Connaissances géométriques

Géométrie plane
M1 EADM Lyon 1
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Qu’est – ce - que la géométrie ?
2
géo – métrie  mesure de la terre
C’est la partie des mathématiques qui a pour
objet l’étude de situations, d’organisations et
de relations de notre espace sensible.
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géométrie
 Des savoirs organisés en théories, dont certaines
ont des origines très anciennes (Euclide vers 300)
 Des objets : points, droites, segments, triangles,
quadrilatères, cercles, polyèdres, angles, . . .
 Des relations : l’appartenance, l’alignement, le
parallélisme, la perpendicularité, les
transformations (symétrie, agrandissement /
réduction, . . .), . . .
4
Des problèmes
Exemples
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Un problème de mesure
Dans une pièce « rectangulaire » on
souhaite tendre un fil entre deux sommets
opposés du plafond de cette pièce.
Comment déterminer la longueur du fil ?
6
Trois modes de résolution
Résolution "pratique", avec un fil et un escabeau…
Résolution "pratique", sur le papier, avec modélisation
des objets
(pièce = rectangle, ficelle = droite et règle pour
mesurer)
Résolution plus mathématique, avec mesurage et
utilisation de propriétés issues de la théorie
géométrique (théorème de Pythagore)
7
Un problème de construction
 Tracer un triangle dont les côtés
mesurent 5 cm, 9 cm et 4 cm.
8
9
10
11
Deux modes de résolution
 Résolution pratique : dessin du triangle à l’aide du
compas et constat :
 Les arcs de cercle sont tangents, le triangle est plat.
 Les arcs de cercles sont sécants, je trace le triangle, il existe
bien.
 Résolution mathématique :
 7 cm + 4 cm = 11 cm, on est dans le cas d’égalité de
l’inégalité triangulaire, le triangle est donc plat.
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Un problème d’identification
Exercice:
- ABCD est un carré
- AE = BF = CG = DH
E
A
B
H
Quelle est la nature du
quadrilatère EFGH ?
F
D
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G
C
Trois modes de résolution
 Résolution perceptive : si je tourne la feuille, je
vois bien que c’est un carré
 Résolution pratico-mathématique : mesurage
des côtés et des angles, utilisation des propriétés
géométriques du carré
 Résolution mathématique : raisonnement
(démonstration)
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Différentes démarches pour résoudre
un problème
 Résolution pratique : elle met en œuvre la
perception et des actions et des compétences
purement spatiales
 Résolution pratique qui s’appuie sur des
modélisations de l’espace qui nous entoure et qui
utilise des propriétés du modèle théorique
(pratico-mathématique)
 Résolution par un raisonnement théorique
mathématique (démonstration)
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Les problématiques
Berthelot et Salin
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« Où » est posé le problème ?
Et « où » se valide la solution ?
Dans l’espace sensible :
L’espace qui nous entoure
L’espace de la feuille de papier
L’écran de l’ordinateur
Ou bien c’est un problème interne
à la théorie
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Sur quels objets ?
 Des objets de la vie courante
 Des « objets graphiques »
 représentations d’objets de la vie courante
 dessins (géométriques)
 représentations d’objets théoriques (« figures »)
 Des « objets » théoriques = des concepts
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Dessin et figure
 Dessin : un objet du monde sensible, objet
graphique sur la feuille de papier, dont les
propriété peuvent être vérifiées par l’utilisation
des instruments
 Figure : une représentation graphique d’un objet
idéal, d’un concept géométrique, dont les
propriétés sont établies par déduction.
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Avec quelles connaissances ?
 Connaissances spatiales :
elles permettent à chacun de contrôler ses
rapports à l’espace par la perception
 Connaissances géométriques :
elles sont associées à des définitions et
propriétés géométriques utilisées
explicitement ou implicitement
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Les niveaux de géométrie
Houdement et Kuzniak
21
Intuition
 Fournit au sujet:
- Une théorie première basée sur un lot
d’évidences
- Un socle pour le raisonnement
 Est une source de découvertes.
 Peut être vue comme un ensemble de strates qui se
superposent et font oublier les premières
intuitions.
 Non stable, évolue grâce aux expériences.
Exemple : « par 2 points distincts, il passe une seule droite »
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Expérience
 Est non immédiate, action physique ou mentale
nécessaire.
 Lieu: espace mesurable.
 Outil: perception, instruments.
 Exemple: «la somme des angles intérieurs d’un triangle est
un angle plat»
SommeAnglesTriangle.ggb
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Déduction
 Permet d’atteindre de nouvelles informations
à partir de celles déjà acquises sans recours à
l’expérience.
 Fondée sur le raisonnement.
 Permet de réorganiser les apports de
l’expérience.
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Exemple: la somme des angles d’un
triangle
On trace la parallèle à [AC] passant par B, puis on utilise les
angles alternes – internes.
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Liens entre Intuition, Expérience,
Déduction
nourrit
1)
Expérience
Intuition
structure
2)
3)
« La déduction avance mais ne voit pas.
L’intuition voit mais n’avance pas. »
Évidence
issue de l’intuition #
renseignement
issu de l’expérience
Résultat d’une expérience # conclusion d’un raisonnement
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Géométrie naturelle (ou géométrie I)
(ou la confusion entre la géométrie et la réalité)
 La déduction s’exerce sur des objets matériels.
 Preuve dynamique et mécanique.
 Importance de la construction et la perception (pliage,
superposition).
 Source de validation: monde réel, sensible.
 Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.
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Géométrie axiomatique naturelle (ou
géométrie II)
 Géométrie comme schéma de la réalité.
 Importance de la déduction logique et de la démonstration
au sein d’un système axiomatique précis.
 Présence des 3 pôles.
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Géométrie axiomatique formelle (ou
géométrie III)
 Indépendance entre la géométrie et la réalité
 L’axiomatisation vise à être complète
 Vision algébrique de la géométrie
 Elle a émergé avec la naissance des géométries non –
euclidiennes
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Comparaison des Géométries
Géométrie I
Géométrie II Géométrie III
Sensible et
perceptive
Liée aux figures
Interne aux
mathématiques
Expérience
Liée à l’espace
mesurable
Schéma de la
réalité
De type logique
Déduction
Proche du réel et
liée à l’expérience
par la vue
Démonstration
basée sur des
axiomes
Démonstration
basée sur des
axiomes
Type
d’espace
Espace intuitif et
physique
Espace physicogéométrique
Espace abstrait
euclidien
Intuition
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La géométrie de l'école au collège
C1 et C2



Géométrie de la perception
Est vrai ce qui est "vu" comme tel
Boîte à outils : l’œil
Fin C2 et C3 et 6ème



Géométrie instrumentée
Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments
Boîte à outils : instruments
Collège (à partir de fin 5ème)


31
Géométrie déductive
Est vrai ce qui est démontré
Boîte à outils : théorèmes
Passage d’une géométrie de
niveau I à une géométrie de
niveau II
Dans les programmes
Dualité
Géométrie pratique
Géométrie théorique
- raisonnement, déduction
- démonstration
- dessin/outil-représentant
- expérience, intuition
- construction, reconnaissance
- dessin/objet matériel
6ème
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5ème
4ème
Dans les programmes
Classe de 6ème
Classe de 5ème
Classe de 4ème
Consolider « une
première expérience
des figures et des
solides en passant
d’une reconnaissance
perceptive à une
connaissance prenant
appui sur quelques
propriétés vérifiées à
l’aide d’instruments »
Prendre appui sur des
figures dessinées,
parfois à main levée.
Elaboration, rédaction
d’une démonstration.
Expérimenter,
conjecturer, justifier.
Initier les élèves à la
démonstration.
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Entretenir la pratique
des constructions
géométriques et des
raisonnements sous –
jacents qu’elles
mobilisent..
La géométrie au collège:
difficile transition de la géométrie I à la
géométrie II
Les élèves arrivant au collège naviguent dans leur
espace de travail attaché à la géométrie I
•L’espace de travail attendu par les enseignants de
collège est celui de la géométrie II
• Malentendus, puis rupture en 4ème.
•A qui est confiée la phase de transition ?
•
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