TD 4 – Les mathématiques euclidiennes

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UE 2H003 – Introduction à l’histoire des sciences Année 2015-2016
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TD 4 – Les mathématiques euclidiennes
Enseignant : Alexandre Guilbaud
([email protected])
Bibliographie secondaire :
Amy Dahan-Dalmedico & Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques : routes et
dédales, Point-Seuil, Paris, 1986.
L’édition de référence des Eléments d’Euclide (commentée et annotée) :
Euclide, Les Éléments, traduction et commentaires par Bernard Vitrac, Paris, PUF,
1990-2001 :
- volume 1, Introduction générale, Livres I à IV : Géométrie plane (1990)
- volume 2, Livres V à IX (1994)
- volume 3, Livre X (1998)
- volume 4, Livres XI-XIII (2001)
Une autre édition commentée (en ligne et en accès libre, mais en anglais) : text,
illustrations and comments of Euclid's Elements par David Joyce, Clarke University
[lien : http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html].
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Eléments d’Euclide (IIIe siècle avant notre ère)
Table analytique des propositions du livre I
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Prop. I. Sur une droite donnée et finie, construire un triangle équilatéral
Prop. II. Placer, en un point donné, une droite égale à une droite donnée.
Prop. III. Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à
la plus petite.
Prop. IV. Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les
angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales, ils
seront égaux, et les angles restants, sous-tendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à
chacun.
Prop. V. Dans les triangles isocèles, les angles sur la base sont égaux entre eux, et les côtés
égaux étant prolongés, les angles sous la base seront aussi égaux entre eux.
Prop. VI. Si deux angles d’un triangle sont égaux entre eux, les côtés opposés à ces angles
égaux, seront aussi égaux entre eux.
Prop. VII. Sur une même droite, et à deux points différents placés du même côté, on ne peut
pas construire deux droites égales à deux autres droites, chacune à chacune, et ayant les

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mêmes extrémités que ces deux autres.
Prop. VIII. Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et s’ils ont
la base égale à la base, les angles compris par les côtés égaux seront égaux.
Prop. IX. Partager un angle rectiligne donné en deux parties égales.
Prop. X. Partager une droite donnée et finie en deux parties égales.
Prop. XI. À une droite donnée, et à un point donné dans cette droite, mener une ligne droite à
angles droits.
Prop. XII. À une droite indéfinie et donnée, et d’un point donné qui n’est pas dans cette droite,
mener une ligne droite perpendiculaire.
Prop. XIII. Si une droite placée sur une droite fait des angles, elle fera ou deux angles droits,
ou deux angles égaux à deux droits.
Prop. XIV. Si à une droite, et à un point de cette droite, deux droites, non placées du même
côté font les angles de suite égaux à deux droits, ces deux droites seront dans la même
direction.
Prop. XV. Si deux droites se coupent mutuellement, elles font les angles au sommet égaux
entre eux.
Prop. XVI. Ayant prolongé un côté d’un triangle quelconque, l’angle extérieur est plus grand
que chacun des angles intérieurs et opposés.
Prop. XVII. Deux angles d’un triangle quelconque, de quelque manière qu’ils soient pris, sont
moindres que deux droits.
Prop. XVIII. Dans tout triangle, le côté le plus grand sous-tend l’angle le plus grand.
Prop. XIX. Dans tout triangle, le plus grand angle est sous-tendu par le plus grand côté.
Prop. XX. Deux côtés d’un triangle quelconque, de quelque manière qu’ils soient pris, sont
plus grands que le côté restant.
Prop. XXI. Si des extrémités d’un des côtés d’un triangle, on construit intérieurement deux
droites, ces deux droits seront plus petites que les deux cotés restants du triangle, mais elles
comprendront un plus grand angle.
Prop. XXII. Avec trois droites qui sont égales à trois droites données, construire un triangle.
Prop. XXIII. À une droite donnée, et à un point de cette droite, construire un angle rectiligne
égal à un angle rectiligne donné.
Prop. XXIV. Si deux triangles ont deux côtés égaux, chacun à chacun, et si l’angle de l’un
(celui contenu par les droites égales) est plus grand que l’angle de l’autre, sa base sera aussi
plus grande que la base de l’autre.
Prop. XXV. Si deux triangles ont deux côtés égaux, chacun à chacun, et si la base de l’un est
plus grande que la base de l’autre, l’angle de l’un sera aussi plus grand que l’angle de l’autre
(celui qui est contenu par les droites égales).
Prop. XXVI. Si deux triangles ont deux angles égaux, chacun à chacun, et un côté égal à un
côté, ou celui qui est adjacent aux angles égaux, ou celui qui est opposé à un des angles égaux,
ils auront les autres côtés égaux, chacun à chacun, et l’angle restant égal à l’angle restant.

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Prop. XXVII. Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entr’eux,
ces deux droites seront parallèles.
Prop. XXVIII. Si une droite tombant sur deux droites fait l’angle extérieur égal à l’angle
intérieur, opposé, et placé du même côté, ou bien si elle fait les angles intérieurs et placés du
même côté égaux à deux droites, ces deux droites seront parallèles.
Prop. XXIX. Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux
entr’eux, l’angle extérieur, égale à l’angle intérieur opposé et placé du même côté, et les
angles intérieurs placés du même côté, égaux à deux droits.
Prop. XXX. Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entr’elles.
Prop. XXXI. Par un point donné, conduire une ligne droite parallèle à une droite donnée.
Prop. XXXII. Ayant prolongé un côté d’un triangle quelconque, l’angle extérieur est égal à
deux angles intérieurs et opposés ; et les trois angles intérieurs du triangle sont égaux à deux
droits.
Prop. XXXIII. Les droites qui joignent, des mêmes côtés, des droites égales et parallèles, sont
elles-mêmes égales et parallèles.
Prop. XXXIV. Les côtés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux entr’eux, et
la diagonale les partage en deux parties égales.
Prop. XXXV. Les parallélogrammes, construits sur la même base et entre les mêmes
parallèles, sont égaux entre eux.
Prop. XXXVI. Les parallélogrammes, construits sur des bases égales et entre les mêmes
parallèles, sont égaux entre eux.
Prop. XXXVII. Les triangles, construits sur la même base et entre les mêmes parallèles, sont
égaux.
Prop. XXXVIII. Des triangles, construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles,
sont égaux entre eux.
Prop. XXXIX. Les triangles égaux qui sont sur la même base et du même côté, sont aussi
dans les mêmes parallèles.
Prop. XL. Les triangles égaux, construits sur des bases égales et du même côté, sont entre les
mêmes parallèles.
Prop. XLI. Si un parallélogramme a la même base qu’un triangle, et s’il est dans les mêmes
parallèles, le parallélogramme est double du triangle.
Prop. XLII. Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à un triangle
donné.
Prop. XLIII. Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes, autour de la
diagonale, sont égaux entre eux.
Prop. XLIV. À une droite donnée, et dans un angle rectiligne donné, appliquer un
parallélogramme égal à un triangle donné.
Prop. XLV. Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à une figure
rectiligne donnée.
Prop. XLVI. Décrire un quarré avec une droite donnée.

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Prop. XLVII. Dans les triangles rectangles, le quarré du côté opposé à l’angle droit est égal
aux quarrés des côtés qui comprennent l’angle droit.
Prop. XLVIII. Si le quarré d’un des côtés d’un triangle est égal aux quarrés des deux côtés
restants de ce triangle, l’angle compris par les deux côtés restants est droit.
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Schéma'de'la'structure'déductive'du'livre'I'des'Eléments)d’Euclide'
(d’après l’édition de Bernard Vitrac, vol. 1, p. 518)