1er principe - p l a f . o r g

Sciences physiques
EXERCICES
T1610
T10. Compression d'un solide.
Un solide a un coefficient de compressibilité isotherme χT = −
1  ∂V 

 qu'on supposera constant, (c'est-à-dire
V  ∂p  T
indépendante de V, p, et T). Il subit une transformation isotherme telle que la pression passe des valeurs p1 à p2.
1) Pourquoi peut-on dire que p = pe à chaque instant ?
2) Calculer le travail reçu par ce solide. Application numérique : χT = 10-11 Pa-1 ; p1 = 1 bar, p2 = 100 bar, V = 1 l.
Note : on supposera la variation de volume du solide suffisamment faible pour être négligée devant le volume luimême. Vérifier cette hypothèse.
3) Comparer au travail que recevrait un gaz parfait de même volume initial sous la pression p1, lors d'une
augmentation identique de la pression.
T11. Puissance d'une pompe.
Calculer la puissance d'une pompe servant à comprimer quasistatiquement à la température constante de 0°C, 1 m3
d'air (assimilé à un gaz parfait) par minute de 1 atm à 3,5 atm. Rappel : 1 atm = 1,013 bar.
Rép : 2115 W
T12. Calculs de différents travaux reçus par un gaz parfait
On comprime une masse de 1 kg d'air, de température Ti = 300 K et de pression pi = 2 bar, de telle sorte que son
volume initial soit réduit de moitié. Sachant que l'air peut être considéré comme un gaz parfait diatomique, de masse
molaire M = 29 g.mol-1, calculer le travail qu'il reçoit dans les évolutions suivantes pour lesquelles l'équilibre
mécanique est réalisé. On donne R = 8,314 J.K-1.mol-1 et γ = 7/5.
1) La compression se fait à la pression constante pi.
2) La compression est isotherme à la température Ti.
3) La compression est adiabatique et réversible.
4) La compression suit la loi : p V k = Cte, dite loi des transformations polytropiques. Comparer graphiquement ce cas
aux précédents en supposant 1< k < γ.
T13. Détente adiabatique quasistatique d'un gaz parfait diatomique
1) Etablir la relation entre la température et la pression d'un gaz parfait au cours d'une évolution adiabatique
réversible.
2) Un gaz parfait diatomique subit une détente adiabatique réversible entre l'état initial (pi = 5 bar, Ti = 323 K) et
l'état final à la pression de 1 bar. On donne γ = 7/5. Calculer sa température finale.
Rép : 204 K
T14. Travail reçu par un gaz parfait diatomique au cours d'une évolution adiabatique
Une masse de 1 kg d'air, assimilé à un gaz parfait diatomique, subit une compression adiabatique qui fait passer sa
température de Ti = 293 K à Tf = 333 K. Trouver l'expression du travail nécessaire à la compression. Application
numérique : on donne : CVM = 5R /2 ; M(air) = 29 g.mol–1, R = 8,314 J.K–1.mol–1. Note : on n'utilisera pas la loi de
Laplace.
Rép : 28,7 kJ
T15 Travail et équation d'état.
1) Un gaz obéit à une équation d'état de la forme : p(V – b) = nRT (b est un volume constant). Quel travail faut-il
fournir à n moles du gaz dans une transformation isotherme lors de laquelle le volume passe de V1 à V2?
a 

2) Même question pour un gaz obéissant à l'équation d'état :  p +
 (V − b ) = nRT (a, b constantes).
V ²

T16. Étude d'un gaz.
Les transformations adiabatiques d'une masse constante d'un certain gaz a priori imparfait obéissent à la relation :
p V B = constante; (B : constante caractéristique du gaz considéré).
1) Soient alors deux états (p1, V1) et (p2, V2) sur une même adiabatique.
Application numérique : B = 5/3 ; V1 = 1 L ; p1 = 32 bar ; V2 = 8 L.
1-a) Calculer la pression p2 .
1-b) Exprimer la différence d'énergie interne entre les deux états 1 et 2.
p V − p1V1
Montrer que ∆U (1 → 2 ) = 2 2
B −1
1-c) Calculer le travail W et la chaleur Q reçus par le système dans la
transformation 1→3→2, le travail et la chaleur reçus sur 1→4→2.
2) L'énergie interne du gaz étudié est de la forme : U = A.p.V (où A est une constante). Calculer :
2-a) la constante A.
2-b) la chaleur reçue par le système lors des processus 1→3 ; 3→2 ; 1→4 ; 4→2.
2-c) Calculer ∆H(3→2) et ∆H(1→4). On rappelle que H = U + pV .
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T2317
EXERCICES
T17. Chauffage d'un gaz.
Un gaz G dont l'énergie interne est de la forme : U = A.p.V (où A est une constante) est maintenu
dans une enceinte adiabatique rigide de volume V. Une résistance R, de capacité calorifique
négligeable y est immergée; elle est parcourue par un courant d'intensité I constante.
1) Effectuer le bilan énergétique du gaz G, puis de la résistance R, et enfin de l'ensemble {R+G}. Le
processus subi par le gaz G est-il adiabatique ? et celui subi par l'ensemble {R+G}?
2) Donner l'équation différentielle qui fixe la variation de la pression p en fonction du temps t.
T18. Chaleur cédée à un fluide
Un corps solide, de masse 5 kg, en mouvement de translation dans un fluide visqueux, a sa vitesse qui passe de 9 m/s
à 1 m/s et son altitude qui diminue de 2 m. Sachant qu'il cède un travail de 50 J au milieu extérieur, en raison des
forces de frottement, et que sa température reste constante ainsi que son volume, calculer la quantité de chaleur que
ce corps fournit au milieu extérieur. On prendra g ≈ 10 m/s².
T19. Étude de différentes transformations subies par un gaz.
On considère une masse de dioxygène m = 50 g à la température de -15°C et à la pression de 1,2 bar.
On donne la masse molaire du dioxygène M = 32 g.mol-1 ; CVM = 20,8 J.K-1.mol-1 ; CPM = 29,1 J.K-1.mol-1. Le gaz est
considéré comme parfait. On déduira R de la relation de Mayer.
1. On chauffe lentement ce gaz jusqu'à la température de 50°C, à pression constante. Calculer :
a) la variation d'énergie interne et la variation d'enthalpie du système.
b) la quantité de chaleur échangée.
c) la quantité de travail échangée, par deux méthodes.
2. On chauffe ce gaz jusqu'à la température de 50°C, en maintenant son volume constant. Calculer :
a) la variation d'énergie interne et la variation d'enthalpie du système.
b) les quantités de travail et de chaleur échangées.
3. On comprime ce gaz jusqu'à ce que sa pression atteigne 3,5 bar, en maintenant sa température constante. Calculer :
a) la variation d'énergie interne et la variation d'enthalpie du système.
b) les quantités de travail et de chaleur échangées.
T20. Fusion d'un bloc de glace.
A la pression atmosphérique normale (1,013 bar), un bloc de glace de 4 kg initialement à 0°C se met à fondre par une
température ambiante de 8°C, température que prendra l'eau de fusion.
On donne la chaleur latente massique de fusion de la glace lF = 335 kJ.kg-1 et la capacité thermique massique de l'eau
c = 4,18 J.K-1.g-1. Par ailleurs, on indique que la glace occupait un volume initial de 4,4 dm3. Calculer :
a) la variation d'enthalpie du système.
b) la quantité de travail échangée. Conséquence ?
T21. Apéro
On plonge un glaçon cubique de côté a = 3 cm à la température Ti dans un volume V2= 20 cl d'eau à la température
T0 = 15°C. On suppose l'ensemble {eau + glace} isolé thermiquement de l'extérieur. Quelle est la température finale ?
Application numérique :
1) Ti = – 18°C
2) Ti = – 4°C
Données (supposées constantes tout au long du processus) :
masse volumique de la glace à 0°C : µ1= 917 kg·m–3
capacité thermique massique de la glace à 0°C : c1 = 2,06 kJ·kg–1·K–1
capacité thermique massique de l'eau à 0°C : c2 = 4,217 kJ·kg–1·K–1
chaleur latente massique de fusion de la glace à 0°C : lf = 333 kJ·kg–1
Rép : 3,7 °C ; 4,4 °C
T22. Compressions quasistatiques adiabatiques d'1 litre d'azote
1) On fait subir une compression quasistatique adiabatique à 1 litre d'azote considéré comme parfait (γ = 1,4) pris
dans les conditions normales avec un rapport volumétrique de 1,9. Calculer la pression finale, la température finale et
le travail reçu par le gaz. On donne pi = 101325 Pa et 0°C = 273,15 K ; R = 8.314 J.K-1.mol-1.
2) Mêmes questions que précédemment, avec les mêmes conditions initiales, mais le volume final étant cette fois
999,6 cm3. On donnera la variation relative de pression.
T23. Gaz suivant les deux lois de Joule
Montrer qu'un gaz qui suit les deux lois de Joule est un gaz parfait.
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Sciences physiques
EXERCICES
T2924
T24. Détente adiabatique d'un gaz monoatomique
Un gaz monoatomique est maintenu à une pression de 3 bar et à une température 300 K, dans une enceinte
cylindrique de volume Vi = 1 l, grâce à une masse M posée sur un piston de masse mp = 1 kg. Le piston est à une
hauteur hi = 30 cm. On enlève la masse M, ce qui permet au gaz de se détendre, de façon adiabatique, jusqu'à la
pression finale d'équilibre pf ; le volume est alors Vf. On désigne par pa = 1 bar la pression atmosphérique.
Application numérique : On donne CVm= 3R/2 et on admet que l'équation d'état du gaz est celle d'un gaz parfait.
1) Calculer la valeur de la masse posée sur le piston et la pression finale pf.
2) Effectuer le bilan énergétique de la transformation. La transformation ne pouvant pas a priori être considérée comme
quasistatique, on n'appliquera pas la loi de Laplace. On exprimera indépendamment W et ∆U en fonction de pi, pf, Vi, Vf.
3) Trouver les rapports a =Vf /Vi et b = Tf /Ti.
4) Calculer pi .Vi γ et p f .Vf γ.
T25. Energie électrique fournie à un ensemble de deux gaz parfaits
On considère un récipient à parois rigides et calorifugées contenant deux gaz parfaits
diatomiques séparés par une paroi intérieure adiabatique mais mobile ; les volumes
occupés par chaque gaz A et B peuvent donc varier. Initialement les paramètres du
système sont : p0 = 1 bar, T0 = 300 K, et V0 = 1 l pour chaque gaz (voir figure). Un
générateur électrique fournit de l'énergie au gaz A par l'intermédiaire d'un conducteur
ohmique, de résistance R = 10 Ω parcouru par un courant continu I = 1 A, pendant une
durée τ au bout de laquelle le volume du gaz A atteint la valeur VA = 1,1 l. L'état est alors
défini par les valeurs : VA, VB, pA, pB, TA, TB.
1) Etablir les équations reliant l'état initial et l'état final. En déduire qu'une équation
supplémentaire est nécessaire pour connaître l'état final du système.
2) On admet l'équation supplémentaire suivante : TB.VBγ-1= cste, avec γ = 1,4. Trouver
l'état final et la durée τ.
T26. Calculs de différents travaux reçus par un gaz parfait entre des états extrêmes identiques
On comprime une mole de dioxygène, assimilé à un gaz parfait diatomique de
température Ti = 300 K et de pression pi = 1 bar, jusqu'à une température Tf = Ti et une
pression pf = 5 bar.
La compression peut se produire de deux façons différentes (voir figure) : la première
AiIAf est isotherme et la seconde suit le chemin AiEAf.
1) Calculer le travail qu'il reçoit au cours de l'évolution AiIAf. En déduire la chaleur reçue.
2) Mêmes questions au cours de l'évolution AiEAf.
On donne : R = 8,314 USI ; CVM = (5R)/2.
T27. Détente de Joule / Gay-Lussac
Un gaz contenu dans un récipient A se détend dans le récipient B, initialement vide, après ouverture du robinet R.
L'ensemble est thermiquement isolé de l'extérieur. Quel travail reçoit-il de l'extérieur? Y a-t-il une différence suivant
que la détente est brusque ou lente, (R étant très peu ouvert)?
T28. Freinage d'un véhicule
Une automobile de 836 kg roulant sur une route horizontale à 72 km/h s'arrête à l'aide de ses quatre freins à disques.
On assimile le véhicule à un solide en translation, ce qui revient à négliger les énergies cinétiques de rotation
(roues…). On suppose d'autre part que seule la température des disques est susceptible de varier : on assimile ceux-ci
à des cylindres de 10 cm de rayon et de 1 cm d'épaisseur, de masse volumique 8 g/cm3 et de capacité thermique
massique 0,42 J.K-1.g-1.
1) L'arrêt est brutal, de sorte que les échanges de chaleur avec l'extérieur sont négligeables. Quelle est l'élévation de
température des disques ?
2) L'arrêt est progressif, de manière à pouvoir considérer que la température des disques reste constante. Quelle doit
alors être la quantité de chaleur cédée à l'extérieur pendant le freinage ?
T29. Capacité thermique molaire du chrome
La capacité thermique molaire du chrome est donnée, en J.K-1.mol-1, en fonction de la température absolue, par la
formule : CM = a + bT - e/T² avec a = 22,4 ; b = 9,88.10-3 ; e = 1,84.105. On donne M(Cr) = 52 g.mol-1.
1) Calculer la quantité de chaleur échangée par 1,04 kg de chrome lors d'un chauffage monobare de 20°C à 200°C.
2) La capacité thermique molaire du chrome est maintenant assimilée à sa valeur moyenne entre 0 °C et 300 °C.
Calculer cette valeur. Quelle erreur relative ferait-on en calculant la chaleur précédente à l'aide de cette capacité
thermique moyenne ?
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Sciences physiques
EXERCICES
T3930
T30. Calorimétrie
1) Un calorimètre contient m0 = 95 g d'eau à T0 = 20 °C. On ajoute m = 71 g d'eau à Ti = 50 °C. Quelle serait la
température d'équilibre Tf si l'on pouvait négliger la capacité thermique du vase et des accessoires?
2) La température d'équilibre observée est 31,3 °C. En déduire la valeur en eau m’0 du vase et des accessoires.
3) Le même calorimètre contient maintenant m0 = 100 g d'eau à T0 = 15 °C. On y plonge un échantillon métallique
pesant m =25 g sortant d'une étuve à Ti = 95 °C. La température d'équilibre étant Tf = 16,7 °C, calculer la capacité
thermique massique c du métal. On donne pour l'eau c0 = 4,18 J.K-1.g-1 au voisinage de 15 °C.
T31. Mesure de la capacité thermique massique d'un liquide.
Dans un calorimètre dont la valeur en eau totale est m’0 = 200 g plonge un serpentin parcouru par un courant liquide
de débit qm = 1 g/s qui entre à la température Te = 15 °C et ressort à la température T’ du calorimètre. La température
initiale de ce dernier est T’i = 95 °C. Sachant que la température du calorimètre est descendue à T ’ƒ =70,8 °C au bout
d'une durée tƒ de 5 min, déterminer la capacité thermique massique c du liquide.
On donne la capacité thermique massique de l'eau c0 = 4,18 J.K-1.g-1.
Rép : 1,0 J.K-1.g-1.
T32. Mesure de la capacité thermique de l'hydrogène par une méthode stationnaire
On immerge, dans un calorimètre de capacité thermique totale (eau comprise) C = 2 kJ/K et de température
Ti = 288 K, un serpentin parcouru par de l'hydrogène qui entre à la température Te = 353 K et sort à la température Ts
du calorimètre. La pression de l'hydrogène est constante.
1) Montrer que T varie au cours du temps selon une loi de la forme : Ts(t) = Te – (Te – Ti).exp(–t/τ), τ étant une durée
caractéristique que l'on exprimera en fonction de C, de la capacité thermique massique cp du fluide et du débit
massique qm.
2) Au bout de 1 min 40 s, la température Ts atteint 323 K. En déduire cp sachant que qm = 1,2 g/s.
T33. Mesure de la capacité thermique massique d'un liquide par effet Joule.
On fait entrer un courant de liquide à 15 °C dans un tube très bien calorifugé contenant une résistance de 10 Ω
parcourue par un courant de 0,5 A. Déterminer la capacité thermique massique du liquide sachant qu'il sort à 18,3 °C,
et que le débit du liquide est qm =1 g/s.
Rép : 0,75 J.K-1.g-1.
T38. Cycle d'un turboréacteur
Tracer dans le diagramme de Watt le cycle quasistatique d'un turboréacteur, composé d'une compression adiabatique
AB, d'un chauffage isobare BC, d'une détente adiabatique CD, et d'un refroidissement isobare DA. Exprimer le
rendement en fonction du rapport de compression a = pB/pA, et du coefficient γ du gaz supposé parfait.
γ γ
Rép : η = 1 - a(1 - )/
T39. Cycle de Diesel
Dans le cycle de Diesel le premier temps (représenté par AB) est une compression
adiabatique de l'air seul avec un rapport volumétrique assez élevé. Le carburant n'est
injecté dans le cylindre qu'à partir de B. La température en B est suffisante pour que le
mélange s'enflamme spontanément (sans l'aide de bougies). Le taux d'injection est
réglé de manière que la pression reste constante pendant la phase BC de la détente.
On arrête l'injection en C et on laisse le mélange se détendre adiabatiquement selon
CD. En D le piston est alors au point mort bas : on suppose un refroidissement
isochore DA.
Exprimer le rendement du cycle en fonction du coefficient isentropique γ (supposé
constant et indépendant de la composition du mélange), du rapport volumétrique à la
compression a = VA/VB, et du rapport volumétrique à la détente b = VD/VC. On
suppose les gaz parfaits.
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