Chaue Centrale  2/3 TP Python

TP Python
Psi 945 2016/2017
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Chaue Centrale 2/3
Mercredi 7 juin 2017
Les énoncés reprennent des sujets posés en 2016... et adaptés/débugués/enrichis un peu pour certains.
Howto
Lisez ces énoncés avant le TP. Traitez les parties mathématiques et rééchissez à la façon de
programmer ceci ou cela ; quelles sont les fonctions/fonctionnalités que vous ne connaissez pas et
au sujet desquelles il sera donc important de m'interroger le jour du TP ?
Vous pouvez essayer de traiter complètement un exo (ou plus) que je regarderai le jour J.
Vous pouvez(/devez) avoir sous les yeux les documents d'accompagnement de Centrale.
Vous devez savoir faire un plot minimal sans avoir à consulter la moindre documentation !
1
Premier exercice
Hum... je détaille ?
2
Une intégrale impropre (Anthony Bibollet-Ruche)
sin x
·
ex − 1
1. Représenter le graphe de f à l'aide de Python. Montrer que f est intégrable sur R∗+ .
On considère la fonction f : x > 0 7→
Pour la suite, on dénit :
Z
A=
+∞
Z
et
f (x)dx
∀a > 0, F (a) =
0
a
f (x)dx.
0
(a) Déterminer un x > 0 tel que et − 1 > et/2 pour tout t > x.
(b) Déterminer a tel que |F (a) − A| 6 10−5 .
(c) Déterminer une approximation de F (a) à l'aide de la méthode des rectangles ou des trapèzes.
(d) Comparer au résultat donné par la fonction quad (sur ]0, a] et sur ]0, +∞[).
2. Déterminer 1 une suite (an )n∈N∗ telle que :
Z
+∞
f (x)dx =
0
+∞
X
an .
n=1
N
P
3. En déduire une nouvelle approximation de A, en déterminant N tel que A −
ak 6 10−5 .
k=1
Comparer...
Demandé à Anthony : la précision de la méthode des rectangles/trapèzes, et s'il connaissait une autre
méthode. Vous auriez répondu quoi ?
1. Merci d'éviter les petites blagues du type a1 = A et an = 0 pour tout n > 2 ...
1
3
Des polynômes orthogonaux (Grégor Vindry (2015) et Laura
Ahunon (2016))
On dénit P0 = 1, P1 = 2X , et :
∀n ∈ N,
Pn+2 = 2XPn+1 − Pn
1. (a) Calculer Pn pour n 6 8.
(b) Conjecturer le degré, la parité et le coecient dominant de Pn . Comment ferait-on pour prouver
ces résultats ?
2. On pose :
Z
p
2 1
P (t)Q(t) 1 − t2 dt
∀P, Q ∈ R8 [X],
<P |Q>=
π −1
(a) Vérier rapidement qu'on a bien déni ainsi un produit scalaire.
(b) Calculer <Pi |Pj > pour 0 6 i, j 6 8 (en constituer une matrice avec Python).
(c) Que dire de B = (P0 , ..., P8 ) ?
3. On pose Φ : P 7−→ −3XP 0 + (1 − X 2 )P 00 .
(a) Vérier qu'il s'agit d'un endomorphisme de R8 [X] ; déterminer sa matrice dans B .
(b) Que peut-on en déduire sur Φ ?
(c) Calculer les valeurs propres et vecteurs propres de Φ.
(d) Retrouver le résultat de 3.(b) par une autre méthode.
Laura a eu 18/20. Plutôt heureuse d'avoir bossé sérieusement ce TP fait pendant la chaue. À bon
entendeur...
4
Un arc paramétré (Sébastien Pezza)
On s'intéresse ici à l'arc paramétré
1.
2.
3.
4.
5.
6.
t
1
+
t3
ϕ(t)
2
t
y =

1 + t3


x =
Tracer cet arc avec Python.
Expliciter puis prouver la symétrie observée.
Déterminer les branches asymptotiques.
Calculer la longueur de la boucle observée.
Trouver une équation cartésienne de la courbe, de la forme F (x, y) = 0.
Montrer que ϕ(t1 ), ϕ(t2 ) et ϕ(t3 ) sont alignés si et seulement si t1 t2 t3 = −1.
L'oral s'est très mal passé (une demi-heure passée à faire un DL pendant la préparation).
5
Des intégrales et des rationnels (Pauline Charmet)
Pour (m, n) ∈ N2 , on dénit um,n =
Z
1
xm (1 − x)n dx
0
1. (a) Calculer um,0 puis, pour n > 0, trouver une récurrence permettant de calculer um,n .
(b) Écrire un programme permettant de calculer um,n sous forme d'une fraction.
On utilisera la bibliothèque adaptée :
>>> from fractions import Fraction
>>> a = Fraction(1, 3)
>>> a**2, 1+2*a
(Fraction(1, 9), Fraction(5, 3))
2
(c) Tester ce code pour diérentes valeurs de (m, n), et comparer au résultat donné par intégration
numérique via quad
2. (a) Montrer :
Z
0
1
k Z 1
+∞ x6 − 4x5 + 5x4 + 4 X
1
=
−
(x6 − 4x5 + 5x4 + 4)x4k (1 − x)4k dx
4 + x4 (1 − x)4
4
0
k=0
(b) En déduire une expression de cette intégrale comme une combinaison linéaire de sommes de
séries dont on estimera la vitesse de convergence.
(c) Comparer les valeurs approchées de cette intégrale obtenues via quad et comme somme partielle
de séries.
Il y avait aussi des manipulations formelles de polynômes... mais la n de l'exercice a été mal notée...
6
Quelques dessins
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0
2
4
6
8
10
Figure 1 Premier exercice : f
1.5
12
14
décroît vite.
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
Figure 2 Troisième exercice : tracé direct ou avec l'équation X 3 + Y 3 = XY
3
1.0