Date - MSLP

BAC Pro SEN – 2007/2008 CCF N°1 Maths Page 1/7
ACADEMIE DE GRENOBLE
Baccalauréat Professionnel Systèmes Électroniques Numériques
C.C.F. de Mathématiques Durée : Date :
2 heures 12 Février 2008
Calcul numérique, transformation de formules.
Etude d’une fonction et exploitations graphiques.
Suites géométriques.
Calcul sur les nombres complexes.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront dans l’appréciation des copies.
L’usage des calculatrices alphanumériques ou à écran graphique est autorisé à condition que leur
fonctionnement soit autonome (circulaire N°99-186 du 16-11-1999)
L’utilisation du formulaire de mathématiques est autorisée pendant l’épreuve.
Tous les exercices sont indépendants et dans un même exercice, chaque question est indépendante des
autres.
Lycée Professionnel Saint LOUIS 26 400 Crest
Nom du professeur auteur du sujet proposé : M. ROUX René
Nom et Prénom de l’élève : Note : /20

BAC Pro SEN – 2007/2008 CCF N°1 Maths Page 2/7
Exercice 1 : Etude des propriétés thermiques et électriques d’un fil d’argent
(3 points)
(d’’après un exercice Hatier Physique Chimie 1ére)
L’argent est un métal conducteur. Ses coefficients de conductivité électrique et thermique sont parmi les
plus élevés en comparaison avec tous les autres métaux. Il est utilisé dans la fabrication des fusibles. Sa
température de fusion est
962
F
T C
= °
.
Le fusible est constitué d’une lame (ou fil) fusible dans une enveloppe fermée. Cette lame(fil) fusible fond
si le courant qui la traverse dépasse la valeur assignée.
 Tube
 Capsule de contact
 Disque de centrage de la lame fusible
Plaquette de soudure (elle lie la capsule
 et la lame fusible )
 Lame fusible
 Sable (silice)
L’enveloppe quant à elle, contient du sable (silice) afin de permettre une coupure franche en évitant ainsi
le maintient du passage de courant à travers l’arc électrique.
On admet que la lame fusible peut être modélisée par un fil d’argent de longueur
0,02
l m
=
(2
cm
) et de
section
9
15 10 ²
S m
−
= × (soit un diamètre 140
D m
µ
=
).
La résistance du fil d’argent s’exprime par la relation
l
R
S
ρ
= avec
8
1,6 10 .
m
ρ
−
= × Ω
.
I.1) Exprimer la puissance dissipée par effet Joule
J
P
en fonction de
ρ
,
l
,
S
et
I
.
I.2) La relation permettant de calculer la puissance Joule volumique
V
P
(en
3
.
W m
−
) est donnée par la
relation :
J
V
P
P
V
= (V : volume du fil cylindrique et
V S l
= ×
).
Montrer que
V
P
s’exprime sous la forme
²
²
V
I
P
S
ρ = .
Calculer
V
P
quand le fil d’argent est parcouru par un courant d’intensité
10
I A
=
.
Cette puissance Joule volumique va nous permettre d’étudier la loi traduisant l’évolution de la température
du fil en fonction de sa longueur.
Exercice 2 : Etude de la loi d’évolution de la température le long du « fil fusible »
(7 points)
Le schéma ci-dessous nous montre la coupe d’un fusible.
plot fil d’argent
isolant
D
O
x
l

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Les deux extrémités du fil sont serties dans les plots métalliques massifs de telle sorte que la température
des extrémités du fusible reste égale à la température ambiante
0
20
T C
= °
.
Lorsqu’un courant d’intensité
I
traverse ce fil, la production d’énergie thermique par effet Joule et le
transfert de cette énergie par conduction au sein du fil se traduisent par la loi d’évolution suivante de la
température en fonction de l’abscisse
x
:
0
( ) ( )
2
V
P
T x T x l x
λ
= + −
Avec
1
410 .
W m
λ
−
= conductivité thermique de l’argent.
II.1) En prenant
3
7725 .
V
P W cm
−
= et
1
4,1 .
W cm
λ
−
=, montrer que
( ) 942 ² 1884 20
T x x x
= − + +
(on
arrondira les valeurs à l’unité),
x
et
l
étant donnés en
cm
.
On considère la fonction définie sur [0 ; 2] par
( ) 942 ² 1884 20
f x x x
= − + +
II.2) Calculer la fonction dérivée
f
′
de la fonction
f
.
II.3) Déterminer le signe de la fonction dérivée
f
′
sur [0 ; 2]
II.4) Compléter le tableau de variation de la fonction f sur l’annexe
II.5) Compléter le tableau de valeurs de la fonction f sur l’annexe. Arrondir chaque valeur à la dizaine
II.6) Tracer la courbe représentative
f
C
de la fonction f en utilisant le repère orthogonal de l’annexe.
II.7) En utilisant les résultats précédents, donner les coordonnées su sommet de la parabole.
II.8) Quelle est la température maximale atteinte par le fil ?
En quel point est-il atteint ?
Où le fusible fondra t’il ? Que peut-on en conclure dans le cas général ?
II.9) L’intensité maximale supportée par le fusible se calcule avec la formule :
0
max
800 ( )
F
T T
S
Il
λρ −
=.
Calculer cette intensité (on utilisera les unités du systèmes international). Conclure.
Exercice 3 : Etude des séries de résistances « E12 » et « E24 » (5 points)
La valeur des résistances est donnée par un marquage de couleurs à quatre bagues la plupart du temps :
deux chiffres, un exposant et la tolérance.
Les deux premiers chiffres de la résistance sont systématiquement extraits de la série « E12 » :
{
}
10;12;15;18;22;27;...;39;47;...;68;82
(valeurs arrondies à l’unité, correspondants à une « décade »), les pointillés correspondent à deux valeurs
inconnues que nous calculerons par la suite.
III.1) Montrer que les nombres 10,12 ,15 et 18 sont les premiers termes d’une suite géométrique
dont on donnera la raison et le premier terme.
III.2) On définit par
( )
n
r
cette suite. Exprimer
n
r
en fonction de
n
.
III.3) Calculer les deux termes manquants de cette suite.
III.4) Calculer
1
12
10
.Que remarquez vous ? Justifier le terme « E12 » pour cette série.

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Passons à présent à la série « E24 ».
III.5) En utilisant la question précédente, calculer la raison de la série « E24 »
III.6) Soit
( )
n
R
cette suite. On donne
0
10
R
=
. Calculer
6
R
et
9
R
. Que pouvez-vous en conclure ?
III.7) Résoudre l’inéquation :
10 1,1 100
n
× < .
En déduire le nombre de valeurs de la série « E24 », inférieures à 100 ?
Exercice 4 : Schéma équivalent réel d’une résistance (5 points)
Les concepteurs de circuits doivent tenir compte de contraintes de tout ordre déjà citées plus haut sous les
caractéristiques générales. Toutefois, il est utile de repérer quelques influences des diverses technologies
sur la valeur nominale.
Le mode de fabrication et la présence inévitable des fils de connexions entraînent l'apparition d'une
composante inductive, appelée inductivité propre L.
Chaque paire de conducteurs à laquelle est appliquée une différence de potentiel présente des courants
capacitifs. Cet effet parasite est plus prononcé dans les bobinages et se nomme capacité propre C.
Le schéma équivalent ci-dessous indique le modèle réel d’une résistance :
Selon la valeur de la résistance et la fréquence du signal utilisé, l’ensemble devient soit selfique, soit
capacitif.
Tout est donné pour 1
MHz
, la fabrication et les dosages carbone-sélénium deviennent variables, et
influencent les valeurs de
R
et
C
:
Exemples : pour 100
R k
= Ω
, la résistance devient purement capacitive
pour
10
R
= Ω
, la résistance devient purement selfique.
Etude d’une résistance de 10
k
Ω
Pour une résistance 10
R k
= Ω
soumise à une tension de fréquence 1
f MHz
=
, le constructeur donne
comme valeurs : 0,5
C pF
=
et 0,25
L F
µ
=
.
En utilisant le modèle décrit ci-dessus et en utilisant le nombres complexes, nous allons déterminer si cette
résistance de 10
k
Ω
, à la fréquence de 1
MHz
, est capacitive ou selfique.
Vous prendrez pour la suite :
6 1
6,28 10 .
rad s
ω
−
= ×
Nous rappelons les impédances complexes des éléments
R
,
L
et
C
:
R
Z R
=
L
Z L
ω
= ×
C
j
Z
C
ω
= −
×
avec
² 1
j
= −
.
IV.1) Exprimer l’expression complexe de l’association en série R-L, et montrer que sa forme
algébrique est :
10000 2
R L
Z j
−
= + (valeurs arrondies à l’unité).
IV.2) Montrez que
318471
C
Z j
= − .

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IV.3) L’impédance équivalente d’une association en parallèle de deux impédances se calcule avec
la formules :
1 2
1 2
eq
Z Z
Z
Z Z
×
=
+
.
Montrer que
636942 3184710000
10000 318469
eq
j
Z
j
−
=−
IV.4) Quel est le conjugué de
10000 318469
j
−
?
En multipliant la fraction précédente par ce conjugué, démontrez alors que
9990 312
eq
Z j
= −
(valeurs arrondies à l’unité). Ce résultat représente l’impédance réelle de la résistance.
IV.5) Calculer le module de
eq
Z
, noté
eq
Z
. Comparez là avec celle fournie par le constructeur
( 10
R k
= Ω
). Peut-on négliger cet effet ?
IV.6) Quelles est la partie imaginaire de
eq
Z
?
On admet que si cette partie imaginaire est positive, la résistance est selfique ; si cette partie est
négative, elle est capacitive.
Quelle est le type de cette résistance ?
IV.7) Calculer l’argument de
eq
Z
. On pourra s’aider du schéma suivant :
Retrouver le résultat de la question précédente avec une analyse sur les angles.
9990
312
j
−
eq
Z
θ
Sens conventionnel