MEMOIRE Les probabilités non commutatives et représentation

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE.
UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF.
MEMOIRE
Présenté à la Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Pour L’obtention du diplôme de
MAGISTER
OPTION : Mathématiques Fondamentales
Par
Melle : BOUFELGHA Nabila
THEME
Les probabilités non commutatives et représentation
probabiliste à la solution de l'équation
de Schrödinger.
Soutenu le : 19 /9 /2013.
Devant le jury :
Président Pr. ZIADI Abdelkader Université de Sétif.
Encadreur Pr. BENCHERIF MADANI Abdelatif Université de Sétif.
Examinateur Pr. MANSOURI Abdelaziz Université de Sétif.

Remerciements
J'exprime toute ma reconnaissance à monsieur
A. BENCHERIF MADANI,Professeur à l'université de
Ferhat Abbas Sétif, pour avoir assuré
l'encadrement de ce travail. Je le
remercie pour son soutien,
son orientation et ses
conseils.
Je tiens aussi à remercier vivement Monsieur
président d'avoir accepté
de présider ce jury.
Enfin, je remercie toute personne ayant
participé de près ou de loin pour
la réalisation de ce travail.
N . BOUFELGHA

Table des matières
Introduction 3
1 Histoire de la mécanique quantique 7
1.1 Panorama de la mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Concepts fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Brefhistorique ................................ 12
1.3.1 De la mécanique classique à la mécanique quantique . . . . . . . . 12
1.3.2 La mécanique quantique depuis 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Les lois de rayonnement d’un corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 LoideWien.............................. 16
1.4.2 Loi de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Loi de Max Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Les principaux modèles atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Probabilité, Fonction d’onde, Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Description probabiliste et densité de probabilité . . . . . . . . . 20
1.6.2 Fonctiond’onde............................ 21
1.6.3 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 NotationsdeDirac .............................. 23
1.8 Ondes de De Broglie et dualité onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Le principe d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.10 Les axiomes de base de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . 27
1

1.11 Résumé des relations entre mécanique classique et mécanique quantique . 31
1.12 Les grands hommes de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Probabilité non commutative 36
2.1 Probabilité classique ............................ 36
2.1.1 Espace fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 Indépendance, espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.4 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.5 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.6 Propriété de martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.7 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.8 Processus de Markov de saut pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.9 L’intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Espace de Fock poissonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1 Opérateur d’annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.2 Opérateur de création . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Probabilité non commutative ...................... 63
2.3.1 Rappels sur analyse fonctionnelle et Espace de Hilbert . . . . . . 63
2.3.2 Semi-groupes ............................. 72
2.3.3 Probabilité non commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3.4 Espace de Fock complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3 Représentation probabiliste de la solution de l’équation de Schrödinger 83
3.1 Propriétés approfondies de l’opérateur d’impulsion . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1 Spectre de l’opérateur ^p....................... 84
3.1.2 Action de l’opérateur exp (it^p)sur des fonctions . . . . . . . . . . 85
3.2 Représentation probabiliste de la solution d’équations integrodi¤érentielles
paraboliques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2