = Imf e Kerf
On dit que l'anneau A est un I-anneau
(resp.
S-anneau,
gauche
resp.
F-anneau)
( r j Lr esp .
vérifiant
gauche
à
(S),
resp.
si
tout
(F»
A-module
est
à
ar-t.Ln i en
(resp.
noethérien, resp. de longueur finie).
Les notions de I-anneau et de
pour
la première
I-anneaux
fois
dans
commutatifs
et
le
les
S-anneau ont été introduites
papier
[1]
Sr-e nnee ux
paru
en
1988
commutatifs
où
les
ont
été
systématiquement étudiés et caractérisés. On pouvait déjà constater
à partir des résultats établis dans
classes
d'anneaux
représentation
travers
et
leurs
finie
l'exemple
et
qui
liens
les
y
[1],
avec
anneaux
été
l'importance de ces deux
de
donné,
comprendre la structure générale des
les
anneaux
Koethe,
toutes
de
mais
les
type
de
aussi,
difficultés
à
de
I-anneaux non commutatifs et
des S-anneaux non commutatifs. On rappelle qu'un anneau A
de type de représentation finie s'il est artinien
à
est dit
gauche et à
droite et possède un nombre fini de modules indécomposables de type
fini.
On dit
A-module
à
qu'un
gauche est
équivalemment si
A
nous
I
somme
est
directe
un
de
anneau
de
modules
Koethe
de
type
si
tout
fini
ou
constitue le Chapitre II de cette Thèse.
rassemble
utiliseront
A
est de dimension globale pure à gauche finie.
L'article (1]
Le Chapitre
anneau
dans
des
résultats
classiques
les
Chapitres
suivants.
et
récents
Ces
que
résultats
comprennent entre autres des résultats préliminaires que nous avons
l
établis sur les I-anneaux, les S-anneaux et les F-anneaux.
Le Chapitre III
F-anneaux dans
étudie les I-anneaux,
les S-anneaux et les
les cas des anneaux commutatifs et des anneaux de
groupes.
Les Chapitres
IV
et
V
traitent des S-anneaux dont les
idéaux à gauche et les idéaux à droite sont bilatères. On y établit
différentes caractérisations de ces anneaux.
Le
Chapitre
I-algèbres,
contient
S-algèbr~s
des
algébriquement
VI
c Lôs ,
on
y
et
diverses
des
donne
caractérisations
F-algèbres
aussi
des
sur
un
des
corps
caractérisations
K
des
algèbres de groupes sur un corps algébriquement clôs qui sont des
I-anneaux (resp. S-anneaux, resp. F-anneaux).
Le
Chapitre
caractérisation
VII
est
consacré
I-algèbres
des
l'étude
à
et
nilpotents
de
groupes
des
conditions
à
la
et
des
suffisantes
pour
S-algèbres de groupes nilpotents.
Le
Chapitre
VI r r
donne
qu'un sous-anneau d'un I-anneau
r
r
e s p
.
S ' < a n n e
a u
soit un I-anneau
)
(resp. S-anneau).
Le Chapitre IX
étudie l' artiniété des
anneaux dont les modules vérifiant (1)
Dans le Chapitre X
gauche
et
propriétés
des
de
anneaux locaux
S-anneaux
ces
A
anneaux
Il a n n e au x (i. e les
-r
sont de longueur finie).
on étudie le cas général des I-anneaux à
à
gauche.
et
On
étudie
y
y
le
démontre
cas
plusieurs
particulier
A::; B + J somme B-modules)
de la forme
est le radical de Jacobson de A
et B
des
où
J
un sous-anneau local de At
dont l'idéal maximal est principal.
(Il
A.M.
KAIDI
et
M. SANGHARE. Une caractérisation des anneaux
artiniens à idéaux principaux.
Lee. Notes in Math. 1328 Springer-verlag (1988) 245 - 254.
2
CHAPITRE
Préliminaires
mention
Sauf
sont
considérés
expresse
supposés
du
associatifs
commutatifs 1 et unitaires ct' élément uni té
supposés
être
des
tous
contraire,
modules
a
non
l:f' 0
gauche
les
anneaux
nécessairement
; les modules sont
uni taires
et
les
homomorphismes d'anneaux sont supposés transformer l'élément unité
en l'élément unité.
§l - NOTIONS DE l-ANNEAUX,
~.
Définition
Soit
propriété
DE S-ANNEAUX ET DE F-ANNEAUX.
un
A
(resp.
(I)
surjectif)
anneau
de
vérifie la propriété
existe un entier
n
si
(S»
est
M
On
un
(F)
~
l
dit qu'un
tout
A-module
endomorphisme
automorphisme
de
M
injectif
on
M,
si pour tout endomorphisme
tel que M
~
Imf
n
0
Kerf
n
vérifie la
dit
f
(resp.
que
M
M, i l
de
.
Les résultats de la proposition suivaIlte sont bien connus
Proposition
: Soit
~l.
A
un anneau.
a)
Tout
A-module artinien vérifie (1)
b)
Tout
A-module noethérien vérifie (S)
c)
Tout
A-module de longueur finie vérifie (F).
Démonstration
a)
Soit
M
un A-module artinien, et f un endomorphisme injectif
de M. La suite
il existe n
existe x
E
Soit
surjectif de
croissante,
2.
f2(MJ
2.
•••
fn(M)
2.
2.
étant décroissante,
_.
tel que l'on ait fn(M) = fLn(M). Soit y
2n(x).
M tel que fn(y) = f
Il ell résulte que
fn(y - fn(x»
b)
M
[N*
E
=
M
0, d'où y = fn(x)
E
A-module noethérien, e t.
2
ç
M. La suite
Kerf ç Kerf
n
E
IN';-
tel que
.1
M, il
rmf.
un
il existe
E
f
un endomorphisme
s Kerfnç
étant
n
2n.
Kerf
= Kel-f
Soit x E M
tel que f(x) = O. Comme
= x,
fn(y)
fn est surjectif, il existe y E M tel que
2o(y):::
f
fnCx)
o. Or Kerf 2 n
Kerf n, donc
=
on a alors
=
n
xof(y)~O.
c )
Soit
une
M
endomorphisme de
A-module
de
longueur
finie,
et
un
f
Les deux suites
M_
et
Kerf
Kerf 2
s:;:
s;:
s:;:
Kerf
n
ç
• tel que Kerf n = Kerf 2 n et
étant stationnaires, il existe n E ~
2 n.
Imf n = Imf
Soit
x E M, il existe
y E M
tel que
2
n(y)
n
n
f
::: fn(x), il en résulte que f ( x - f ( y ) ) ::: 0, d'où
n
n
x E Kerf + Imf .
n
n
fn{z) ::: 0, et i l existe
Z E Imf
~ Kerf
. On a alors
t E M
Soit
n
z = f
tel que
n
zof(t)oO.
fn(z) = 0, d'où
Ct), donc
Remarque .1
Les réciproques des résultats de la proposition 1.1 ne sont
pas,
en
général,
commutatif,
Ln t
èqr-e ,
de
A
fractions K
et
qui
par
s~
exemple,
n'est pas
un
A
corps,
est
alors
un
le
est un A-module qui vérifie à la fois
anneau
corps
des
CI)
(S )
cependant qu'il n'est ni artinien ni noethérien.
(F)
Définition
Url
tout
vraies
l.~
:
anneau
A-module
noethérien) ,
A est dit
vérifiant
est
A
vérifiant (Fl
I-anneau
(I)
dit
lresp.
Iresp.
(S))
F-anneau
a
S-anneau)
est
gauche
à gauche
artinien
si
tout
Sl
(resp.
A-module
est de longueur finie.
Exemnles
1)
Les corps
anneaux
2)
(commutatifs ou non),
semi-simples
sont
des
et,
plus généralement,
exemples
évidents
de
les
I-anne
à gauche,
de S-anneaux à gauche et de F-anneaux à gauche.
L'anneau
l
K
est un
K[X],
où
I r-anne e u x .
ni
de même que les anneaux de polynômes
anneau commu t.a t.Lf .
des S-dllneaux,
ne
nl. des F-anrleaux.
4
sont ni des
Proposition 1.2
Soit
un
A
I-anneau (resp. S-anneau, resp. F-anneaul
à gauche. Alors
A
isomorphes.
particulier
En
possède un nombre fini de A-modules simples non
A
possède
un
nombre
fini
d'idéaux
primitifs.
Démonstration
Soit
{Lj)jeJ un système complet de représentants des
classes d'isomorphie des A-modules simples. Posons
L .. Il es
J
clair
que
vérifie
L
Donc
( F) .
si
est
A
(resp. S-anneau, resp. F-anneaul à gauche, alors
finie. Ce qui implique que
Proposition
J
I-anneau
un
est de longueur
L
est fini.
~
L' image
homomorphe
d'un
I-anneau
(resp. S-anneau,
resps. F-anneau) à gauche est un I-anneau (resp. S-anneau,
resp. F-anneau} à gauche.
Démonstration.
Cette
proposition
l'image homomorphe
A'
résulte du
fait
d'un anneau A
que
tout
module
M sur
est naturellement muni d'une
structure de A-module de sorte que les A-homomorphismes de M et les
A'-homomorphismes de M coïncident et que les A-sous-modules de
coïncident avec les A'-sous modules de
M
M.
Eroposition 1.4.
Soit
A
~
IT
kEK
resp.
tout k
F-anneaul
E
K, A
k
A
Alors
k.
A
est un I-anneau (resp. S-anneau,
à gauche si et seulement si
K est
fini
et,
pour
est un I-anneau (resp. S-anneau, resp. F-anneau)
à gauche.
Démonstration.
Supposons que
~esp.
A
soit un
F-anneaul à gauche. Alors les
5
L'-anne au
(resp.
S-anneau,
A (k e K) sont des I-anneaux
k
t re sp .
S-anneaux
resp.
homomorphes de A
De plus,
fini
de
comme,
F-anneaux)
gauche,
à
car
images
par les projections canoniques.
d'après la proposition 1.2, A
A-modules
simples
non
isomorphes,
possède un nombre
l'ensemble
K
nécessairement fini. Réciproquement, supposons K fini, et les
des I-anneaux (resp. S-anneaux, resp. F-anneaux) à gauche, et
un A-module vérifiant (Il
(resp.
(S), resp.
(F»). Comme
M
est
A (kE
k
soit
est une
somme directe de A-modules Mk
(k E K) tels que, pour tout k E K,
Mk est aussi un Ak-module de sorte que l'on ait EndAM = End A Mk,
k
k
il en
résulte que
M
est
artinien
(r-e s p .
noethérien,
r-e sp .
de
une partie multiplicative de
A
longueur finie).
Proposition 1.5.
Soient
A
un anneau et D
formée d'éléments réguliers. Supposons que A possède un anneau de
fractions à gauche (resp. à droite) à dénominateurs dans D,
D-IA
(resp. AD
resp.
-1
). Alors si
F-anneau),
A
à gauche,
est un I-anneau (resp. S-anneau,
alors
-1
D
A {r-e ap . AD
-1
)
est aussi un
I-annea.u (resp. S-anneau, resp. F-anneau) à qaucbe .
Démonstration.
La proposition
(resp. AD
EndAM
-1
= End
-module)
-1 M
D A
loS.résulte
du
t ei t
que
tout
-,~A-module
D
M est un A-module de manière que
(resp. EndAM = End
_lM).
AD
§2. ANNEAUX SUR LESQUELS TOUT MODULE DE TYPE FINI VERIFIE (1)
Déf ini tion 2. L.
Un anneau A est dit rr-régulier à gauche (resp. à droite) si
et seulement si pOur tout élément a de Ar il existe un élément b de
A et un entier n
~
l
tels que l'on ait
ù
a n = b a 11+1 (resp. a n = a n+
Théorème 2. l
(F. DISCHINGER [3]
Soit
Les
anneau.
un
A
).
assertions
suivantes
sont
équivalentes
a)
~
Pour tout entier n
l,
l'anneau
n x n à coefficients dans A
Mn(A)
est rr-régulier à gauche.
Tout A-module de type fini vérifie
b)
des matrices
(I)
Démonstration.
> a)
bl
produit
Soit
> fg
(f,g)
f
~
f
B,
E
Identifions
f(
x+T)
n/
A
t
T
f(x)
~
~ l
tel que
injectif.
pour tout
Comme
An/
est
n
.i,
l'élément
f(u.))
-
l
al
(l~i~n).
:::--==> b)
Ull
T,
donc
f
A.
de
un élément. de
type
fini,
f
est
une base du A-module An,
f
k
les
e.
) (e
[ f ( LI
Soit
.
~~:sn
(x+T)
il existe donc un entier
t+l
Ker
s T.
f
est donc
E
tout
= fk
Donc
x
pour
0
d'abord. M
idéal 5 gauche de
l
= fk
endomorphisme inJectif de
1°) On suppose,
sur
(fk+l o g
=
.i,
s,
Il en résulte qu'il existe k
Kerf,
défini
8
( l:si~n i . On a
(g fk+l _ fk)(e)
pour tout
Soit
A-module
k
E
.i.
de
f (T)
a
1f
(l:si:sn)
.i,
par
~
•
Soit
(l~i:sn).
.i,
E
l
tel
9
=
gle.1
.i,
un
il
d'éléments de An tels que pour tout
+ T).
.i,
.i
un
(ui)l~i~n
e . + T ~ f(u.
(e.
On
An.
E
T
A /T' Soit (e.i
l
existe une famille
que
X
~ O. D'où
ft[f{x)]
automorphisme de
(l~i~n),
t.
Kerf
f(x+T) ~ T. Alors f(x) E T,
t.el que
muni du
B,
de
f
+ T
~
EndA(A )
gof.
et T ~ v
tel
0,
induit un élément
~
n
à
u·l
.)
.i.
0
9
id)( e . )
-
.i.
e .]
. )
.i.
.i.
Ù
9
M
fk+l = f k
un
A-module de
type
fini,
f
un
M.
monogêrle et
011
pose M - A/D,
où
D
est
,
Posons f(l + D)
x + D. Alors pour tout entier k
l on a
,k+ D. A étant Tf-régulier à gauche, i l existe y E A,
fk(l + D)
*
t+l
t
et t E IN
tels que x
y x
On a alors
t+l
t
ft+l{y+Dl _
ft(l+DI
+ D
+ D
y ft+l(l+Dl
x
y x
ft+l(MI _ Soit (u + DI un élément
ft(MI
I l en résulte que
~
~
~
~
~
~
~
~
quelconque de M,
il existe alors Cv + 0) E M tel que
ft(u + 0) ~ ft+l(v + Dl, d'où, en vertu de l'injectivité de
u
+ 0
f,
f(v + 0).
~
n
On suppose maintenant que
M = LAUil
2).
e:
{n
Le produit
i~l
n
cartésien
M
= Mx
... x M
(n facteurs) a une structure de
Mn(A)-module monogène définie par le produit
0
a
a
"
x
a
'J
'0
Y,
t
1: a ,
J=l
0
x
j
J
0
a
a
tt
a,n
, J
x
,
~
Y.,
1:
~
j" 1
a
,
x
]
j
0
a
a
0'
a
0)
00
x
y
0
0
U
dont un générateur est l'élément
M
(AI (Mn)
,
1:
~
1
a
x
oi
J
-t
[ j
u,
u
End
j
0
So~t
[
*
l'élément de
0
défini par
n
f*
[
~' ]
~
[
~ (x, )]
f
*
Cc'
an j ec t
i I _
Donc,
f (x )
0
d'après la), f *
de
I l est clair que
0
est surjectif, ce qui implique
f.
8
l~
surjectivité
Théorème
~
Soit
(w. VASCONCELOS
1) •
un anneau commutatif. Alors tout A-module de type
A
fini vérifie
[6
(1) si et seulement si tout idéal premier de
A
est
maximal.
E.
dans
P. Armendariz, J. W. Fischer et L. Snider ont généralisé
[1]
(3]
F.
le théorèlne
2.2
aux anneaux à identité polynomiale. Dan
Dischinger a prouvé que pour un anneau la rr-régularité à
gauche et la rr-régularité à droite sont équivalentes.
§3. ANNEAUX SUR LESQUELS TOUT MODULE DE TYPE FINI VERIFIE (S)
Théroème 3.1
Soit
A
un anneau,
limite inductive d'une famille d'anneaux
tels que, pour tout
jEJ, tout
A. -modu Le de type fini
(Aj)jeJ
J
(S ) .
vérifie (S). Alors tout A-module de type fini vérifie
Démonstration.
n
Soit
=
M
I
Ax.
l
un A-module de type fini,
i::c l
endomorphisme surjectif de
M. Soit
y
E
M
tel que
et soit
f
un
f(y)::C O.
Ecrivons
0
y =
Ia
.i >
i
x.
l
a. E A. Comme
l
f
est surjectif, pour tout i,
1
{Ls i sn }.
il existe
f (y i)
::c
xi·
Pour tout i
( Ls i sn )
n
écrivons
~aik
yi::c
x k ' a i k E A, et posons
k=l
n
{3il E A. Comme
A ::c l im
-.
les scalaire
appartiennent a
9
A.
A. -module
Considérons le
de f
restriction
f
Jo
Jo
à
applique
Mo
étant
un
o
A.-module
f(MloM.
dans
M
de
type
o
000
fini,
donc,
d'après
l'hypothèse
0;\
faite sur A.
,
f
Jo
vérifie
0
=
est bijective. Or l'élément y
o
~ ~
ai xi
E
Mo
i::l
f(y) :: fo(Y)'
un automorphisme de
donc y :: 0, et il en résulte que f
M.
Nous remarquons que dans la démonstration de ce théorème nous
sommes
Ln sp i r
de
è
est
la
démonstration
donnée
par
P.
Ribenboim
nous
ct' un
v
théorème de D.
Z.
Djokovic'
[2].
On obtient comme corollaire
Corollaire
l
Tout
(Théorème de W. WASCONCELOS
module
de
type
fini
sur un
[5J
i ,
anneau
commutatif
vérifie
(s ) .
Démonstration.
Ce corollaire résulte du fait que tout anneau commutatif est
limite inductive d'anneaux commutatifs noethériens.
§4.
ANNEAUX SUR LESQUELS TOUT MODULE DE TYPE FINI VERIFIE (F).
Proposition .!...:..l..
Soit
M
un
A-module.
Les
conditions
suiva.ntes
équivalentes
al
M
vérifie
b)
L'anneau
IF)
EndA(M)
est rr-rêgulier a gallche.
Ir;
sont
Démonstration.
b)=====>
Soit
End (M). I l existe deux éléments 9
A
et h de EndA(M)
et un entier n e 1 tels que fn = 9 0 f2n et
2noh
fn = f 2nOh.
L'égalité fn = f
s'écrit fn 0 [id - fnoh] = 0,
a) .
f
E
n
implique
M:: Imf
n
n
implique Imf n Kerf :: fol.
ce
qui
a)
soit
> bl.
Soit
Imf. Alors
XE
f
n
Kerf ,
+
E
EndA(M)
f(yl
X::
où
tel que
y::
U
Kerf. Ecrivons u:: f(w), w E M, on a
2
d'où Imf:: Imf
(1).
v
E
Soit maintenant
E
Les égalités
à Irnf
g of
1
0
(2)
:: I l f· Comme
Imf
rn
tel que
x
alors, pour tout
[(id - g
0
f)
0
g1
E
f)(x)
avec u E Imf
et
x:: f(y) :: f(u) :: f 2(wl,
+v
b E Kerf n Imf.
Ce qui implique
(2).
impliquent que la restriction
est un automorphisme de Imf. Soit
gE EndA(Ml
D'où
et
(1)
et
Ecrivons
z:: a + b
où
0= f2(z) = f 2(bl. I l en résulte que
2
Kerf :: Kerf
D'où
Kerf,
@
2
Kerf n Imf :: [a}, d'où
a E Kerf.
M:: Imf
Kerf .
E
b E Imf. Alors
a E Kerf et
f(b)
Z
l'égalité
et
gl
EndA(Imf)
E
est un facteur direct de
soit la restriction de
g
f
de f
o
tel que
M
il existe
a
Imf. On a
M,
-
f Lx )
(g of ) (f(x)] :: f(x) - f Lx l :: O.
-
,
0
f : : g o f2.
Théorème.L.1..
Soit
(Y. HIRANO [4]) A
un
anneau.
Les
assertions
suivantes
équivalentes
a)
Tout A-module de type fini vérifie ( 1 ) et ( S ) .
b )
Toue A-module de type fini vérifie
11
( F) .
sont
Démonstration.
b l = > al
L'implication
M
un A-module de type fini,
a)~>
est évidente.
et soit
f
b). Soit
E EndA(M). Considérons une
suite exacte :
h
A n_-,,-_.,.,
M ---.,.)
proj ectif, il existe
f
An
de
0
f E EndA(A
n)
A-modules.
tel que
A
Comme
f
h 0
~
f
n
est
h
0
An
-: J.
,
"
h
M
1<: h
.j,
>
f
> 0
M
n
est rr-régulier à droite,
Comme l'anneau EndA(A ) ( = Mn (A»
n)
(Th. 2.1
il existe 9 E EndA(A
et il existe mEN • tels que
f"
f
m ...m+l
~ f
0 g. On a alors
donc fm(M)
~ {h
~
0
f
Ce qui prouve que
Comme
fm à
par
~ m+l
l
g)(Anj s Lhof
HAn)::" f m+ 0 h(A n
m
mtl
m
(M). Posons M' = f (M).
f (M) = f
m+l
0
)=
M'
est un A-module de type fini et que la restriction f'
M'
est un endomorphisme surjectif de
hypothèse.
Cela
Imf
alors que
m
m
Imf rv
implique
m.
0 Kerf
Kerf
m
~
{O}
!.
Il
011
illjectlv~
alld
M' , donc Ker f'
~
(0
de
est
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surjective
FISHER and R.L.
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modules, Proc. Amer. Math. Soc. 25 (1970) 900 - 901 ..
, .,
CHAPITRE
Il
CARACTERISATIONS DES ANNEAUX COMMUTATIFS
ARTINIENS A IDEAUX PRINCIPAUX
INTRODUCTION
Dans ce Chapitre, différentes caractérisations des I-anneaux
commutatifs
et
des
S-anneaux
commutatifs
sont
données,
il
y
est
démontré l' identi té de ces deux classes ct' anneaux commutatifs.
Un
exemple
ne
y
est
donné
caractérisent pas
pour
les
montrer
que
les
conditions
L'-anne aux non commutatifs.
Le
données
Chapitre
est
clôturé par la présentation d'un exemple de A-module indécomposable
de longueur infinie
ne vérifiant pas
(1),
où
A
artinien quelconque possédant unidéalnon principal.
est un anneau
89i:13021 13EI0 16AJ5
Kaîdi, El Amin Mokhtar (MRC-[JMV);
Sanghare, Mamadou rMRC-UMV)
Une caractérisation des anneaux artinîens à idéaux principaux.
(English summary) rA characterization of Artinian rings with
principal Ideals]
Ring theory (Granada, 1986), 245-254, Lecture Notes in Malh,
1328, Springer, Berlin-New York, 1988.
Ail of the rings under consideration have an identiry We know
that, in an Artinian [Noetherian] module, every injective [surjective] endomorphism is an automorphism. We alsa know that the
converse statemcrus are Ialse. According to the autbors a module
is sa id ta satisfy property I [pra perty SI if evcry injective [surjective) endomorphism IS an automorphism. A nng A is ca lied an
l-ring [Svring] if every -t-rnodule sausfying property l [property S]
is Artinian [Noetbenan]. Their rnam rcsult is as follows: Let A be
a commutative nng. Then the foltowing conditions are equivalent:
(a) A IS an l-ring: (b) A is an Svruig: (c) A lS Arunian and every
ideal of A IS principal
On the other hand, thèse results do not hold for noncornmutative
rings. Indeed the authors give an example of a leû Artinian ring,
ail of whosc lcft ideals arc principal, that is not an Lring.
One may note that in the commutative case l-rings [S-rings] are
perfect in the sense of H. Bass [Traus Amer. Math. Soc. 95 (1960),
466-488; MR 28 # 1212J.
{For the cntrre collection sec MR 89c: 16002 }
M_ Djabali (Gif-sur-Yvette)
1
~
illE CARACTERlSATllJI lIES A*EJWl AlITIKIEIIS
A lllEAU1 PRIIICIPAIJX
KAIDI El Amin Hokhr a r et SANGHARE Kamadou
Let be A
Abstract.
{r e
(S))
ap ,
if
ring and M an A-Module. We say chat M satisfies the property(I)
.il.
,,"-very
injective
(r e
sp ,
surjective)
A-endomorphism
of
M
ts
an
aucoeo r-
phism. le t s we Lk knovn chat ev e r y Artinian (re s p , Noe t he r Lan ) module s a c Ls t Les the
p r op e r t y (I)
(tep.
(S). The converse 1s not nue (for e xamp Le the Z-module Q of
rational numbers h a s
r Lan ,
regarded
as
the p r op e r t Le s (1) and (S), but Q is neirher Artinian nor Noethe-
Z-module).
The main
adtn of
chis
p ape r
Ls
r o
gi .. e
of commutative rings A with the pr-ope r r.y chat t'very A-module s a
(S»
t
î
a
ch a t ac t e r
s f y i ng (I)
i
za t
i
o n
(re sp .
15 Artinian (r e sp . Noe t he r i an ) . \Je first show chat i f A is a non principal Ani-
nian commutative ring,
t
h e n t he r e ex t s cs a non f i n i r e l y ge ne r a t ed A-module whos e
endomorphislll ring E f s Loc a L and J2 c O. vher e J
7). This r e s u I t
is the Jacobson radical of E (p r op .
enab Le s us r o shcv c na r , for a commutarive ring A,
the f o l Lov.i ng
conditions arc eGuivalent
c ) Ev e r v A-module s at i s I y i ng rhe p r ope r t y (i) i s Ar r r m an ,
b ) Avery A-module sa r Ls f v i ng the p r ope r r y (S) 'i s No r t h e r i a n .
c) A i5 an Artinidn princi?al ideal ring (th. 9).
Finally ve s h ov , by an ë:-:anple th .. t
commu t a t
i
the r e s uf t above f e l j s
in general if A i5 not
ve •
Ack nov Le d g em e n t
lotI:"odu.ctiuu
les
Soit
ë
~
u t e v r s r cme r c tenr le r e f r e e pour ses suggestions.
un raodu l e uniraire 511r l'"
a nne au unitaire. Il est bi c» connu
que si H est a r t i n Le n Lr e s p , noethérien), alors tout endomorphisme injectif Lr es p .
surjectif) de ~ est un automorphisme de M. La rêciproque n'a pas lieu (par e xemp Le ,
tout z e ndomo r ph i sme non nul du Z~modulc Q des nombres rationnels c s c un
c
16
246
autolllorphisme, cependant que Q. considéré comme Z-module. n'est n1 art!n1e" ni
nor thé r ten] , Nous dirons qu'un module H vérifie la propriété (l) (resp. (5)) ~1 tnu,
endoeorpb Lsae injectif (resp. !Iurjecrif) de H est Un automorphisme de H.
L'obj e c de cerre étude est de donller une c a r-ac r è r t.aac t on de la classe des anneaux
cOllllllutatifl" A qui sont tels que r ou r A-module vérifiant la propriété (I) (resr. (S)
est ar r In t.en (resp. nOfthérien). Nous mon r r on s que ces deu:o; cia5ses d'anneault SOnt
Identl'lues à la classe des an""SUI( commutatifs artlnlens dont tous les idéaux sont
pr Inc rp aux (rh. 91_ Ce résultar donne une nouvelle c a r ac r ê r i sat Ion de la classe des
anneaux commutatifs A avaar la propriété que tour A-module est somme dlre.cte de sou
modules c yc i Ique s , étudiée par
wontrous 'pt, sur t,,\Jt anneau commutatif ~rtil\ien A possédaut au ...oins LIn idéal nor
e xLs r c LIn A-module
pr~nc1pal,
A-end","orph:,",~' E
~
qui n'est pas de ()'pe fini et doat l'an"e.ll1
d~5
e s c un anne,~u loc"L dont l'idéal maximal J(f) cs c de carre nul
{,,) rnoé.ule est indecompC'.c,able eL 'J";riti" les p,-opriéüs (l) cr (5)
f
l h. lil
:'u.'
.:"",(rOnS {'nfi""
.l'.'.h','" ,\ n'':'St
S,'il ;., ur.
J.C~.~,lL
et
t r e sp , sLlrJecrifj de'
I-annea" Ire'ip,
est art'inien
~
\ln "-''''{'",,,l(' 'l':': le théor~m<, "n'" pJ~ li,·,
en
p,l~ <"C'",c'''l,üif.
un "'-mo<lule.
~ ,·~t
5-anne<~u)
(re~p_
I".r
un "'Hor.lorphisme Je 11. On d i r que l'anneau A e s : Tl
.>;1 [,,"l A-module vè r Lf Lan t
la p r op r t è t
é
(I)
(resp.
(5))
"oéthpr1eu).
f'IIOPOSITIOli 1
(a) L' l111ap;e [1O",01l10I'phe d'un Le-au ne a u (resp. S-anneau) est un l-aunellu (resp_
S-aune,1u) .
17
247
(l,< 1 {: n ) est un I-anneau (re sp , Sc-anne au ) 51 et seu-
· (b) Un produit d'anneaux Ai
~
.eeenc 51 chaque Ai (l
1
~
n) est un I-anneau {re s p , S-anneau).
· (a) résulte du fait que 51 B est image hoœoœo rpbe d'un anneau A et si H est un
t-eodu Ie , alors H est un a-eodu te et tout B-endomorphisme de H est un A-endomorphisme
le H.
· (b ) résulte du fait que 51 un anneau A est un produit d t auneeux Ai
"i
.ou r A-module H est un produit de Ai -module
~
(1 ( i
lue r ou t A-endOll1orphisme f de H soit un produit de Ai
(I,< i..$
n ) alors
n ] et inversement, de manlere
<e nd orno r pb f sme fi de Hi
,l~i{n).
z
.fPlttE
io[[
K
Tout S-anneau int0gre est un corps
d~s
le curps
fr~ctions
51(5
_
-1
l~
A-module K
:(~
Ji'lll
~)
'KOPOS [Tl 0':1
~
s
-1
LI)
af(J).
~
f(
-1
.0)
c
v~rifie
pr"rri~tf
la
Ull
1(.-,)
Il en l"C.(lJf~ 'lu""
si
(5).
A-endo~orphi5me
A-~odule
du
K. !'o.,!
'" af(l).
[(1) ~ o.
(['mm~
(r c s p . Sc anne au ) . ,\l':H'; A e s t
: Soit A'
l'.Jnneau t or a I dl''>
II est clair que A', c o n s i dé r
.é
ss
[
a l o r s f est un a o t o-ao r ph r s r c .
A est un S-aoneau, donc K est
~~
)
io i t A un Le ann e au
~I:ra[joo
-1
de A et soit
é
ï
a r t i n Le n .
r ec r tcas de A.
c cmmc ,i-[T,adule, vérifie la p rcp r Lé t
(5), car tout A-endomorphisme de A'
cs t
é
une multiplication par un
(1) et la prorri,>é
Lé rnen t
de A',
Jonc
, Si .iI c s t un l e-a nne au , alors A' est u n A-module artinien, et, par c on s è q ce n t , A e s r
Htin!en.
18
248
• Si A est un
S-anne~u.
alors A' est un A-module noéthérien. Ce qui implique que A
est noethérien.
Pour 1IIontrer, alors, Que A est ar r LnLen , il suffit de mo n r r r que tout idéal premier
ë
de A est eax iœa l , Or si p e s r un Idé a I p r em Le r
l'anneau-quotient Integre Alp
de A,
l'sr aussi un s-anneau (prnp . 1. (a)), donc, d'après le lemme Z. Alp est un corps,
d'où la maximaliré de p.
Nous énonçons le lemme suivant. qui e s
LEIII!IE
Soit A
Uil
bien connu.
t
4
anneau artinien possedant
un arme au-quo r re n r
B
qui
moins
Jl:
<::1
f d è a I non principal. Af.or s ,:,.
local d' td.;;li ma x i ma I
l'SC
J tel quo> ]2 -
dc",n
(Ol et tel que
J/J 2 soit un 8/J- espace vectoriel de dimension deux.
Dé-ou.s l:ra t i on
Comme ;., est un produit fini.
p~s
d'alllee'.iUx
principal dall$ A, S est rl0tl
l "anneau B
=
nif:
.tr
pr)Jl~il.l
r rni e n s
locaux.
0<1
Pl'lIC
s up pn s e r A
l\J)--_.~r",,·
,1:Jlls U.
répond il 1,1 qu e s tion .
En c omb i nan r. l c lem.ne ~~,
l e s d cux t h o r ème s dL' Cobe n 1 2,
è
Soit A un anneau a r t Ln i.e n possédaOlt au mo Ln s un d i
un ann .. au-quo r t e ru
B
=
C
CD
bû , où C
(OS[
è
c ha p . IX J,
"n obt r e n t
a I non p r i nc i.p a I . AIG1-<; A ad nc
uu s ou s-ee nne au
de H,
t
[oca l d'id.:'a/ max ima l
o.
e C " 0 et où b ~ 0 avec" 1
Dé-:Jo.s; r T" r ion :
Soit A un anne au a r-t Ln î en po s s èd an t lJn Idéal non p r Lnc Lp a L, D'après le l cœme 4, A
admet un anneau-quotient B local d'idéal maximal J
~ x.B
+ bB, où x." 0 et b
~ 0 avec
J2 ~ O. Comme li est ar t Ln Le n et Lcc al , d'après les deux tbéorèmes de Cohe n {2, chap.l~1
19
249
il existe un Gous-anneau C de B, local d'idéal maximal ae
B - C
+
+
tel que
x ~ a.
(xBG bB). On peut prendre
En remarquant alors que Cee
r0
aB, be - bE et que
Cl'\bC - \0\. on obtient
B - C (f) be. d'où le lemme 5.
LEII.IIE
6:
Soit C un anneau local d'idéal maximal
ae ,
des fractions de l'anneau des polynômes C
0 avec a 2
tXl ,
O. Posons M l'anneau total
et soit 6 le C-endomorphisme de H
défini pour tout élément m de M par a: (rn) ~ aXm. Alors;
~ (i2 '" 0
al
ao
b)
Si Fest nn Cc e nd cmo r ph i sme de H commutant av e c 6, alors ?"Ut tout mf:"l.
~
r(am)
c)
amF(l)
(1)
Tout Ce-end omo rpb d swe injectif
(cu surjectif) de H c ornrno r arvt evec
{f
est un auto-
morphisme de M.
Dé.oru; t ra t i on
(1:]
["rr.arquc d'abord
qU'UR
l?lfmpn(
c' J"
:.~ e s r
l ',]11:1<,,1',.
ir\'OC~',J'lll' d.1:1S ~I :'>1 Pt
",-,u1e-
"."nt si "" <\.~:1.
r l l'Hm))
C'est-il-dire
~[,lt
ri
F(aX'll)
un e nr i e r
~ aXF(OlJ.
~l.
Si l'on aciTl'l't
mC:H,
é
]"!g,l';['; ,,',;,,-:
f(aX'lm)
~ "X J1 ~'r;;l)
'
=
T cst Cc-Li nè a i r e ,
p(;\lr roo r en c ter na rur eI ~ ::. ':1 el pour r ou t
JI en résulte, compte tenu de L'<add i t
pour tout mEM. F(am'lI1)
1-(TT
tenu de ]',"f.";ir~ (2) vr du lait 0'"
on obtient Alors, compte
On e n déduit 1 "ége l t t
(~l
î
vf r
è
de F, que pO.J~ cout m'\,
am'FlmL Sçoir meiotcn a n t mtM e r ",lil
tel que m' lIlE:C!X). On a alors,
d'une part f(;:;l.'",'In.l) ~ arn'mF(J),
20
ll'{
ctx1
ct
C lXl\"AC lX)
car m'mfClJl).
250
m'te
D'autre part F{am'lIl) .. am'F(m}, car
(X\. Donc aw'F(w) .. 8lIl'amF(l). Ce qui impli-
que aF(m) .. amF(l). car m'est inversible dans H. D'où l'égalité F(am) .. amF(I).
c)
So t r F un c-eedcecrpht see injectif (ou surjectif) de M ccœau r anr avec 6". Alors
d'après l'égalité (1), F(I) est nécessairement inversible dans H. Par conséquent.
pour t cu t
è
Lèœe nr m
am. D'où F(aH) ., atI.(3).
H, on F(amF(l)-I) .. amF(I)-l. F(l)
- Supposons F injectif. et soit mEH. Il existe, d'après
(3), un élément m'fI'! cel que
Ham') '" am. Ce qui implique a(F(m') - m))~ O.
tl e n résulte que (F(m)-mh:aH. Comme
aMSlmF. d'après 0), on en d èdui c que rnflmf
Il en résulte que F est un automor-
phisme de
~\.
- Supposons F s ur j e c r Lf , et soir
un
ln
Lec-c n t non nul de M. 51
é
d' après (1). on a F(m) - mF( 1). Ce qui ir-p Li que F(m)
IL
O. car F( 1) est inversible
.;
dans M. Si ma i nt enan r m{a.'1. alors a:r.f d~\ lO~, d'ou F(am) .; O.
mo r p h t srne . Le Leeese ;:, est ainsi rll:r.;)lc~ec.è:1r dé eor- r r
FmPOSITIO'J'
é
EaM. alors,
Irone f est un aa r o-.
•
1
Si A est uu auneau a r r i n rc n adm('ctant un i c e a J non principal, alors i L existe un
A-module qu r n'est pas de t ypc fini e r G'Yll J'anneau
anneau
10lJ.]
ô
cs
e n dorno t pb i s œe s E es r un
dont l'idp,ll ma x Lma I .J .. "~ ,'.' rer re nul.
~tTacion
.,~ "
anneau de A,
local d'idp.]l m..lxim"l
.:J',.
iorn,
,\
C
.,
8
hC,
(lCl
C c s t un sous-
fi',
cCX)
Con s Ldé r on c l 'anneau t o r a I de-, f ra c t i on-, :-1 ri,' 1',11',,,,,,.,, des l'olYl10neS
er soi t
~b de A, ou
<.fO"} -oll
po<
d.
•
é tan t J
~S.
"
M
M défini dans 1. lemm" 6,
1]
,
:l
t-'P J ; " d , 'i n
rl
i dc n t Lt
è
dc M et
esr f ,le 1 ! e d,' vrrifie r- que
il'
es[
0<.,
Cf
a€C
S l, C -e n domo r ph i sme
""
1',()lI1'JmO r ph i sme
d'anneaux qu r confère à .'1 une s t t-uct urc cl" Ar-module cr qu e , pour ce t t c s t r uc tu r e de
A-module, les A-endomorphismes de '1
uon inversibles de E. Si F e s t un
é
~,~)'.r
l é ecn t d e
Pat c orrsé que n r , compte t e uu de l' è g a l f r
on a
l es Ce-endomo rplit sme s de M qui c oœmur-e n r avec
é
:
2
\
1)
J. ,ilnr<; d t e p r ô s
le
Lemme b , f(l)
du Jem.'llt' 6. pOlIr tout
è
est
Lémcn t m de M,
251
aF(m) • F(am) • amFII) • O.
Ce qui implique r(Ill)€' aH
Soient maintenant F et G deux éléments de J et Il un élément oue Ic onque de E. C01lllIle
F(H) CaM et G(!'!)
falll,
pour [out élèllCnt
(il
(aHF)
(Ill)
( ii)
(afH)
(m)
( lii)
(alF
+
!Il
d .. H, on a
aH [F(m») - aHm)H(l) ~ O.
•
('IF)
l
(m) ~ "f(",)
Cl)
~ F[aH(m)) ~ aH{m)F(l)
Hlm)]
+ aG(lIl)
~
o.
O.
Uv}
Il résulte alors de (i),
è
l éeent s d .. J, et de: t t v)
A-module de
type fini,
(ii),
(i,i) resp"covement qUl' HF,
il réSulte que J2
il suffit
de sl'U$-m,,<1ules nOn nuls
oJ~
=
(F + Cl
FH et
sùnt des
O. Pour Voir qu",.'f n'est pas un
remarquer que 11 contient la sorr.me directe
infinie
~'
n '~l
TIl",..".
Snj[
_~
8
"n ""'llilu .1rt;n",,, l'U~''''~ ",;
~[raticm
';-_'x,j
.. • "
tent. (0=" E e'H '.ln
:l"""""
lm,,"~
, .
,1\lf
de
~.
Dans
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,
"
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l
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i
"J,
,:
,
. ..:.
,:r~t
-'~
,
,- "
;na" le,,, l
,in ,
d,,~
est
,
oi
1l'" -
..
C"C'Hh
.
C-.'
<:"-.'"''
,
Le tbè o r éme 8 esl ainsi oi·",cnré.
L 6,
lelll/lle 2
1
on [jor.n" une :Il~lhC'(~~ G,' "''''' ...t r ur
t
l nn ,
"ur un a",,~"'U C0mmuratif
artinl..,n nOn p,.-In~lpal, d'Un module lndé("TI'posabl .. qUl n'~s, pas de type finI. On
r eœarque que le eodu Ie cons t r o rr pa,.- cene me[hod~ ne rüssède pas la p r op r té t
22
é
(I).
1JIFIJRf)Œ
9 :
Soit A un anneau. Les c ooo t c t.cns suivantes sont êquivalentes
a)
A est un I-anneau
b)
A est un Scanne a u
cl
A est ar r Ln Len et tout i dé a l de A est principal.
Dé.oru;; t~ t ioo
Les illlp l Lc a r ions
.1) _ _ )
c)
_ _)
et b )
cl
r~sultent
imm':;diatement de la
proposition 3 et du théorème 8. Supposons oa i ac cnao r que A soit un anneau a r t i ni e n
d c n
r tout i
d é
al
e~c
tout A-r.lod"l"
,,'est pas de
l'SC
p r i nc Lp a l . Alors, d'al-'ré~
somme directe de modu Lc ,
type fini,
l e
r
h è
or
ème
7
de Cohe n-Ka p l a nss v {-]
L\L"liq')p,... Donc s
i
~
esc U:: ,,;-,,-.'.Jduj<.' qu i
alors comr:\l;' il e x rs r e s eu I .. ml',:1t un nomb r e fini c c Ar-raod ulc s
i.ndèc-ompo s ab l e s c vc Lt qo e s non isomorphes. M po s s ède un f ac t e u r direct
somme d l r e c r e d'un nornb r-e infini d,"nombrahle cie modules cycliques Lj(i
~
qu i
~
~~'-
l,l, ... )
deux il d"'JX i s orr.or p he s .
l.r rt vo n s
i
~
Lon s i d c ron-,
l,,~
=
l ,
.c:
1. i
~
1
.I;'i,lic,lcion.,;
Li
~
----)
fiS(li S
J'.
L, --->
~
ou si
L i l- l et
"'Va
le A-endpmGrphisne nul dl' LI'
Il eSl r La i r 'lU\' ~est un A-endomor)Jhhn:<.'
i nj e c t.Lf non surjectif de N et que't'est un A-~nJ0morphismc s u r j e r r f f
de N.
Donc L'<app l t c a r l o n
23
non t njcc c t I
253
N
Œi
T
--) H
<of (l()
l\~n+t~--)
est un A-endomorphisme injectif non
N
Œi
T
'"
+
\f'(n)
s~rject1f d~
t
H et l'application
--) H
est un A-endoDlorphisme surjectif non injectif de H. Il en r é su l r e que H ne possède ni
la propriété (1) ni la propriété (5). D'où les i mpl tca r tons c)
Combinant ce th€orème 9 avec le
CDIOll..A..In
=-)
a) et c )
=)
bj .
r hé c r ème de Cohe n-Ka p l ans ky (·3.). on ob r r en r
10
Soit A un anneau. Le s c ond I t i co ,
è'lJh"..,otes Sool "qlliv;;]eCl[e,:>
a)
A est un
b)
A est un 5-anneau
r)
'reve a-ecdu re est Somme df re c r e de s ouu-moda f e s c vclLqne s .
l-anneau
n'est pJ5 COm~ulJlil
Hun ss sons le groupe ,..
(x,y)(x' ,,,'\
(xx'.',:.'
·;'rlllLl.Je-
+ ',';l.
L'anneau A a i ns i c o n s t r u i t
distinct d, A e c de
e~l
\((1,(1))
AI to~ xK vè r Lf i e \<1 proprit'·t.>
'.
.';-1
:~d<:\\
l"1
:-:~;
(T) .'l
24
.
)
"
.( .
::
ClOt
q;,
'.' . ) t::
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i
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l ',1 ,
ntes r r,l~
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"1
[ni
'Cd:'
J t'
~K
t'
artill:<
~
V'
1
~elll
id\'~
l
"
!,,"uciw
r rinc i pa I a F.;:> , "",
-
254
BIBLiOGRAPHIE
;-'-1
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25
Il'!~').
207-~1:'
('!Jb~).
Exemple d' un module indécomposable de longueur finie ne vérifiant
pas (I) sur un anneau artinien possédant un idéal non principal.
On
reprend
ici
R.B. Warfield. Jr
S
les
mêmes
notations
que
dans
l'Article
de
[1].
désigne un anneau commutatif artinien local d'idéal maximal
rn ::::: Sa + Sb, avec
*'
Sa
{O} , Sb
~ {O}
et
a
2
::::: b
2
::::: ab : : : 0,
désigne un produit direct infini dénombrable de copies de
~
désigne l'application S-linéaire de F dans F
F
S,
définie comme
suit :
o
F ------------)
~
F
, ... ,)
- - - - - - - - - ) ~(x)
l,x 2
K = {ax - ber (x) 1 x e F}.
x:::::
(x
et
= (D,xl,x Z"")
Avec ces notions on a les propriétés suivantes
1)
0-
est injective
2}
u
n'est pas surjective
3)
(V x
Les propriétés
x c K.
~(x):::::
alors
11
E
K
2)
et
<=::::::::::c:::::c=:::::=>
Il existe
sont faciles cl vérifier. On
y
E
F
tel que
ao-(y) - bo-[o-(y)], d'où
x
Réciproquement. Soit
=
(x
, .•. l
l,x 2
K. Alors il existe un élément
~(x)
E
que
~(x)
K.
XE
montrer
vù
3).
la propriété
Soit
c tx )
F)
E
= ay
x
u(x)
E
-
bo t y ) ,
K.
F
un élément de
z
:::::
et on a
(z l' z 2' ... )
tel
de
:: az - bu(z). On a alors
x
- b2. , · .. )
, ... ) = (az
0."';2 - bz
aZ
l,
l,
3
2
1,x 2
Ce qui implique les relations suivantes :
(0,
aZ
l
(11
:: 0
pour
De
2
m
(l )
et
'1' b
E
(l ' )
a,Z = Xl
bz. = X
1
1
,
(2; _
zl E m. Par conséquent bZ l
( Z) , ona
m. Donc d'après
on déduit que
= [D)
aZ i + 1
i = 1,2, ...
1
= 2, 3, ...
(2' ).
= 0,
car
~ue
F
tel
Ce qui veut dire que
à dire x E K.
Il
résulte des
x
= az'
propriétés
- hu(z'), 00
=
3)
et
2)
1) ,
z'
(z2,z3, ... l. C'est
que
l'application
S-linéaire
A
= FI K
x+K
est
- - - - - - - > A = FI K
- - - - - - - - > o: ( x ) +K
injective et n'est pas
S-module A ne vérifie pas
surjective.
Ce
qui
(1). On démontre dans
veut dire
[1]
que
que
A
le
est
un S-module indécomposable de longueur infinie.
Référence
[1]
R.
B.
WARFIELD
~ecompositions.
Jr
Rings
Math. z. 125
27
who s e
(1972)
modules
187 - 192.
have
nice
CHAPITRE
D'AN~EAUX
SUR QUELQUES CLASSES
III
LIEES AU LEMME DE FITTING
RESUME
On établit dans ce Chapitre les trois résultats suivants
Théorème.
Pour un anneau commutatif A,
les conditions suivantes sont
équivalentes
a)
A
est un I-anneau
b)
A
est un S-anneau
c)
A
est un F-anneau
d)
A
est artinien et tout idéal de
A
est principal.
Proposition.
Soit
un
K
corps
de
caractéristique
p>O,
et
G
un
m
tel
p-groupe fini_ Les conditions suivantes sont équivalentes
est un I-anneau
2)
K[G]
K[G]
3)
K[G]
est un F-anneau
4)
G
est cyclique.
1)
est un S-anneau
Théorèru-e.
Soit
que
AIm
A
un anneau commutatif local d'idéêl maximal
soit
de
caractéristique po o ,
et
soit
G
un
p-groupe
fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :
l )
A[G]
est un I-anneau
2)
A[G]
est un S-annei'iu
3)
A[G]
est un F-anneau
4)
a)
m
ou
b )
m
0
*'
[0 )
et
[0),
principdux.
G
G
0
est cyclique
Il}
et
A
est
a r t i n i.en
à
Ldè aux
Pour démontrer le premier résultat,
on montre que,
commutatif artinien possédant au moins un
peut construire un module
que, pour tout entier
(S)
et (FI.
n
~
M
sur un anneau
idéal non principal, on
qui n'est pas de longueur finie tel
vérifie
(1),
l, le module Mn
29
REND. SEM. MAT. UN IV. PADOVA,
Vol. 87 (1992)
Sur quelques classes d'anneaux liées
au lemme de Fitting..
MAMADOU SANGHARÉ (*)
1. Introduction.
Soit A un anneau non nécessairement commutatif et M un A-module
à gauche. On dit que M vérifie la propriété (1) si tout endomorphisme
injectif de M est un automorphisme de M, on dit que M vérifie la propriété (8) si tout endomorphisme surjectif de M est un automorphisme
de M et on dit que M vér-ifie la propriété (F) si, pour tout endomorphisme f de M, il existe un entier n;3 1 tel que l'on ait M ==
== lm [11 EB ker fil. 11 est claire que tout module artinien vérifie (1); que
tout module noethérien vérifie (S) et que tout module de longueur finie
vérifie
Le but de cet article est l'étude des trois classes d'anneaux
suivantes:
(rr
1) les anneaux sur lesquels tout module vérifiant (1) est arti-
men,
2) les anneaux sur lesquels tout module vérifiant (S) est noethéne n,
3) 1eR anneaux sur lesquels tout module vérifiant (F) est de longucur finie,
Un anneau de la première classe sera appelée f-anneau à gauche; un
anneau de la deuxième classe S-anneau à gauche, et un anneau de la
troisième classe F-anneau à gauche.
Dans tout cet article les anneaux considérés sont associatifs, unitaires; et les modules des modules à gauche, unita~s.
(*) Adresse actuelle de l'auteur: Università degli Studi di Trente, Dipartimento di Matematica, :38050 Povo (Trentoj, Italie.
'Airesse permanenttde l'auteur: Université Ch. A.n .. Fac. Sciences, Dép.
Maths., Dakar, Senegal.
30
Mamadou Sangharé
30
2. Caractérisation des j-anneaux, des S-anneaux et des
neaux: cas des anneaux commutatifs.
F-an~
Soit A un anneau ccmmutatif intègre. Si A est
un 1-anneau ou un S-anneau ou un F-anneau, alors A est. un
PROPOSITION 2.1.
corps.
Soit K le corps des fractions de A. Comme le Amodule K vérifie les propriétés (I), (S) et (F), il en résulte que si A est
un f-anneau (resp. S-anneau, resp. F-anneau), alors le A-module K est
artinien (resp. Noethèrien, resp. de longueur finie), d'où A = K.
DÉMONSTRATION.
COROLLAIRE 1. Soit A un anneau commutatif Si A est un f-anueau ou un S-anneau ou un F-anneau, alors tout idéal premier- de A
est maximal.
DÉMONSTRATION. Soit P un idéal premier de A. Si A est un f-anneau (reep. S-anneau, resp. F-anneau), alors l'anneau-quotient AI P
est un 1-anneau (resp, S-anneau, resp. F-anneau), donc AI P est un
corps.
Soit A un anneau commutatif Si A est un 1anneau ou un S-mmeau ou tln F-anneau alors A est artinien.
PROPOSITION 2.2.
Posons S J'ensemble des éléments réguliers de
A, et AS -1 l'anneau total des fractions de A. Si.f est un endomorphisme
du A-module AS -\ pour tout élément as - 1 E AS-l, on a
DÉMONSTRATIOK.
d'où
Il en résulte que tout endomorphisme du A-module AS - j est une multiplication par un élément de AS -} par conséquent le A-module AS -1 vérifies les propriétés (/), et (S).
Donc
- Si A est un r-anneau, alors le A-module AS -1 est artinien, et
doncA est artinien.
A-S'
- Si A est un S-anneau, alors le A-module\.est noethérien, et,
par conséquent, A est noethérien. Comme tout idéal premier de A est
maximal, Corollaire 1, donce A est artinien.
- 31 -
Sur quelques classes d'anneaux lieés au lemme de Fitting
:31
Supposon maintenant que A soit un F-anneau. Comme tout idéal
premier de A est maximal, Corollaire 1, donc tout A-module de type fini vèrifié la propriété (l) [1]. Comme A est un anneau commutatif, tout
A -module de type fini vérifié la propriété (S) [1]. Il en résult donc, d'après [4J, que tout A-module de type fini vérifié la propriété (F). Par conséquent le A-module A vérifié la propriété (F), donc le A-module A
est de longuer finie.
La Proposition 2.2 permet de restreindre l'étude des [-anneaux, Sanneaux et F-anneaux commutatifs aux cas des anneaux commutatifs
artiniens locaux.
On va reprendre ici les notations de (5]. Soit A un anneau commutatif local artinien tel que A ~ C EI7 bC (somme directe de C-modules), où
C est un sous-anneau de A, artinien local d'idéal maximal aC;r {ü},
avec
a2~ab~b2~O
etb;rO.
On pose M l'anneau total des fractions de l'anneau des polynomes C[,l'] à
coefficients dans C, et note par o l'endomorphisme du C-module M, défini, pour tout mE M, par a(m) = axm. Posons ~ l'homomorphisme
d'anneaux de A dans l'anneau EndcM des C-endomorphismes du C-module M, défini, pour tout 0.: + {jb E A, où 0.:, {j E C, par
~(o.:
+ ,Bb)
=
0.:
idM + ;ki.
On considère sur M la structure de A-module définie par
C'est à dire: pour tout 0.: + /3b E A et pour tout ni E /V!, on Pc-c
ç;
(c
+ (jb) 171 =
~(7.
+ Il'jb)(rn)
=
(0.:
idM + /:ki)(m)
= 7./11
+ ,!:JaXlfi .
Dans la suite de ce paragraphe la structure de A-module de M est cr-ile
dèflnie par ç,. Ainsi les A-endomorphisme du A-module M sont les Cendomorphismes de M qui commutent avec a,
On notera que A1 est un anneau local d'idéal maximal a JI et que
(aM)2 ~ {O}. Ce qui confère à aM une structure de k ~ M/aM-espace
vectoriel de dimension 1 dont une base est {a}. Avec l'es notations on <1:
PROPO:'iITION 2.3,
La restriction à aA1 de tout A-endolnm7Jhi,,,me Ir/II A ilwdli/c
M est une multiplication par un élément de M.
ii) Pour toul entier n ~ 1. le Asmodulc /11" d,ti/ie (j),
i)
iii) Pour tout entier n ~ 1, le A-module M" l'~r~(ie (8).
iv) Four tout entier n ~ l, le A-module ;V1" ll~rUïe (F).
v) Le A-rrwdnle M n'pst pas de lcnou er
-
32 -
timc.
32
Mamadou Sangharé
DÉMONSTRATION. i) Soit mE M. De la relation ftbm) = b}\m) on a
f(oxm)
(1)
Comme
f est aussi C-Iinèaire on
(2)
~
f(o.x'lll)
~
oxf(m.).
a
,,(am).
car n e C.
De (1) et de (2) il résulte que, pour tout"
(3)
.tiahm)
~
ohf(m)
~
E
C[x], on a
hf(am).
Donc en écrivant m ~ c / d, où c, dE C[x] et d ~ aC[x] et an appliquant
(3) avec h :::: d., on obtient
f(ad",) = odf(m.)
~
dl\am).
Ce qui implique
floc)
~
dflaln).
Donc
acf(l)
~
dl(om),
.nalll)
c-:-
a1f1fO).
d'où
nu A-module
Soit f un A-enctomol'phitime
/11". On
0/:::: U;, J )1 ,,; i, l '"
JI'
où
les /.) sont des éléments de EnnA Al.
Posons f' la restriction OP f a .!i:w,M JI, on a f' :::: (f,:) l ,;: i. l " II où fi! est
la restriction de};J(wJV1 a wU. Donc, d'après iJ.f'=U~j(l»)l"'I,)""i'
Comme chaque fi~ (l ~ i. j ~ n) est aussi un endomorphism de a.M, al\1
etant considéré comme l: :::: Al/aM-espace vectoriel, il en résulte que f'
peut être considéré comme èlément de End, (aAI 1/).
Si f est injectif. alors
est injectif. Par consequence f' est un automorphisme de c.M" car dim~uMIi = n < x, Soit maintenant y e M". Il
existe z e Mn tel que .!iu::) = ay. Ce qui implique
r
"I/(z) - yi ~ Il.
On a donc [(z) - U E (lM Il
=
lm f'et, pail' suite, .II e lm.!; d'où ii).
r
iii) Si [e::;t surjectif, alors f' est surjectif et, pal' consequent
est
un automorphisme de (lA1", car oiru, alv!" = 1/ < x. Soit y un èlément
non nul de i.H >1. Si y e (ul1/1, alors f( y) :-= t" (fj) ;z" 0, Si !J ft «M", alors a.lf
est un élément non nul dl..' 0.11/1 et on a of(.II) =f'(ayl:;;é. 0 d'oùf(y);z" O.
Soit 'fil E M ", Comme 0.1,1" r-st un ê-espace vectoriel de dimension finie
- 33 -
Sur quelques classes d'anneaux lieés au lemme de Fitting
33
n et que f' est un endomorphisme du k-espace vectoriel aM 71, il existe
un entir q ~ 1 tel que
aM"
(4)
~
lm .f
'q
El) Ker .f
'",
Soit rn e Mil, Il existe ml' mz E j\1.11 tels que
avec t" (am.:J
(5)
La relation afq (m-l ) = fq (am"2)
d'après (4), ZI. ca E Mil tel que
=.-:
=
O.
0 entrainantj " (m2 ) E cM", il existe
(6)
avec l'/(az'!.)
=
o.
Ce qui implique
/,1 Il'l (111,)
-l'I (az,
~Iq(az,) ~
l)
o.
Et On a
(7)
d'où mz
or aM"
=
E
aZ1 +- Ker fzq
lm .f 'lq +- Ker .f '21, donc il existe Yi' Yz
(8)
avec
E
F" (ay1. J = o.
D'après (7) et (S), on peut écrire
(9)
1l/1.
En remplaçant
=.1-• "'1 Irl!l1) +-
1/1.,
par .r'-'/ IUYI
1
YI
)
+-
lll'
dan:'. l'èoualitc
(llil o""f'i(l1li1])
+-
(1111.)
on obient
Ecrivons finalement
(U1I 1
:::FIIU;I"I)
ct
On
<1
alors
Ce qui implique
-
34 -
+ a.l'~
/11/1 tels que
;-1\'('('
/'/(ru:C):o,O.
Mamadou Sangharé
[1
en résulte que
a[m
-f 2q (x , )
- y;] ~ O.
C'est à dire
(m - .("(x 1 ) - 'y')
1 e aôâ"
lm f'2, + Ker
~
.('2'.
Ce qui implique
»z e lm j2 q + Ker
F",
car f
2q
(y ; ) ~
o.
D'où
Mn ~ lm f'" + Ker f
Soit sz e lm
i" n Ker
2q
•
j2 Q , On a alors
n Ker r«.
am e lm f'2q
Ce qui implique U'iYl = 0, et par conséquent »t e Mn.
Soi m'eM" tel que m =f,q(m'). On a
a{2q(m')
~
Donc al'l<m')
am = Il
=
donc f'(am') e lm f'q
0, et par conséquent rn
aM"
~
=
n Ker f"
f'I(m:)
E
lm f" EB Ker j »,
f~'/I./ll') =.f2'I(Œmj').
=
HI
Comme »ze 0.14" et f'2
1
(
D'où
I" (am]') E
lm .f~q.
pn) = f?<"(m) =
'" e lm
l'2 q n
Ker
0, on a
f""
= {Il}.
Donc
lm
i" n Ker
ï" ~
{n}.
d'où
,\1
... = J111. ( " " '8
' K fr,
" (2q .
{Il}.
eM.", Comme
on peut ècrire
et, on a, alors
~
D'où iv).
Sur quelques classes d'anneaux lieés au lemme de Fitting
35
THÉORÈME 2.4. Soit A un anneau commutatif Les conditions
suiumtes sont équivalentes
1) A est un l-cnmecnc,
2) A est un Ssomnecu,
3) A est un Fscnneau,
4) A est artinien et tout idéal de A est principal.
DÉMONSTRATION. Soit A un anneau commutatif. Si A est un f-anneau, ou un S-anneau, ou un F -anneau, alors d'après la Proposition 2.2,
A est artinien. Comme tout anneau commutatif artinien admettant un
idèal non principal posséda, d'après [2. chap.û], un anneau-quotient B
de la forme B :::: e EB be, où C est un sous-anneau de B, artimen local
d'ideal maximal aC '" {O} avec a 2 ~ ab ~ b 2 = 0 et b '" 0, donc tout anneau commutatif artinien admettant un idéal non principal posséde,
d'après la Proposition 2.3, un module qui n'est pas de longuer finie et
qui vérifie le propriétés (I), (S) et (F). D'où les implications:
et
1) => 4),
3=>4).
Supposons maintenant que A soit artinian et que tout idéal de A soit
principal. Comme il n'existe qu'un nombre fini de classes d'isomorphie
de A-modules cycliques, tout A-module M qui n'est pas de longuer finie
possede un facteur direct N qui est somme directe d'un membre infini
de copies d'un module cyclique [:3]. Il est clair qui un tel A-module N ne
verifie aucune des propriétés (I), (S) et (F). D'où les implications
4) => 1),
4)=>2),
et
4=>3).
:1. Etude d'un cas d'anneaux de groupes.
P'WPOSlTJO:-J 3.1. Soit K un corps de caractéristique p >
p-groupe fini Les conditions euiumtes sontèquivalent-eS:
1) K[G] est un I-arnœnu,
0
et
G lin
2) K[G] pst un S-anrwau,
;)) K[G] pst tttt F-anneau.
~)
(; e..st.
cyclique.
IJE\ll";STRATlOl\. Si G n'est pas cyclique; il existe un sous-groupe
normal Ji rie G tel que l'on ait G/ Il ~ (x) EIJ Cïi) où
et
-
36 -
-rz l '
-1'
.t ~y
-v
L.
Mamadou Sangharé
36
Il en résulte que l'anneau artinien K[G / H] est commutatif et posséde
un idéal non principal, par exemple
J
~
K[G](l - x) (fIK[G](I -
YJ.
D'où, d'après le Théorème 2.3, les implications
et
1) ~4),
3 ~4).
Si G est cyclique, alors K[G] est un anneau de type de representation
finie d'après [7], d'où les implications
4)~1,
et
4) ~ 2),
4)~3).
THÉORÈME 3.2. Soit A un anneau commutatif local d'idëol maximal m tel que le corps A / m soit de caractéristique p > 0 et soit G un pgroupe, fini. Les conditions suivantes sont équivalentes:
1) A[G] est un l-anneau,
2) A[G] est un S-anneau,
3) A[G] est un F-anneau,
4) al m ~ {O} et G est eye!ique,
artinien à idéaux principaux.
aù b) m '"
{O}
et
G ~ {1}
et A cet
DÉMONSTRATION. Les implications 4) ~'" 1), 4) ~ 2) et 4) ~ 3) rèsul-
tent du Théorème 2.3 et de la Proposition 3.1. Supposons maintenant
que A[G] soit un f-anneau (resp. un S-anneau, resp. un F-anneau).
Posons
l'idéal
d'augmentation
de A[G]. De l'isomorphisme d'anneaux
A ss A[GJIL, il résulte que l'anneau A est un f-anneau (resp. S-anneau,
resp. F-anneau), donc, d'après le Théorème 2.3, A est artinien et tout
idéal de A est principal. D'autre part comme l'anneau AI m[G] est image homomorphe de J'anneau Ar G] (par exemple par l'homomorphisme
d'anneaux:
AIG] ~A!IIIIG 1
- 37 -
Sur quelques classes d'anneaux ëeés au Jemme de Fitting
37
surjection canonique de A sur A 1m), il en résusIte que A Int,( G] est un
f-anneau (resp. S-anneau, resp. F-anneau), donc, d'après la Proposition 3.1, G est cyclique. On vient de démontrer, donc, que si A(Gl est
un f-anneau (resp. S-anneau, rcsp. F-anneau), alors A est artinien à
idéaux principaux et G est cyclique. Ce qui implique que l'anneau A[G]
est commutatif, et par conséquent urtinien à idéaux principaux, d'après
le Théorème 2.:J. D'où les implications l) =4),2 =4), et 3) =4).
Remerciements. Cet ar-ticle a é-té écrit quand l'auteur séjournait à
T'rente dans le cadre des relations de copér-ation et d'échange entre
la Université de Trente et celle de Dakar, financés par le Ministère Italien des Relations Extérieures.
L'auteur remercie le Département de Mathématique de l'Université
de 'l'renta pour l'hospitalité dont il a été l'obje""
BIBLIOGRAPHIE
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(1978), pp. 659-672.
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fal 1.~. Cnm~\· - 1. KA1'L:\\'SJ\Y, RingS/DT which. ereru modulc ois direct. sum 0/
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pp. 245-254.
/Ii! A. \1. K.l"DI . w.. S·\\·'.,H.l,J\!:. Sor les Ssanuecua: dont l(·,~· idéanx à OUNcilr (:/
I('s ;drUlu c'r d"()il~i)lil In/alr;I"('8. il paraître.
171 R. ,. PII:I{<E. A.,."'c'o{,,'( At.qrb, os, Spt-ingcr-Verlug.
);>1
MmllJSlTittl> pU"Yl:-'lH!h> in rl'I!:lzioll(' il 2ï agcstc EH·lO.
38
CHAPITRE
IV
SUR LES S-ANNEAUX DONT LES
IDEAUX
!1 GAUCHE
ETLE5 IDEAUX 8. DROITE SONT BILATERES.
Dans ce Chapitre, on démontre le résultat suivant
Théorème.
Soit
A
un anneau dont les idéaux à gauche et les
idéaux à
droite sont bilatères.
Les conditions suivantes sont équivalentes
1)
A
est un 8-anneau à gauche
2)
A
est artinien et toutldéal à gauche de A est principal
3)
tout A-module est somme directe de modules cycliques
4)
A
est un S-anneau à droite;
et on en déduit que
Corollaire
Si
A
est un 8-anneau à gauche dont tout idéal à gauche ou
à droite est bilatère,
alors
A
droite.
3\
est
un
I-anneau
a
gauche
et à
'"
SUR LES S-ANNEAUX DONT LES IDEAUX A GAUCHE
ET LES IDEA UX A DROITE SONT BILA TERES
A. KAlDl
UIliVenÎle MQhammed V
Faculté des Sciences. Département de Millhém..3liques et Infonnatique
B.P. 1014· RABAl
(MAROC)
M. SANGHARE
Uo.versnc Cbcick Anla DIOP
Faculté des Sciences, Dépancmcmde MaÙl&n3Liques DAKAR-FAN
DAKAR (SENEGAL)
1. Introduction.
Soient
A
un e nne ëu unitaire non nicessaireQleoc c::oamnJcatif et
A-module à gauche; on dit que
morphisme surjectif de
t~
un
M satisfait 3 la condition (5) si tout e no o-
M est Url automorphisme de
M. l'anneau
A
est dit
S-anr:eB;U à gauche Iii tout A-lllOdule à gauche 5atÏ6flliS8nt à la condition (S)
est noechoirieD.. Ll.f.eude des S-anneaux c:otnll\lJta~ifs est faite dans
[?:]
où. sont
données plusieurs carec cêr i s at iO[]5 des S-anneaUJ( C01IlllIU tatifs, panni Le equc Iles.
celle affirmant que les s-enne ecx coceu c e r i e son r les anne aux coeeucar cr s
.H-
ï
t
i.n iens dont tout idéal est principal ou équivalemment let; anneaux commutatifs
sur Ie s que Ls
-t ou t;
module es c
le
généralisons ici
directe de sous-modules cycliques. Nous
SOt:lDle
résultat de
[2J
au cas de s Sc-anneaux à gauche non né-
ce s s a i remenr commutatifs dont Les i.déeux à gauche et les Idaau x il c r o i te s on c
bilatères.
2. Définition6 et notations
Soit
A
c cnd Lt Lon (5)
un anneau. On dit qu'un A-module à gauche
si tout endo\llOrphi.sme surjectif de
H ; l'anneau A
sant 11 la peop r i
..
ê
t
ê
~
la
e s t un au t cœor ph i srnc de
H
e s c noethérien. On dit que
(S)
N
nP
..
A
A
est d i e t r i.buc i I si le
e s r discdbutif c'est-a-dirc si l'on a
N(\Q
que Ls que eo ienc les idéaux b i l a r e r e s N. P el. Q de
J
s ac i.s t a i r
est dit S-anneau à gauche si tout A-module à gauche s ac i s I ai-,
r re i I L'is des idéaux bilatères ce
N ('\ (P + Q)
li
désignera le radical de JACOBSON dc
A. -et. si
H.
E
est un II-moùule à gcuchc ,
déno~br&ble
désîgnera une somme directe d'un nombre infini
du A-module
E. Les éléments de la base c ancn.i qce du A-cnodule libre
é;'j
"•
)
(iG:r..-).où
. {al
si
J '"
si
j of i
1
• Un id 'Al bilatère
ete r si la relation
r.L ç P implique
idéaux bilatères
et
3.
A(
•
seront nocê s
ave c
de copies
l
L
de
Ic;.P
ou
P
l.~p.
de
A est dit pte-
quels que so te nr Lee
A.
CarActérisation des S-anneaux.
Th~orèmc
1. Soit
A un S-anneau à gauche local ct artinien. ALors l'anneau
est distributif.
Th~orëme
2. Pour un anneau
A dont 1e6 idëaux à gauche et les idéaux à droite
sont bilatères. les conditions Guivantes sont équivalentes
al A est un S-anneau à gauche
b) A e st, a r t Lei.en à gauche et tout idéal .il gauche de
c) Tout
A-module b
8au~he
a') A e a t, un s-eone ec
à
A est principal
est une somme directe de sous-œodulcs cyclique
droite
b') A eat ar t i n ien A droite e t, tout idéal .il. droite de
A
ut
princi~al
c') TQut A-l!1odule à droite est une somme d i re c t;e de sous-œoduke s cyclique
Démonstration du tt'orème 2. Les idéaux i gauche et les idéaux à droite de
étant bilJl.tères, l'équivalence
b)
<J""'7
ul
)
est évidente.
A
Nous allons donc démontrer le théorème 2 en
i~ablissant
les implications
a) -> bj , Supposons A un S-anneau à g~uche. Comme le A-module
ti~fait ~
la condition· (S), A est noe~hErien. Soit
A. Comme l'anneau
de
int~8r~
Afp
dule
de
noe~hérien.
K
d'ou
A. On en déduit que
~
A/ p •
K
de
A/ p
esr
Gui entraîne que
corp~
Al p - module à gau-
un
P
A s a-.
est un idEe1 premier
(5), il en résulte que
Ce
gauche
est un 5-anneau à gauche eL que le
des fractions à gauche (et à droite)
che s at i sfa i s anc à III condition
P
a
K
est un Al p - mo-
est un idéal maximal
A est artinien à gauche (et â droite). Par
conliiéqu~nt
A est un produit direct d'un nQmbre fini de S-enneau à gauche locaux et art
Ai' ()"i"n). Par le théorètne ',pour tout i (l~i~n). l'anneau
in iene
Ji
eGt distributif, où
donc de [G ]
désigne l'idéal maximal de
AJ J~
,
que les anneaux
et. par suite, les anneaux
à idéaux à gauche ptincipaux. Oonc le, idéaux à gauche de
b)
-:>
c
ï
,
D'après [1
J . sur
Ai- Il résulte
Ai
sont
A sont principaux.
un anneau artinien ;A gauche et à droite er
principal à gauche et A droite, tout A-lnodule à gauche (et tout A-module à
droite) est une somme directe de sous-modules cyçliques_
c ) -> a). Supposons
[rJ
A
v~-'rifi6c.
du théorw. 2. Alors, d 'sprèt>
est nêce ss a i re aent artinien à gauche (et li. ërot ce ) e c pr Lnc f pa I
â gauche (et à droite). Soit
de sous-modules cycliques
Si
1. conditi.on c )
H..
€>
il;l
H.
un A-module à gauche somme directe
1-
,
M.(i~t).
H n'est pas noethérien, alors, l'en6eœble des classes d'isomorphie
A-modules cycliques êtan[ fini, il exiate une sous-famille infinie
'"
4c
des
dé~o~br~ble
constituée <le sous-modules cycliques de
(M~)nG~
à deux isomorphes. Posons
t'our tout
n
"1
su r
M'
c
l'Bpplication nulle de
4i ..
cation
cette sous-famille.
soit
1
L $n
deux
If
dans
n-'
M' • Il est clair
'"
N
11'
n
n>O
,et soit
~ue
l'appli-
e6t endo~orphi.'lme surjectif non injectif du "-modu1.e .il
n
gauche
N. COIWDe
est un facteur d i r ec r; de
N
H. il en résulte que
ne
M
sat.isfait pas à la cond i t i.on (S). Le t.nëo r êec 2 est. ainsi ccmp Lê tenenc dèmon t ré ,
Pour dëecnc ree le théorème l , nOUS allons établir d'abord quelques r êsu Lcc t s
qui ROUt> ee ceuc ucih:M. Soit
A
un anneau er r in ien local d'idéal maxillLa1. J.
On SUppoSe
A
non disc-ributif. Il existe alors deux idéaux
,et.
{O)
bilatères
nOn nuls et. distincts tels que
soient. isomorphes en tant que
on supposera que
A-bi1lKldules de
Li
Soit
"I
,
( ç(x) e .
•
e t.
lIn 12
c ens
x ei + 1
A-bimodules (voir
• (0 )
7'
,
"
l'
C
•
•
A(~ )
0
i
ec r-
p. 25 ]
)
. Dans
la su i r.e
l'isomorphisme de
on nor.e r a
L •
x " 11)
la surjection canonique de
n
e< on riotera
l, . Pour tout
/
G.
,
L.
>~l
"
A(li
•)/
M.
un endomorphisme surjectif du A-œodule à gauche
M --->M
Avec ces notations on a les ré5ultDCs suivants :
Le~
1. Il
tel que
exist~
f
->
L
endomorphisme du A-llIodlJle
M.
218
n
0
T
f
[(A (l'l
) 0)
*)
li
0
+ L
A
(~
diagra~~
Démonstration. Considerons le
1
17
*)
suivant
n
11
•
A(~~"
11~
Co_
A(1'lIl)
0
est un A-module projectif, il existe un endomorphisme
te 1 que
TI 0
F
f
0
on a
f(A(N
P.emarque • Soit
•
L~A(1'I) ..
* ))+
x
co
il,.~ 1 s . e .
1
composante non nulle de
nit cl' une man i.ê re unique
"
"',
Notation
ct
r(_t)",
5i
.,.
1
Pour tout
i
un
f(L)
ë
Ç·L. De plus. evec la suriecr Ivi.eê de
l.êeenc de
L. Si
[(c
n)
e
'0
la (0 rme
EOOUS
o
<; li
*
1
on écrit
f(e.)
co
l
LellJll:le 2. On a
6·
1.
alors nécessairement
X,
J(li
•)
do
li.
De cette relation, il résulte que
I.
f
• pour tout
n "
r
]
1<
*
o.~
>..l J
est la première
219
Dêmon s t r a t Lon ,
La relation
Ce qui contredit le 3<1)
J(V *)
*~
du lemme 1. Il exïste donc
*
no
51 et seulement si
"
*)
f(e + ) ~ J ("
l1
relation
J
n' 1
O.
J
au moins d" composantes
te 1 que
(n
(j:>.. l)
c
,
li
de
)
équivaut
<Cen- 1)
"
di TC' q", l'uf.c
e" inversible dans
local). Et cela équivaut à dire que, pour tout élément
est
A
nul de
Il" xf(en'i"\) 1:': L. d'après la r-c mn t-qu e ; Or pour
x c
I l ' on o
(lcnunc
Donc la relation
relation
x t(e
~quivaut
n'
1)
~
L
f(e )
à
n
équivaut â
/'ti *)
~
i
Lemme 3. Si
o
k
est la pree i
0
ê
re coœpo s ao r e
inven;ible dan!:
A
·i +1
alors
c:
0
e s c la première composante Lnve r s i.b Ie dans
hl
Et, de plus. On
~lDOn5tr_Btion.
De la relation
J
B
o
0
k+,
Soit
X
e.
J
A
,
0
+ J.
k
un élélDl'r1t non nul de
z: (x )
1]0
• on c:ibciQot
i .. 1
i
Ct,O
i .. 1
a
x cr . 0
e, , L..
J
J
, ,
"
,
*
• pour tout
A (car
Te
enr r aînc les
Pour terminer 1<1 démonstration du Iensnc nous allons mon r r c r
q"e
En effet
~
c
D
LÇ/~ * )
re Lae i ons
~
• pour LOUL
de
1).
J(
non
220
o
Camllle
(
0
( 0 )
j
,
k_'
i
x O.
0
e,
i~
+
J
J
r- 1
i
+1
J ~ k. on a alors
• pour tout
. ,
i ... 1
x
(ç (x) 0,"
J
0,
0
c
)e,
J
J
(
L
)
i "'1
1. relation
H
,(x) c
i
0
k
+
ek
( 1)
a,
-x
I l résulte de 10 remarque que
0
,
0
J
d ev ient alors
.. ,
i
(,(x)
0
0
i
x
0
+
1
0
h'
, (
) ek+ 1
(, (x) a
,(x a o )
k
Il résulte encore de 10 remarque que
i
x
x
i
i
k
(0 0
Le~
0
0
0
0
o
X
k
.. , .
hl
4. Pour tout
n
~
0
d'où
~
•
n
Q.
Si
,
0,
appartenait à
e,
de
f(e ) )
n
a
i
i
0
k
+,
,+, ) .
0
•
0
.,
k"
" J •
est la preed re composante inversible dans
a,
1
est la pre-
la relation
survam
{compos an t e
n)~
J. pour tout
Donc
1
J
Par conséquent
J. alors, d'après le leDlllle 3,
fait que
x "
J
{(el)'
appartiendrait à
Lemme S. Pour tout
a,o " )e . c
i
Démonstration. D'après le lemme J, il scf f i.t de démontrer que
ê
- x
ê
n
mi re composante inversible de
i
0
,,
i
+,
0
,(x o
•
i
J
J~+2
i
Ce qui im.plique
j..;: k,
pOUT
1. Ce qui contredit le
est inversible.
t(x)
c
l
i~p L i
'lue
:x
c
L.
L
221
c
Démonstration.
Soir.
x
L
L
i'" 1
pas
â
L. On ,Suppose
dans
A (:N )
(soit pa!" exempte
'1 )
t(x)
~
L.
L'Un au moins des
el
de
f(x)
inversible
est un élément de
Cette composante est donc inversible. Par conséquent
DE'u)(i~rne
cas: Si G J. pour tout
disti~gue
La compo e ant;e suivant
2,
qui n' appartient pas à
f(x)
b)
6
(1 ~ i,f;:
i
[(x) ~ L.
cL
alors [roiS situations
a) 6 J ~ 1
~
1
2,
e,
de
[(x)
ftant alOTS
il résulte de la reœa c qoc que
L.
1 G 1 2 • 52 G I l e t
Les composantes de
SUiVBrlt
•
(car
est
A.
Alors la composante suivant
On
n 1 appe e te ncru.
1>1 '" O•.
Nous allons mOntrer que
Premier cas
•
un élément de
'Si e i
•
1
(-52 Cl 1 ) 01 6
1
1
Ql
~ J
Q}
•
'2
sour alors r e spe c r ivceera
•
• Leœme
J).
Par ccnsêquenc
47
Ue l'hypothèse
Ux) '" L.
On peut alors décomposer
x
X" xl
(l)
+ >::2
•
Où
x
J
Comme
f(X
1)
G l
.
x
la décomposition
'i
f(x )
2
f(e )
l
~ L,
•
, ,.
(
car toutes
2"
1
j >-1
..
'i e i]
L.
~
revient à montret que
les situations
2
Si G I
z)
f(x) ~ t
• roOntrer que
quitte à répéter pout
donc
li=J
(sIe,
C
Donc si l'on ecarte pour
[(X
sous la fonne
a) et b )
,
(2), que
on peut supposer,
est de la [orme
On obtient alocs
,
Q
,
e . ), COJro\e
J
J
composantes de
s.i, a.i
,
r
0
f (X )
,,. c
e r qu'
•
'2 .,
sont dans
2
I
ne sont pas toutes nulles.
Lemme 6. Le A-module à gauche
M
satisfait.il la c ond i
t
l , 2, J, " et 5
satisfait à la condition
i.on (s)
et n'est pa<:
noethérien.
Démonstration. D'après les t.eœae s
(s).
Pour voir que
M n'est pas
H
noethé[i~n. il suffit
de remarquer que
M
n'eat pas un A-module de type fini,
Démonstration du théorème 1. Soit
L'anneau quotient
AI 2
J
A un S-anneau à gauche local et artinien.
est aussi un S-anneau à gauche local 'et ar t i n i en,
Il résulte donc dell lemmes
1,2, J, ".5
c e s s a i t eme n t. d i s t r i.bu t i.f , Le théorème
Soient
A
d i c i on (I)
er 6
qu e
est ainsi
48
H
l'St
né-
complQte~ent
un anneau. On dit qu'un A-module à gauche
s i tout endomorphisme Lnj e c t i f de
A,52
H
démontré.
satisfait à la con-
est un au r omo r ph i sme de
11.
223
On d i t
que
A
est un !-8:nne.au
à 13 condicion (I)
gauche 51 tout A-illodule a gauche s a t i s f a i s an t
â
est ar r LnLen ,
On a le corollaire s u î v an r; du r h êo r-êœe 2.
COI-ollaire. Si
est. en S-.anneau dont les idéaux à gauche el les idé.a.u:.: :,
A
droite sont b i La t èr-e s , alors
Dêmon s t ra r Lon , Soit
sait qu'alors
t1
edee t un
ë
~
Il e s t clair que
à la
ï
n
1. Boi t
n
N.
1'1
n'est pas a'r t Ln i.e n , on
ft) H'
n~1
n
qui est sonsae directe
'f n
11
H. on en déduit que
l1
deux d
H~
un isomorphisme de
est un e ndoeo r ph i sœe i.nj e c t i t non
est un facteur direct de
c cnc i t Lcn
l-anneau (à gauche et J droite).
ec c eo r direct
y
n'I
N
I1n
énoeb r ab Ie de sous-œodc Ie s cycliques de
deux isomorphes. Pour cout
Comme
est
un A-lDod:J1e à g aucbe , Si
H.
d'une famille infinie
A
ë
sur r.'n< 1
u r j e c t Lf de N.
ne s er i s j a i e pas
(I).
Dans
neau si et seulement
51.
[!]
A
on montre qU'U:1 anneau
e
s t;
un
est un $-an-
les idéaux .J. gauche et les idéaux
nou s conjecturons que pour cette c e r n i
d'anneaux l'équivalence a lieu.
A
Lc.anne au , Nous ne savons pas si, en général,
cette équivalence a lieu pour les anneaux dcn t
à droite 50nt bilatères
COlLllT\.lLatif
è
r e c Las s e
224
REFERENCES
BIBLIOGRAPHIQUES
-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-:-ô-
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C. FAtTtI
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Associative
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P. VAHJS : hniLely ceoc r a e e d Antinien And Distributif Module
Are Cyclic, Bull. London Math. Soc.
Sc
IG( 1978) 287 - 288.
CHAPITRE
ON
V
S-OUO
RINGS
RESUME.
Ce Chapitre est une étude plus approfondie que le Chapitre
IV
sur
les
Sr-e n ne au x
dont
les
idéaux
à
gauche
les
et
idéaux
à
droite sont bilatères.
On y montre le
résulta~
suivant
Théorème."
Soit
R
un
anneau
local
artinien
non
suppose que le carré du radical de Jacobson de
il existe un R-module qui n'est pas
de
t.yupe
distributif.
On
est nul. Alors
R
tini et qui
vérifie
( S) .
Ce qui permet d'obtenir
Théorème.
Soit
R
un anneau dont les Ldéeux a gauche et les idéaux a
droite sont bilatères.
Les conditions suivantes sont équivalentes
est un S-anneau à gauche
1)
R
2)
R e s t artinien et tout idéal à qau cue
èe R
3)
4)
R
e~l
t
re s p .
Cl
droite)
princip~l
est un S-anneau a drolte
tout
R-module
a
gauche
t r e sp .
a
droite)
est
somme
directe de mocules cycliques.
On y
construit
tout
idéal
à
un
exemple d e nne au
t
gauche est b i Lat.è r e
S-anneau à gauche.
et
.l oc e I
e r t r ni e n
principal,
qUL
à
gauche
dont
n'est pas
un
SEP 1 7 1992
MATHEMATICAl REVIEWS
1
ALG
16P20
656
CMP 92: 15
eré, Mamadou (l-TRNT)
f-
RI
REVIEW'ER: Please gi~ 5-d1ar<lCI~r ctassificauoms) acconling \0
Ihe 1991 Mathemalics Subjcct Classif";..alion. (Set ll.e 1990 MR
AnnuaJ Subjecl rndex-)
----
LG EZ
duo rings.
r.Algebra2Q (1992), no. 8, 2183-2189.
LG U~O
0
-
-
ver: Weim:n Xue
o (1-IA)
Con'l'l:nlions (use cojored peneil):
Greek
German rraklur
Scnpl
lIolMa""
:
:
:
.
underline m red
primor type roman Jellcr, underline in gr""1l
prim or type rQman leller, eocucte in blue
underiLn• .....,th" ""''"Y blue II ne
Do nol undcrlmc for nenes. (teuers used
aulomallcally ilallcW:d by our pnnler.)
3.1
mathcmaliçal svmtou He
~-
PLEASE TYPE WITH EXTRA SPACE BETWEEN UNES
Let R be a ring with identity. A left (right) R'1i
module M is sa id ta have p roperty (5) if every surjective
endomorphism of M is an is omorphism, the ring R is called a
left (right) S-ring if eve ry left (right) R-module with
property (S) is noetherian • and R is called distributive
f
I~
-'
L
!'::
-.L
,.,
,
il'
the lattice of aIl two-sid ed ideals of R is distributive.
The authar proved that if R is a non-distributive artinia
1
k,
local ring with square Jac obson radical zero then there
'"-
exists a non-noetherian le ft R-module with praperty (5) ,
L __
i.e., Ris not a left S-rl ng. The ring R is called left
(right) duo if every left (right)
ideal of R is two-sided
If R is bath le ft and righ t duo, the author showed that t
following six statements a re equvalent:
( 1)
R lS a
e
left
(right) S-ring;
(2) R .i s a n a r t i.n i a n left (right) prlnclp l
ideal ring; and (3) every left ( right) R-module lS a dire t
sum of cyclic sul)modules. Then the author constructed a
ring R that is ieft duo, lett artlnlan, and left
prlnclpa~
but R is not a left S-ring.
1
Reviewerts remark: At the end of the paper, the auth r
asked if left duo left S-rings are necessarily S-duo ring
We answer this in the negative as follows: Let R be a loc l
ring with the radical J such that J2
dim(JR/J)
=
=
0, dim(R/JJ)
1,
2, and R/J is commutative. Then R is left duo
but not right duo. According to the results in Dlab and
Ringel [A class of balanced non-uniserial rings, Math. An
~_95(1972) 1 279-291J, the ring R is of finite representati n
type. Hence R must be a left and right S-ring.
E-mtllf:
[Pleasc provrdc
Ir availahle)
Professer WCim111 Alle
Departmcnt of Mathcmauc,
University of Iowa
Iowa City, lA 522~2
'1'''''·;'11,.
1h,. "(Hl' nes l,,:~n
çüO''l)' .,;,,,ord for LOclu
non ln M An~[MA lICAL REVIf' ""'S. '" ,u~<l\-'"nl rom-
52
IIIIIIIIIIIII!' IIIH l' Iif li III fi J!! Il '"ll rll
pd, lL(,n\ ur rr' le...... 11) ~n·Ol <1. 'Je>: "1 [il '11; Irrms or Scn,o n
'01 (,1' il,,, CÙI"'n~hl Ael or lU7G Ail TL~~',j '1) lil" ""'~"
,ndLJél",r CDI':.",&hL. 1...-10"& 10 Il)e AmC""-~1\ ~I"lh,·m"ILl·al
:'oc,e:'.
COHHUNlCAilONS lN ALGEBRA, 20(8), 2163-2189 (1992)
On S -DUO RiNGS
by
Mamadou Sengharé
Université degli Stud; Ji Trenro
Dipartimento di Marernatica
38050 Povo, Trente (!TALlA)
ABSTRACT. A unilaJ Jeft R·module
endomorphism o(
RM
Rli1
is an automorphisrn, the ring
js.
sa.id
Ris
(0
have propeny (5)
c atled left (t1ghl)
5
nng
.r ever y surjec uve
I(
cve r y lefv (nght)
R·module wùh prope-ty (5) is Noetherian , Ris catlcd S-ring if il i~ both " iert and a rielll S'-ring.
ln th;:; noIe w," ~how that a duo ring i s a. lcrt S-rÎng if and only if
Il
is \dl Ar tuuao lI·fL principal
Ideal ring. To do this ....c shall coustruct on every non distributive ÀrLinran loc al
flTlg
with radical square
zero a non-finit.ely gener atec module wit h p ro per ty (5). And we gjvc ail e"~nlpl,' ur l"fl. duo ldt Artlnian
leû, priucipal ideal rillS which i.~ flot
11.
Idt S-rÎng. shov...ing the nccessity cf the Ting 10 he '~'!O in :h c abovc
rcsult ,
1. Introduction. It is weil known Lhat every surjective endomorplusm of
rian module is an automorpbism. The converse is
deal
Wltl-l
Ilot
il
Noethc-
true. ln this present pé\.per wc shall
rings for which the converse is true in the part.icular case of duo rings, {hat
is, rings ail of whosc oncsided ideals are two sided. The main rcsult of this paper is the
construction over a non-distributive Artinian local riug with radic;ù s qua re v.ercs of a
finitcly gcnerat ed module for which every surjective endomorplusm
IS
1100-
monic. (th.L.!). This
result gives as corollary the fact that on everr non-uniscriai Art.inian duo Ling there cxists
a non-Noetherian mocuie for which ever y surjective eudcmcrpbism
l';
an »utomorphism,
(coroliery 2.1). And this gives a characterization of duo rings ovcr which oaly Nocthcrian
modules have the propcrt.y that every surjective endomorphisru is monic as thosc which
are Artinian, left (and so right) principal ideals rings (th,2.2)
W'-~
end the popcr by an
exemple which shows that condition on the ring to be only oncsidcd duo is not scfficicnt
for the truthîulness of theorem 2.2.
Throughout this note rings will be assumed to have a non zero idelltity, and modules
will be assumed unital modules.
2183
Copyright © 1992 by Marcel Decker, me,
2184
5ANGHARE
2" 5 - DUO RINGS
A left (right) R-rnodule RM(.~1R) is said
Basic definitions 2.1 LeI. R be a ring.
to have property (5) if evcry surjective endomorphism of RM(M R ) is an automor phisrn,
the ring R is callcd lcfr (right) S-ring if cvery left (r-igbt} R~modu1e wirh propcrty (5) is
Noetberian. Ris called S-ring if it is both a left and right S-ring. We recall tha a rmg R
is said to be distributive if the Iat tice of all two sided ideals of
R is distributive. that is.
for every Ideal A,B,C of R the equality:
hclds.
T'Heo re rn 2.1. Let R /)(' a Ilon-dist.,ibutive ArtinJ3TJ Jocal
radical zero. ThefJ the,"?
('~ü~rs
lIJlg
\\"lt/J square Jacobian
a non-Noctbcrien H-modufe witl) propcrtv (5)
Pr-oof Let us denote by J the Jacobson radical of R
By assu mpt.i on .
Wl.·
have
l' ;: O.
Smce R is non-distributive, there exist two distinct ideals Il and 12 of R, and aR-bimodule
Il/I] nJ-;. onto f 2 / I 1 nI2 (seeja , P.25]).
We assume, wit hout Joss of generality, t hat f] n f:. = 0 Let us considcr the R-IIlodule
isomorphism
r
from
RRUI,"), direct surn of infinite dcncmbreble copies of RR indexcd by the set N° of nonzero
r 1
if i = J
n atu ra] numbcrs. For cverv i EN" let e, =0: (o'j)}ET\'" witlJ 0,) =
0
and L the
J
l
N" generated by elements of t he f-u-rn r(x)e, R-submodule of RR·
and i E N',
Let us no» set RA1 :: RtN°) /1.
ifl
fi,
J: f,;-l
wherc
l
E
II
V\it; shall show t hat the R module RA1
rs nol noetherian and has property (5). The Fact rhar R.M is nol noetherian is obvious,
because it is not finit ely gencr ated Let us new show th at RM h as proper ty (5): Let
il.
surjective endomorphism of RA1_ To prove that
Le mrna 201. Let
if
J is
marrie
be the canonical surjection of RR iN
° )
Wl"
J)~oJc~Joc
2)J!LiÇL
3) f(RRIN",)+ L ~ RRlèl"'
Proof. Let us considcr the diagram:
o
54
he
necd so-ne Lernmas.
onto RM- Tlvere existe
End(RR(N·)) such tbat.
f
f E
S-DUO RINGS
Since
2185
f
is projective, rherc exist s an endomorphisme
RR(N")
of
RR(N")
sueh that
r.of=j01r.
ç
It follows from this relation that f(L)
L. Moreover , si nec j is surjective, we have
Remark 2.1. Let
"'" _. L",I."
'>1
be an element of L
{ei/i E N-} of
li s'c
IIR{N·).
i~
the rirsT
llnrl~(~II> c-omponcnl,
then necessarily s. s:
and
Il
.)'0+\
of r in the rnnonical base
c an he writtcn
Hl
a unique way
in the for-rn
wilh the corrciitions ,
f wdJ 1)('
Notation 2.1. For i E N°, the image of c. by
f(',) " ),,',..';"'
~
J?
w ritten
ll"l"
v,'
1
Lemma 2.2. For cverj- n E N°, weJJ:l\ï;I(e,,) r,!. J TI [(1.,'1.'")
Proof. li for every
Tl
E N' wc havc f(':,,1 (.~ J n n(W), thcn wc obt ain:
in contradiction with Icmma 2 1 Thus thcrc cxist s
71 b
(:
N" sueh that f( c".) r:f- J . /1 Ri .",. '.
Now to cstabilish lcrnma 2.2 il is enough to cst abilish the equivalence:
The relation f(c.n+d r:f- J.
(j > 1) is mvcr tiblc ill R,
ponents o;+J
one of the
0'7+
Ilu(f\'i l'ci cqurv;,l':llt.
1
, 5
IS
to lh~~ f'art that al lcast one of the corn-
BilL by Reuiark 2.1, the fact that at lcast
invcrtiblc in Ris equivalent to that for a nonzcro element
::rf(cn+d f{ L. Sirice for a nonzero elcnicnt x
c
fi
\\'V
T
of
Il>
have:
r(x)f(e n) - x f(e,,;,) '- fl'ü)e" - TC,,;,) E L (by lemma 2.1),
t heu the relation
If ( e., + 1 ) '1- L is c qu i valen l ln ,( 7 ) f (c ,,)
t/-
L , for ::r E JI' Sincc J~ = {Dl.
the relation r{::r)f(cn.J ~ L, for sorne ICI] i~:; equivalent tc f(c,,) f{ J
proves the lemma.
llR{W)
This
2186
SANGHARE
Lernrna 2.3. For every
!
E N°, jf
0:1.
is the tirst mvertibfe component (in R) of f(c;),
then O~:ll is the tirst invertibJe component of f(c'+1
J.
And in this case we have
al + J
E
Proof. Let z be a nonzer o clement of fi. From tlH' relation:
r(r).f(c,) - zf(c,+d F L
( 1 ),
it follows. bv writmg
f((';,)=LO~(.]
/(e,..,.I)
and
=:
) 2. )
that
I:o-~+ll;),
.2: l
J
L r(T)(}~I'; + L L(l~+II·J
(2)
E
]~I
).2:1
Sirice Q~ is the first inver ublc cornponcnt of f(c,), wc have r(x)a~ E
P -
{O}. for ever y
j < k. and thcn (2) becomcs
/;-1
,<,
\,~
--j-
LLO)
i- l
Dy rernark 2.1, ZQ~+I
I: H')o; - Ia ,'+11 c
)
E L
13)
)'2,1;
0, for n'cry] ;; k. So the relation (3) becorncs:
=
r(I)a~ek + (r(r)Ql~ 1 - IQ~'~II)eJ.:~ I..L
L
(r(I)a~ - Ia~+l )c; ;;:: L.
(.1).
] ~1; .... 2
Applying again remar k 2.1 V' relation (4),
IO:'
+ J.
isomorphism wc bave
h ence
'+1
0.1:+1
E
•
0.1:
:=
W('
have: r(Ia k ) = r(za~~\). Si!:!"'!'" l.S an
xa~:\. This eoualit.y irnplies t.hat x(a~ - Qk~\)
,a~
Lemma 2.4. For everv n E N'
0:
E
0, and
is the fi.rs[ invcrnble comportent of f(c,,)
Proof. Following lemma 2.3, i t is cnough tc prove that
of contradiction that
0'::'
J, and let
.r
Qi
is invert.iblc. Assume br way
a nonzcro element of Il.
From the Iact that
('(1)f(ej)- z fie,)) E L, il follows by writing
f(C1) =
I: ajc],
j ~1
and
f(e.?)=I:a~c)l
)~l
that
By rernark 2.1, wc have then ai E J. Dy induction using remark 2.1 and lcmma 2.3, it
follows that (}'~ E J, for ever y
Tl
E N°. This conclusion implies tb at
in contradiction with 3) of lemma 2.1
el
cf- f(nR(N')) -+ L-
s-DUO RINGS
2187
Lemma 2.5. For every
Proof. Let
.51
1- O,
7
E R(N"), the rcluuon J(7) EL jmpljcs
7
1
=
be an clement of R
2:::i==1 S,l',
(N")
7
EL.
such that x (j. L. Wc may assume tbal
VVe shall provc t hat J(x) (j. L. To do this we consider two cases:
Case L
Wc assume that al lcast one of the s ,
of J(I) rclatively La
S
{says
bclongs , by lemme 2.4, Lo
CI
SI)
SIG:
is not in J T'ben the compouent
+ J.
Since sucu component does
not belong ta J, thcn J(7) (j. L {by remark 2.1).
We assume that ail the
Case 2.
Situation 1. '~I (j. 1-2 Thcn
J(7), then, by remark 2 1, J(I)
5,,5
are in J, and we dist.inguish three situations:
E 1]
51U:
Sincc
SI
a: is the first nonzcro cornponent of
f/ L
Situation 2 S1 E h,52 E /1 and r(-s2)
=J:.
,>1
ln this situation the components of J(I) relntiveiy to c r and C2 atc If>sp,;ctively
.1
1
2 S·
1 1
23
2 ,
aflU51G2+S2(l2InU~,))' enun a
,,°'2"=°
+ J , th en S2G22 = 5 2 ' J ,] ·
.jjÜ;
1
50
S]
ai +510~
and bence J(T)
'~l
'=
ni +.~2Q:,
Sirice by hypot.hesis r( --52)
#-
51
thcu
l(
-S'l(j:)
1 .'>] ù l,
ri- L.
Situation 3.
51
C 17 and
52
</.
Let s' E f l such LII;d d,5') =
XI
fi'
51·
\Ve cau decompose 7 into the Iorru
';'è!l ~ L, and
= (5)'.'1 -
T2
-l
= I\~}
,/)<,:.,. ')- s,c,] (j L
~
,=:.1
Sirice J(xJ) E LfLcnuu.r 2,1), ln show that J(x) </. L lt is cnough to show tlul JlLl) tf- L
\Ve
C;)Jl
now appl y
<q.','Ull
the abovc iHi;'Ulllents ta X2; we end up \\'lth L'! =
.)'C"
wlwrc.s,
is a »onzero elcrncut of Tl ln tbis cast> we have
!(x,) ~ ,,J(,.,) ~ $'(~ ù;',)
) ~l
Since S,G:
i
0 (0:: i" lllvertible) and ail the coruponr-nts of J(I) belong to
th en hy remark 2] f(X2)
ri
hAS
ArtJnliUl
non-princip ai jdeal Uwn tJJCre exists
aSSUIl1"
rings, Silice R is duo,
IL
Iollcws obviously from lcmmas 2 1, 2.2, 2.3
propcrty (S). Thus theorem
Corolle r y 2.1. Let R be an
Pr oof. \Ve mal'
Il
duo rlflg
~
1 is complctely provcd.
I\,/th
radjcal
SqUdTC
,1 non-finuclj- generet.ed R-module
aero.
If R bas a
with propertj' (S)
lhal R is local, since R is a product of Iiuitc number of local
rcsuhs from IG] that R
!IdS il
non-principal ideal if
is distributif And the corulLu; rcsult thcn [rom theorcm 2,1.
'I'heore m 2.2. For
5, E f 2 )
L
The end of the proof of t heo reui 2.1.
and 2.4 thut FlAI
r 2 (as
ft dlJi) lïJJf,
R rhl.' fol/awinE; conditions ar,' equivalent:
1) ff is a lcft S -J'mL:
2) Ris J\rtiHiaJJ ldt pJUlcipéd idcaJ
l'jll,~
S7
lUI,)
only if R
SANGHARE
Z188
3) Every tett R-moduJe is a direct sum of cycJic sub-modules
1 ') R is a rjght S-n'ng
2') R is Artinian right principal ideel ring
3') Every right R-modllJe is a direct
Proof.
SUIn
of cy clic eub-modutes
Since Ris duo, the equivalence 2)-2') is evident. 50 we shall estabilish oulv the
implications: 1)
:::::>
2), 2)
::=}
3) and 3) :::::} 1).
1) => 2). Assume rhat R is a Ieft S-ring. SIOCC RR salîmes propcrt y (S). tbcn RR
IS Noethcrian. Let new p be a prime ideal of R
The ring Rlfl is aise a duo lcft 5-flllZ:,
without zero diviscrs. Let us denote by A: the field of quotients of Rlp. It is clear iha;
the left Rlp-module R1pJ\ has propcrty (5), so Rlp!\- is Noe therian and hencc nU' = [,'
ThIS equality implies Lhat p is maximal, so R is Arrinian.
Sirice a duo Artinian ring
a direct product of a fini te nurnber of duo local Arti nian ring" we ma)' assume th,n
n
local. Then by corollary 2.1 RI}7 end hcncc R are id!. principal Ideal rings
2) => 3). Following [ZJ, on an Artinian principal id('al duo ring C\'er;' ldt·nl'_'!lil·~ i,
,Ct
direct sum of cyclic submcdule.s.
3) => 1). If condition 3) is satisfled , theo following [21 H is nccessarily Ar tuuau
left principal ideal ring. Let new nA any left R-mod\lle
a.'1cl
We can crue RA = .::- RA
l'
1 .;: ;
-vberc the RA"s are cyrlir. Assume that RA is
numbcr
Ilot
Nocthe rian. Sincc th('r'~
of non isomorphic cvolic left R-mod u k 3, t hcrr- is an Infinite
t-;
onlv .. f1n.:·>
<':\Jnt.:llJl,~ :,JL':"m:i':
(RA~)~EN of the Iamily (RA')'E! such that any two R-modules of the fam.lv (R;·f"j".:·
arc isomorphic. For ever y
11
EN" let 'fJn be an isomorphism from A~_ ouro A~~
'Po he the zero ecdomorphism of t1~. It is clear rhat the map op =
L.,>o <.('.,
is
il
cndomorpuism of RA'::= \Il HAn, which is not bjjectivc . Sincp HA' is a rurect
1
allé! 1·-,
surj-cuv:;l1ll\:T1;1r~';
n>O
of RA t hcn A docs nat have proper ty (5). T'hus thcorem 2,2 IS proved
Exemple (of ring which is left duo lcft Ar tinian lcft principal ideal ring, and rl',t l-i:
y-ring ).
ut K
be a field and fan isomorphism from K int o a subficld
J{'
the dimension of K regarded as vector spacc over K' is infini t e. \/-/e definc
on the set R::= K x
J{
of J( sucb rhet
fi.
rinl; st ruct u--:
by the oper at.ions;
(I, y)
+ (r' , y')
= (r
+ r',
y
+ y' )
and
(r,y)(r',y') = (xx',
'i + y/rI')),
The only non zero proper lcft Ideal of 17.. is }
::=
{O}
(I, y),(I,y') E n
for
X
J(, which is generated by t lu- elcm-:il
(0.1). So R is a local Ar timan [cft duo lcft principal ideal ring. We shall sho-v th.rt RI:,
not a left S-ring. Let us consider the injective hull nD of the Icft simple R-modulcr,J It
is shown in [5] that RD is not Noetherian. Let y be a surjective endornorphisrn
Since RR is an osscntial extension of RJ, wc have RR
ex.sts r E
RD
sucb thar. g(x) = 1. Sille!" n·
T
n
58
R} ""
ç
0:
HD. By the surjcctivity of ':1
tO) tue-re exist s
l'
il J),
~h,:~(>
E 17.. sllch tlra', r,
S-DUO RINGS
2189
is a. nonzero element of RJ, we have then g(rx) = rg(x)
=
t-
i- Q.
Thus g(RJ):J. {O} and
so 9 is injective.
This exemple shows that the condition on the ring R ta be left and right duo is
necessary for the validiry of thcorcrn 2.2.
We do not know if left duo leH S-rings are
necessarily S-duü rings.
ACKNOWLEDGEMENT
The author i s grateful to Direzione Generale Coopcr aaione allo Svîluppo di M.A.E.
for financial support and to the Mathematical Depar tmeut of the University of Trente for
generous bospitality during the preparation of this papcr.
REfERENCES
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Soc., 84 (1982), 107-IGI
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l05(.l!l89),
309-313
Re c e i
ve d r
June 1991
CHAPITRE
VI
ALGEBRES DONT LES MODULES VERIFIANT LA PROPRIETE
DE FITTING SONT DE LONGUEUR FINIE
Pour
faciliter
la
lecture
de
la
note
qui
constitue
ce
Chapitre nous développons dans les paragraphes suivants les notions
et résultats qui y sont utilisés.
§l -
LA CATEGORIE DE FONCTEURS
V~
Notations 1.1.
Soit
A
un anneau. On désigne par
A-Mod la catégorie des
A-modules à gauche ; et par mod-A la catégor Le des A-modules à
droi te de présentation
finie,
dire
«A-module
de
catégorie
des
désigne
la
l'abréviation
présentation
foncteurs
"p. f.
finie»,
additifs
A-module"
V(A)
de
mod-A
catégorie Z-Mod des groupes abéliens. On rappelle que
une catégorie abélienne dont les noyaux,
se calculent "point par point".
on peut consulter
Si
M et
N
N, ~
et
foncteurs
AiM,Ni)
~
foncteur de
~n
éléments
[X,-lA
[X,-J
=' S'(X)
,
D(A). Poue tout objet
engendré par les
':}(X),
Sx , X E mod-A,
de
X de mod-A. On montce que si
60
~
y
':}
sont
les
A-module à
de D(A),
il e n
VIA). Soit'}
X de mod-A,
de
V(A)
un p.f.
est un objet projectif de
le plus petit sOUS-follcteur
tout
est
de
, pour tout foncteur
sous-ensemble (éventuellement vide)
de
A.
:
représentables
la forme
[X,-lA '
résulte que
VIA)
le groupe additif des A-homomorphismes de
où
X
A
droite. D'après le lemme de Yoneda on a :
HomD(A)(
est
les images et les conoyaux
Pour d'autres propriétés de
désigne l'anneau opposé de
foncteurs
de
V(A)
la
[2J.
Rappels de quelques résultats
Les
dans
sont des A-modules a droite (resp à gauche) on note
(resp.
M dans
[1)
veut
soit
Sx
un
un
le s ou s f cnc t.eu r
r
'~
est défini comme étant
tel que
Sx C
J(Y.},
est un objet de mad-A,
pour
alors
§,(Y)
est le sous-groupede
~(X)
constitué de toutes les
sommes finies de la forme
X.ES
l
Le foncteur
[X,X1 A
= End
[,-lA
étant engendré par l'élément identité lx
X
.
.
l
de
XA' un foncteur est de type fini si et seulement si il
est le quotient d'un foncteur représentable.
Proposition 1.2.1.
Un foncteur de
est représentable si et seulement si rl
V(A)
est projectif et de type fini.
Démonstration.
Elle résulte de l'isomorphisme d'anneaux
Définition 1.2.1.
~
Un foncteur
de
V(A)
est dit cohérent s'il est quotient
d'un foncteur représentable par un sous-foncteur de type fini.
Proposition
1.2.~_
Tout sous-foncteur de type fini
d'un foncteur cohérent est
cohérent.
Démonstration.
Il
suffit
représentables.
de
démontrer
Soit
la
propos i t ion
un foncteur
[X,-lA
pour
les
foncteurs
représentable de
TJIA).
est représenté par une
Un sous-foncteur de type fini de
transformation naturelle
f
,
or une telle transformation
de
A-modules à droite
0::
f
:
est déterminée par un homomo r ph i sme
X
)
(:. :
Y.
Soit
( K, P )
a. On a alors la suite exacte.
le conoyau de
f::a*
[Z,-lA - - - )
0--->
[Y,-J
- - - ) [X,-lA
A
D'où le résultat.
Soit
EndX
A,
Si
m
un p.f. A-module à droite, J
X
on définit le sous-foncteur J[X,-lA de
est un idéal à gauche maximal de
f
=
X ,m
/
X ,m
x,-lA
par
End X
on pose
A,
[X - J
m'A
Proposition 1.2.3.
Tout foncteur simple de
.f
un idéal à gauche de
est isomorphe à
'D (A)
un certain
•
Démonstration.
~
Soit
un sous-foncteur de
[X,-lA' J
End X
et ona ~
A
est un sous-foncteur propre de
[X, - ]A
à gauche de l'anneau
propre de End X
A.
sont les
idéal maximal de
~
x "
J
:: ~(X)
[X,-lA '
ç
alors
est un idéal
si de plus
~
est un idéal
J
Il en résulte que les sous-foncteurs maximaux de
foncteurs de
la for nie
End X
Y
A
'
donc
x ,m
est
un
est simple. Réciproquement
Sl
où
m
est un foncteur simpJe, alors il existe un p.f. A-module
101
tel que
{0 )
Soit
~(X)
E
'0
avec
x
o
$.
O. On a
la Suite exacte
ox
[X
ou
o
) s
, - 1A .
est défini pour tout
-----) 0
- : >
Px
'r'
E
mod - A
par
J t Y)
(YI
o
a
m
le
E
Eue
'F(a){x
"r. /
gauche maxinlal de End X
et
A'
O:-J
}(O)(ï.
o
)
o
::
)
Dl
la suite exacte
m
est un idéal a
0, - - - - - >ml X, -
d'où
']'
Soit
!f
~
']'
-
1A - - - - >
' ] ' - - - - > 0,
X,m
foncteur.
un
seulement
J A - - - - ) [ X,
On
sait
que
où
51
est
~ (A)
exact
est muni
à
de
d r o i te
si e
sa structure
canonique de A-module a gauche, et or} peut vérifier facilement que
Hom (-
pour
M
à
A-modules
deux
gauche
DIA)
quelconques
N.
et
M
Proposition 1.2.4.
est cohérent,
Si
A-module à gauche
alors
,
Ext (:J,
~
c
M)
0
pour
tout
M.
Démonstrations ..:...
Le foncteur
'j-
possède une résolution projective
f
0--)
donc
Ext
l
t z , -] A - - - - - > [Y, -1 A - - - - > lx, -] A - - - > ']'----)
0
peut se calculer comme la cohomologie du complexe
Hom
([ x, - ] A
DIA)
-
~
M ) - - > Hom
([y,-J
DIA)
-
.,) M)
A,
----- > Ham ( [Z
1
DIA)
-]
,-
A
AM)
qui est isomorphe a la suite exacte
x
~
>
M
Y :;., M-------)
Z Â M,
d'où le résultat.
§2-
MODULES
ALGEBRIQU~MEN3.
ÇOMPACTS.
Sous-groupes de dé f in i t i on 1.inie 2.I.
Définition 2.1.1.
Soit
M
un
A-module
a
gauche,
E
1 Co
. )
1J
(l,J
1
e I x.J
une
matrice à coefficients dans A et a un nombrF' fir.i de colonnes.
1e me
(E, i ) M
dans
Soit
1 E I. La i
Pl~OJ ect ion
M
de l'ensemble
o
o
0
l
b.
x. = 0, j E J
des solutions dans
M
du système d'équations,I
1
lEI
1]
est appelée sous-groupe de définition de
(B,
Si
;
..L
o
)M
lm
0
est
J
/ 3
m.:
0
1
(
fini,
on
m.
)
1
0
dira
E
M"
M. En d'autres termes
li 0 }
m. =
b ..
1)
que
0 V j
1
est
un
E
J)
sous-groupe
de
définition finie.
On rappelle qu'un sous-groupe de définition d'un A-module
M, mais c'est un sous -
pas en général un sous-A-module de
module de
M
n'est
End MA
M.
Proposition 2.1.1.
Soit
de
M
un A-module à gauche. Pour un sous-groupe additif N
M
les conditions suivantes sont équivalentes :
l )
N
2)
I l existe
N
est un sous-groupe de définition finie de M
un p. f . A-module à droite
x
E
X
tel que
soit le noyau de l'homomorphisme de groupes
- - - > X j( M
M
m-----) x e
3)
et
X
fi
Il existe un p.t. A-module à gauche Y, et y E Y
tels que
N
soit l'image de l'homomorphisme de groupes
A[Y'
MJ---->
>
u
M
u(y)
Démonstration
At--->X--->O
Soit
et
[
tel que
E
Il est clair que
M
N
~
(::::~::::~~)
]]
::
X.
M
- ----) x e rn
Ce quJ. montre l'équivalence
l )
représentation
est le ]"loyau de l'application
) X
m
[
une
3)
1)
<::::::::::==::)
2). L'équivalence
se démontre de la même manière.
de
X
Théorème
~l.
Pour une suite exacte de A-modules à gauche
0 - - - ) M' - - - - ) M
----->
M"
- - - - ) o.
Les conditions suivantes sont équivalentes
(il
Pour
tout
o
p. f.
A-module
a
gauche
X,
la
suite
induite
est
)A[X,M' J - - - ) A[X,MJ---> A[X,M"J---> 0
est exacte.
( ii )
Tout système filli d'équations linéaires
x.,m~EM',
]
Ci,jlelxJ
r.
qui possède une solution (x.)
]
dans
<M,)J.
( ii i l
X
dans
possède aussi une solution
Pour tout A-module à droite (resp. p.
A-module à droite)
f.
la suite induite
o
>
1\
X
1\
M'-----) X
Démonstration.
(Voir
[2]
)
1\
-) X
M
est exacte.
M"----) 0
-
Définition 2.1.2.
exacte
Une
suite
si
l'une
satisfaite.
exacte
des
A-modules
de
trois
Un sous-module
pur si la suite exac:te
a
conditions
N d'un
>
0--
N
gauche
du
A-module
-->
est
di te
théorème
M est
dit
2.1.1
est
sous-module
MI ----)
M ---)
pu r emen t
M
0
est purement exacte.
Modules algébriouerrlerlt compacts 2.2
Théorème 2.2.1
Pour un
x -modo j e
a
gauche 1'1 12s
conditions
suivantes
s on t
équivalentes :
u
(i )
Pour toute
SUl
te pu r-eme nr. exacte
0---)
X·_--)
v
y---)
Z
la suite
-au
o
---,
A
[Z , M ]
------ ~ ! J'
- ov
1
l'~
J
» ( X , [·1 ]
- ->0 est exacte.
-)0 ,
( ii)
Toute suite purement exacte
est scindée.
(iii)
Pour tous ensembles d'indice l
d'équations linéaires
(*)
(i
oG
a .. E A, et pour tout
lJ
Le système d'équations (*)
0---> M----> N----> L ----> 0
€
a .. x. = m.
lJ
{L
l
J
et pour tout système
I)
a.
sont presque tous nuls.
lJ
J
possède une solution
(x )
dans
M
j
l'
de
l,
le système
admet une solution dans
l')
E
J
les
lEI
dès que pour tout sous-ensemble fini
l
et
i€J
(i v)
Le foncteur
Démonstration.
Définition
-
~
(Voir
M
est un objet injectif de
2).
~~
Un A-module
est dit algébriquement compact (ou purement
M
injectif) s'il vérifie l'une
Définition
V{A).
des
2_~~
Un A-module
est dit
M
somme directe de copies de
M
quatre
conditions
du théor-ème 2
I-
algébriquement compact si toute
est algébriquement compact.
Théorème 2.2.2.
Pour
A-module
un
M,
conditions
les
suivantes
sont
êqu i valen tes.
L'ensemble
des
sous-groupes
de
définition
finie
de
H
directe
de
satisfait à la conditioll de chaine descendante
IZ)
M est
(3)
Tout
I -
algébriquement compact
produit
modules
de
copies
indécomposables
sont locaux
de
dont
M
les
est
une
anneaux
somme
d'endomorphismes
(4)
Tout
produit
modules
de
copies
de
indécomposables
M
dont
égaux à Max (No' card Al.
Démonstration (Voir [2]
OIJ
[3]
§3 -
est
les
une
somme
cardinaux
directe
sont
au
de
plus
).
MODULES DE LONGUEUR FINIE SUR LEURS ANNEAUX D'ENDOMORPHISMES
Modules de longueur finie sur leurs anneaux d'endomorphismes
Proposition
~
~l.l.
Un A-module
M est de longueur finie considéré Comme EndAM -
module,
si
et
seulement
définition finie de
M
si
l'ensemble
des
sous-groupes
de
satisfait à la condition de chaîne
descendante et à la condition de chaîne ascendante.
Proposition 3.1.2.
Soit M un A-module, B
EndAM. Si
~
est un B-module de
M
alors le radical de Jacobson de l'anneau
longueur finie,
B
est
M
est
nilpotent.
Démonstration.
Elle résulte du lemme de Nakayam.
Proposition 3.1.3.
Soit
M un A-module indécomposable,
un B-module de longueur finie,
On rappelle qu'un A-module
si
tout
endomorphisme
automorphisme
de
endomorphisme
f
M.
de
M
n
est local.
B
tr e sp .
de
Ker f
0
EndAM. Si
(1)
dit
est
~
est dit vérifier
surjectif)
vérifier
n E IN*
il existe
M,
Imf
M
alors l'anneau
injectif
M
B
n
1F )
Iresp.
M
est
pour
Sl
(SI)
un
tout
tel que
.
Proposition 3.1.4.
M
Si
longueur finie,
(I),
(SI
et
est
A-module
indécomposable,
considéré comme
EndAM-module,
et
si
alors
(F)
Démonstration. Elle réSlllte
(je
la propositi.on
3.1.3.
M
est
de
M
vér if ie
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Let R be a ring. A left R
+
Sénégal
Received
module M is said ra satisfy property (1) (resp. (S)) if
every injective (resp. surjective) endomorphism of Mis an automorphism. M is said ra
satisfy Fitting's property (for short Property (F)) if for every endomorphism f of M there
cxists n E N such that :
M = rmj?Z
œ Ker j?Z. The object of this paper is tc report the following result.
THEOREM.
For a finùe dimensional algebra R over an algebraically closedfield
K, che following conditions are equivalent,
1) Every left R - module with properry (l) is Aniniun.
2) Every left R - module
',,:il},
propcrty (S) is Noeihcrian,
3) Every left R - module . .vuh property (F) is offinite Ü:nRlh
4) Every left R - module
is
a direct sum offinilely gencrated left R - modules
Proof. We show thal if one of the conditions 1), 21 or 3) holds thcn cvcry
indecomposable left R - module M of infinite lcngth is also of Infinite lcngth considered
as rignt End M - module, and this lasr condition implies that R is of finite representation
R
type (sec [3D. Thus we obtain 1)
~
-1), 2)
~
4), 3)
~ -l).
The implications -1)
~
1).
-l) ~ 2) and 4) ~ 3) result from [he fact thal, on condition 4) Ris of Iinire representation
Lype (see [3]). For more informations on rings with one of the l'our conditions of the
above theorern one may see \51.[(11. [SI and [91.
COROLLARY 1. Let R he a fimrc dimcnsional algebra ()t·a ùn alsrbraically ctosed
field K. The [ollow.. ing condition, ure equivatcni.
a) Every It'fl R· module \\ilh [Jro[!l'ny
Noctherian. resp, of finiu: lellglftj,
(1)
(rcsp, IS). rnp
rFJJ
is Artinian (resn,
2
b) Every rignt R - module wirh property (I) resp. (S), resp, (F») ts Artinian (resp.
Noetherian, resp, offinùe length},
COROLLARY 2. Lee K
P
#
he an algebraically closed field of characterlstic
0, and G a finite group. The following conditions are equivalent,
1) Every lefi K [C} - module withproperry (1) (resp. (S), resp. (F)l is Artinian
(resp. Noetherian, resp, offinite length],
2) The sylow p. subgroups oJG are cyctic.
3) Every lef: R ~ module is a direct SUIn offinilely generared Ieft R - modules.
REFERENCES
1. AUSLANDER, M.; Prepreseruauon tbcory of artin algcbrus Ill. Comm.
Aigebra
3 (1975), 239·294,
2
CRAWLEY-HOEVEY. W. W., Tamc algcbras and gcncnc modules,
[0
appcar in Proc. Lond.
Main.. Soc.
3. CRAWLEY-BOEVEY, W. W .. Modules of flnitc lcngth ovcr thctr cndoruorptusm rings. prcprint.
4. HULLINGER, H, L., Stable equivalence and rings whose module, arc a drrcci sum of finitclv
gencrated modules, 1. Pure Arpl, Algcbra 16 (1980), 265-273,
S, KAlDI, A, M: SA1'iGHARE,
~L Une caractcrisauon des anneau,'. uninicns
à
ideaux principaux.
Procecdings of the Imcrnauona! Mccung in Ring Them) (Cranada 1986), Lect.
~'(JlC'
III Math
Vol. 1328 Springcr-vcrtag. J. L. Bm."O, P. Jara. B. Torrccilla-, (EJ'I B<,r1ln. H':lck1Ix:rg. 198~,
pp. 245-254.
6. KAIDI, A. M., SA:\GHARE, \-1. Sur k, S,
;]1111':'111\
Joni k.' idc.tu-, à ccucbc ct les idéaux
j
droite sont bilatères, Cah, Mùlll stonpcllicr J9 (1991), "21-1-22-1.
7
PIERCE, R. S., "ASSOClallVC algc-t'>rJf', Spnngcr.vcrtag New York, 14:-:2.
8. SANGHARE, ;'\1., Sur quelque- cb_,,,-,~ 1l'a.llneJlU nées au knHTI<' de fuung , Reno. Sem. \Ial Leiv.
Padova 87 (1992), 29-37.
9. SANGHARE, M .. On S - duo f1n~s, Cernm
il!
Ifl
A.h't'Or(J 20 (81 (jl)4:',;, :!!,,,'.l'·:fSV
CHAPITRE
VII
SUR LES I-ALGEBRES DE GROUPES NILPOTENTS
On démontre dans ce Chapitre le résultat suivant :
Soient
1")
K
un corps (commutatif) et
Si la caractéristique de
K
G
est nulle,
un groupe nilpotent.
alo~s
I-algèbre (resp S-algèbre) si et seulement si
Si la caractéristique de
K
est
p>O,
alors
I-algèbre (resp. S-dlgèbre) si et seulement si
K[GJ
G
est une
est fini.
K[G]
est une
est fini
G
et
le p-sous-groupe de Sylow de G est cyclique.
Préliminaire. l
Définition 1.1.
Un
groupe
est
G
nilpotent
dit
s'il
possède
une
suite
normale :
~
(e )
s
...
';Gn::G.
soit contenu dans
telles que
le centre de G/ G
pour tout
i
1. 7 0
~
i
s
0-1.
Etant
Une telle suite est appelée suite centrale.
donné
un
groupe
on peut
G,
construire
la suite de
sous-groupes :
G :: GO :J G(ll
•
ou
pour
i
e
i ,
:> G(2)
G (il
~
-,
[G(i-l)
nilpotent ::;i et seulement si, i l
, {e) . Le sous-groupe GD)
G ( C)
il sera noté
GI-
existe
On montre que
,
n E ~
tel que
est le sous-groupe dérivé de
G' . On montre que l'application
7 \
G
est
G,
~i :
V'
x G/ G .- - - - - - - > G(i+1)/G('+2)
•
G(i)/ G (.,. II
.i.
(aG (
est
i.li,
- - - - - - > [ a , g ] G(,+2)
gG')
Z -bilinéaire. Elle induit donc
un
~-homomorphisme
Théorème ([1] Robinson).
Soit
un groupe à opérateurs de domaine d' opé r e eu r s
G
Alors pour tout
Démonstration.
.i ,
<Pi
n.
est un O-homomorphisme surjectif.
(voir [Il).
Corollaire.
Soi t
<P
une
propr iété
de
théor ie
des
groupes
qui
se
conserve par passage aux images et aux extensions.
Si
G
est un groupe nilpotent tel que
véritie
vérifie <P,
alors G
'.P.
Démonstration.
(voir [1]).
Référence
[l
J
D.J.S.
ROBINSON,
Springer-Verlag, Berlin.
A
course
cn
the
Theory
of
Groups
Afrika Matematika
Série 3 Vol. 2 (1993)
ALGEBRES DE GROUPES NILPOPENTS SUR LESQUELLES TOUT MODULE
VERIFIANT LA PROPRIETE DE FITTING EST DE LONGUEUR FINIE
Marnadou SANGHARE
Département de Mathématiques
et Informatique
Faculté des Sciences
U CA. D. Dakar. SENEGAL
L
I.\TRODLCTI()~
Cl'[ article est une conunu.uion Je [61 el dt: 17]. On montre ICI que
lc s trors classes d'algèbres Je groupes nilpotents SUiV;llUL":; som idcnuques
IL:, J-algèbres
Je groupes nilpotents. les S- algèbres de groupes uilpotents el les F-algèhres de groupes
nilpotrrus.Et on ks cnructérise.
2, DEFI.\'1TIO:'\'S Soit.-4 une algèbre sur un corps commutatif 1\". On du qu'un -l-module à
g<llIdlè _',1 verifie LI prorr:lté (!) tre sp. la propriété (S)si [ou! endomorphisme injectif (resp.
sllrjcl"lin de .H est Lin automorphisme dl.' .\1. 011 du que .H vt~riliè 1:t propriété de Fining
t cn :lhr~~é,
propnétc (1:1) si pour
que .\1 = I!lll"
F- algèbre
ù
tout
1'>1/" On dit que
g,\Lli."he
'-1
IlHJl -l-modulc
endomorpur-mc f de .il. il existe un enlier
l'alg~hrt:
n g.urchc
·1
l>';[
Il
~
l Id
une 1-al~0bn: cresp. S'-algèbre, resp.
vcririnnt
(1,1
Irl'sp (SI. re sp. (F)J est artinie n
cre-p. nocthéricn. 10p. Je longueur linlè)_ Dans toute LI <une IL 1'.1\\[ module. xanx aucune
autre mention. d~\i~l1è Lill Jll()Jll~l" ;1 .\.é;lll!.:h~ unitaire.
73
3D
Marnadou SANGHARE
3. CARACTERISATIONS DES I-ALGEBRES DES S-ALGEBRES ET DES FALGEBRES.
THÉORtME
1. -
Soient C un groupe nilpotent et J{ un corps de caractéristique O. Les
conditions suivantes sont équivalentes:
1) I<[G] est une 1- algèbre à gauche
2) K[G] est Une S-algèbre à gauche
3) I<[G] est une F-algèbre à gauche
4) G est fini
Démonstration. Supposons que h" [Cl soit une! - algèbre à gauche (revp. une
S~algèbre
à
gauche, resp. une F- algèbre à gauche). En posant G ' le sous-groupe dérivé de C, l'algèbre
commutative J,'[GIC'] est aussi une J-algèbre (resp. S-algèbre, resp. F-algèbre). Il résulte
donc de (6] que l'anneau commutatif J{[GIG'J esc aninien, ce qui implique, d'après [4J, que
GIG' est fini, et il en résulte que G est fini [5]. D'où les implications 1)
~
4); 2)
~
er S] =:> 4). Les irnplicarions 4) =:> 1);4) =:> 2);et4) - ' ôt resuuent du fait que
4);
!\'rc~
est alors un anneau serni-sirnple.
LC~,I~.:E.
Soient G
-
lUt
J\' un corps de carocur.snçvc l' > O.
groupe fini,
el
H un
p-sous-groupe distingué dans G. Si J\' [C] est une J -algèbrc (rl.'sp S-I.l!gl!hrc. resp, F -atgèbrev
à gauche, a/on' J\'[H] l'es! aussi.
Démonstration. Supposons le contraire. IL existe alors. d'après 16).
qui n'est ni aninien ni ncethérien tel que pour tour entier
vérine simultanément les prcpriétes (I), (S) et (F). Soit T =
gauche (et
à
li
~
IIll !\'~jj:-
bimodule .H
1
i Il, ! !"
.. , :. un trunsvcrsul
droite) de H dans G. Considérons le !\:!G]·moduk. y=- .H
:..t
."
,
1\",1
l'isomorphisme de !\'[ H]-modules ;
'"
.\l'
Il en resulte que le J\"[Hj-module.Y vérifie (I), (S)
Cl
(Pj.donc le !\((;j-I\1UJliit': _\' qui »tcs. ni
aninien ni noethérien vérine (1), (S) el (F). Coruradictio» avec le
f:J1!
J.,":(,. est une j-algèbre
(resp. S-algèbre, rcsp. F·algèbre) à gauche.
TI!L~OJu"'::dl';
Les conditions
2. -
Soient G
IWWlnrC,\'
.\fJll(
lUI gUJIl[J" flj/[Jii/OH.
equivalentes
74
Cl
!\'
l/ll
corps de caractensuoue l' ,,'
(J,
31
ALGEBRE DE GROUPES NILPOTENTS
1) ]{[C] est une l-algèbre à gauche
2) A-[G] est une Ssalgèbre à gauche
3) I\[G] est une Fvalgébre à gauche
4) G est fini et le p-sous-groupe de Sylow de G esc cyclique.
Démonstration. Supposons que R[G] soit une l-algèbre (resp. 5-algèbre, resp. F- algèbre)
à gauche. Alors l'algèbre commutative 1{[GjG'] est aussi une l-algèbre (resp. 5-algèbre,
resp. F·algèbre), donc, d'après [6], I\[G/G'J est une algèbre artinienne, il résulte alors de
[4] que GIG' est un groupe fini, d'où la finitude du groupe G. Comme lep-sous-groupe
de Sylow H de G est un facteur direct de G, donc d'après le lemme précédent K[H] est une
l-algèbre (resp. S-algèbre. resp. F-algèbre) à gauche, d'où d'après l6J, H est cyclique.
On a ainsi démontré les implications 1) =::;. 4), 2) =::;. 4) el 3) =::;. 4). Les implications
4) =::;. 1), 4) =::;. 2) er 4) =::;. 3) résultent du fait que
l\-[G] es! alors une algèbre de type de
représentation finie.
COROLLAIRE. -
Soit J\' un corps, G' un groupe nilpotent. Les conditions suivantes sont
equivalentes :
al l\-[G] est une l-otgèbre (resp Svalgèbre, resp F-algehreJ a gauche.
b) /\-[G] es! une l-otgèbre tresp, 5-alltèbr~, resp. F·a!KJbre) ci droite.
C)
rollt J\[G]-module
d) tout J\[G]-modulc
Q
gat/che
CSI
somme directe de modules de type fini.
v droite eSI somme directe de modutcs de type filli.
c) J\'[G] est de type de rcpréscntauonfinie.
Supposons que tout l':[G]-moduk
SOI!
somme directe de modules de type fini. Alors
1\-[G]
est une algèbre de type de représentation finie. Par ccnséqueru le p-sous-groupe de G est
cyclique [3J. On a uinsi les équivaie nce s : 0,; <=> (J, Il) Q fol. cl ~ (0) et d) <=> el.
l'anneau J\'[G] est artinien [31. il en resulte alors que G est fini [41. Donc, d'après ltl.
nlBLlOGRAPIIIE
[ 1] M. Auslander, "Reprè sentanon The ory of artin ulgebra III", Comm. in aigcbra 3 (1975)
239-294
[21 K.R. Fuller, "On rings Whose left modules are direct <umx of finitely generatcd modules",
Proc Amer. Marli. Soc. Sol (!976) 39---4.:1
[JI D.G. Higrnun. "Indecomposable representations
7 (19j4) 377-3.11.
75
al Ch;lr~IL[çri"lil fi"',
Duke Math. Journal
32
MJmadJu SAmHARE
[4] G. Renault, "Sur les anneaux de groupes", Colloquia mathematica societatis Ja 'nos Bolyai
(1971) 391-395.
[5J D.J.S. ROBINSON, A Course in the theory of Groups, Springer Verlag (1982).
[6) M. SANGHARE, "Sur quelques classes d'anneaux: liées au lemme de Fitting". Rend. Sem.
Mat Univ. Padova 87 (1992) 29-37.
[7] M. SANGHARE, "Characcerizauons of algebras whose modules with Fitting's property are
of flnite Ienght" Extracta Mathemoticae vol. 7 n° 2 (to appear).
76
COMMENTAIRE
La propriété pour une algèbre de groupe K [G] d'être un I-anneau (resp. S-anneau)
n'est pas en général transmissible par extension. C'est à dire si K est un corps, G un
groupe et H un sous-groupe distingué de G tels que K [H) et K [G/Hl soient des
I-anneaux (resp. S-anneaux), il n'en résulte pas nécessairement que K [G] est un
I-anneau (resp. S-anneau). Par exemple en prenant K ~ Z/pZ, où P est un entier
premier strictement supérieur à 1 et G ~ H1 x H2, avec H1 ::- H2
2' Z/pZ
(isomorphismes de groupes), airas, d'après le théoréme 9 du chapitre Il, les anneaux
commutatifs K [H1 J et K [G/H11 sont des I-anneaux (resp. S-anneaux), alors que,
d'après le même théoréme, K [G] ne l'est pas.
-77 -
CHAPITRE
VIII
CONDITIONS POUR QU'UN SOUS-ANNEAU D'UN I-ANNEAU SOlT UN I-ANNEAU
RESUME
On
démontre
que
si
t re sp . Sr-annee u ) à qcucne
centre
Z(A)
de
type fini, alors
A,
B
b
A
et que
ea t
tel que
2°) A
un
sous-anneau
10 l B
d'un
T-anneau
soit contenu dans le
soit un B-module projectif de
est un I-anneau (resp. S-anneau).
SUBRINGS OF I-RINGS AND S-RINGS
HAHADQU SANGHARE
Département de Mathématiques et d'Informatique
Faculté des Sciences
UCAD
DAKAR (SENEGAL)
ABSTRACT. Let R be a non commutative associative ring with identity
l~O,
if
a left R-module M i5 said ta satisfy property (1) (resp.(S»
every
injective
(resp. surjective)
endomorphism
of
M is
an
automorphism of M, the ring R ls called 1eft I-ring (resp. S-ring)
if every 1eft R-module whi th property (1)
(resp.Noetherian).
(resp. (5)
is Artinian
It is known that a subring B of a 1eft I-ring
(resp.S-ring )R is not in general a 1eft I-ring (resp.S-ring) even
when R is a finitely generated a-module, for exemple the ring MJ(K)
of 3
K
3 matrices over a field K is a 1eft I-ring (resp.S-ring),
but its subring B "
(resp.
S-ring)
condition for a
(see
1 [~
~ ~]
[2])
/ «.n. y
Our
subring of a
E K
purpose
1 is
La
not; a left I-ring
ta
left I-ring (resp.
give
sufficient
S-ring) ta be a
le f t I-ring (resp. S-ring).
We recal1
that
the class
of
left
I-rings
(resp.
S-rings)
contains the class of rings of fini te representation type. In the
case of commutative rings, or finite dimensional algebras over
algebraically closed field,
the classes of left I-rings,
a~
left
S-rings and rings of finite representation type are the same (see
[2J,
[4]. and [5]).
KEY WORDS AND PHRASES. Left I-ring, le f t S-ring.
1988 MATHEMATICS SUBJECT CLASSIFICATION CODES. Primary 16 A 35
secondary 16 A 48
79
2
1. THE MAIN RESULT
THEOREM. Left R be a le ft I-ring (resp. S-ring), and B a subring of
R contained in the center Z(R) of R. Suppose that R 15 a finitely
generated projective B-module. Then B 15 an I-ring (resp. S-ring).
Ta prove this theorem we need sorne results. In what follows we
use the symbole RM (resp. MR ) ta outline that M is a letE R-module
(resp. right R-module)
Lemma 1. Let Pl and P2 be two prime Ideals of a ring R if p,
(~(R/Pl),
contained in P2 then Hom,
Praof.
Let f
R(R/P j
f(1+P 1 ) := t+P2'
set
in R,
we have P2
Thus xRt
ç
Pz,
::=
)
---?
)
{O}.
Il(R/P,) be an R-homomorphism,
whe r'e tER.
f(xr+P 1
Il(R/P l » ) =
=
Let x
i5 not
EPj\P 1 1
and r
and
any element
xrt+P2
Since P2 15 prime,
we have tEP2'
and hence
f=
O.
Lemma 2. Let R be a prime ring whit polynomial identity.
If R Ls a left I-ring (resp. 5-ring),
Proof. Let R'
be the total ring of fractions of R (3].
It is Known that R'
(resp.(S)).
then R is simple A r-t.f n Lan .
is simple Artinian [3],
thell pR'satisfies (1)
Since R .i s a le ft I-ring ( r-e s p .
S-ring),
then ,R'
lS
Artinian (resp. Noetherianl and hence R'= R.
Lemma 3.
Let R be a aem i p r i rne ring w i th polynomial identi ty.
J f
R
is a le ft I-ring lresp. 5-1-ing), then R is semi Silllple Artiniafl.
Proof. Let {P1)lEL be a family of pairwice distinct nli!limal prjme
np~ = {O}. Since the quotient rings R/P 1
lEL
(lEL) are left I-rings (resp. S-ringsl with polynomial idcntity, it
ideals of R s uch that
follows from Lemma 2 that the rings R/P, (IEL) are simple Ar t i n.i.en ,
50
the
Le t t
R-modules
following Lemma l, Hom"
left
avmodu Le HM
lB
satisfie
H(R/P 1)
(~(R/P,),
r;(R/P,)
.(RIP,,))
=
satisfics (I)
HL
80
(1)
(resp.
0,
for 1""1'
Lr-e s p
c
t
g ).
(5)),
but
50 the
3
Sinee R 15 a 1eft I-ring (resp. S-ring), then !lM is Artinian. But
!IR is isomorphic ta a submodule of the semisimple Artinian 1eft Rmodule !lM, hence R ls sem! simple Artinian.
PROPOSITION. Let R be a ring with polynomial identity.
If R is a
1eft S-ring (rep. I-ring), then R i5 1eft Artinian.
Proof.
Suppose that R be a
quotient ring R/ r a d
(R)'
1eft S-ring
(resp.
I-ring)
then the
where rad (R) is the prime radical of R,
Ls
a 1eft S-ring (resp.I-ring), 50 following Lemma 3 the ring R/ r .. d( ll )
Le simisimple Artinian, this implies that R is semiperfect and
=
hence radeR)
J(R), where J(R) is the Jacobson radical of R.
Let e be a primitive idempotent of R,
the rings isomorphism eRe2
End !l(Re) shows that the 1eft R-module II(Re) satisfies (S)
(resp.
(1»,
it f0110w that R(Re) is Noetherian (resp. Artinian).
Since RR is a direct sum of fini te1y many 1eft R-modules of the
form R(Re),
whez-e e
is a
primitive idempotent of R,
then RR is
Noetherian (resp. Artinian). Let now f be a prime ideal of R, since
the prime ring RI? is simple in virtue of Lemma 2, then R is left
Artinian.
Proof of the main theorem. Since R is a finitely generated Z(R)module,
then
R
satisfies
a
polynomial
identity,
proposition R is a left Artinian ring. Thus by [1]
Artinian Suppose that 8 is not an l-ring (resp.
so
by
the
the ring B is
S-ring).
Then by
[4], since B is commutative, there exist aB-module BM of infinite
length such that,
for every integer
n~l,
the B-module BMn (product
of n copies of aM) satisfies (1) (resp.(SJ J. Set then
RM'= Rr!li BR,
it is obvious that RM' is of infinite length.
8
Let us show that RM' satisfies (1) (resp.
(S)).
Let f be an injective (resp. surjective) endomorphism of RM',
Let sEN*, and BE be aB-module such that
B~
and
'" BRffiEE.
we have the B-modu1es isomorphisms
BW
BM0Bs
8
where
(BM@BR)ffi(BMffiBE)
BM'ffibD,
8
D=BM @ BE. Consider the endomorphism 9
8
8 1
fffil: of the B-module
4
BM&. Since f
is injective (resp.
surjective),
then 9 18 injective
(resp. surjective) and hence 9 ls an automorphism of
an automorphism of pM',
SO RM'
satisfies (Il
M~.
(resp.(S)),
Thus f
ls
and this
contradicts the fact that R 18 a 1eft I-ring (resp. S-ring).
CORROLARY 1.
Let
R be a
1eft I-ring
(resp.
finitely generated projective module ove r
Z(R) is an l-ring (resp.
CORROLARY 2.
If R=Z(R)
(resp.
œ
S-ring).
its center
If R 18 a
Z(R),
then
S~ring).
Let R be a le f t J-ring (resp. S-ring).
N as Z(R)-module,
then Z(R) 18 an I-rillg
S-ring).
We remarq that s eve r e I characterisations of commutative I-rings and
S-rings can be found in [2] and [4J.
REFERENCES
1. EISENBUD,
E. Subrings of Artinian and Noetherian rings,
Math. Ann. 185, 247-249 (1970)
2. KAIDI, A.M,
artiniens
a
SANGHARE, M. Une caractérisation des anneaux
idéaux principaux,
Lee. Notes in Math vol 1328
springer-verlag, Berlin p7.45-254 (1988).
3. POSNER,E,C.
Prime rings saUsfyng a po j ynom ia I idcntity. Proc.
Amer. Math. Soc.
4. SANGHARE, M. Sur
Fitting,
Il,
IBO-183 (1960).
quelqu~s
classes d'anneaux liées au lemme de
Rend. Senl. Math. Univ. Padova 87.
29-37 (1992).
5. SANGHAIŒ. M. Characterizattions of Algebras whosc Modules wi, th
Fitting's property are of finitc Jength, Extr. Math, (ta appearl.
82
CHAPITRE
SUR
IX
UES
L'ARTINI~TE
~l-ANNEAUX
RESUME.
On répond affirmativement, pour certaines classes d'anneaux,
à la question suivante :
Si
A
est un anneau tel que tout A-module à gauche vérifiant
soit de longueur finie,
(1)
est-il nécessairement artinien à
alors A
gauche ?
On montre que si
vérifiant
(1)
A
est
soit de
un anneau
longueur
tel
que tout
finie,
A-module à
alors A
çauc he
est
a r t i.n i en
son
radical
a
gauche dans chacun des CdS suiVants
al
A
est.
à
identité
polynomiale
modulo
Jacobson
h)
A
est déncmbrab:e modulo son radical de Jaccbson
c)
A
est semi-parfait.
81
de
Afrika Matemauka
Série 3 Vol. 2 (1993)
SUR L'ARTINIETE DES
t, -ANNEAUX
Mamadou SANGHARE
Département de Mathématiques et Informatique
Faculté des Sciences
U. C. A. D. Dakar ,SENEGAL
1. INTRODUCTION
On sait que tout -l-mcdule à gauche .11 de longueur finie vérine la propriété suivante:
(i) : Tout endomorphisme injectif de JI est un automorphisme de
JI.
En général, pour un anneau quelconque, il peut exister de .. modules qui ne sont pas de
longueur finie et
LjUI
vérifient Jo. propriété (1), le ê-mcdclc Q en est un exemple trivial La
classe des anneaux .-1. tels que (Ou! -l-module J gauche vérifiant 0) soit de longueur finie
conucur une tr~~ large gamme d'anneaux : les corps (commutatifs ou non), les anneaux
semi-simples, et, plus généralement. les anneaux de type de repré sentatioo finie. Dans [1] on
dérnomrc que. pour
l]
TOUl
'~}.-l.
Url
anneaux cornrnutatif .-1., les conditions suivantes sont équivalentes,
-l-module vérifiant (l) ext de longueur finie
est anirucn el
tOUI
idéal de .-1. est principale
On construit dan .. II)uf1 anneau, non commuutif. urtinien J gauche. dom tous les idéaux il
gauche: som principaux, el qui possède un module à gauche de longueur infinie vérifiant
Cet exemple montre que la condition 2)
Ids que tout -l-rnodule vériti.nu
Il)
Ile
caractérise
est de longueur finie
JJ
P;IS
(i).
les anneaux ,·1 non commutatifs
34
Mamadou SANGHARE
Nous donnons dans cet article des réponses panielles à la quesrion suivante:
Soit A un anneau non (nécessairement) commutatif tel que tour A-module à gauche vérifiant
(1) est de longueur finie. A est-il nécessairement aninien à gauche?
2_ DEFINITIONS ET NOTATIONS
Sauf mention expresse du conrraire, tous les anneaux considérés sont associatifs. unitaires,
i- O. et non
d'élément unité 1
nécessairement commutatifs; et les modules sont des modules
à gauche unitaires.
Définition 2.1. Soient A un anneau et M un .t-module. On dit que .AI vérifie la propriété (1)
si tour endomorphisme injectif de AI est un automorphisme de .AI; on dit que l'unneau c-l est
un il-anneau à gauche si tout A-module vérifiant (I) est de longueur finie.
Notation 2.1 Si A est un anneau, .-:1, désigne l'ensemble .-1 muni de sa structure canonique
de A-module à gauche; J(.4) désigne le radical de Jacobson de .-1; 2(AI désigne le centre
de A, Jvfod(A) désigne la catégorie des A-modules à gauche. et EndA.H lanneau des
A.-endomorphismes de M.
Définition 2.2. On dit qu'un anneau .-J. vérifie une identité polynomiale s'il existe un enlier
n 2: 2, et un polynôme non nul P(X\,X2 •....• y"J en les n indéterminées -\l'X:!,,
.Y,
ne commutant pas encre elles, à coefficients dans 2(A), el possédant au moins un monôme
ayant un coefficient inversible, tels que
.1i",=O.
3. ETUDE DE L-ARTI:\IETE DES [,-A:\NEAlJX A C.\CCHE
PHOPO:-;lTlON 3.1. -
Si .-1.
est lin
I ç-onneau il gal/che. parfait. alors
.-1
est
urfl'IU'11
Démonstration.
D'uprès [31. .-1., vérifie
PIIOI'OSITIO."
3.1. -
(1).
II en résulte que .-1.
~S[
arunicn.
Soit .-1. un Il-anne(/u li gill/clic. Ai.,r-; :\ I)Os.II'de lin nombre )~nI
de Avmodules simples !',lm isomorphes deux li duce En narticuticr JL ni.lre !III nombre fini
d' idéaux primitifs dis liners Jeter: ci deux.
Démonstration. Soit (S, IlE LI un système complet de rcprésc.u.uus des
d'isomorphisme des -l-modulcs simples. Comme le ,·1-11l\ldllk S _.
EB'':::i
,'.-
l'ensemble L esr nécexs.uremcnt ûni
65
.'
Ci:ISSCS
vérifie (1:. donc
35
SUR L'ARTlNIETE DES Il-ANNEAUX
PROPOSITION
Si A est un Il -anneau à gauche, alors J (A.) est nilpotent.
3.3. -
Démonstration. Supposons que A.. soit un Il-anneau à gauche. Alors, d'après la proposition
3.2, A possède un nombre fini de A-modules simples non isomorphes. Comme tour module
injectif indécomposable vérifie (1), il en résulte que l'enveloppe injective de tout A.-module
simple est de longueur finie, donc J(A) est nilpotent d'après [5J.
PROPOSITION
3.3. -
Soit .4 un anneau primitif vérifiant une identité polynomiale. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
a) A. es! un Il -anneau à gauche
b) A es! arünien.
Démonstration : L'implication b) ::=:> a) est évidente.
a)
=::::}
b). D'après [4J• .4 admet un anneau tarai des fractions L qui est un anneau simple.
f
un A-endomorphisme du A-module L et soit S-l a un élément de L. Les egalites :
1
3f(3- a ) = [(.'33- 1a ) = f(a) = af(l), montrent que End ..,L = EnrlLL~, Comme L est un
Soir
anneau artinien, il en resulte que L, considéré comme A-module, vérifie (1). Donc L est un
-l-module de longueur finie, er. par conséquent, A est aninien.
PHOPOSITlO(.< 3.4. -
Soir A un anneau scmi-primiuf vérifiant une idetuné polynomiale.
Les conditions sui vanres sont éoui . . alentes :
;1)
.-l e::;I un l v-anneuu à gal/che
L:, .-\ est arunien.
Démonstration. L'unpucation hl =::> J) est évidente.
n
n
aJ=' t». Il existe un nombre fini d'idéaux prirniufx PL. Pc- - . ,0" l~h que
= .--l./ I\. A 2
P, = {O},
''''''1
= A/ ,02,
.-1 e\( donc un produit sous-direct des II·anne:J.ux J. gauche
.-\ 1
.-\." = ..1./ ,0". Or les Il-anneaux J. gauche primitifs AI . ..1.-".
. .-\." Sarl, artiniens (proposition
3.J.) Il en résulte que A est artinien.
TII(UI-;i::;-..\r:
cas
35. -
Soit A e,\'r Iv-anneau il gauche. Afor:-;.-\. est artùurn dans chacun des
SIIIVilllf.\"
J:I .--1 est scmi-parfuit
.--l/.J(
A)
vénJic
IUle
idcntiu: potvnomialc
3) .-1/'.J'A)esrr!àlnmlirahle.
86
36
Mamadou SANGHARE
Démonstration. D'après la proposition 3.1., il suffit de montrer que dans chacun de ces cas A
est parfait.
1) Comme J(.4) est nilpotent, A est donc parfait.
2) AI J( A) est alors un ft -anneau à gauche, semi-primitif, vérifiant une identité
polynomiale, il résulte donc de la proposition 3.4 que AjJ(A) est artinien. et, comme
J(.4) est nilpotent, A est parfait.
3) Soient 5 1,52 " " el Sn les seuls .-l.jJ(A)-modules simples, et soient 5 1,51 , ... ,5 n
leurs enveloppes injectives. Posons 5 = 5\ ffi s~ EB ... EB 5\H S est un cogénérateur injectif
de AIod(04/J (A)). Les SI (1 .::; i ::; n) étant de longueur finie, 5 est aussi de longueur
finie. Comme AI J(A) est dénombrable, 5 est dénombrable. Il résulte alors de [2J que 5 est
1:-injecüf. Donc l'anneau
COROLLAIRE. -
AIJ(--1) est artinien, et on
en déduit que A est parfait.
Soit A un Il -anneau â gauche. Alors .4 est arrinien Jans chacun des cas
suivarus :
1) .4 est un module de type fini sur Jon centre.
2) A est démontrable.
Le résultat suivant montre que I'érude de laruniété des I I-anneaux:1 uauchc se réduit à
l'étude de l'nrtiniété des Il-algèbre à gauche primitives et centrales :
THÉORt:-.rE
3,6. -
Les aJsenwns suivantes sont équivalentes
1) tolll Li-anneau à gauche est aninicn
2)
fOUle
Il-algèbre à gauche primitive cr centrale est amnicnnc
Démonstration. a)
::- b) est évidente.
b) =::;.. a). Supposons vraie l'assertion b), et soit A un
I,-~lnncau
J guucnc. D'après
la proposition 3.1 il suffit de montrer que A est parfait. Pour cela. J Ai étant nilpotent
(proposition 3.3), il suffit de montrer que le Il-Jnneau
J
gauche scmi-parfait .-1/.11 AI est
artinien. Or .--l././(A) est un produit sous-direct J'un nombre tini de 11-;lnl1t';lll.\ li. gauche
primitif'), on aura donc montre que .--l/./(.4) e st urtinien si lon montre
ql!': tOUI
Il-anneau li.
gauche primitif est aninien. Soir il un 1 j -anneau li. gauche primu if. Considerons l'anneau C
des fractions de Il li. dénominateurs dans J'ensemble des éléments centraux non nuls dç il C
est Url I j -anneau 11 gauche. De plus C eSI une algèbre pruuitivc ccnu.ue xur le corps I,: de s
fractions du centre de B. Il en résulte que C, considéré comme JJ-nlUJl:\c vcriue (1) Donc
C est un il-moJule artimeu. Puisque B, es! lin sous-n-lllnJulL' dt' (",01] L'Il deduit que
artinicn Le théorème 3.6 e'il ainsi complèterncnt démrunré
87
n est
SUR L'ARTlNIETE DES I,·ANNEAUX
37
BIBLIOGRAPHIE
[1] A. M. KAIDI et M. SANGHARE, "Une caractérisation des anneaux artiniens à idéaux
principaux", L. N. M. 1328 (1988) 245-254.
[2] C. MEGIBBEN, "Countable injective modules are sigma injective", Proe. Amer. Math.
Soc. 84 (1) (1982) &-10.
[3] M. ORZECH, "Ontc endomorphisms are isomorphisrns". Amer. Maths. Monthly 78 (1971)
357-362.
[4] E. C. POSNER, "Prime rings satisfyings
.1
polynomial idenrity", Proc. Amer. Math. Soc.
11 (1960) 18Cl-183.
[5J A. ROSENBERG and D. ZALlNSKY, "Pinitencss of injective hull", Math. Z. 70 (1959)
372-380.
88
COMMENTAIRE
Comme toute algèbre primitive (en général tout anneau primitif) est un sous-anneau
dense (pour la topologie finie) de l'anneau des endomorphismes d'un espace
vectoriel sur un corps non nécessairement commutatif, il devient normal, en vertu du
théoréme 3-6 de ce chapitre, de se poser la question suivante :
Soit L l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel sur un corps (non
nécessairement communtatif), et A un sous-anneau primitif dense dans L. Si A est un
11-anneau, celà entraine-t-il que L est un f1-anneau?
De manière plus précise: Peut-on réduire l'étude de l'artiniété des l,-algèbres
primitives centrales à celle des 11-anneaux qui sont des anneaux d'endornorphismes
d'un espace vectoriel?
Nous n'avons pas pu répondre à cette question. Mais elle nous a poussé à étudier
les Iranneaux qui sont des anneaux des endomorphismes d'un espace vectoriel et
nous avons prouvé le résultat suivant:
Proposition: Soit A l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel V sur un
N.
corps K de cardinal inférieur ou égal à 2·(par exemple un corps fini ou l':l oulR ou 11:).
Alors les conditions suivantes sont équivalentes.
a) A est un ij-anneau à gauche
b) V est de K-dimension finie
c) A est artinien
·89
Démonstration: Les implications b)=>a);
b)~>c)
et c)=>b) sont évidentes, elles
résultent du fait que A est alors simple.
Montrons l'implication a)~ >b). Soit:r l'ensemble des éléments de A dont le rang est
strictement inférieur à la dimension de V sur K. ~ est un idéal bilatère de A. Si A
est un Iranneau à gauche, alors l'anneau- quotient B = N~ est aussi un '1-anneau à
gauche. Il en résulte que B admet seulement un nombre fini de modules simples non
isomorphes deux à deux. Ce qui implique (d'aprèsd'exercice 4 du paragraphe 5 du
chapitre B du livre algèbre Il de Bourbaki) que V est de K-dimension finie.
Le résuftat de cette proposition reste vrai si l'on remplace le mot "11-anneau à
gauche" par "I-anneau à gauche". La démonstration reste la même.
- 90-
CHAPITRE
I-ANNEAUX
ET
X
S-ANNEAUX
1- INTRODUCTION.
'ï'oua
les
anneaux
considérés
dans
ce
Chapitre
sont
associatifs, unitaires non (nécessairement) commutatifs et non
réduits à 0 ; tous les modules sont des modules à gauche unitaires.
Nous étudions certaines propriétés des
caract~risons
et en
2- DEFINITIONS
I-anneaux et
des
S-anneaux
quelques classes.
GENERALITES
et
Définition .hl.-
Soit
propriété
A
(I)
surjectif) de
un anneau.
(resp.
M
(S))
On dit qu'un A-module
si
tout endomorphisme
est un endomorphisme de
vérifie
M
La
(r-e s p .
injectif
M.
Définition .L.L_
On dit qu'un
gauche
si
t.out;
allneau
A-module
A
Qst un
vérifiant
(1)
I-an~eau
(
r
e
s p
.
(resp. S-anneau) à
(S))
e s t
a
r
ti
n
i . e n
(resp. noethérien).
Pl-oposi tiün
~
L'image homomorphe ct' un
I-anneau
(resp _ Sr-an ne au ) a q auche
est un I-anneau (resp. S-anneau) à gauche.
ProposiLion
~
n
(l~
i
~
A
: : . TT
d'anneClux
est un produit fini
i:::-l
n), alors A ~st un I-anneau (resp. S-anneaul à gallche si et
Si
seulement si chaque
A.
l
est un I-anneau (resp_ S-anneau)
q J
~
çauc~le_
3- PROPRIETES
~
Théorème
Soient
A
un anneau et
e
un idempotent de
un I-anneau (resp. $-anneau) à gauche,
A. Si
l'anneau eAe
alor~
A
est
est un
I-anneau (r8sp. S-anneau) à gauche.
Démonstratior..
A)
est un I-anneau à ga.uche.
Cas où
A
Soit
M
Considérons
le
A-module
A-endomorphisme
l'isomorphisme
restri ct .ion g
de
du eAe-rncdule
Donc
eM
M
l
M.
~
Soit
X
•
y
Img, car
élément de
un
~
un
~
ae ® x
Le A-module
Ml
M.
Sous-A-modu~e
em
ale(e
?osons
la forme
y
f
un
En
vertu
de
(I) .
ae e x, où
~
,
ey =
A.
L
i
eM'
l
M' •
Il
que
M
[fi
e
Ml
i
au I te
Ln
a
E
A, et
a Imf c Imf.
Par conséquent
sous-module
1 em cM' l .
par l'ensemble
et
em
sous-A-module propre de
r~sulte
::
A,
t-è
~
a lmg
M'
D'autre part,
i
~
aM
Soi t
engend~é
E
eA
~
x)]
donc la propriétê (1).
X
de
ou
i
®
art in ien.
~l'
:: eX :: M' .
_ e(eX)
il en
vérifie la propriété
de
Ml
véri~ie
A-module
eAe -mcdu Le
Dunc
M
soit
On a
M
y
est
~
(I ) .
eM
a
f
propriété
• l<
5
M, la
l
Me
est un endomorphisme injectif
eAe-modules
de
M,
~
Aee~e
A-module
injectif
la
et
vérifiant
eAe-rnodule
un
soit
et
eX.
prupre
QI\
M'
l
a
en écrivant
s':"
on
,L eÀ.(em)
.1
::.
de
~
cette
Ml' et comme
es: un eAe-module
eAe(eXl
égalité
Ml
~
M'
Mi
est un
que
est L.11 A-module artinien
artinie~.
B)
Cas où
Soit
A
est un S-anneau à gauche.
un
M
eAe-lOodule
Considérons le A-moduloe
Ml
vérifiant
Mo ~ {m E Ml / eam = 0, pour tout
un
sous-module
du
propriété
( S) .
a E A}. Il est clair que
Mo est
= Aee~eM
A-module
Ml
la
, et posons
et
l'on
a I ' Ls omor-ph i sme
de
eAe-modules e(Ml/M ) e;; M. Soit
f
un endomorphisme sur j ec t Lf du
o
A-module Ml/M. La restriction h de f
à e(Ml/M ) = M
est un
o
o
un endomorphisme surjectif du eAe-module M. Comme M vérifie la
(S ) ,
propriété
est un automorphisme du
h
un élément non nul de
avec
Ml/M
m
0
que
eam
est
•
0,
injectif.
vérifie
donc
,1 existe
Ml'
Il
la
en
propriété
M'
Le
O.
•
a
0,
Soit
,
fi
tel
car
h
A-module
conséquent
un sous-module propre du
Y = {m
Posons
Par
(S).
~
f(m)
résulte que
M.
•
et on a alors eaf (fi) = f (e em ) = h (eam)
A-modclle noethérien. Soit
eAe-module M.
•
eAe-rnodule
E
1 erne M'},
M1/M
e;
soit
M:
le
o
sous-module du A-module MIl M ' engendré par eY::: M'
o
eM' 2 e(eY) = eY = M'.
d
:.)0
l
So.i t
et
J
Il
en
n
ou
À
n
E A
y, on a alors
E
r
maintenant
ê
s u I te
que
sous-module propre du
eM~
M' •
"
Ce
A-~odule ~l/M.
montre
Comme
que
1"1 ;
Est
',1 n
est un A-modu:e
M1/M
o
noethérien,
on en déduit que
théorème 2.4.
M
e s t; un eAe-module noethérien.
est ainsi complètement dêmont.r
93
é
•
Le
Théorème 3. 2,.
Soient A un anneau et
n un entier supérieur ou égal à 1.
l\.lors A est un T-anneau (resp. S-anneau) à gauche si et seulement
si l'anneau MnCA) des matrices carrées 11 x n à coefficients dans
A
est un I-anneau (resp, s-anneau) à gauche.
Avant
de
démontrer
le
théorème
on
3.2.,
va
montrer
le
résultat
suivant
e .. Cl
~ i,
j ~ n)
l'élément de
Mn(A)
dont toutes les
1J
conposantes sont nulles, sauf celle gui occupe lù i-ème ligne et la
Posons
j-ème colonne, ct qui est égale à
1.
Théorème 3. 3 .
Soient
d'ordre
pst
un
endomorphisme
un
endomorphisme
plus si
~
M
coefficients dans
à
11
un anneau,
A
W
(u~ique)
n
et
A
du
du
l'anneau des matrices carrées
(A)
M
A-module
M (Al
un
e.
n
. M,
alor
~OlO
Mn(A)-module M,
est injectif(resp. surjectif), alors
-
module.
Si
il existe
prolongeant
De
~.
west injectif
(resp. surjectif).
Démonstration,
PO$or.s
c'est à dire
n
si
m E M,
Ild rn )
_. j=1
I e ..
~(e . . m l Ll.
A-I i.né a i
re .
DO:1C
pour
est
v
c La i r
.l.a]
)1 0
montrer
que
est
suffit de montrer qUG
\lJ:ektml = e k i lJJI:ml, pour t.ou t
k
et
e
(1
~
k,,c"' n} .
que
est
e.. 1>
J1 a
Or on a
n
-z.
d~l
ek t e
rp(e
di o
i dm)
a
n
=
=
M
est
Donc
n
•
rp
supp oson s
"a'
]
I/J (/II)
Et
inje ctif, et soit
il
est
clai r
m
tel que
FM
l/J(m)
:::
impl ique
la
eiKm ::: 0,
pour
tout
K:::'
l, ... , n
o
eMkm = e
ki
a
O. Alor s
o.
=
inje ctif) . Donc , pour tout
I/J
est
que
n ) / on a
O. Donc pour tout
=
<pIe . . m )
qui
ki
<pIe. dm)
"O
0
à
=
Ce
e
(Al- linéa ire.
W
restr ictio n de
[ ~=1 e d i
ek l
(c o r
est
k ~ l, ... ,n
(eiKm ) ::: 0, d'où
a
est donc injQ ctif.
"'Sup poson s
i l exis te
rp
m.
J
surj ectif ,
E M
et soit
heM .
POIJr tout
poson s
tel que
95
J
_
l, . . . , n,
0
m
=
j~i
m.
e ..
00
)
)lO
a
0
~ (m )
=
kt
eki
<pee. km)
l
0
0
n
=
kt
eki
/p[e i
0
0
n
~
Ji
e
ki
rp(e
0
i
(jL
k)
0
k
0
i
e
)l
m) ]
0
J
m
0
n
~
kt
eki
e.
l
a
0
k
h
0
~
~
~
ekkh
h.
est donc injectif.
l/J :
Unicité de
iJ '
kt
(rn
1
iJ'
~
[Ji
Soit
!/J'
un prolongemerlt de
à
M. On a
0
e., (e .. ro>]
J~o
p
=
~oJ
Jti
e.
)e
~' (e.
l
0
oJ ml
0
~
Donc
~'
=
J~leJlOrp{el 0) ml
Suppo aona
Lr-e sp .
et
!/J(rn) .
~.
Démonstration du théOLème
gauche,
=
que
soit
M
A
un
~
soit
un
I-anneau
Mn(A)-module
vè ri f i an r;
(S)). D'après le théorème 2.6, pour tout
est un A-module vérifiant
( r esp . noe t hé r i en )
(i.::
(T)
Lr e s p .
l, . . . .n I .
(resp.
(S)).
Donc
la
l:::
e .. 1'1
H
à
5-anlleauJ
propriété
l,
est
.,n,
(1)
e .. H
n
a r t in i e n
Il en rê s u Lt.e que le A-moclule
M :
ellM
0
ennM
0
conséquent
M
est
un
est
Mn (A)-module
Inversement supposons que
à gauche, et soit
( r-es.p .
N
[a
F ( e .. N')
F
si
de
F
=
ï
r-e sp .
z
a
surjectif),
alors
la
restriction
n
le
(resp.
(5)).
Mn(A)-module
tels que
N
l
ç
est
N'
Nlet
deux
N2
artinien
sous-modules
du
N2, Alors
N'
2
n
que
théorème 3.2
Corollaire
on
11
sont des sous-modules du
résul te
(l::o;:i~n),
i
est un automorphisme du A-module e .. N', ce qui
noethérien) .Soient
{l
tou t
est bijectif, On en déduit que le M (A)-module N'
conséquent
A-module N
pour
11
vérifie la propriété (Il
Lr e sp .
e.;.; N ' . Or ,
A-module e .. N' iOl:N.
11
implique que
Mn(A)-module N'. Pour tout
..L..L
e .. N'
à
F
ç
est injectif
F
x
nn n
on a
II
l'isomorphisme de
l
+a
un endomorphisme du
e .. F ( N')
::.
II
N'
(resp.noethérien).
est un Mn(A)-module pour le
]
nn
M, et pour tout i
Donc
Par
soit un I-anneau (resp. S-anneau)
EN}. N'
xn
xl"'"
· .... a
nl
Soit
X E
artinien
noethérien).
un A-module vérifiant la propriété (1)
r l l . · · .. aln
produit
Par
Mn(A)
(resp.
(S». Posons
/
Fi
artinien
est
N
un
M (A)-module N'
n
vérifiant
A-module artinien
(resp.
2,
ri
en
noethérien) .
Le
Ni Ç
N
est ainsi complètement démontré.
Ll
Soient
A
et
deux
anneaux
.' 7
équivalents
au
sens
de
Morita. Alors
A
B
seulement si
(resp. S-anneau) à gauche si et
est un r-anneau
est un I-anneau (resp. S-anneau) à gauche.
Démonstration.
Si
et
A
sont équivalents au sens de Morita,
B
existe deux entiers n
9
Soit
A
o.L
•
A(~ )
=
. = l,
, L
fEM(A), et
n
=
2
=
mA
(O) • Notons
Ac.
e
.i.
iEIN •
et
li.
k=
L ,
éléments de
S-ANNEAUX LOCAUX.
•
un anneau local d'idéal maximal
On suppose que
L
et
l-ANNEAUX
4 -
et deux idempotents
m
tels que l'on ait les isomorphismes d'anneaux:
M (BI
m
E
et
alors il
E
=
L
, ou, pour
k
si
0,
{O} .
mA
le (A,A)-bimodule libre
~
i
< 1,
c.
.i.
=
Soient
a.
(oi,k )kEI1/
et
"1
cr 2
End LA (l'anneau des endomorphismes
avec
les
deux
du A-module
à droite L), définis comme suit:
L ------)
L
{
=
L
si
i
=- l
si
i~2
.. - - -
Soit
ma
un élément non nul de
(ou tout simplement i\l)
et les élements de
l' appl Le at. ion
simplement
identi té
i\2) le
i\l-module
de
a
L.
id
L,
Posa n s
sous-anneau de
(resp.
mA" Posons
le sous-anneau de
la forme
éléments de la forme
de
o
aid
E
où
a
E
et
désigne
L
i\ (A,mo'O"z)
(ou tout
engendré par
Il est clair que
L,
i\2-modulel
a gauche
98
engendré par mou l
E A
en f in
i\(A,mo'O"I)
L
et
id
mou 2
a une
que
et
les
structure
pour
cette
structure
les
Al-endomorphismes
sont les A-endomorphismes de
m0 0' 2
(z-eap .
A2-endomorphismes)
qui commutent avec
de
f
commutant avec
moO'l
un A-endomorphisme injectif du A-module à gauche AL
moO'l' Avec ces notations on a :
un A-endomocphisme injectif du A-module à gauche
f
L
) .
Soit
Soit
AL
(resp.
commutant avec
moO'l. Alors
Lemme 4.1.
Pour
=
M(A),
tout
n
E
IN
•,
ma f
o.
Démonstration.
Ce lemme t.r adu Lt. le fait que
t c n- 1)'
où
l'on
pose
et
f
eux.
Pour tout
fIc)
n
où
rl E IN
•,
f(c
= i~n
r C.a.
~ ~,n
n
c n a n,n
+
est inversible dalls
a n,n
s'écrit
)
A,
et
+
k~'1
Ckffik,n
~
mk
,n
E
"»:
(
.
)
pour tout
k>n.
Démonstration.
où
Ecrivons
çar
f
est injectif. Or d'après le lemme
Il en césulte que,
=
pour tout
o.
Ce
4.J,
on
Ct
lC = 0_
\
m a
kj-l 0 k , k 1
k>l, on a
ak.l~ IliA-
qu a
implique
9?
que
():1, l
Par conséquent
est
inve r s i.b Le
dans A. Supposons que pour un entier
=
où
L
ô.a
i<n-l
a n-l,n-l
J. J.,n-
est
+
1
n>l
l'on ait
+ ')
c m
a
n-l n-l,n-l k'5'n-l k k,n-l
ô
inversible dans
A
et
pour tout
k>n-l.
Alors de la relation
mo~l[f(Cn)] ~ m f ( ô _ ) ~)
E ma
+ E
m ex
n-1 0 n-1,n-l
n 1
o
itn-l J. 0 .i s n-r L
f{E
est nécessairement de la forme
On déduit que
n)
=itn
') ô.a.
J. J.,n
avec
a
n,n
+
ô
+ ') c m
a
n n,n
k'5'n k k,n
inversible dans
A
et
m
k,n
E
mA
pour tout
k>n.
Lemme 4.3
Pour tout
n
c Imf.
ri * , mA ô
n
E
Démonstration .
D'après le lemme
4.2, on peut écrire
est inversible dans A et
où
pour
[(rrll:i
-1
l , lC l
i<n,
~ mal
l'on ait
un élément de
-1
, l [(El) ~ mal , l(Ela l
Soit
rnAEi
f(c)~fôa
n.
J.J.,n
l
m
-1
!
mAclc lmf.
0'00
k>l. Soit
+
n
C
ô
n
-1
c)
n,o n
~rna
-1
n,n
On a alors
l
une entier >1.
Supposons que pour tout
lmf. Ecrivons
où
a
n n,n
(k>n).Soit
f t mc
mA.
f(c)
n
On a alors
-f
.
l
n
l
ma-n,n a.l,n C.L
11~
C'
+
a
n,n
est inversible
(
Comme
i
= [ f
~
n
ma
fmœ
-1
c .) e lmf
l,n l
-1
(par hypothèse), donc
a.
n/n
(
c)
n/n n
.
1
~
ma
n
-1
a.
c.)
l,n l
n, n
]
lmf.
E
D'où le lemme 4.3.
Lemme 4.4. Pour tout n
€
~
•
C
lmf.
E
n
Démonstration.
Ecrivons
f([:l)
inversible et les
mk,l
clal,l-+-k~l[:k,lmk,ll
::
des éléments de
i~n
et les
=
[f
+ a
c.
a.
lin l
m
k ,n
(a -1 c
(ko n
n/n n
)
)
-
[:
n,n n
dans
)
a -1 a.
< n, l'on ait
+
€
) m
e
k,n k
k~n
[:.
1
E
avec
lmf. Ecrivons
a n,n inversible
On a alors
mA.
n,n l,n
i~n
a.l,n c]
1
On a alors
mA'
lmE. Soit n un entier> 1.
E
Supposons que, pour tout i
:: )
al , lest
lmf, car, d'après le lemme 5.3,
€
) a~ll m lC k]
[ k~l'
k,
où
c . - )' a - 1
k~n
1
n,n
Imf, car
lmf, d'après l'hypothèse de récurrence et
Lemme 4.5.
Le Al-module à gauche A L
n'est pas
1
1CI
2Irt~nlen_
Démonstration.
(L)
*
où pour
n E lN * 1 L ::; li) c.m
n nE~
n i>n ~ A
suite strictement décroissante de sous Al-modules de L.
La suite
Des lemmes 4.1,
4.3, et 4.4, on obtient le résultat suivant
4.2,
A L
Proposition 4.1.
est une
vérifie
(r ).
1
Soit maintenant
f
un A-endomorphisme surjectif du A-module
à gauche AL, commutant avec
m lf . On a les résultats suivants:
o 2
Lemme 4.1'.
Démonstration.
lemme
Ce
est
une
traduction
fait
du
que
f
et
commutent entre eux.
Lemme .!..:..L.
Pour tout n
où
a
n,n
E
lN * 1 f ( c ) : : ; c a
n n,n
n
est inversible dans
+~c.a.
.
l l,n
j,
n
(** )
A.
_Démonstration.
Soit
k
un entier
~
1. Supposons que
d'un coe f f .i c.i en t. .i nve r s ible,
Alors de
ne
peut
dans
El ne figure pas,
(** )
la décompos i tion
ITI11!:.i
de
la relation m lf
il résulte que cl
) 1 ::; mof(c +
k l),
o 2[f(E k
pas figurer, mu n t ct' un coefficient inversible, dans la
décomposition
(**)
nécessairement,
muni
de
f(c + l)· On en
k
d'un
coefficient
décomposition (**)
déduit
que
cl
inversible,
sinan on aurait cl
~
figure
dans
la
Imf.
Soit n un entier> 1. Supposons que l'on ait
=
c
a
n-1 n-l,n-l
+~
c:a
, - l'
·lll
,n
l
n-
1C' 2
avec
a n-l,n-1
inversible dans A. Des relations
= mo 0'2
l f (c n- 1) 1
= L n m0 a n-l,n-l
+
ma.
1.
J.,n-
)'
i~n-l 0
est nécessairement de la forme
C a
n ntn
m"
o n- l
+)'
i~n
C.a.
J. J.,n
a
avec
,
inversible
n,n
dans
At
car
4.2')
de
, n-: l ' O.
Lemme 4.3'.
Si
L
k
figure
dans
la décomposition
(Lemme
( * *)
muni d'un coefficient inversible dans A, alors L + figure,
k l
i),
muni d'un coefficient inversible, dans la décomposition (**) de
f{C
f(c i +l ) ·
Démonstration.
+
Si
dans A,
L . a.
J
J,
.,
avec
"k , l .
l
inversible
alors des relations
=
il résulte que
f(c +
i l)
+)'
f
A
)'
C,
j~k J+
l
avec
c.a··
j'1'k+l J
inversible dans
+
ma . .
a J,l
est de la forme
=
Lemme 4.4'.
Ok T
l ma
"k, l.
J,l+ l
ak+l,i+l
d'oQ le lemme 5.3'.
est injectif.
Démonstration.
Soit
ou
l
y
un élément non nul de
est une partie de
~
•
1
MI A).
Ecrivons y =
non vide et finie,
) n
~,
L C.a.
iEr J. J.
et pour tout i E l,
a..i. un élément non nul de A. Soit
(~n
k(n )
soit
o
figure,muni
(**)
d'un
f (c
de
et pour tout
no
i
le
plus
r.
un anneau local,
D'après
entiers
inversible,
le lemme
f(y)
j
dans
4.2' ,
tels
que
f (y)
et
c
j
décomposition
la
pour tout entier
f~k
Ln )
o
(H: )
est
est donc de la forme
+
résulte que
Lemme
des
E
=
f(y)
grand
coefficient
).
o le plus grand entier de l
figure dans la décomposition
I\(n o}'
cl
avec un coefficient non iversible dans A. Comme A
f(c.)
de
)
o
n
)'
i~(n
c·I3·,
)1
o.
avec
Il
en
1
o
O. Dr où le lemme 4.4'.
'le-
~.
Le A
à gauche A L
2-module
n'est pas noethérien.
2
Démonstration.
Pour
(H)
n nelN
*
tout
est une
n
IN
E
suite
*
n
soi t
H :: 0
n i::l
strictement
c.m "
croissante
est
Il
A
1
clair
sous-A
de
que
2-mod ules
de A L.
2
Avec les lemmes 4.1'
Proposition
~
4.2',
A L
4.3'
vérifie
et
4. 4 '
on a
(S).
2
Théorème
~
Soit
idéaux à
B
droite
un
anneau
local
sont bilatères,
dont
les
idéaux à
d'idéal maximal
gauche
ms
'le-
et
[al
les
avec
2 _
m B
{ol. On suppose qu'il existe un sous-anneau local A de B tel
que
B::
A + ms
(somme de
(A,A)-bimodulesL
Alors
si
B
~
A,
il
existe un B-module à gauche qui n'est pas artinien (resp. qU1 n'est
pas noethérien) et qui vérifie (Il
t r e sp .
(S)).
Démonstration.
à
Quitte
supposer que
mB
~
~1
Am
o
Œ
B = A
quotienter
B
par
un
est de la forme
B
~
idéal
A
Œ
convenable,
AmI ,où
~
mA
on
Am
peut
o'
AmI· Considérons alors les deux applications
0
Am
> "'1 = A(A,mo'O'l)
> aid + bm0"1
1
a + bm
1
et
~2
B = A e AmI
> "'2 = A(A,mo ' 0' 2 )
> aid + bm0"1
a + bm
1
Il est clair que
sont des homomorphismes surjectifs
et
/P
/Pl
2
d'anneaux. Le théorème résulte alors des propositions 4.4 et 4.4'
et des lemmes 4.5
et
4.5'.
Notation.Si A est un anneau,
J(A)
désigne
le radical
de Jacobson
de A.
Corollaire.
Soit
droite
B
un anneau dont les idéaux a gauche et les idéaux à
sont bilatères.
fini sur son centre
On suppose que
Z(B)
algèbre
séparable.
sont équivalentes :
et que
est
B
un module de type
B/J(B)est une
Z(B)/J(Z(B)iles
conditions
suivantes
Alors
11
B
est un I-anneau à gauche
2)
B
est un S-anneau a gauche
3)
B
est artinien et tout jdéal de A
est principal.
Démonstration.
L'équivalence
L'implication
[5],
B
est
2)
2)=~=>
<==~)
] )
est
1) est démontrée dans
artinien.
Comme
tout
démontrée
l)~~~>
[2].
idempotent
de
d'après [lJ, donc on peut supposer 8 local. Si B
non principal,
alors qUllte à quotieJlt par un
serait de la forme
U
~
I~
dans
B
[4
3). D'après
est
central
possédait un idéal
idéal convenable.
(sCmITle directe de A-modules)
l
est un sous-anneau local de 3 d'idéal ITlaxj.mal
A
Arn
: '-' ~,
J.
B
oG A
Arno * {a}
avec
ml * a et mOm l
serait absurde d'après le théorème
(voir
13]) .
Ce qui
REFERENCES
[Il
R.C. COURTER,
Finite dimension al right duo algebras are duo,
Proc. Amer. Math. Soc . , 84 (1982), 157 - 161.
[2]
A. KAIDI et M. SANGHARE, Sur les S-anneaux dont les idéaux à
gauche et les
idéaux à droite sont bilatères,
Cahiers Math.
Montpellier n° 39 (1992), 214 - 224.
[31
H.C. POP, On the Structure of Artinian rings
Comm. in Algebra 15 (11) (1987),
[4]
M. SANGHARE, On S-Duo-Rings, Comm. in Algebra
20 (8)
[5]
2327 - 2348.
(19921,
2183 -
2189.
M. SANGHARE, Subrings of I-rings and S-rings
(soumis à publication).
[6J
C.T. TSAI, Report on injective Modules, Queen's
papers in pure and Applied Mathematics n " 6.
(1965).
(A.J. COLEMAN, P. RIBENBOIM editorsl. Queen's UniversiLY,
Kingston, Ontario.
1
il (.
PROBLEMES OUVERTS
Les résultats obtenus dans cette Thèse confirment l'intérêt qu'il y a de poursuivre
l'investigation dans l'étude des I-anneaux et des Svarmeaux afin de trouver une réponse
à certains problèmes qui restent ouverts el de généraliser éventuellement certains résultats
déjà établis.
Nous laissons ouverts les problèmes suivants :
PROBLEME 1:
Un l-anneau à gauche est-il nécessairement artinien à gauche? Estil nécessairement de dimension globale pure à gauche finie?
PROBLEME Il ,
Les notions de I-anneaux et de S-anneaux sont-elles équivalentes en
général ?Un I-anneau (S-anneau) à gauche est-il un I-anneau (Sanneau) à droite?
PROBLEME III:
Un I-anneau (resp. S-anneau) aninien (à gauche et à droite) est-il de
type de représentation finie 7
A notre avis une réponse à l'un de ces problèmes pourrait donner des précisions
sur ce problème ouvert: un anneau sur lequel LoU( module à gauche est somme directe
de modules de type fini est-il de type de représentation finie?
107