CLASSES DE TS /TS 30.01.2013 COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (4H)

CLASSES DE TS1/TS2
30.01.2013
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (4H)
PARTIE C
On souhaite utiliser un algorithme de recherche d’une valeur approchée de α solution de
l’équation g(x) = 0 avec une précision fixée.
(g est la fonction de la partie A)
Voici l’algorithme proposé :
Données :
a, b, precision, m : nombres réels
Traitement :
Saisir precision
a = 0,5
b = 1,5
Tant que b – a > precision Faire
m = (a + b)/2
Si g(a)×g(m) > 0 alors
a=m
Sinon
b=m
FinSi
FinTantque
Affichage :
Afficher a < α < b
1) Quel type de recherche cet algorithme utilise-t-il ?
2) Préciser le déroulement de cet algorithme avec precision = 0,1
(On pourra utiliser un tableau retraçant l’évolution du contenu des variables
utilisées).
3) Pour une précision souhaitée de 10-4, combien de tests (Si g(a)×g(m) > 0) seront
effectués dans la boucle TantQue ?
1
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30.01.2013
COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (4H)
1) C’est un algorithme de recherche par dichotomie.
2)
3)
a
0,5
0,5
0,75
0,75
0,8125
b
1,5
1
1
0,875
0,875
m=(a+b)/2
1
0,75
0,875
0,8125
0,84375
g(a)
-2,136
-2,136
-0,732
-0,732
-0,343
g(m)
1,000
-0,732
0,073
-0,343
-0,138
0,25 pt
g(a)g(m) > 0
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
VRAI
b-a
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
1 pt
Le programme affiche : 0,8125 < α < 0,875
4) A chaque itération la largeur de l’intervalle est divisée par 2 et au début de
l’algorithme la largeur de l’intervalle [a ;b] est b – a = 1,5 – 0,5 = 1
Soit n le nombre de tests effectués pour avoir une précision de 10-4.
1
n est alors le plus petit entier solution de l’inéquation n ≤ 10-4
2
On peut résoudre cette inéquation en utilisant le logarithme népérien ou bien par
tâtonnements successifs. (avec la calculatrice par exemple)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2-n
2-n ≤ 10-4
0,5
FAUX
0,25
FAUX
0,125
FAUX
0,0625
FAUX
0,03125
FAUX
0,015625
FAUX
0,0078125
FAUX
0,00390625
FAUX
0,00195313
FAUX
0,00097656
FAUX
0,00048828
FAUX
0,00024414
FAUX
0,00012207
FAUX
6,1035E-05
VRAI
0,25 pt
La valeur de n cherchée est 14.
Pour une précision souhaitée de 10-4, le nombre de tests effectués dans la boucle
TantQue est donc 14.
2