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Formule N◦6: La factorielle
La formule
n! = {1n= 0
n×(n−1)! ∀n > 0
n’est rien d’autre que la définition de la fonction factorielle sur l’ensemble des nombres
entiers N. C’est aussi un exemple fondamental de définition par récurrence. En algo-
rithmique, la factorielle est un des premiers exemples d’algorithme récursif dont voici
un exemple en Python :
def factorielle(n) :
if n == 0:
return 1
else :
return n * factorielle(n - 1)
La définition (et la démonstration) par récurrence est un des outils les plus importants
en mathématiques et en informatique. La récurrence est possible grâce aux Axiomes
de Peano pour l’ensemble des nombres naturels N.
Outre son ubiquité en Analyse Combinatoire, la factorielle apparaît de façon fonda-
mentale en Analyse avec la Série de Taylor.
La factorielle est à la base de la définition du nombre een tant que série convergente :
e=
∞
∑
k=0
1
k!
De ce fait, le nombre eest égal au cardinal du groupoïde des ensembles finis (attention,
ne cliquez sur ce lien que si vous avez déjà une idée de ce qu’est un groupoïde !).
Formule N◦6 :
La factorielle P24