PDF - 283.3 ko

20 déembre 2012
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
I Langage de la logique
I.A Assertions et onneteurs logiques
I.A.1 Assertions
Dénition 1. Une assertion est un énoné mathématique (ou propriété) à laquelle on attribue l'une des deux
valeurs logiques : le vrai (V) ou le faux (F) (Ce sont des valeurs booléennes).
Exemples 1.
2 2 4 est une assertion vraie dans N.
2 2 5 est une assertion fausse dans N.
π est un nombre entier est une assertion fausse.
Remarque 1. Pour ertaines assertions, on peut déider du aratère vrai ou faux (par exemple, on peut
déider que l'assertion x ¡ 0 est vraie).
Les deux possibilités sont onsignées dans une table de vérité :
P
V
F
I.A.2 Conneteurs logiques
Il existe inq onneteurs logiques, à la base de tout raisonnement mathématique :
Négation (non) : À toute assertion P , on peut assoier une autre assertion, appelée négation de P et
notée pnon P q, qui prend les valeurs :
Vrai si P est faux.
Faux si P est vrai.
P non P
V
F
F
V
Par exemple, si P est : l'entier n est pair , pnon P q devient : l'entier n est impair Disjontion (ou) : L'assertion pP ou Qq est vraie si l'une au moins des deux assertions P et Q est vraie.
Conjontion (et) : L'assertion pP et Qq est vraie si les deux assertions P et Q sont vraies.
Impliation (ñ) : L'assertion pP ñ Qq est vraie si l'assertion ppnon P q ou Qq est vraie.
Équivalene () : L'assertion pP Qq est vraie si l'assertion ppP ñ Qq etpQ ñ P qq est vraie.
Remarques 2.
1. Le ou mathématique n'est pas exlusif (il est inlusif) : si les assertions P et Q sont toutes les deux
vraies, alors l'assertion pP ou Qq est vraie, ontrairement au langage ourant où fromage ou dessert est en général exlusif ....
2. pP ñ Qq signie (non P ) est vraie ou (P est vraie et dans e as Q est vraie).
Cette assertion s'érit don aussi :
(a) Si P alors Q (b) P est une ondition susante pour Q () Q est une ondition néessaire pour P 3. pP Qq s'érit aussi :
(a) P si et seulement si Q (b) P est une ondition néessaire et susante pour Q () P équivaut à Q Lyée Jean Perrin 2012/2013
1 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
I.A Assertions et onneteurs logiques
20 déembre 2012
On peut résumer les diérentes valeurs logiques prises par es onneteurs logiques en fontion des valeurs
logiques de P et Q dans la table de vérité suivante :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
P ou Q
V
V
V
F
P
ñQ
V
F
V
V
QñP
V
V
F
V
P
Q
V
F
F
V
Remarques 3.
1. Si P et Q sont simultanément fausses, alors pP ñ Qq est vraie.
Par exemple pp1 ¡ 2q ñ p2 ¡ 3qq est une assertion vraie.
Une proposition fausse implique n'importe quelle proposition...
2. P ñ Q n'a pas même valeur logique que Q ñ P .
Par exemple, pour x P R, px 1 ñ x ¡ 0q est une assertion vraie, mais px ¡ 0 ñ x 1q est une assertion
fausse.
I.A.3 Propriétés des onneteurs logiques
Proposition 1. On peut omposer des onneteurs logiques :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ñ Qq est vraie et si pQ ñ Rq est vraie, alors pP ñ Rq est vraie.
nonpnon P q a même valeur logique que P .
nonpP et Qq a même valeur logique que pnon P q oupnon Qq
nonpP ou Qq a même valeur logique que pnon P q etpnon Qq
(Loi de Morgan, la négation de pP ou Qq est pnon P et non Qq
P etpQ ou Rq a même valeur logique que pP et Qq oupP et Rq
P oupQ et Rq a même valeur logique que pP ou Qq etpP ou Rq
Si pP
Démonstration.
Toutes es propriétés se retrouvent à l'aide de tables de vérité. Par exemple, nous allons démontrer 3q :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
p
non P et Q
F
V
V
V
q
non P
F
F
V
V
non Q
F
V
F
V
pnon P q oupnon Qq
F
V
V
V
Ce tableau nous permet de onstater que les valeurs logiques prises par la propriété nonpP et Qq oïnident ave elles de la propriété
pnon P q oupnon Qq.
On pourra démontrer le reste de la même façon à titre d'exerie.
Exerie I.1. Montrer que l'assertion pP oupnon P qq est toujours vraie.
Remarque 4. Il est essentiel de savoir formuler la négation d'une propriété P . En eet omme les valeurs
logiques de la propriété P et de la propriété non P sont inverses, il sut de démontrer que non P est vraie pour
établir que P est fausse.
Dénition 2. Soit E un ensemble.
Pour un élément x de E , on note P pxq une assertion dont la valeur logique dépend d'une variable noté x.
P pxq est appelé un prédiat.
Exemple 2. Par exemple, pour E
la valeur x 1.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
R, le prédiat P pxq : ”x ¡ 0” est vrai pour la valeur x 1, et faux pour
2 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
I.B Quantiateurs
20 déembre 2012
I.B Quantiateurs
Dénition 3.
1. On dénit le quantiateur universel, noté (quelque soit) de la manière suivante :
signie que le prédiat P pxq est vrai pour toute valeur de x prise dans E , ou enore :
x P E, P pxq
tx P E, P pxq est vrai u E
2. On dénit le quantiateur existentiel, noté D (il existe) de la manière suivante : Dx P E, P pxq signie
que le prédiat P pxq est vrai pour au moins une valeur de x prise dans E , ou enore :
tx P E, P pxq est vrai u H
Proposition 2. On exprime la négation des quantiateurs de la manière suivante :
1. L'assertion nonpDx P E, P pxqq est logiquement équivalente à x P E, non P pxq.
2. L'assertion nonpx P E, P pxqq est logiquement équivalente à Dx P E, non P pxq.
Exemple 3.
nonpx P E, rDy P F, pz P G, P px, y, z qqsq
Dx P E, nonrDy P F, pz P G, P px, y, z qqs
Dx P E, y P F, nonpz P G, P px, y, z qq
Dx P E, y P F, Dz P G, non P px, y, z q
Proposition 3. On peut inverser deux quantiateurs de même nature :
Dx P E, Dy P F, P px, yq équivaut à Dy P F, Dx P E, P px, yq
x P E, y P F, P px, yq équivaut à y P F, x P E, P px, yq
En revanhe x P E, Dy P F, P px, yq n'est en général pas équivalent à
Dy P F, x P E, P px, yq
Exemples 4.
1. px 0, y ¡ 0, xy 0q équivaut à py ¡ 0, x 0, xy 0q
2. L'assertion px ¡ 0, Dy ¡ 0, xy 1q est vraie dans R.
En eet, pour tout x réel stritement positif, il existe y 1
x
¡ 0 tel que xy 1.
En revanhe, l'assertion pDy ¡ 0, x ¡ 0, xy 1q est fausse.
On peut le prouver à l'aide de la remarque 4. La négation de ette assertion est : y ¡ 0, Dx ¡ 0, xy 1.
2
Cette nouvelle assertion est vraie ar pour y réel stritement positif quelonque, il existe x ¡ 0 tel
y
que xy 2 1.
I.C Modes de raisonnement
Remarque 5. Dans le lexique du raisonnement, un théorème, une proposition, un orollaire ou un lemme
sont des assertions vraies. Une hypothèse est une assertion qu'on vérie ou dont on déide qu'elle est vraie
(même si elle peut être fausse, par exemple dans le raisonnement par l'absurde).
I.C.1 Syllogisme
On veut démontrer une proposition Q.
On proède en trois étapes :
1. On vérie que l'assertion pP ñ Qq est vraie. (prémisse majeure)
2. On démontre la proposition P . (prémisse mineure)
3. On en déduit la proposition Q. (onlusion)
C'est le mode de raisonnement le plus ouramment utilisé. Aristote a été le premier à le formaliser.
Un des syllogismes les plus onnus est Tous les hommes sont mortels (proposition P ñ Q). Sorate est un
homme (proposition P ). Don Sorate est mortel (proposition Q) .
Lyée Jean Perrin 2012/2013
3 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
I.C Modes de raisonnement
20 déembre 2012
I.C.2 Disjontion des as
Q.
On veut démontrer la proposition Q.
On détermine n assertions P1 , P2 , . . . , Pn (appelées as ) telles que l'une de es assertions au moins est vraie.
On vérie alors que les assertions P1 ñ Q, P2 ñ Q, . . ., Pn ñ Q sont vraies, et on en déduit la proposition
Exemple 5. Soit n P N. Montrer que l'entier npn
1q est pair.
I.C.3 Démonstration par ontraposée
On veut démontrer une proposition de type P ñ Q. On peut la démontrer diretement en supposant P
(vrai) et en déduisant Q (vrai). On se ramène alors à l'un des autres types de raisonnement.
La ontraposée de ette proposition est la proposition pnon Q ñ non P q.
Elle est logiquement équivalente à la préédente (à titre d'exerie, on pourra onstruire une table
de vérité pour s'en onvainre).
Par exemple, pour démontrer qu'un triangle dont on onnaît les longueurs des tés n'est pas retangle, on
utilise la ontraposée du théorème de Pythagore.
Le Théorème de Pythagore Si le triangle ABC est retangle en A, alors BC 2 AB 2 AC 2 est équivalent
à sa ontraposée Si BC 2 AB 2 AC 2 alors le triangle ABC n'est pas retangle en A Attention ! Il ne faut pas onfondre la ontraposée d'un théorème, qui est une reformulation de e théorème,
et sa réiproque, qui n'est pas toujours vraie. Par exemple, la réiproque du théorème de Pythagore est : Si
BC 2 AB 2 AC 2 , alors le triangle ABC est retangle en A Par exemple, dans R, la proposition px ¡ 1 ñ x2 ¡ 1q est vraie, don sa ontraposée px2 ¤ 1 ñ x ¤ 1q
aussi. En revanhe la réiproque de ette propriété x2 ¡ 1 ñ x ¡ 1 est fausse !
Pour résumer, on peut aussi démontrer P ñ Q par ontraposée en supposant Q faux, et en en déduisant
que P est faux.
I.C.4 Démonstration par ontre-exemple
On veut démontrer qu'une assertion du type : px P E, P pxqq est fausse, e qui équivaut à nonpx P E, P pxqq
est vraie, ou enore à pDx P E, non P pxqq est vraie. Il s'agit don de trouver un élément x de E tel que P pxq est
faux (appelé ontre-exemple ).
Par exemple, on va démontrer que la propriété :
n P N, pn divisible par 6 et par 4q ñ pn divisible par 24q
est fausse. La négation de ette propriété est :
Dn P N, non pn divisible par 6 et par 4q ñ pn divisible par 24q
e qui peut s'exprimer autrement par dénition :
Dn P N, non
nonpn divisible par 6 et par 4q oupn divisible par 24q
soit nalement de manière équivalente :
Dn P N, pn divisible par 6 et par 4q et nonpn divisible par 24q
Don il faut herher un entier n tel que n est divisible par 6 et par 4, mais pas par 24. L'entier n
onvient et ela termine la démonstration.
12
Remarque 6. Pour démontrer que l'assertion tous les orbeaux sont noirs est fausse, il sut de trouver
un orbeau qui n'est pas noir.
I.C.5 Démonstration par l'absurde
On veut démontrer que la propriété P est vraie. On suppose pour ela qu'elle est fausse, et on essaie d'en
déduire qu'il existe une propriété Q telle que Q et pnon Qq sont vraies, e qui est ontraditoire. Cei montre
alors le résultat, ar :
pnon P ñ Q etpnon Qqq vraie pP oupQ etpnon Qqqq vraie
P vraie
Lyée Jean Perrin 2012/2013
4 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
20 déembre 2012
I.C.6 Démonstration par réurrene
Celle-i sera étudiée dans un prohain hapitre onsaré aux Entiers Naturels.
I.C.7 Exemples
Exerie I.2.
1. Soit p un entier. Montrer que si p2 est pair, alors p est pair (on pourra raisonner par ontraposée).
?
2. Montrer que 2 est irrationnel (on pourra raisonner par l'absurde).
Solution.
1. On suppose que p est impair, alors il existe en entier k tel que p 2k
2.
1. On alule alors :
q2 4k2 4k 1 2p2k2 2kq 1 2k1 1
don p2 est impair. On a démontré (p impair ñ p2 impair) don la proposition (ontraposée) (p2 pair ñ p pair) est vraie.
?
? p p
Supposons que 2 est un nombre rationnel, alors on peut érire : 2 où est une fration irrédutible. Par élévation
q
q
p2
p2k
au arré, on obtient 2 1
Comme p p
le fait que est une fration irrédutible. En onlusion, on a montré par l'absurde que
2
q
p2
et don :p2 2q 2 e qui prouve que p2 est pair. Don d'après 1 , p est pair.
q2
2q 2 , on obtient 4p21 2q 2 , don q 2 2p21 , e qui prouve que q 2 est pair, et don que q est pair e qui ontredit
q
?
2 est un irrationnel.
II Ensembles
II.A La notion d'ensemble
On ne donnera pas la dénition mathématique, mais plutt une dénition intuitive de e qu'est un ensemble.
Il s'agit d'une olletion d'objets mathématiques à laquelle peut appartenir (ou non) un objet donné.
Lorsque x appartient à l'ensemble E , on note x P E et on dit que x est un élément de E . Dans le as
ontraire, on note x {P E .
Exemple 6. On peut dénir un ensemble E par les méthodes suivantes :
1. En énonçant un à un les éléments entre des aolades. Par exemple, E1 tA, B, C, Du,
E2 tvert,rougeu, E3 t1, 2, 3, . . . , 12u, N t0, 1, 2, . . . , n, . . .u. Ces dénitions sont dites par extension.
2. Par une liste de règles (axiomes ).
C'est par une dénition de e type que l'on onstruit N (axiomatique de Péano), et qu'on en déduit la
onstrution des ensembles Z, Q, R et C.
3. À l'aide d'un ensemble de référene E0 et d'un prédiat P pxq. Ces dénitions sont dites en ompréhension.
E tx P E0 { P pxqu signie que x P E si et seulement si x P E0 et P pxq est vrai.
Par exemple E tn P N{2n 1 est premier u. Alors 2 P E , mais 3 {P E . On ne peut pas énumérer tous les
éléments de E , mais on peut vérier l'appartenane d'un entier à et ensemble.
II.B Parties d'un ensemble
Dénition 4. Si E et F sont deux ensembles, on dit que F est un sous-ensemble (ou une partie) de E , ou que
F est inlus dans E , si tout élément de F est un élément de E . Notation : F
€ E.
De manière usuelle, on érit :
F €{ E la négation de F € E .
E F si E € F et F € E (C'est la double inlusion, qui est utilisée pour démontrer l'égalité de deux
ensembles)
F Š E si F € E et F E .
H l'ensemble vide déni par H € E et x P E, x {P H.
tau un ensemble ne ontenant qu'un élément a (on l'appelle un singleton ).
P pE q l'ensemble des parties de E . Par exemple, si E t1, 2u,l'ensemble des parties de E est l'ensemble
P pE q tH, t1u, t2u, t1, 2uu.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
5 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
II.C Opérations sur les parties d'un ensemble
Remarque 7.
F
20 déembre 2012
€{ E si Dx P F, x {P E .
Proposition 4. Soient E, F, G trois ensembles. On a :
(i) H € E
(ii) E € E
(iii) pE € F et F
€ Gq ñ E € G
Démonstration.
(i) C'est évident par dénition de l'ensemble vide.
(ii) C'est également évident ar x P E, x P E .
(iii) Soit x P E , alors omme E € F , on a x P F . De plus, omme F
€ G, on a x P G. Don E € G.
II.C Opérations sur les parties d'un ensemble
Dénition 5. Soient E un ensemble et A et B deux sous ensembles de E . On dénit, à partir de A et B , les
parties suivantes de E :
A Y B tx P E { x P A ou x P B u, appelé réunion des ensembles A et B .
A X B tx P E { x P A et x P B u, appelé intersetion des ensembles A et B .
AzB tx P E { x P A et x {P B u, appelé diérene A moins B .
AE A E zA le omplémentaire de A dans E . Noté aussi Ā.
E
AE A
A
A
B
B
A
A
YB
A
XB
Dénition 6. Deux parties A et B de E sont dites disjointes si A X B H.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
6 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
II.C Opérations sur les parties d'un ensemble
20 déembre 2012
Proposition 5. Propriétés des opérations sur les ensembles :
Soient E un ensemble et A, B et C des sous ensembles de E .
1. Ave la réunion :
a) A Y H H Y A A
b) A Y A A
) A Y E E
d) A Y B B Y A
e) pA Y B q Y C A Y pB Y C q
f) A Y B A B € A
2. Ave l'intersetion :
a) A X H H X A H
b) A X A A
) A X E A
d) A X B B X A
e) pA X B q X C A X pB X C q
f) A X B A A € B
3. Ave le omplémentaire :
a) AE H E
b) AE E H
) AE pAE Aq A
4. Les lois de Morgan :
a) AE pA Y B q pAE Aq X pAE B q
b) AE pA X B q pAE Aq Y pAE B q
5. Union et intersetion :
a) A X pB Y C q pA X B q Y pA X C q (distributivité de
b) A Y pB X C q pA Y B q X pA Y C q (distributivité de
) A X pA Y B q A Y pA X B q A
6. Diérene :
a) AzB H A € B
b) AzH A
) AzB A X AE B AzpA X B q
X par rapport à Y).
Y par rapport à X).
Nous allons eetuer une démonstration partielle de es propriétés. La démonstration des autres propriétés est
similaire et pourra être faite à titre d'exerie :
Montrons d'abord diretement par équivalenes la propriété 4a). Soit x P E , alors :
Démonstration.
x
P AE pA Y Bq p P A ou x P Bq
p P Aq et nonpx P Bq
x P AE A et x P AE B
x P pAE Aq X pAE B q
non x
non x
Montrons maintenant la propriété 5a). On veut montrer une égalité d'ensembles et pour ela, on va montrer les inlusions
réiproques (ou double inlusion) :
A X pB Y C q € pA X B q Y pA X C q
Soit x P A X pB Y C q, alors x P A etpx P B ou x P C q.
1er as : x P A et x P B , alors x P A X B .
2ème as : x P A et x P C , alors x P A X C .
En onlusion, x P A X B ou x P A X C , don x P pA X B q Y pA X C q.
pA X B q Y pA X C q € A X pB Y C q
Soit x P pA X B q Y pA X C q, alors px P A X B q oupx P A X C q.
1er as : x P A X B , alors x P A et x P B , don x P A et x P B Y C .
2ème as : x P A X C , alors x P A et x P C , don x P A et x P B Y C .
En onlusion, on a démontré que x P A X pB Y C q.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
7 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
II.D Ensembles produits
20 déembre 2012
II.D Ensembles produits
Dénition 7. Soient E et F deux ensembles. On appelle ensemble produit de E et F , noté E F , l'ensemble
onstitué des ouples px, y q où x P E et y P F .
Exemple 7. Si E tA, B, C u et F
t1, 2u, alors :
E F tpA, 1q, pA, 2q, pB, 1q, pB, 2q, pC, 1q, pC, 2qu
F
E
F
2
1
E
A
B
C
Dénition 8. Soient E1 , E2 , . . . , En des ensembles. On dénit de même l'ensemble produit
de es ensembles, onstitué des n-uplets px1 , x2 , . . . , xn q où xi
E1 E2 En
P Ei pour tout entier i P rr1, nss.
Remarque 8. Lorsque E1 E2 . . . En E , on note : E n E E E omme on l'a déjà utilisé
pour R2 par exemple.
II.E Struture algébrique des ensembles
Dénition 9. On appelle loi de omposition interne (ou opération ) sur un ensemble
E une appliation `
"
de E E à valeurs dans E qui, à un ouple px, y q, assoie son image x ` y .
`:
EE
px, yq
Ñ
ÞÑ
E
x`y
N N est l'ensemble des ouples de oordonnées px, y q, ave x et y des éléments de N.
est une opération sur l'ensemble N : l'image du ouple p2, 3q est 2 3 5.
est également une opération sur l'ensemble N : l'image du ouple p2, 3q est 2 3 6.
Exemple 8.
Dénition 10. On appelle groupe un ouple pG, `q, où G est un ensemble et ` une loi de omposition interne
sur G vériant :
1. ` est assoiative ('est à dire que pour tout pa, b, cq P G3 , on a : pa ` bq ` c a ` pb ` cq).
2. ` possède un élément neutre ('est à dire qu'il existe un élément e tel que a P G, a ` e e ` a a )
3. Tout élément de G possède un symétrique pour la loi ` ('est à dire que a P G, Db P G tel que a ` b b ` a e, et on note b a1 ou a selon les groupes et les lois de omposition).
Si pa, bq P G2 , on a : a ` b b ` a, alors pG, `q est un groupe ommutatif (ou groupe abélien).
Exemples 9.
pZ, q,pQ, q,pQ , q,pR, q et pR , q sont des groupes ommutatifs.
Pour le groupe pR, q, l'élément neutre est 0 et le symétrique de a est noté a (appelé opposé de a). Pour
1
le groupe pR , q, l'élément neutre est 1 et le symétrique de a est noté (appelé inverse de a).
a
pN, q et pZ , q ne sont pas des groupes.
On peut donner un exemple plus original et plus imagé de la notion de groupe si on onsidère l'ensemble des
heures d'une pendule noté t0 12, 1, 2, 3, . . . , 11u, et muni de la loi d'addition ave par exemple :
1
7
3
8
4
15 3
On vérie très failement qu'il s'agit d'un groupe abélien (appelé en mathématiques Z{12Z) d'élément neutre
0, et où la notion de symétrique prend un sens géométrique. Le symétrique de 2 est 10...
Lyée Jean Perrin 2012/2013
8 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
20 déembre 2012
Dénition 11. On appelle sous-groupe du groupe pG, `q tout groupe pH, `q ontenu dans G (H est muni de
la même loi que G).
Remarque 9. Cei assure en partiulier que a, b P H,
(on dit que H est stable par `).
a ` b P H , ar
` est également une loi interne pour H
Proposition 6. Soit pG, `q un groupe, dont on note e l'élément neutre et a1 le symétrique de a P G, alors
un ensemble H est un sous-groupe de G si et seulement si :
(i) e P H
(ii) Si a P H , alors a1 P H .
(iii) Si a, b P H , alors a ` b P H
Dans l'exemple de la pendule, on peut par exemple vérier que t0, 3, 6, 9u est un sous-groupe du groupe des
heures.
Dénition 12. On appelle orps un triplet pK, `, bq vériant :
1. pK, `q est un groupe ommutatif.
2. pK , bq est un groupe.
3. b est distributive (à droite et à gauhe) par rapport à `. C'est à dire :
px, y, z q P K3 , x b py ` z q x b y ` x b z
px, y, z q P K3 , px ` yq b z x b z ` y b z
De plus, e orps est dit ommutatif si pK , bq est un groupe ommutatif.
Exemples 10.
pQ, , q et pR, , q sont des orps ommutatifs.
Exerie II.1.
1. Montrer que l'ensemble C, muni des lois de omposition et est un orps ommutatif.
2. Montrer que l'ensemble (U, q des nombres omplexes de module 1 est un sous-groupe de pC , q.
3. Montrer que l'ensemble (Un , q des raines nimes de l'unité est un sous-groupe de U.
III Appliations
III.A Généralités
On rappelle que f est une appliation d'un ensemble E vers un ensemble F si tout élément x de E admet
une image notée f pxq dans F , et si ette image est unique. Autrement dit :
x P E, D!y P F
tel que y f pxq
p! signie uniqueq
On note F pE, F q l'ensemble des appliations de l'ensemble E vers l'ensemble F .
On note Γ tpx, y q P E F, y f pxqu le graphe de l'appliation.
Dénition 13. Soit A
langage, et déni par :
€ E . On appelle image de la partie A, le sous-ensemble de F
f pAq ty
noté f pAq, par abus de
P F , Dx P A tel que y f pxqu
C'est l'ensemble des images par f des éléments de la partie A.
' Attention, f pAq n'est pas l'image d'un élément de E , mais le sous ensemble de F onstitué des images des
éléments de A.
Lyée Jean Perrin 2012/2013
9 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
III.B Injetions, surjetions, bijetions
"
20 déembre 2012
Ñ N .
Þ n 1
Ñ
On a par exemple f pt0, 1uq t1, 2u, et f pNq N (ar n P N , n f pn 1q et 0 n'a pas d'antéédent par f
Exemple 11. Soit l'appliation f
:
N
n
dans N).
Dénition 14. Soit B € F . On appelle image réiproque de la partie B , le sous-ensemble de E noté f 1 pB q,
et déni par :
f 1 pB q tx P E , f pxq P B u
C'est l'ensemble des antéédents par f des éléments de la partie B .
Remarque 10. Attention ! f 1 n'est pas une appliation en général ! Ne pas onfondre image réiproque
d'une partie par l'appliation f (elle-i existe toujours) et appliation réiproque f 1 (qui n'existe que si f est
bijetive). Dans l'exemple suivant, f n'admet pas d'appliation réiproque sur R, mais R a une image réiproque
par f (il s'agit de R).
Ñ R
Þ x2
Ñ
f 1 pt1uq t1; 1u ar x P R, f pxq 1 x2 1 x 1.
f 1 pR q R ar x P R, f pxq 1 x2 ¥ 0 x P R.
f 1 pR q H ar l'inéquation f pxq 0 n'a pas de solution dans?R.?
De même, on a f 1 pR q t0u, f 1 pRq R et f 1 pr0, 2sq r 2, 2s.
Exemple 12. Considérons l'appliation f
"
:
R
x
2
1
?
?
0
2
2
Image réiproque de r0, 2s
III.B Injetions, surjetions, bijetions
III.B.1 Notion intuitive d'ensembles en bijetion
Deux ensembles E et F sont en bijetion lorsque tout élément de E est assoié à un unique élément de F
et que, de ette manière, tout élément de F se trouve assoié à un unique élément de E .
Remarque 11. Deux ensembles nis de même ardinal (i.e. ave le même nombre d'éléments) sont en bijetion.
L'ensemble ta, b, c, du est en bijetion ave l'ensemble tα, β, γ, δ u (En dénissant l'appliation a Ø α, b Ø
β, c Ø γ, d Ø δ ou enore a Ø β, b Ø α, c Ø δ, d Ø γ , et...)
E
a
β
c
α
b
δ
γ
d
F
Un ensemble omposé de trois boules de ouleurs diérentes est en bijetion ave l'ensemble t1, 2, 3u (on
numérote les boules).
1
Lyée Jean Perrin 2012/2013
2
3
10 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
III.B Injetions, surjetions, bijetions
20 déembre 2012
Exemples d'ensembles innis en bijetion En respetant la dénition donnée, on peut établir que ertains
ensembles usuels sont en bijetion.
N et N sont en bijetion par la relation : f :
3, . . . , n Ø n
1, . . .)
"
N
n
N
(On a les assoiations 0 Ø 1, 1 Ø 2, 2 Ø
n 1
Ñ
Þ
Ñ
N et N N sont en bijetion.
On a les assoiations :
p0, 0q Ø 0, p1, 0q Ø 1, p0, 1q Ø 2, p2, 0q Ø 3, . . .
N
18
9
1
0
5
8
2
4
7
11
0
1
1
3
6
10
N
Bijetion de N N sur N (shéma)
"
Une autre relation de bijetion plus formelle est f :
N2
pp, sq
Ñ
Þ
Ñ
2p p2s
N
1q 1
.
N et Q sont en bijetion.
R et R2 sont en bijetions (il y a don autant de points sur une droite que sur un plan).
Exerie III.1. Démontrer que les ensembles N et Z sont en bijetion.
Solution.
$
'
&
Il sut de onsidérer la relation :
'
%
N
n
n
Ñ
Z
n
Þ
Ñ
2
Þ n 2 1
Ñ
si n est pair.
si n est impair.
Dénition 15. Un ensemble en bijetion ave N est dit dénombrable.
On peut indexer ses éléments par les entiers naturels.
Le ardinal d'un tel ensemble est noté ℵ0
L'ensemble R n'est pas dénombrable. (résultat établi par Cantor en 1873, sa démonstration
publiée en 1891 utilise l'argument aujourd'hui appelé argument de la diagonale de Cantor ). Le ardinal
d'un tel ensemble est noté ℵ1
Hypothèse du ontinu formulée par Cantor, Cohen en 1963, démontre son indéidabilité dans le système
axiomatique méthode de démonstration dite du foring)
À quelles onditions deux ensembles E et F sont-ils en bijetion ? : notion intuitive de surjetion/injetion.
Remarques 12.
III.B.2 Appliations injetives, surjetives, bijetives
Dénition 16. Soit f : E Ñ F une appliation. On dit que f est injetive (ou une injetion ) si tout élément
de F a au plus un antéédent (par f ), e qui s'énone de la manière suivante :
x, x1 P E, f pxq f px1 q ñ x x1
ou de manière équivalente, par ontraposée :
x, x1 P E, x x1 ñ f pxq f px1 q
E
F
E
Non injetif
Lyée Jean Perrin 2012/2013
F
Injetif
11 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
III.B Injetions, surjetions, bijetions
20 déembre 2012
Dénition 17. Soit f : E Ñ F une appliation. On dit que f est surjetive (ou une surjetion ) si tout élément
de F a au moins un antéédent (par f ), e qui s'énone :
y P F, Dx P E, y f pxq
E
F
E
Non surjetif (et injetif)
F
Surjetif (et non injetif)
: E Ñ F une appliation. On dit que f est bijetive (ou une bijetion ) si tout élément
de F a un et un seul antéédent (par f ), e qui s'énone de la manière suivante :
Dénition 18. Soit f
y P F, D!x P E, y f pxq
E
F
Bijetif (injetif et surjetif)
Ave les dénitions préédentes, on onstate don que f est bijetive si et seulement si elle est injetive et
surjetive.
Remarque 13. La propriété de surjetivité traduit l'existene d'un antéédent par f pour tout élément y de
F.
La propriété d'injetivité traduit l'uniité d'un éventuel antéédent de y .
La propriété de bijetivité traduit don l'existene et l'uniité d'un tel antéédent.
Proposition 7.
f :E
Ñ F est surjetive si et seulement si f pE q F .
Exerie III.2. Reonnaître si les fontions suivantes de R dans R, dont les graphes sont donnés, sont injetives,
surjetives, bijetives.
Cf
Cf
x
lim f pxq 8 et lim f pxq 8
Ñ8
xÑ 8
Lyée Jean Perrin 2012/2013
lim f pxq 8, lim f pxq 8
Ñ8
xÑ 8
Cf
Cf
x
x
Cf
lim f pxq 8
Ñ8
12 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
III.C Compléments sur les appliations
20 déembre 2012
Exerie III.3. Disuter de l'injetivité et de la surjetivité des appliations suivantes dans leur ensemble
image :
"
f:
"
i:
N
n
R
x
Ñ
Þ
Ñ
Ñ
ÞÑ
"
N
n
1
"
R
x2
"
l:
g:
R
θ
Z
n
j:
N
n
Ñ
Þ
Ñ
C
eiθ
Ñ
Þ
Ñ
Ñ
Þ
Ñ
"
Z
n
"
N
n2
"
m:
h:
1
k:
C
z
Ñ
Þ
Ñ
Z
n
C
ez
R
x
Ñ
Þ
Ñ
Ñ
ÞÑ
R
x2
Z
2n 3
III.C Compléments sur les appliations
III.C.1 Composée de deux appliations et appliation réiproque
On rappelle les dénitions suivantes, déjà données dans les hapitres préédents pour des as partiuliers :
Ñ F et g : F Ñ G sont deux appliations, alors on dénit la omposée de f suivie de g par :
"
E Ñ
G
gf :
x ÞÑ g rf pxqs
Si f : E Ñ F est une appliation bijetive, alors tout élément y de F a un unique antéédent x par f , et
on dénit l'appliation réiproque de f notée f 1 par f 1 py q x. On a alors :
y f pxq x f 1 py q
1. Si f : E
2.
"
3. L'appliation IdE :
ment bijetive.
Ñ
Þ
Ñ
E
x
E
x
est appelée appliation identique (ou identité ) de E . Elle est triviale-
et g : F Ñ G deux appliations bijetives.
1
1. L'appliation IdE est bijetive et Id
E IdE .
2. f 1 f IdE , et f f 1 IdF
Proposition 8. Soient f
3. g f : E
:E
ÑF
Ñ G est bijetive, et pg f q1 f 1 g1
g
f
g
f
E
F
f 1
G
g 1
pg f q1
Exerie III.4. Soit f
ÑF
une appliation :
1. Montrer que s'il existe g : F Ñ E tel que g f IdE , alors f est injetive.
2. Montrer que s'il existe h : F Ñ E tel que f h IdF , alors f est surjetive.
3. Montrer que si les deux onditions préédentes sont réunies, alors f est bijetive et f 1 g h.
:E
Dénition 19. On dit que l'appliation f : E Ñ E est involutive (ou une involution) si f f
une involution, alors f est bijetive et on a f 1 f .
#
Exemples 13.
1. f :
Lyée Jean Perrin 2012/2013
R
Ñ R
1
x ÞÑ
x
IdE . Si f est
est une involution.
13 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
III.C Compléments sur les appliations
20 déembre 2012
III.C.2 Prolongement et restrition d'une appliation
: E Ñ F une appliation, et A une partie de E . On appelle
A, l'appliation notée f|A dénie par :
"
A Ñ
F
f|A :
x ÞÑ f pxq
Dénition 20. Soit f
Df X A.
"
Ñ R .
Exemple 14. Soit f : R
x ÞÑ |x|
"
R Ñ R
et f|R IdR
On a f|R IdR :
x ÞÑ x
Remarque 14.
restrition de f à la partie
Df|A
"
:
R
x
Ñ
ÞÑ
R
x
.
f : E Ñ F une appliation, et X un ensemble qui ontient E (E
l'appliation g : X Ñ F est un prolongement de f si g|E est l'appliation f .
En d'autres termes, g est un prolongement de f sur X si g oïnide ave f sur E .
Dénition 21. Soit
Exemple 15. Soit f
"
:
Ñ R
ÞÑ ?x
R
x
L'appliation :
"
g1 :
€ X ). On dit que
R
x
Cf
Ñ
Þ
Ñ
R
|x|
a
est un prolongement (ontinu) de f .
L'appliation g2 :
$
&
R
x
%
x
Ñ ?R
Þ
Ñ
x
Þ 1
Ñ
si x ¥ 0 est aussi un prolongement (non ontinu) de f .
si x 0
Remarque 15. Dans la plupart des as, on prolonge une fontion en un point seulement, qui se trouve hors
de l'ensemble de dénition, et de façon à e que le prolongement soit ontinu (prolongement par ontinuité ).
Lyée Jean Perrin 2012/2013
14 / 15
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.
TABLE DES MATIÈRES
20 déembre 2012
Table des matières
I Langage de la logique
I.A Assertions et onneteurs logiques . . . .
I.A.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . .
I.A.2 Conneteurs logiques . . . . . . . .
I.A.3 Propriétés des onneteurs logiques
I.B Quantiateurs . . . . . . . . . . . . . . .
I.C Modes de raisonnement . . . . . . . . . .
I.C.1 Syllogisme . . . . . . . . . . . . . .
I.C.2 Disjontion des as . . . . . . . . .
I.C.3 Démonstration par ontraposée . .
I.C.4 Démonstration par ontre-exemple
I.C.5 Démonstration par l'absurde . . .
I.C.6 Démonstration par réurrene . . .
I.C.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III.A Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B Injetions, surjetions, bijetions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B.1 Notion intuitive d'ensembles en bijetion . . . . . . . . . .
III.B.2 Appliations injetives, surjetives, bijetives . . . . . . .
III.C Compléments sur les appliations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.C.1 Composée de deux appliations et appliation réiproque
III.C.2 Prolongement et restrition d'une appliation . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
II Ensembles
II.A
II.B
II.C
II.D
II.E
La notion d'ensemble . . . . . . . . . . .
Parties d'un ensemble . . . . . . . . . .
Opérations sur les parties d'un ensemble
Ensembles produits . . . . . . . . . . . .
Struture algébrique des ensembles . . .
.
.
.
.
.
III Appliations
Lyée Jean Perrin 2012/2013
15 / 15
1
1
1
1
2
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
6
8
8
9
9
10
10
11
13
13
14
Logique, ensembles, strutures algébriques et appliations.