Séries, produits, probas, Python, etc. 1 Une somme de série DM 2

Psi 945 – 2015/2016
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Séries, produits, probas, Python, etc.
À rendre avant le vendredi 25 septembre 2015
1 Une somme de série
Justifier la convergence puis calculer la somme de la série :
X
n∈N∗
1
n(n+ 1)(n+ 2)·
2 Des produits infinis
On étudie ici des « produits infinis » : prenez une série, remplacez les sommes par des produits et voyez
ce que vous pouvez dire !
On va donc étudier le comportement de suites dont les termes généraux sont de la forme :
∀n∈N, Pn=
n
Y
k=1
αk=α1α2...αn
avec (αk)k∈Nune suite de réels strictement positifs.
Pour un produit, converger vers 0n’est pas très significatif, donc un tel produit sera déclaré convergent
lorsque : n
Y
k=1
αk−→
n→+∞∈]0,+∞[
et on dira alors que Qαkest convergent, avec
+∞
Q
k=1
αk=.
1. Deux faits importants :
(a) Montrer que si Qαkest convergent, alors αn−→
n→+∞1.
Pour cette raison, on s’intéresse en général à des produits de la forme
Y(1 + un),
avec (un)n∈Nune suite de réels tels que un>−1, et un−→
n→+∞0.
(b) Montrer que le produit Q(1 + un)est convergent si et seulement si la série Pln(1 + un)est
convergente.
2. Quelques exemples : étudier la convergence des produits suivants :
(a) Q(1 −1/n2);
(b) Q(1 −1/n);
(c) Q(1 + 1/n2);
(d) Q(1 + 1/n);
3. Calculer explicitement la valeur du produit :
∞
Y
k=1 1−1
n2
4. On suppose que tous les unsont positifs. Montrer que Q(1 + un)est convergent si et seulement si
la série Punest convergente.
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3 Des probas pythonisées
On s’intéresse au maximum de nvariables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur [[1, p]]
(concrètement : vous tirez n= 4 fois un dé à p= 6 faces : quel est le maximum des tirages ? On peut
aussi voir ça comme un problème de tirage de boules numérotées dans une urne avec remise.
On considère donc deux entiers n, p, et nvariables aléatoires indépendantes X1, ..., Xnsuivant des lois
uniformes sur [[1, p]] :
∀k∈[[1, n]], Xk→ U ([[1, p]])
On définit par ailleurs :
Y=Max(X1, X2, ..., Xn)
1. Que vaut Y(Ω) ?
Que vaut Ω? Pfff... c’est l’espace probabilisé sur lequel sont définies les Xi!
2. Déterminer P(Y= 1).
3. Pour k∈[[1, p]], déterminer P(Y6k), puis pk=P(Y=k).
4. Avec Python, représenter le graphe représentant ces probabilités, c’est-à-dire la ligne polygonale
reliant les points de coordonnées (k, pk), pour k∈Y(Ω).
5. Écrire une fonction Python prenant en entrée net p, tirant nentiers aléatoires entre 1et p(la
fonction randint fait cela), et retournant le maximum de ces valeurs (l’appel de cette fonction est
donc une expérience qui simule Y).
6. Réaliser 104expériences, avec n= 4 et p= 6 ; placer dans une liste le nombre d’occurrences des
différents résultats. Tracer ensuite le graphe représentant les fréquences des différents résultats.
Comparer aux probabilités théoriques.
On pourra commencer par créer un tableau constitué de p+ 1 zéros (la première case, indexée 0
sera inutilise) :
n, p = 4, 6
stats = [ 0 ] * (p+1)
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