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28 mars 2013
Appliations Linéaires
I Dénitions et exemples
I.A Dénition d'une appliation linéaire
Dénition 1.
Soient E et F deux K-espaes vetoriels et f : E Ñ F une appliation. On dit que f est une
appliation linéaire de E dans F si :
@~u, ~v P E, @λ, µ P K on a f pλ~u ` µ~v q “ λf p~uq ` µf p~v q
On note LK pE, F q l'ensemble des appliations linéaires de E dans F . (noté aussi LpE, F q)
Remarque 1.
suivantes :
Si f est une appliation linéaire, on déduit assez failement de la dénition i-dessus les propriétés
1. f est linéaire si et seulement si @λ P R, @~u, ~v P E :
"
f pλ~uq
“
λf p~uq
f p~u ` ~v q “ f p~uq ` f p~v q
2. f p~0E q “ ~0F .
3. @λ1 , λ2 , . . . , λn P K, @~u1 , ~u2 , . . . , ~un P E :
fp
n
ÿ
λi ~ui q “
i“1
n
ÿ
λi f p~ui q
k“1
Dénition 2.
Une appliation linéaire de E dans E est appelée endomorphisme de E . L'ensemble des endomorphismes de E se note :
LK pE, Eq “ LK pEq “ LpEq
Dénition 3.
Une appliation linéaire bijetive de E dans F est appelée isomorphisme de E sur F . E et F sont dits
isomorphes s'il existe un isomorphisme de E sur F . On note alors E „ F .
Un endomorphisme bijetif de E est appelé automorphisme de E .
Exemples 1.
Voii quelques exemples usuels d'appliations linéaires dans un K-ev E quelonque :
E Ñ F
1. f :
est une appliation linéaire.
~u ÞÑ ~0F
"
E Ñ E
est un endomorphisme de E appelé homothétie vetorielle de rapport
2. Si α P K, alors f :
~u ÞÑ α~u
α.
"
E Ñ E
En partiulier, IdE :
est une appliation linéaire.
~u ÞÑ ~u
"
Exemples 2 (Autres exemples).
1. Dans le R-espae vetoriel R :
"
"
R Ñ R
R Ñ
R
f:
est linéaire alors que g :
ne l'est pas.
x ÞÑ 2x
x Ñ
Þ
sin x
2. Dans le K-espae vetoriel KrXs :
"
KrXs Ñ KrXs
Φ:
est linéaire.
P
ÞÑ
P1
3. Toute isométrie vetorielle du plan, omme par exemple une rotation vetorielle (voir hapitre géométrie
du plan ), est une appliation linéaire.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
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Appliations Linéaires
I.B Composée de deux appliations linéaires
28 mars 2013
Démonstration.
1. @x, y P R, @λ, µ P R, on a :
π
π
` q
2
2 π
π
gp q ` gp q
2
2
En revanhe, gp
Exerie I.1.
Les appliations
"
aq f :
"
cq h :
"
fq j :
f pλx ` µyq “ 2pλx ` µyq “ λp2xq ` µp2yq “ λf pxq ` µf pyq
π
π
sinp ` q “ sin π “ 0
2
2 π
π
π
π
“ sin ` sin “ 2 ‰ gp ` q
2
2
2
2
“
suivantes sont-elles linéaires ? Justier.
"
R Ñ R
R Ñ
R
bq
g
:
x ÞÑ 4x ´ 3
x ÞÑ 2x2
"
R Ñ R
R2
Ñ
R2
dq i :
x ÞÑ |x|
px, yq ÞÑ py, xq
"
2
R2
Ñ
R3
R
Ñ R
eq k :
px, yq ÞÑ p2x, x ` y, 2yq
px, yq ÞÑ xy
Proposition 1.
LK pE, F q est un K-espae vetoriel, d'élément neutre l'appliation nulle de E dans F (~u ÞÑ ~0F ),
pour les lois usuelles ` et . dénies pour les appliations.
Dénition 4.
Si F “ K, f P LpE, Kq est appelée forme linéaire de E (sur K).
Exemples
3.
"
R2
px, yq
"
KrXs
2. Ψ :
P
1. Φ :
Ñ R
est une forme linéaire de R2
ÞÑ x
Ñ
K
est une forme linéaire de KrXs.
ÞÑ P p1q
I.B Composée de deux appliations linéaires
Proposition 2.
Démonstration.
La omposée de deux appliations linéaires est une appliation linéaire.
Soient f : E Ñ F et g : F Ñ G deux appliations linéaires. Si λ, µ P K et ~u, ~v P E , on a :
pg ˝ f qpλ~
u ` µ~
v q “ grf pλ~
u ` µ~
v qs “ grλf p~
uq ` µf p~
v qs (ar f est linéaire)
“ λgrf p~
uqs ` µgrf p~
v qs
(ar g est linéaire)
pg ˝ f qpλ~
u ` µ~
vq
Conséquene :
“
λpg ˝ f qp~
uq ` µpg ˝ f qp~
vq
La omposée de deux endomorphismes de E est un endomorphisme de E .
Proposition 3.
Si f : E Ñ F est un isomorphisme, alors f ´1 : F Ñ E est aussi une appliation linéaire (don
un isomorphisme).
Démonstration.
Soit f : E Ñ F un isomorphisme. Si λ, µ P K et ~u1 , ~v1 P F, a-t-on :
f ´1 pλ~
u1 ` µ~
v1 q “ λf ´1 p~
u1 q ` µf ´1 p~
v1 q ?
1
~ “ f p~
uq et ~
v “ f p~
v q (ar f est surjetive). Don :
On sait qu'il existe ~u, ~v P E tels que u
1
D'où, ave la relation f
´1
f ´1 pλ~
u1 ` µ~
v1 q “ f ´1 pλf p~
uq ` µf p~
v qq “ f ´1 rf pλ~
u ` µ~
v qs ar f est linéaire.
˝ f “ IdE :
f ´1 pλ~
u1 ` µ~
v1 q “ λ~
u ` µ~
v “ λf ´1 p~
u1 q ` µf ´1 p~
v1 q
Dénition 5. On note GLpEq l'ensemble des automorphismes de E. pGLpEq, ˝q est un groupe (non ommutatif)
appelé groupe linéaire de E (d'élément neutre IdE ).
Remarque 2.
L'ensemble des homothéties de rapport non nul (appliations ~u ÞÑ α~u ave α ‰ 0) forme un
sous-groupe de GLpEq.
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Appliations Linéaires
I.C Noyau et image d'une appliation linéaire
28 mars 2013
I.C Noyau et image d'une appliation linéaire
Dénition 6.
Soit f P LpE, F q.
1. On appelle noyau de f , l'ensemble noté :
Kerf “ f ´1 pt~0F uq “ t~u P E{ f p~uq “ ~0F u
2. On appelle image de f, l'ensemble noté :
Im f “ f pEq “ t~v P F { D~u P E, ~v “ f p~uqu
Exemples 4 (Les exemples triviaux).
1. Soit f P LpE, F q. Si f est l'appliation nulle, alors Kerf “ E et Imf “ t~0F u.
2. Soit f P LpEq. Si f “ IdE , alors Kerf “ t~0E u et Imf “ E .
Proposition 4.
Si f P LpE, F q, alors Kerf (resp Imf ) est un sous-espae vetoriel de E (resp. de F ).
Exerie
Démonstration.
Exemple 5.
tpx, y, zq P R3 { x ` 2y ` z “ 0u est un s.e.v. de R3 ar il s'agit du noyau de la forme linéaire
Φ : px, y, zq ÞÑ x ` 2y ` z .
Proposition 5.
Soient E, F deux K-e.v. et f P LpE, F q, alors :
(i) f est injetive si et seulement si Kerf “ t~0E u.
(ii) f est surjetive si et seulement si Im f “ F .
Démonstration.
(i) (ñ) Supposons f injetive. Cherhons Ker f .
Si ~u P Ker f alors f p~uq “ f p~0q, don ~u “ ~0 (ar f est injetive). En onlusion, on a Ker f “ t~0u.
(ð) Supposons Ker f “ t~0u. Montrons que f est injetive. Soient ~u et ~v P E tels que f p~uq “ f p~v q, alors f p~uq ´ f p~v q “ 0 “
f p~
u ´ ~v q. D'où ~
u ´ ~v P Ker f , e qui montre ~
u´~
v “ 0 et ~
u“~
v . Don f est injetive.
(ii) Évident.
Exemple 6.
Φ:
"
R3
Ñ
R
est surjetive ar @α P R, on a α “ Φppα, 0, 0qq, et non injetive
px, y, zq ÞÑ x ` 2y ` z
ar Φpp1, 0, ´1qq “ p0, 0, 0q par exemple.
Exerie I.2.
"
KrXs Ñ KrXs
est surjetive et non injetive.
1. Montrer que l'appliation linéaire Φ :
P
ÞÑ
P1
"
KrXs Ñ KrXs
2. Montrer que l'appliation Ψ :
est linéaire, injetive et non surjetive.
P
ÞÑ XP
Solution.
1. Si P “
n
ÿ
ak X k alors P “ Φ
k“0
˜
2. @P, Q P KrXs, @λ, µ P K, on a :
n
ÿ
k“0
ak
X k`1
k`1
¸
don Φ est surjetive. De plus, Φp1q “ 0 don Φ n'est pas injetive.
ΨpλP ` µQq “ XpλP ` µQq “ λXP ` µXQ “ λΨpP q ` µΨpQq
don Ψ est linéaire. De plus :
ΨpP q “ 0 ñ XP “ 0 ñ P “ 0
Don Ψ est injetive, mais Ψ n'est pas surjetive ar le polynme Q “ 1, par exemple, n'a pas d'antéédent par Ψ (@P P KrXs,
on a XP “ 1 ñ X | 1 e qui est absurde, don Q ne peut être image de P par Ψ).
Exerie I.3.
Montrer que les appliations suivantes sont des automorphismes :
"
"
RrXs Ñ RrXs
R2
Ñ
R2
bq g :
aq f :
P
ÞÑ P ` P 1
px, yq ÞÑ px ` y, x ´ yq
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Appliations Linéaires
I.D Projeteurs et symétries
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I.D Projeteurs et symétries
I.D.1 Projeteurs
Dénition 7.
Soient F et G deux s.e.v. supplémentaires de E .
i.e. @~u P E, D!p~u1 , ~u2 q P F ˆ G tel que ~u “ ~u1 ` ~u2
On appelle projetion sur F parallèlement à G (ou projeteur ) l'appliation :
G
p:
"
E
~u
Ñ E
Þ
Ñ
~u1
~
u
~
u2
u1 “ pp~
~
uq
F
Projetion sur
F
parallèlement à
G
Remarques 3.
1. Un projeteur est un endomorphisme de E .
2. Si E “ F ‘ G, alors l'endomorphisme p est la projetion sur F parallèlement à G si et seulement si
"
@~u P F pp~uq “ ~u
@~u P G pp~uq “ 0
Exemple 7.
On note p~i, ~j, ~kq la base anonique de R3 .
"
R3
Ñ
R3
p:
px, y, zq ÞÑ px, y, 0q
est la projetion sur le plan Vectp~i, ~jq parallèlement à la droite R~k
Proposition 6.
Soit p P LpEq, alors :
p est un projeteur ô p ˝ p “ p
Dans e as, p est la projetion sur Imp parallèlement à Kerp. (on a alors E “ Kerp ‘ Imp )
Démonstration.
Si p ˝ p “ p, alors montrons tout d'abord que E “ Ker p ‘ Im p :
pðq ‚: Soit ~
x P Ker p X Im p :
~
x P Im p don D~
y P E tel que ~
x “ pp~
y q, et ~
x P ker p don pp~
xq “ 0. Or :
pp~
xq “ p ˝ pp~
y q “ pp~
yq “ ~
x
Don ~x “ ~0 don Ker p ‘ Im p
x P E alors :
‚ Soit ~
~
x “ lopp~
xoqn ` ~
x ´ pp~
xq
omo
loooomoooon
P Im p
P Ker p
Don E “ Ker p ‘ Im p. La projetion sur Im p parallèlement à Ker p est alors l'appliation ~x ÞÑ pp~xq, 'est à dire p.
pñq : Si p est la projetion sur F parallèlement à G et si ~
x P E , on a :
~
x “ loo~
xmo
xmo
1on ` loo~
2 on
PF
PG
On a alors pp~xq “ ~x1 et p ˝ pp~xq “ pp~x1 q “ ~x1 , don p ˝ p “ p.
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Appliations Linéaires
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I.D.2 Symétries
Dénition 8.
Soient F et G deux s.e.v. supplémentaires de E .
i.e. @~u P E, D!p~u1 , ~u2 q P F ˆ G tel que ~u “ ~u1 ` ~u2
On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G l'appliation :
G
s:
"
E
~u
Ñ
E
Þ
Ñ
~u1 ´ ~u2
~
u
~
u2
u1
~
F
sp~
uq
´~
u2
Symétrie par rapport à
F
parallèlement à
G
Remarques 4.
1. Une symétrie est un endomorphisme de E .
2. Si E “ F ‘ G, alors l'endomorphisme s est la symétrie par rapport à F parallèlement à G si et seulement
"
@~u P F
sp~uq “ ~u
si
@~u P G sp~uq “ ´~u
Exemple 8.
On note p~i, ~j, ~kq la base anonique de R3 .
"
R3
Ñ
R3
s:
px, y, zq ÞÑ px, y, ´zq
est la symétrie par rapport au plan Vectp~i, ~jq parallèlement à la droite R~k
Proposition 7.
Soit s P LpEq, alors :
s est une symétrie ô s ˝ s “ IdE
Démonstration.
admis.
Exerie I.4. Montrer que les endomorphismes suivants sont des symétries. On déterminera les éléments
aratéristiques de elles-i :
"
C Ñ C
1. Conjugaison :
dans le R-e.v. C.
z ÞÑ z
"
KrXs Ñ KrXs
2. Φ :
P pXq ÞÑ P p´Xq
Solution.
1. Cette appliation est lairement R-linéaire. De plus, @z P C on a pzq “ z , don la onjugaison est une symétrie. Enn, z “ z
si et seulement si z P R, et z “ ´z si et seulement si z P iR, don s est la symétrie par rapport à R parallèlement à iR.
2. On montre de façon similaire que Φ est la symétrie par rapport au s.e.v des polynmes pairs parallèlement au s.e.v des
polynmes impairs.
II Appliations linéaires en dimension nie
E est un K-espae vetoriel de dimension nie
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Appliations Linéaires
II.A Le théoréme fondamental
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II.A Le théoréme fondamental
Théorème 1.
Une appliation linéaire est déterminée de manière unique par les images des éléments d'une base
quelonque du K-e.v. E de départ, 'est à dire : si E et F sont deux K-e.v. (E de dimension nie), p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q
une base de E et pf~1 , f~2 , . . . , f~n q n veteurs de F , il existe une appliation linéaire Φ et une seule telle que :
@i P rr1, nss , Φp~ei q “ f~i
Remarque 5. Autrement dit, pour onnaître (resp. dénir) une appliation f P LpE, F q, il sut de onnaître
(resp. dénir) les images d'une base de E par ette appliation.
Démonstration.
Uniité : Soit u
~ P E , il existe λ1 , λ2 , . . . , λn P K tels que :
~
u“
n
ÿ
λi~
ei
i“1
Si Φ P LpE, F q vérie Φp~ei q “ f~i @i, alors :
Φp~
uq “ Φ
˜
Don Φ est bien dénie de manière unique.
Existene : On pose :
n
ÿ
λi~
ei
i“1
¸
“
n
ÿ
λi Φp~
ei q “
n
ÿ
λi f~i
i“1
i“1
Φp~
uq “
n
ÿ
λi f~i
i“1
où pλ1 , λ2 , . . . , λn q sont les oordonnées de ~u dans la base p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q. Φ est lairement une appliation. De plus, Φ est
linéaire, ar si ~u “
n
ÿ
λi~
ei , ~v “
i“1
n
ÿ
µi ~
ei et λ, µ P K, on a :
i“1
Φpλ~
u ` µ~
vq “ Φ
˜
n
ÿ
pλλi ` µµi q~
ei
i“1
¸
“
n
ÿ
pλλi ` µµi qf~i “ λ
i“1
n
ÿ
i“1
Enn, l'appliation Φ vérie la ondition du théorème 1 :
λi f~i ` µ
n
ÿ
µi f~i “ λΦp~
uq ` µΦp~
vq
i“1
@i P rr1, nss , Φp~
ei q “ 0.f~1 ` 0.f~2 ` ¨ ¨ ¨ ` 0.f~i´1 ` 1.f~i ` 0.f~i`1 ` ¨ ¨ ¨ ` 0.f~n “ f~i
Exemples 9.
1. On prend E “ F “ R3 . p~e1 , ~e2 , ~e3 q étant la base
suivante :
$
& Φp~e1 q
Φp~e2 q
Φ:
%
Φp~e3 q
anonique, on dénit une appliation de la manière
“
“
“
p1, 3, 1q
p0, 0, 0q
p2, 1, 0q
On a alors, @px, y, zq P R3 :
Φppx, y, zqq “
“
“
Φppx~e1 ` y~e2 ` z~e3 qq “ xΦp~e1 q ` yΦp~e2 q ` zΦp~e3 q
px, 3x, xq ` p0, 0, 0q ` p2z, z, 0q
“ px ` 2z, 3x ` z, xq
Don Φ est l'appliation : px, y, zq ÞÑ px ` 2z, 3x ` z, xq.
2. L'appliation linéaire :
Φ:
est aussi dénie par :
"
Kn rXs Ñ Kn rXs
P
ÞÑ
P1
Φp1q “ 0, ΦpXq “ 1, ΦpX 2 q “ 2X, . . . , ΦpX n q “ nX n´1
Ainsi Φp
n
ÿ
ak X k q “
k“0
Proposition 8.
de Imf .
Lyée Jean Perrin 2012/2013
n
ÿ
k“0
ak ΦpX k q “
n
ÿ
kak X k´1 .
k“0
Si p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q est une base de E , alors pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est une famille génératrie
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Appliations Linéaires
II.B Isomorphismes entre espaes vetoriels de dimension nie
Démonstration.
28 mars 2013
soit ~v P Im f , alors ~v “ f p~uq ave ~u “ λ1~~e1 ` λ2 ~~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn~~en P E . On peut ainsi érire :
~v “ f pλ1 ~e1 ` λ2 ~
e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn~en q “ λ1 f p~
e1 q ` λ2 f p~
e2 q ` ¨ ¨ ¨ ` λn f p~
en q
Don Im f est bien engendré par la famille pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq.
Attention ! Le résultat de la proposition 8 est à retenir ar souvent utilisé dans les exeries.
Exerie II.1.
Soit f un endomorphisme d'un R-e.v. de dimension 3 de base p~i, ~j, ~kq, déni par :
f p~iq “ 3~i ` 4~j ´ 5~k
f p~jq “ ´4~i ´ 7~j ` 10~k
f p~kq “ ´2~i ´ 4~j ` 6~k
et
~ , dont on
Démontrer que f est une projetion sur un plan vetoriel P~ parallèlement à une droite vetorielle D
déterminera des bases.
Solution.
Commençons par déterminer l'expression analytique de f . Soit ~u “ x~i ` y~j ` z~k, alors :
f p~
uq
f px~i ` y~j ` z~kq “ xf p~iq ` yf p~jq ` zf p~kq
xp3~i ` 4~j ´ 5~kq ` yp´4~i ´ 7~j ` 10~kq ` zp´2~i ´ 4~j ` 6~kq
p3x ´ 4y ´ 2zq~i ` p4x ´ 7y ´ 4zq~j ` p´5x ` 10y ` 6zq~k
“
“
“
On sait que f est un projeteur si et seulement si f ˝ f “ f . Or :
f ˝ f p~
uq
“
“
f ˝ f p~
uq
“
`
˘
f p3x ´ 4y ´ 2zq~i ` p4x ´ 7y ´ 4zq~j ` p´5x ` 10y ` 6zq~k
`
˘
3p3x ´ 4y ´ 2zq ´ 4p4x ´ 7y ´ 4zq ´ 2p´5x ` 10y ` 6zq ~i
`
˘
` 4p3x ´ 4y ´ 2zq ´ 7p4x ´ 7y ´ 4zq ´ 4p´5x ` 10y ` 6zq ~j
`
˘
` ´ 5p3x ´ 4y ´ 2zq ` 10p4x ´ 7y ´ 4zq ` 6p´5x ` 10y ` 6zq ~k
p3x ´ 4y ´ 2zq~i ` p4x ´ 7y ´ 4zq~j ` p´5x ` 10y ` 6zq~k “ f p~
uq
f est don un projeteur. On peut alors déterminer Ker f : ~
u P Ker f si et
de ~u vérient le système :
$
“
& 3x ´ 4y ´ 2z
4x ´ 7y ´ 4z
“
pSq :
%
´5x ` 10y ` 6z “
$
"
& 3x ´ 4y ´ 2z “ 0 p1q Ð p1q
3x ´ 4y ´ 2z “
´2x ` y
“ 0 p2q Ð p2q ´ 2p1q ô
pSq ô
y
“
%
4x ´ 2y
“ 0 p3q Ð p3q ` 3p1q
seulement si f puq “ 0, 'est à dire ssi les oordonnées
p1q
p2q
p3q
0
0
0
0
2x
5
On a nalement pSq ô y “ 2x et z “ ´ x, don Ker f “ Rp2~i ` 4~j ´ 5~kq. Le veteur 2~i ` 4~j ´ 5~k est don un veteur direteur de
2
~ . De plus, P
~ “ V ectpf p~iq, f p~jq, f p~kqq. On remarque ainsi que p3~i ` 4~j ´ 5~k, ´4~i ´ 7~j ` 10~kq est une base de P
~.
D
II.B Isomorphismes entre espaes vetoriels de dimension nie
Proposition 9.
Alors :
Soient E et F deux K-e.v. de dimension nie, p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q une base de E , et f P LpE, F q.
1. f est injetive si et seulement si pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est une famille libre de F .
2. f est surjetive si et seulement si pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est une famille génératrie de F .
3. f est bijetive si et seulement si pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est une base de F .
Le troisième point étant une onséquene des deux premiers, il reste à montrer 1q et 2q :
1. On suppose que f est injetive. Montrons que pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est une famille libre de F . Soit λ1 , λ2 , . . . , λn P K tels
que λ1 f p~e1 q ` λ2 f p~e2 q ` ¨ ¨ ¨ ` λn f p~en q “ ~0F . Par linéarité de f , on a :
Démonstration.
f pλ1 ~
e1 ` λ2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn~
en q “ ~0F
Don λ1~e1 ` λ2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn ~en P Ker f et omme f est injetive, on a :
λ1~
e1 ` λ2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn~
en “ ~0E
Enn, p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q étant une base de E , on en déduit :
λ1 “ λ2 “ ¨ ¨ ¨ “ λn “ 0
La famille pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est don une famille libre de F .
Réiproquement, on suppose que pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est une famille libre de F . Soit ~u “ λ1~~e1 ` λ2~~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn~~en ,
alors :
u P Ker f
~
ô
~
en q “ ~0F
~
e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn ~
~e1 ` λ2 ~
f pλ1~
ô
λ1 f p~
e1 q ` λ2 f p~
e2 q ` ¨ ¨ ¨ ` λn f p~
en q “ ~0F
Comme pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq est une famille libre de F , ette dernière ondition équivaut à :
λ1 “ λ2 “ . . . “ λn “ 0
Don ~u “ ~0E . f est don injetive.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
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Appliations Linéaires
II.C Théorème du rang et onséquenes
28 mars 2013
2. On sait, d'après la proposition 8, que Im f “ Vectpf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq. Or f est surjetive si et seulement si Im f “ F .
Don f est surjetive si et seulement si F “ Vectpf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq, e qui est le résultat annoné.
Théorème 2.
Soient E et F deux K-e.v. de dimension nie. Alors E et F sont isomorphes si et seulement si
dim E “ dim F .
Montrons les impliations réiproques.
pðq : On suppose que dim E “ dim F . Les bases de es deux espaes ont don le même nombre d'éléments. Soit p~
e1 , ~
e2 , . . . , ~en q
et pf~1 , f~2 , . . . , f~n q des bases respetives de E et F . On sait d'après le théorème fondamental qu'il existe une appliation
linéaire ϕ : E ÞÑ F vériant :
Démonstration.
@i P rr1, nss , ϕp~
ei q “ f~i
Comme de plus pϕp~e1 q, ϕp~e2 q, . . . , ϕp~en qq “ pf~1 , f~2 , . . . , f~n q est une base de F alors, d'après la proposition 9, l'appliation ϕ
est bijetive, don 'est un isomorphisme.
pñq : On suppose qu'il existe un isomorphisme ϕ : E ÞÑ F . D'après la proposition 9, si p~
e1 , ~e2 , . . . , ~
en q est une base de E , alors
pf p~
e1 q, f p~
e2 q, . . . , f p~
en qq est une base de F . Ces bases respetives de E et F omptent le même nombre d'éléments, don
dim E “ dim F .
Conséquenes :
Deux e.v. de dimensions diérentes ne sont pas isomorphes. Par exemple, R2 et R2 rXs ne
sont pas isomorphes. En revanhe on a R3 „ R2 rXs, ar es deux espaes ont même dimension (et l'isomorphisme
anonique est pa, b, cq ÞÑ aX 2 ` bX ` c).
II.C Théorème du rang et onséquenes
Théorème 3
(théorème du rang). Soit f P LpE, F q, alors :
dim E “ dimpKer f q ` dimpIm f q
Démonstration.
Admise
Proposition 10.
Si dim E “ dim F et f P LpE, F q, alors :
f bijetive ô f injetive ô f surjetive
Il sut de montrer : f injetive ô f surjetive. Or, f est injetive si et seulement si Ker f “ t~0u 'est à dire
dimp Ker f q “ 0. D'après le théorème 3, ei équivaut à :
Démonstration.
dimp Im f q “ dim E “ dim F
don à Im f “ F et f est surjetive.
Remarques 6.
1. Si dim E ‰ dim F , auune appliation linéaire f P LpE, F q n'est évidemment bijetive.
2. Cas partiulier des endomorphismes, si E est de dimension nie et f P LpEq, alors la proposition 10
s'applique.
Attention ! 'est faux en dimension innie omme on le voit à l'exerie I.2.1) pour f :
"
KrXs Ñ KrXs
.
P
ÞÑ P 1
Exerie II.2.
Démontrer que l'appliation :
"
R3
Ñ
R2 rXs
Φ:
pa, b, cq ÞÑ pa ` bqX 2 ` pb ` cqX ` pa ` b ` cq
est un isomorphisme.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
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Appliations Linéaires
II.D Rang d'une appliation linéaire
28 mars 2013
On vérie failement que f est linéaire.
On remarque que : dim R3 “ dim R2 rXs “ 3
Cherhons Ker f .
Solution.
Soit pa, b, cq P Ker f , on a Φpa, b, cq “ 0, don pa ` bqX 2 ` pb ` cqX ` pa ` b ` cq “ 0, e qui donne, par identiation, le système :
$
&
a`b
b`c
%
a`b`c
“
“
“
0
0
0
D'où a “ ´b “ c et a ` b ` c “ ´b ` b ´ b “ ´b “ 0, don a “ b “ c “ 0.
Ainsi, Ker f “ tp0, 0, 0qu don f est injetive.
Don f est un isomorphisme.
Exerie II.3.
Soient a1 , a2 , . . . , an P R deux à deux distints et
"
Rn´1 rXs Ñ
Rn
Φ:
P
ÞÑ pP pa1 q, P pa2 q, . . . , P pan qq
Montrer que Φ est un isomorphisme.
Φ est lairement une appliation linéaire.
Si ΦpP q “ 0, alors P est un polynme de degré ď n ´ 1 qui admet n raines distintes, don P est le polynme nul d'où
Ker Φ “ t0u. Comme de plus dim Rn´1 rXs “ dim Rn , Φ est don un isomorphisme.
Solution.
II.D Rang d'une appliation linéaire
Dénition 9.
Soit f P LpE, F q. On appelle rang de f , la dimension de Imf . Notation : rg f “ dimpIm f q.
Proposition 11. Soit f P LpE, F q et p~e1 , ~e2 , . . . , ~enq une base de E . Alors le rang de f est égal au rang de la
famille pf p~e1 q, f p~e2 q, . . . , f p~en qq.
Démonstration.
C'est évident d'après la proposition 8.
Exerie II.4.
Soit
f:
"
R3
Ñ
R3
px, y, zq ÞÑ px ` y, y ´ z, z ` xq
Déterminer le rang de l'appliation f , ainsi qu'une base de Im f .
On alule : f pp1, 0, 0qq “ p1, 0, 1q, f pp0, 1, 0qq “ p1, 1, 0q, f pp0, 0, 1qq “ p0, ´1, 1q
D'après la proposition 11, on a alors : rg f “ rgpp1, 0, 1q, p1, 1, 0q, p0, ´1, 1qq et on onstate la relation : p0, ´1, 1q “ p1, 0, 1q ´
p1, 1, 0q, don rg f “ rgpp1, 0, 1q, p1, 1, 0qq “ 2 et une base de Im f est pp1, 0, 1q, p1, 1, 0qq.
Solution.
II.E Noyau d'une forme linéaire, hyperplans
Dénition 10.
Soit E un K-e.v. (de dimension nie ou innie). On appelle hyperplan de E tout s.e.v. de E
qui admet un s.e.v. supplémentaire de dimension 1.
Remarques 7.
1. Si dim E “ n,
2. Si n “ 3 :
Si n “ 2 :
Si n “ 1 :
les hyperplans de E sont les s.e.v. de E de dimension n ´ 1.
les hyperplans sont les plans vetoriels.
les hyperplans sont les droites vetorielles.
le seul hyperplan est t~0E u.
Théorème 4. Soit E un K-e.v. de dimension nie et H une partie de E . Alors H est un hyperplan de E si et
seulement si H est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
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Appliations Linéaires
II.E Noyau d'une forme linéaire, hyperplans
28 mars 2013
Démonstration.
ð : Soit Φ : E Ñ K une forme linéaire non nulle, alors Im Φ ‰ t0u. Im Φ est don un s.e.v. de K de dimension ě 1, don
dimp Im Φq “ 1 et Im Φ “ K (ar dim K “ 1 et Im Φ Ă K). D'après le théorème 3, on a :
dimp Ker Φq “ dim E ´ dimp Im Φq “ n ´ 1
Don H “ ker Φ est un hyperplan de E .
ñ : Soit H un hyperplan de E , alors dim H “ n ´ 1. On hoisit une base p~
e1 , ~
e2 , . . . , ~
en´1 q de H , qu'on omplète en une base
p~
e1 , ~
e2 , . . . , ~
en´1 , ~en q de E . On dénit alors la forme linéaire Φ par :
Φp~
ei q “ 0 @i P rr1, n ´ 1ss et Φp~
en q “ 1
Φ est non nulle don dimp Ker Φq “ n ´ 1 “ dim H .
De plus, H Ă Ker Φ ar @~u “ λ1~e1 ` λ2 ~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn´1~en´1 P H , on a :
Φp~
uq
“
“
Φpλ1 ~
e1 ` λ2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` λn´1~en´1 q
λ1 Φp~
e1 q ` λ2 Φp~
e2 q ` ¨ ¨ ¨ ` λn´1 Φp~
en´1 q “ 0
Don H “ ker Φ.
Dénition 11.
Soit Φ : E Ñ K une forme linéaire non nulle de noyau l'hyperplan H . On dit que l'équation
Φp~uq “ 0 est une équation artésienne de H .
Remarque 8.
Soit p~e1 , ~e2 , . . . , ~en q une base du K-e.v. E et Φ : E Ñ K une forme linéaire non nulle, ave
H “ KerΦ.
On pose ai “ Φp~ei q @i P rr1, nss. On a alors :
~u P H
ô Φp~uq “ 0 ô Φpx1~e1 ` x2~e2 ` ¨ ¨ ¨ ` xn~en q “ 0
ô x1 Φp~e1 q ` x2 Φp~e2 q ` ¨ ¨ ¨ ` xn Φp~en q “ 0
Don, ave les notations préédentes, l'équation de H s'érit :
a1 ~x1 ` a2 ~x2 ` ¨ ¨ ¨ ` an ~xn “ 0
(ave pa1 , a2 , . . . , an q ‰ p0, 0, . . . , 0q, ar Φ est non nulle).
Cas partiuliers :
n “ 2 : L'équation artésienne d'une droite vetorielle est de la forme ax ` by “ 0 ave pa, bq ‰ p0, 0q, px, yq
étant les oordonnées d'un veteur dans une base p~e1 , ~e2 q quelonque.
n “ 3 : L'équation artésienne d'un plan vetoriel est de la forme ax ` by ` cz “ 0 ave pa, b, cq ‰ p0, 0, 0q,
px, y, zq étant les oordonnées d'un veteur dans une base p~e1 , ~e2 , ~e3 q quelonque.
"
R4
ÞÑ
R
Exerie II.5. 1. Soit φ : px, y,
z, tq Ñ x ` y ` z ` t
Déterminer une base de Kerφ.
`
˘
2. Soit H “ Vect p2, 1, 0q, p1, 1, 1q . Déterminer une équation artésienne de H .
Lyée Jean Perrin 2012/2013
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Appliations Linéaires
TABLE DES MATIÈRES
28 mars 2013
Table des matières
I Dénitions et exemples
I.A
I.B
I.C
I.D
Dénition d'une appliation linéaire . . .
Composée de deux appliations linéaires .
Noyau et image d'une appliation linéaire
Projeteurs et symétries . . . . . . . . . .
I.D.1 Projeteurs . . . . . . . . . . . . .
I.D.2 Symétries . . . . . . . . . . . . . .
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Le théoréme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isomorphismes entre espaes vetoriels de dimension nie
Théorème du rang et onséquenes . . . . . . . . . . . . .
Rang d'une appliation linéaire . . . . . . . . . . . . . . .
Noyau d'une forme linéaire, hyperplans . . . . . . . . . . .
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II Appliations linéaires en dimension nie
II.A
II.B
II.C
II.D
II.E
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