P 1 § v if lî f1,S Sf/ PI W1 Im^jS iMiuVli c Mj i uwû ttt^d i1i ti tnf Traduction et adaptation de problèmes tirés de la revue Mathematics Teacher, mai 1999 Christian Boissinotte, CSDM 1. Un cercle est circonscrit à un triangle équilatéral et un autre cercle est inscrit dans ce même triangle. Quel est le rapport des aires du grand au petit cercle? (voir figure) 2. Un hexagone régulier est inscrit dans un cercle. Un autre hexagone régulier est circonscrit au cercle de façon que le centre de chacun de ses côtés coïncide avec un sommet du premier hexagone. Quel est le rapport des aires du grand hexagone au petit? (voirfigure) 3. Chaque côté d'un hexagone régulier est prolongé d'une mesure égale à la sienne, et les extrémités de ces segments sont reliées pour former un nouvel hexagone. Donnez le rapport des aires du grand hexagone au petit, (voirfigure) 4. Un triangle rectangle isocèle ABC, dont les cathètes mesurent un décimètre chacun est découpé dans une feuille de papier blanche d'un côté et noire de l'autre. Le coin C est replié le long du côté CB de façon que les parties visibles noires et blanches soient de même aire. Après le pliage, à quelle distance doit être le point C du coin B? (voirfigure) figure numéro 1 K J figure numéro 2 figure numéro 3 5. . Un cheval de bois monte et descend de 30 cm exactement huit fois à chaque tour complet d'un manège. Si le cheval commence à monter au début de la révolution du carrousel, à quel hauteur sera-t-il après deux-tiers de tour? Serat-il en train de monter ou de descendre? 6. Daniel se tient dans un trou de 120 cm de profond. Il dit qu'en creusant encore 125 cm, le dessus de sa tête sera à la même distance sous le sol qu'elle l'est maintenant au-dessus du sol. Quelle est la grandeur de Daniel ? 7. A, B, C, D et E représentent cinq chiffres différents. Que vaut B + D, sachant queA + B = C e t C - i - D = EA? 8. Une boîte contenait 31 chocolats. La première journée, Gabriel a mangé les — 4 de ce que Pamela a mangé. Le lendemain, Pamela mange une fois et demie ce que mange Gabriel, et il ne reste plus de chocolat! Combien de chocolats Gabriel a-t-il mangé? 9. David traverse un tunnel de huit kilomètres en auto. À ce moment précis, quelle est la probabilité qu'il soit à au moins six kilomètres de l'une des extrétiiités du tunnel? figure numéro 4 Albert (16) Frank ( 1 0 ) / \Benoit(8) 'Carole (12) Éliane (8) Denis (12) figure numéro 10 Solutions à la page : 44 8 10. Albert, Benoit, Carole, Denis, Éliane et Frank forment un cercle. Chacune de ces personnes choisit un nombre et le dit à ses deux voisins immédiats. Ensuite, chaque personne annonce la moyenne des nombres de ces deux mêmes voisins (nombres sur la figure). Quel nombre avait choisi Denis? (voirfigure) 11. Si 100 est divisé par un certain nombre naturel, le reste est 2. Si on divise 198 par ce même nombre, quel sera le reste? ENVOJL NO 119 - AVRIL-MAt-JUlN 2002 8 S o t u t t û i s des petits p m l t è m i s Christian Boissinotte, CSDM 1. 4. On voit que R = 2r, car R est la mesure de l'hypothénuse d'un triangle 30°6G°- 90° et r est celle du côté opposé à l'angle de 30°. Le rapport des rayons est 2, donc le rapport des aires est le carré de ce rapport, soit 4. (voir figure) figure numéro 1 2. t On sait que le rapport des aires est le carré du rapport des apothèmes, — . P a r contre, on remarque que l'angle illustré est de 30°, ce qui a S entraîne que a = —A. des aires est aonc donc — A . Le rapport aes —. ^ (voir figure) figure numéro 2 3. 3. Chaque angle extérieur au petit hexagone régulier, en particulier entre les côtés dont les mesures c et 2c sont indiquées sur la figure, est de 360° 6 ou 60°. Par la loi des cosinus, on trouve que le troisième côté est c V 3 . En effet, c^ + {Icf -l-c.-lc-cos60°=3c2en est le carré. \2 Le rapport des aires est le carré du rapport des côtés, soit V figure numéro 3 C (voir figure) 4. 0,26 d m . Le rapport des aires du triangle C A B au triangle C D C est - . Puisque le rapport des aires de ces triangles semblables est le carré du rapport des longueurs, on a que m C C = m B C = V2 - 2S 0,26 dm. ^ mBC = [2 /2V3 - X V2 = ^3 3 , donc (voirfigure) 5. 20 c m . figure numéro 4 2 1 de 8 représente 5 - cycles. Le cheval monte et descend cinq fois puis parcourt un tiers de cycle. Il monte car il n ' a pas atteint la moitié du cycle. Si on pense que le mouvement d'ascension est linéaire, 44 ENVOJL NO 119 - AVRIL-MAt-JUlN 2002 44 un cycle 2é 30 cm Jl. „// \ \ ISd-cosW) on dira que la hauteur atteinte par rapport au point le plus bas est - de /f /! / \\ 3 0 c m , SOit 2 0 c m . (voirfigure) Remarque : II est plus probable que le mouvement soit sinusoïdal, auquel cas on peut utiliser la fonctions suivante. f / 231 15(1-cos — figure numéro 5 ) = 15 X 1,5 = 22,5 cm au-dessus du point le plus bas. V 3 y 6. 182,5 c m . Soit j: la grandeur de Daniel. Il dépasse de x - 120 centimètres. Après avoir creusé, sa tête sera à 245 - x centimètres sous le sol. Puisque ces deux quantités sont égales, on a x - 120 = 245 - ;c ou 2x = 365 et x = 182,5 cm. 7. A, B, C, D et E r e p r é s e n t e n t cinq c h i f f r e s d i f f é r e n t s . E = 1 nécessairement. En remplaçant, o n a ( A - i - B ) + D = 1 0 + A, donc B+D=10. 8. 13 chocolats. Soit p^ ce que Paméla a mangé la première journée et p ^ l a deuxième journée. Le total, Gabriel a = mangé 3 2 —P\ + - P 2 Paméla +p^. Considérant que les deux termes doivent être entiers, il faut trouver un multiple de 4 et un multiple de 3. La seule possibilité est = 12 et = 6. Paméla à donc mangé 18 chocolats et Gabriel le reste, soit 13. 9. A Il serait alors dans les deux premiers ou les deux derniers kilomètres du tunnel, ce qui constitue en tout la moitié de la longueur du tunnel. 10. 4. Symbolisons le nombre choisi par chaque personne par l'initiale de son nom. D + 5 = 24, 5 - I - F = 32 et F - I - D = 16. En remplaçant 5 , on a D + ( 32 - F ) = 24 ou D - F = -8 En ajoutant F - i - D = 1 6 e t D - F = - 8 membre à membre, on a 2D = 8 ou D = 4. 11. 2. Soit X ce nombre. Il existe un nombre t tel que 100 = xf -i- 2 et aussi 98 = x M 9 8 = 100 -I- 98 = 2xt + 2. Donc 198 divisé par x donne 2t et le reste est 2. ENVOJL NO 119 - AVRIL-MAt-JUlN 2002 45