Mécanique céleste
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ENS Lyon – L3 Sciences de la matière
Projet d’informatique
Mécanique céleste
Thibault Houver – Pierre Lidon
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Sommaire
Introduction
I – Eléments théoriques …………………………………………………………………………………………………p.3
I-1. Equations du problème à N corps
I-2. Idée du programme – Méthode de Runge Kutta 4
I-3. Caractéristiques du système solaire
I-4. Grandeurs conservées
II – Problème de deux corps en interaction newtonienne ……………………………….…………..…p.7
II-1. Obtention des différents types de trajectoire
II-2. Approche de la vitesse de libération
II-3. Grandeurs conservées
III – Etude du système à trois corps …………………………………………………………..…………………p.10
III-1. Obtention de divers types de comportements
III-2. Perturbation de la trajectoire de la Terre par l’ajout d’un satellite de même masse sur
une orbite proche
III-3. Résistance au passage d’un corps massif
IV – Le système solaire …………………………………………………………………………………………………p.14
IV-1. Position du problème – Conditions initiales
IV-2. Etude de la trajectoire des planètes
IV-3. La fin du système solaire : la mort du Soleil
IV-3.a) Modélisation
IV-3.b) Résultats
Conclusion
3
Un des premiers succès de la théorie de la gravité de Newton a été de proposer une
explication satisfaisante du mouvement des astres. Néanmoins, la résolution mathématique
des équations de ce mouvement s’avère ardue voire impossible.
Alors que le problème à deux corps en interaction se traite de façon relativement
simple, le problème se complexifie terriblement dès que l’on passe à un nombre de corps
plus important. Longtemps considéré comme impossible à résoudre, le problème à trois
corps admet en fait une solution analytique sous forme de série ( Karl Sundman, 1909 ) mais
dont la convergence est beaucoup trop lente pour pouvoir être exploitée en physique. Des
problèmes comme le mouvement des astres du système solaire apparaissent alors comme
insoluble analytiquement.
L’apparition de l’outil informatique a permis une grande progression dans l’étude du
problème à N corps, et donc dans l’étude de la mécanique céleste. Le but de ce projet est de
créer un programme capable de résoudre de façon approchée les équations différentielles
non linéaires couplées du problème à N corps, et de l’exploiter, pour l’étude de la
mécanique céleste en particulier.
Nous exposerons tout d’abord les éléments théoriques du problème. Ensuite, nous
étudierons le problème à deux corps, qui nous permettra de vérifier le fonctionnement du
programme, puis nous passerons au problème à trois corps, et enfin, à celui de l’étude du
système solaire.
I – Eléments théoriques
1. Equations du problème à N corps
On considère N corps en interaction Newtonienne. Le corps i subit de la part du corps
j une force :
=
3 (
).
Le système à N corps répond donc au système d’équations différentielles suivant :
1; ,
=
3 (
)
=1
A priori, les coordonnées polaires sont plus adaptées à ce type de problème, mais il
est plus simple de se placer en coordonnées cartésiennes pour réaliser le programme.
On a donc à résoudre le système :
4
1; ,
=
3 = (1,,)
=1
=
3
=1
=(1,,)
=
3 ( )
=1
=(1,,)
Et l’on a introduit la fonction Fi que l’on réutilisera par la suite :
3
=1
= (1,,)
2. Idée du programme - Méthode de Runge-Kutta 4
La méthode de résolution d’équations différentielles choisie est celle de Runge-Kutta
4. Elle permet a priori de résoudre les équations différentielles de la forme :
= (,)
Elle permet également de résoudre des équations différentielles du second ordre. En
effet, dans notre cas, notons y0 la matrice 6xN dont la colonne i contient les coordonnées et
les vitesses cartésiennes de la planète 1 :
,
,
,
1;
=
1;
.
5
On a dès lors : 0=
1;
=0 où F est un opérateur s’appliquant à
des matrices défini par :
=
(1,,)
(1,,)
(1,,)
avec les notations du I-1).On se
ramène donc à une équation différentielle du premier ordre pour un vecteur.
Dans notre cas, cette méthode consiste à introduire quatre vecteurs :
1
= 0
2
= ( 0+
21
)
3
= ( 0+
22
)
4
= ( 0+ 3
)
, où dt est l’intervalle de temps.
La solution à t + dt connaissant la solution à t est donnée par :
0,+ = 0,+
6 (1
+ 2 2
+ 2 3
+ 4
)
Enfin, nous nous plaçons dans le référentiel barycentrique du système. Pour cela,
nous en calculons les coordonnées et vitesses initiales, moyenne des coordonnées et
vitesses de nos planètes pondérée par les masses. Par la suite, étant donné que l’on a fourni
une impulsion initiale au centre de masse, il n’est plus nécessaire de changer de référentiel à
chaque itération.
3. Caractéristiques du Système Solaire
Par ailleurs, il est impératif de se munir d’un jeu d’unités pertinent. Nous avons donc
exprimé les masses en unité de masse solaire, les distances en unité astronomique, et les
temps, en année. Dans ce système d’unités, la constante universelle de gravitation vaut
G=39,4.
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1
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100%
