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NIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL
FACULTÉ DES SCIENCES
Rabat
Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc
Tel [phone]/38, Fax : [phone], http://www.fsr.ac.ma
N° d’ordre 2350
THÈSE DE DOCTORAT D’ETAT
Présentée par
Mustafa CHADLI
Discipline : Mathématiques pures
Spécialité : Théorie du Potentiel
Titre :
APPROXIMATION BIHARMONIQUE
ET
MORPHISMES BIHARMONIQUES
Soutenue le 13 Juillet 2007
Devant le jury
Président :
Awatif SAYAH Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat.
Examinateurs :
Mohamed EL KADIRI Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat.
Belmesnaoui AQZZOUZ Professeur à la Faculté des Sciences
Economiques, Juridiques et Sociales, Salé.
Hassan EL AMRI Professeur à l’Ecole Normale Supérieure,
Casablanca.
Zinelabidine ABDELALI Professeur à la Faculté des Sciences, Rabat.

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Avant Propos
Cette thèse a été effectuée au sein de Département de Mathématiques et Informatique de la
Faculté des Sciences de Rabat, sous la Direction du Professeur Mohamed EL KADIRI.
Au terme de ce travail je tiens à exprimer ma profonde gratitude à mon Directeur de thèse
Monsieur M. El KADIRI, Professeur à la faculté des Sciences de Rabat, Université Mohamed
V, Agdal. Sa compétence, sa disponibilité et ses qualités humaines ont été d'une grande
importance pour la définition et l'orientation de cette thèse.
J'adresse mes vifs remerciements à Madame A. SAYAH, Professeur à la faculté des
Sciences de Rabat, Université Mohamed V, Agdal de m'avoir fait l'honneur de présider mon
jury de thèse.
Tous mes remerciements vont aussi à Monsieur B. AQZZOUZ, Professeur à la faculté des
Sciences Juridiques, Sociales et Economiques de Salé, d'avoir accepté d’être mon rapporteur
de thèse, aussi de m'avoir honoré par sa présence parmi les membres de jury.
Que Monsieur H. EL AMRI, Professeur à l'Ecole Normale Supérieure de Casablanca,
trouve ici l'expression de ma gratitude pour l'intérêt qu'il a porté à ma thèse et de son accueil
toujours chaleureux.
Je remercie Z.E. ABDELLAH, Professeur Habilité à la faculté des Sciences de Rabat,
Université Mohamed V, Agdal de m'avoir honoré par sa présence parmi les membres de jury.
Je dédie ce travail à la mémoire de Mon Père Feu Hadj CHADLI SALAH
IBN BATTOUL.
CHADLI

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Tables des Matières
Avant propos
Introduction
Chapitre 1 : Problème d’élasticité
1 Problème spatial…………………………………………………………………2
2 Problème plan…………………………………………………………………...3
3 Flexion de lames………………………………………………………………...6
4 Equilibre de la plaque encastrée……………………………………………….10
5 Conclusion……………………………………………………………………..11
6 Référence………………………………………………………………………12
Chapitre 2 : Fonctions Polyharmoniques Classiques
1 Notations………………………………………………………………………..2
2 Propriétés locales……………………………………………………………….3
2.1 Généralisation du théorème de Gauss et sa réciproque……………….3
2.2 Formule d.Almansi……………………………………………………8
2.3 Fonctions sousharmoniques et surhamoniques………………………10
3 Domaines non bornés………………………………………………………….12
3.1 Inégalités fondamentales…………………………………………….12
3.2 Suites de fonctions polyharmoniques………………………………..15
3.2.1 Propositions préliminaires…………………………………………15
3.2.2 Extension du premier théorème de Harnak………………………...15
3.2.3 Extension des théorèmes de M.Paul Montel……………………….16
4 Les problèmes de frontière pour les fonctions polyharmoniques……………...17
4.1 Formule généralisée de Green………………………………………..17
4.2 Formule de Boggio…………………………………………………...18
4.3 Problème de Riquier………………………………………………….19
4.4 Fonction de Green d.ordre p de second espèce………………………20
4.5 Cas des boules………………………………………………………..22
4.5.1 Cas biharmonique…………………………………………..22
5 Références……………………………………………………………………...23

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Chapitre 3 : Espace Harmonique et Espace Biharmonique
1 Axiomatique des fonctions harmoniques………………………………………..2
1.1 Les axiomes. Fonctions harmoniques…………………………………2
1.2 Quelques conséquences de l.axiome de convergenc (3) de M. Brelot...3
1.3 Applications…………………………………………………………...4
2 Axiomatique des fonctions biharmoniques……………………………………...6
3 Fonction hyperharmonique pure d’ordre 2……………………………………...9
4 Références……………………………………………………………………...10
Chapitre 4 : Approximation Uniforme Des Fonctions Continues sur un
Ensemble Compact K de Rn Par Des Fonctions
Biharmoniques auVoisinage de K
1 Introduction…………………………………………………………………… .2
2 Mesures biharmoniques…………………………………………………………2
3 Fonctions .nement biharmoniques………………………………………………5
4 Approximation des fonctions continues par des fonctions biharmoniques……..7
5 Remarques et conclusion………………………………………………………10
6 Références……………………………………………………………………..11
Chapitre 5 : Approximation Biharmonique Globale dans
un Ouvert de Rn d’une Fonction Biharmonique au
Voisinage d’un Compact
1 Introduction et Position du problème………………………………………….. 2
2 Polynômes harmoniques homogènes et fonctions harmoniques dans une
intersphère……………………………………………………………………... 2
3 Polynômes biharmoniques et fonctions biharmoniques dans une intersphère…. 4
4 Approximation par une fonction biharmonique globale………………………...7
5 Références...……………………………………………………………………..9
Chapitre 6 : Morphisme Biharmonique
1 Introduction……………………………………………………………………...2
2 Résultats préliminaires…………………………………………………………..3
3 Morphisme biharmonique……………………………………………………….7
4 Caractérisation des morphismes biharmoniques propres………………………10
5 Morphisme biharmonique entre les variétés Riemanniennes…………………..15
6 Réferences .…………………………………………………………………….18

INTRODUCTION
La théorie du potentiel faisait au début partie de la physique mathématique;
elle regroupait les études sur l’attraction newtonienne et l’électrostatique.
Sa liaison avec les équations aux dérivées partiellees remonte à Laplace qui a
montré qu’en déhors de masses la fonction potentielle (Lagrange, 18e siècle), d’où
découlent les forces attracives, satisfait à l’équation di¤érentielle qui porte son
nom.
Depuis, elle a exercée une in‡uence profonde sur plusieurs branches des mathé-
matiques en posant et résolvant des problèmes di¢ ciles et en suscitant l’introduction
ou le perfectionnement des méthodes nouvelles (méthodes variationnelles de Gauss-
Dirichlet-Hilbert, balayage de Poincaré, distributions de Schwartz, capacité et
théorie des éléments extrémaux de Choquet, etc.
On distinguera en gros deux grandes étapes :
1. Théorie classique
1Le problème de l’équilibre, consistant de trouver sur un conducteur S(fron-
tière d’un ouvert borné !) la distribution d’une masse donnée pour que le
potentiel soit constant sur S; elle correspond sur un minimum d’énergie.
2Le problème de balayage, qui consiste à partir de masses sur !à en trouver
d’autres sur S engendrant le même potentiel dans le complémentaire de !. Il
traduit le phénomène d’in‡uence électrostatique, où des masses intérieures
à un conducteur relié au sol font apparaitre sur le conducteur des masses
dont le potentiel à l’extérieur annule celui des masses intérieures.
3Le problème de Dirichlet, qui consiste à chercher dans !une fonction har-
monique h, c’est-à-dire h= 0 dans !où est le laplacien, prenant sur la
frontière les valeurs d’une fonction réelle …nie continue donnée.