CLASSES DE TS /TS 30.01.2013 COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (4H)

CLASSES DE TS
1
/TS
2
30.01.2013
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (4H)
1
PARTIE C
On souhaite utiliser un algorithme de recherche d’une valeur approchée de α solution de
l’équation g(x) = 0 avec une précision fixée.
(g est la fonction de la partie A)
Voici l’algorithme proposé :
Données :
a, b, precision, m : nombres réels
Traitement :
Saisir precision
a = 0,5
b = 1,5
Tant que b – a > precision Faire
m = (a + b)/2
Si g(a)×g(m) > 0 alors
a = m
Sinon
b = m
FinSi
FinTantque
Affichage :
Afficher a < α < b
1) Quel type de recherche cet algorithme utilise-t-il ?
2) Préciser le déroulement de cet algorithme avec precision = 0,1
(On pourra utiliser un tableau retraçant l’évolution du contenu des variables
utilisées).
3) Pour une précision souhaitée de 10
-4
, combien de tests ( Si g(a)×g(m) > 0) seront
effectués dans la boucle TantQue ?

CLASSES DE TS
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/TS
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30.01.2013
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (4H)
2
1) C’est un algorithme de recherche par dichotomie.
2)
3)
a
b
m=(a+b)/2
g(a)
g(m)
g(a)g(m) > 0
b
-
a
0,5
1,5
1
-
2,136
1,000
FAUX
1
0,5
1
0,75
-
2,136
-
0,732
VRAI
0,5
0,75
1
0,875
-
0,732
0,073
FAUX
0,25
0,75
0,875
0,8125
-
0,732
-
0,343
VRAI
0,125
0,8125
0,875
0,84375
-
0,343
-
0,138
VRAI
0,0625
Le programme affiche : 0,8125 < α < 0,875
4) A chaque itération la largeur de l’intervalle est divisée par 2 et au début de
l’algorithme la largeur de l’intervalle [a ;b] est b – a = 1,5 – 0,5 = 1
Soit n le nombre de tests effectués pour avoir une précision de 10
-4
.
n est alors le plus petit entier solution de l’inéquation 1
2
n
≤ 10
-4
On peut résoudre cette inéquation en utilisant le logarithme népérien ou bien par
tâtonnements successifs. (avec la calculatrice par exemple)
n 2
-n
2
-n
≤
≤≤
≤ 10
-4
1
0,5
FAUX
2
0,25
FAUX
3
0,125
FAUX
4
0,0625
FAUX
5
0,03125
FAUX
6
0,015625
FAUX
7
0,0078125
FAUX
8
0,00390625
FAUX
9
0,00195313
FAUX
10
0,00097656
FAUX
11
0,00048828
FAUX
12
0,00024414
FAUX
13
0,00012207
FAUX
14
6,1035E
-
05
VRAI
La valeur de n cherchée est 14.
Pour une précision souhaitée de 10
-4
, le nombre de tests effectués dans la boucle
TantQue est donc 14.
0,25 pt
1 pt
0,25 pt