Séries, produits, probas, Python, etc. 1 Une somme de série DM 2

Psi 945 – 2015/2016
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DM 2
Séries, produits, probas, Python, etc.
À rendre avant le vendredi 25 septembre 2015
1
Une somme de série
Justifier la convergence puis calculer la somme de la série :
X
1
·
n(n
+
1)(n
+ 2)
∗
n∈N
2
Des produits infinis
On étudie ici des « produits infinis » : prenez une série, remplacez les sommes par des produits et voyez
ce que vous pouvez dire !
On va donc étudier le comportement de suites dont les termes généraux sont de la forme :
∀n ∈ N,
Pn =
n
Y
αk = α1 α2 ...αn
k=1
avec (αk )k∈N une suite de réels strictement positifs.
Pour un produit, converger vers 0 n’est pas très significatif, donc un tel produit sera déclaré convergent
lorsque :
n
Y
αk −→ ` ∈]0, +∞[
k=1
et on dira alors que
Q
αk est convergent, avec
n→+∞
+∞
Q
αk = `.
k=1
1. Deux faits importants :
Q
(a) Montrer que si αk est convergent, alors αn −→ 1.
n→+∞
Pour cette raison, on s’intéresse en général à des produits de la forme
Y
(1 + un ),
avec (un )n∈N une suite de réels tels que un > −1, et un −→ 0.
n→+∞
Q
P
(b) Montrer que le produit (1 + un ) est convergent si et seulement si la série
ln(1 + un ) est
convergente.
2. Quelques exemples : étudier la convergence des produits suivants :
Q
(a) (1 − 1/n2 ) ;
Q
(b) (1 − 1/n) ;
Q
(c) (1 + 1/n2 ) ;
Q
(d) (1 + 1/n) ;
3. Calculer explicitement la valeur du produit :
∞ Y
1
1− 2
n
k=1
4. On suppose
P que tous les un sont positifs. Montrer que
la série
un est convergente.
1
Q
(1 + un ) est convergent si et seulement si
3
Des probas pythonisées
On s’intéresse au maximum de n variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur [[1, p]]
(concrètement : vous tirez n = 4 fois un dé à p = 6 faces : quel est le maximum des tirages ? On peut
aussi voir ça comme un problème de tirage de boules numérotées dans une urne avec remise.
On considère donc deux entiers n, p, et n variables aléatoires indépendantes X1 , ..., Xn suivant des lois
uniformes sur [[1, p]] :
∀k ∈ [[1, n]],
Xk ,→ U([[1, p]])
On définit par ailleurs :
Y = Max(X1 , X2 , ..., Xn )
1. Que vaut Y (Ω) ?
Que vaut Ω ? Pfff... c’est l’espace probabilisé sur lequel sont définies les Xi !
2. Déterminer P(Y = 1).
3. Pour k ∈ [[1, p]], déterminer P(Y 6 k), puis pk = P(Y = k).
4. Avec Python, représenter le graphe représentant ces probabilités, c’est-à-dire la ligne polygonale
reliant les points de coordonnées (k, pk ), pour k ∈ Y (Ω).
5. Écrire une fonction Python prenant en entrée n et p, tirant n entiers aléatoires entre 1 et p (la
fonction randint fait cela), et retournant le maximum de ces valeurs (l’appel de cette fonction est
donc une expérience qui simule Y ).
6. Réaliser 104 expériences, avec n = 4 et p = 6 ; placer dans une liste le nombre d’occurrences des
différents résultats. Tracer ensuite le graphe représentant les fréquences des différents résultats.
Comparer aux probabilités théoriques.
On pourra commencer par créer un tableau constitué de p + 1 zéros (la première case, indexée 0
sera inutilise) :
n, p = 4, 6
stats = [ 0 ] * (p+1)
2