Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010
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Nom : Prénom : Classe : Date : Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010 L’emploi des calculatrices n’est pas autorisé. Le sujet doit être traité directement sur le polycopié. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Partie numérique : 25 points Exercice 1 : Calculer les expressions suivantes : (8 points) A = -(11 + 4) + 17 – (9 – 1) E = [(28 – 3) × 2 + 1] × 3 – 15 + 2 × (10 – (- 7)) ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………............... …………………………………………………………………………………… B = (-3,5)×4×(-2)×(-0,25)×0,1 …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………….… ………………………………………………………………………………….. C = 64 : [16 : (-8)] F = 3 + 4 × 5 : [-5 + 2 × (-2,5)] – 2 × (-3) ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………... …………………………………………………………………………………… D = 12,5 – 4×(-5,8) – 4,2 …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………….. …………………………………………………………………………………… 1 Nom : Prénom : Classe : Date : Exercice 2 : Tester si les égalités sont vraies pour la valeur de x donnée. (4 points) x – 3,5 = -x + 2,5 pour x = 3 -x + 5 = -(-x – 12) + 4 pour x = -5,5 …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………… Exercice 3 : Ecrire les expressions mathématiques correspondantes : (2 points) a) Le produit de la somme de (-5,2) et de (-3,8) par 7,2 …………………………………………………………………..……………………………………… b) Le quotient de la différence de (-6) et de (-15) par la somme de 1,8 et de (-0,9). ………………………………………………………………………………………………..………… Exercice 4 : On note T = 10 – 7 × 4 – 6 × (-5) + 13 (travaillez sur votre brouillon) (2 points) Recopier et placer une paire de parenthèses dans l’expression T pour que T = -47. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Exercice 5 : (2 points) La température a chuté hier à – 5° avant de chuter ce matin de 3 degrés supplémentaires. La météo annonce 1 degré sur la région demain. De combien de degrés la température va-t-elle s’élever d’ici demain ? (Justifier) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2 Nom : Prénom : Classe : Date : Exercice 6 : (Justifier vos réponses) (3 points) a,b et c sont trois nombres relatifs non nuls dont on veut déterminer les signes. a) Déterminer le signe de a pour que le produit (-3) × (-9) × a × (-4) × (-7) soit négatif. Justifier. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….….. b) Quel sera alors le signe de b pour que le produit 10 × a × (-11) × b × (-1,7) × (-8,4) soit positif ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… a² ? bc ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… c) On suppose que c est un nombre négatif. Quel sera le signe du quotient Q = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 7 : Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou trouver un contre-exemple. (4 points) a) Le produit d'un nombre par -3 est toujours négatif. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. b) Si le produit de deux nombres est positif, alors ces deux nombres sont positifs. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. c) Si un nombre est divisible par 3 et 6 alors c’est un multiple de 18. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. d) Si la somme de deux nombres relatifs est un nombre positif, alors le produit de ces deux nombres est positif. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. 3 Nom : Prénom : Classe : Date : Partie géométrique : 15 points Exercice 1 : (5 points) ABCD est un losange de centre O. Soit (d) la droite parallèle à (BD) qui passe par C. Démontrer que (d) et (AC) sont perpendiculaires. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Exercice 2 : (5 points) 1) Pour chacune des trois propositions suivantes : Justifier si c’est une propriété ou dessiner un contre exemple. a) Si un quadrilatère possède 2 angles droits alors c’est un rectangle. b) Dans un triangle, si un angle est droit, alors les deux autres angles sont complémentaires. c) Si les longueurs des diagonales d'un quadrilatère sont égales, alors ce quadrilatère est un rectangle. 4 Nom : Prénom : Classe : Date : 2) Enoncer les réciproques de ces trois propositions précédentes. a) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… b) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. c) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Quelles sont, parmi ces trois réciproques, celles qui sont des propriétés mathématiques ? (Ne pas justifier) ………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme. (5 points) a) Justifier que (DA) est parallèle à (BC) …………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. b) Déterminer la mesure de l’angle a EDA (Justifier) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………….. c) Calculer a BDC .(Justifier) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………................................................................................................................................................................ 5 Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010 CORRECTION Partie numérique : 25 points Exercice 1 : Calculer les expressions suivantes : (8 points) A = -(11 + 4) + 17 – (9 – 1) A = - 15 + 17 – 8 E = [(28 – 3) × 2 + 1] × 3 – 15 + 2 × A=2–8 (10 – (- 7)) A = -6 E = (25×2 + 1)×3 – 15 + 2×17 B = (-3,5)×4×(-2)×(-0,25)×0,1 E = (50 + 1)×3 – 15 + 34 B = -14×0,5×0,1 E = 51×3 + 19 B = -0,7 E = 153 + 19 C = 64 : [16 : (-8)] E = 172 C = 64 : (-2) F = 3 + 4 × 5 : [-5 + 2 × (-2,5)] – 2 × (- C = -32 3) D = 12,5 – 4×(-5,8) – 4,2 F = 3 + 20 : (-5 – 5) + 6 D = 12,5 + 23,2 – 4,2 F = 3 + 20:(-10) + 6 D = 35,7 – 4,2 F=3–2+6 D = 31,5 F=7 .. Exercice 2 : Tester si les égalités sont vraies pour la valeur de x donnée. (4 points) x – 3,5 = -x + 2,5 pour x = 3 -x + 5 = -(-x – 12) + 4 pour x = -5,5 Pour x = 3, x – 3,5 = 3 – 3,5 = -0,5 Pour x = -5,5, - x + 5 = 5,5 + 5 = 10,5 Pour x = 3, -x + 2,5 = -3 + 2,5 = -0,5 Pour x = -5,5 : Donc x – 3,5 = -x + 2,5 pour x = 3 –(-x – 12) + 4 = -(5,5 – 12) + 4 = -(-6,5) + 4 = 10,5 Donc -x + 5 = -(-x – 12) + 4 pour x = -5,5 6 Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010 CORRECTION Exercice 3 : Ecrire les expressions mathématiques correspondantes : (2 points) a) Le produit de la somme de (-5,2) et de (-3,8) par 7,2 [(-5,2) + (-3,8)]×7,2 b) Le quotient de la différence de (-6) et de (-15) par la somme de 1,8 et de (-0,9). [(-6) - (-15)]/(1,8 + (-0,9)] Exercice 4 : On note T = 10 – 7 × 4 – 6 × (-5) + 13 (travaillez sur votre brouillon) (2 points) Recopier et placer une paire de parenthèses dans l’expression T pour que T = -47. T = 10 – 7 × (4 – 6) × (-5) + 13 T = 10 – 7×(-2)×(-5) + 13 T = 10 – 70 + 13 T = -60 + 13 T = -47 Exercice 5 : (2 points) La température a chuté hier à – 5° avant de chuter ce matin de 3 degrés supplémentaires. La météo annonce 1 degré sur la région demain. De combien de degrés la température va-t-elle s’élever d’ici demain ? (Justifier) Température hier : -5°C Température ce matin : -5 – 3 = -8°C Température demain : 1°C Différence de température entre demain et ce matin : 1 – (-8) = 9°C La température va s'élever de 9°C d'ici demain. 7 Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010 CORRECTION Exercice 6 : (Justifier vos réponses) (3 points) a,b et c sont trois nombres relatifs non nuls dont on veut déterminer les signes. a) Déterminer le signe de a pour que le produit (-3) × (-9) × a × (-4) × (-7) soit négatif. Justifier. (-3)×(-9)×(-4)×(-7) est positif (puisque le nombre de facteurs négatifs est pair). Donc pour que le produit (-3) × (-9) × a × (-4) × (-7) soit négatif, il faut que a soit négatif. b) Quel sera alors le signe de b pour que le produit 10 × a × (-11) × b × (-1,7) × (-8,4) soit positif ? 10×a×(-11)×(-1,7)×(-8,4) est positif (puisque le nombre de facteurs négatifs est pair). Donc pour que le produit 10 × a × (-11) × b × (-1,7) × (-8,4) soit positif, il faut que b soit positif. a² c) On suppose que c est un nombre négatif. Quel sera le signe du quotient Q = ? bc a étant positif alors a² sera positif. b étant positif et c étant négatif alors bc sera négatif. On en déduit que Q = a² sera négatif (quotient d'un nombre positif par un nombre bc négatif non nul). Exercice 7 : Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou trouver un contre-exemple. (4 points) a) Le produit d'un nombre par -3 est toujours négatif. Faux – contre-exemple : (-3)×(-5) = 15 et 15 est positif. b) Si le produit de deux nombres est positif, alors ces deux nombres sont positifs. Faux – contre-exemple : (-5)×(-3) = +15 : le produit est positif pourtant (-5) et (-3) ne sont pas positifs. c) Si un nombre est divisible par 3 et 6 alors c’est un multiple de 18. Faux – contre-exemple : 6 est divisible par 3 et par 6 et pourtant 6 n'est pas un multiple de 18. 8 Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010 CORRECTION d) Si la somme de deux nombres relatifs est un nombre positif, alors le produit de ces deux nombres est positif. Faux – contre-exemple : La somme (+6) + (-3) = (+3) est un nombre positif alors que le produit (+6)×(-3) = (-18) est négatif. Partie géométrique : 15 points Exercice 1 : (5 points) ABCD est un losange de centre O. Soit (d) la droite parallèle à (BD) qui passe par C. Démontrer que (d) et (AC) sont perpendiculaires. Donnée : ABCD est un losange. Propriété : Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. Conclusion : Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires. Données : Les droites d et (BD) sont parallèles. Les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont parallèles alors toute droite parallèle à l'une est perpendiculaire à l'autre. Conclusion : Les droites d et (AC) sont perpendiculaires. Exercice 2 : (5 points) 1) Pour chacune des trois propositions suivantes : Justifier si c’est une propriété ou dessiner un contre exemple. a) Si un quadrilatère possède 2 angles droits alors c’est un rectangle. Cette proposition est fausse. Contre-exemple : (un trapèze rectangle) 9 Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010 CORRECTION b) Dans un triangle, si un angle est droit, alors les deux autres angles sont complémentaires. Cette proposition est vraie. Elle découle de la propriété que la somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°. Pour un triangle rectangle, un angle est droit. Donc, la somme des deux autres angles est égale à 90°. Donc les deux autres angles sont complémentaires. c) Si les longueurs des diagonales d'un quadrilatère sont égales, alors ce quadrilatère est un rectangle. Cette proposition est fausse. Contre exemple : AB = CD et pourtant ACBD n'est pas un rectangle. (Pour que le quadrilatère soit un rectangle, il faut de plus que les diagonales se coupent en leur milieu). 2) Enoncer les réciproques de ces trois propositions précédentes. a) Si un quadrilatère est un rectangle alors il possède 2 angles droits. b) Dans un triangle, si deux angles sont complémentaires, alors le troisième angle est droit. c) Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur. 10 Classe de Quatrième Composition n°1 de Mathématiques 2009-2010 CORRECTION Quelles sont, parmi ces trois réciproques, celles qui sont des propriétés mathématiques ? (Ne pas justifier) Les trois réciproques sont vraies. Exercice 3 : ABCD est un parallélogramme. (5 points) a) Justifier que (DA) est parallèle à (BC) Les côtés opposés du parallélogramme ABCD sont parallèles. Donc (DA) est parallèle à (BC). b) Déterminer la mesure de l’angle a EDA (Justifier) Les angles a EAD et a DCB sont correspondants par rapport aux droites (DA); (CB) et à la sécante (DC). Comme les droites (DA) et (BC) sont parallèles, alors les angles correspondants a AED et a DCB sont de même mesure. Donc a EDA = 53,6°. c) Calculer a BDC .(Justifier) La somme des angles dans le triangle BCD est égale à 180°. Donc a BDC = 180 –a DBC - a BCD = 180 – 91,3 – 53,6 = 35,1°. 11
