Application du 2 nd principe aux systèmes fermés

Application du 2nd principe aux systèmes fermés
Dans un système fermé, S dépend de l’irréversibilité ou non de la transformation, des
échanges énergétiques W et Q avec le milieu extérieur.
I Variation d’entropie par transfert thermique
A) Transfert thermique élémentaire, réversible interne
On considère un système fermé :
Q

W
On considère une transformation élémentaire réversible interne (donc par
restriction quasi-statique)
On a donc l’identité thermodynamique :
dU  TdS  PdV  Xdx
D’après le 1er principe, dU  W  Q  
Xdx
PdV

 
  Q . Donc Q  TdS
réversible
interne
Donc, pour une transformation réversible interne, dS 
Qrév
T
Application :
 rév int
B
A
SB  S A 


Qrév
rév in t
T
B) Echange thermique avec un thermostat
1) Modèle du thermostat
Un thermostat est un système dont la température reste constante, quels que
soient les échanges thermiques avec l’extérieur.
Q
Qth  Cth dTth . dTth  0  Cth  th  
dTth
(Il suffit que la dimension du thermostat soit très grande devant celle du
système en contact)
Propriété : pour un thermostat, tout les transferts thermiques sont réversibles
Qth
interne (admis). Donc, pour une transformation infinitésimale,
dS th 
Tth
2) Bilan entropique du système
Pour une transformation infinitésimale :
Q

W
Thermostat
On pose Univers    Thermostat , isolé (emplacement de W douteux,
faire attention ! idem dans les schémas suivants)
Donc dS Univers  dS   dS Thermostat  0 (2nd principe)
Qth  Q
dS th 
Tth

Tth
Donc dS   dS Univers  dS th  dS Univers 
Q
Tth
On pose :
- S création  dS Univers  0 ; traduit la variation d’entropie liée à
l’éventuelle irréversibilité du transfert thermique.
Q
- Séchange 
; Entropie d’échange, traduit la variation
Tth
d’entropie liée au transfert thermique.
Pour une transformation quelconque :
Q

W
Q
S    dS   

Tth

Thermostat
  S création 

Q
 S création
Tth

S échange
C) Echange thermique entre deux systèmes
Q

'
W
On suppose  et ' en contact thermique, et une transformation infinitésimale
réversible interne pour ' . Univers    ' isolé
dS Univers  dS   dS  '  0
dS  ' 
Q '
( transforma tion infinitési male réversible interne)
T '
dS   dS  '  dS Univers 
 Q '
Q
 dS Univers 
 dS Univers
T '
T '
dS   S échange  S création




 
Q
dS Univers
T '
Pour une transformation quelconque : S   

Q
T'
  Scréation  Séchange  Scréation

D) Application aux transformations réversibles
1) Echange thermique réversible
Q

'
Pour une transformation infinitésimale réversible :
Q
dS   S échange  S création 


 T '
0
car réversible
or dS  
Q
Q
T
Q
donc T  T '
T T '
Donc il faut et il suffit que  et ' aient la même température à chaque
étape de la transformation.
Cas particulier : ' Thermostat , une transformation monotherme réversible
est isotherme.
donc

( transforma tion réversible pour )
2) Transformation adiabatique réversible (interne)
Pour une étape infinitésimale de transformation adiabatique réversible
interne :
Q
dS  
(réversibl e)
T
Q  0 (adiabatiq ue)
Donc dS   0
Donc pour une transformation quelconque (mais réversible interne et
adiabatique quand même) : S   0
Une transformation adiabatique réversible interne est isoS (isentropique).
E) Transformations cycliques
1) Cycle monotherme
Q

W
T1
S   S échange  S création 
Donc S création 
Q
T1
(
Q
 S création
T1
et S   0 (cycle )
Q
 0 ;  0 si le cycle est réversible )
T1
Donc Q  0 et W  Q  0 ( énoncé de Kelvin du 2 nd principe)
2) Cycle polytherme
T1
Q1

W
Q2
T2
Qn
Tn
S   S échange  S création 
n
Donc
Qk
T
k 1
Q
Q1 Q2

 ...  n  S création  0
T1 T2
Tn
  Scréation  0 : inégalité de Clausius (égalité si et seulement si
k
le cycle est réversible)
Exemple : cycle de Carnot
Tf
Qf
Qc

Tc
W
On a vu que  
W
T
 1 f
Qc
Tc
1er principe : W  Qf  Qc  0 (cycle)
Qf
T
Q Q
 f  f  c 0
Qc
Tc
Tf Tc
Un cycle de Carnot est donc réversible.
Donc
II Bilans entropiques
A) Solide en contact avec un thermostat

Q
T0
 : solide de masse m, c p constante, initialement à la température T0 et mis en
contact thermique avec le thermostat à la température T0 . On considère une
transformation monobare.
1) Calcul de S .
Etat initial
Pext
T1
Etat final
Pext
T2
On cherche une transformation quasi statique qui va de l’état initial à l’état
final. On la choisit isobare.
Pour une étape infinitésimale de la transformation :
D’après l’identité thermodynamique : dH  TdS  V dP
  TdS
0
H
H
dH 
dT 
dP
  m  c p dT
T P
P T 0
T
dT
Donc dS  m  c p
Donc S   S final  S initial  m  c p ln 0
T
T1
2) Entropie d’échange
Pour la transformation réelle,
Q Q
S échange  

T0
 T0
T0
1 principe (transform ation monobare) : H  Q   m  c p dT  m  c p (T0  T1 )
er
T1
Donc S échange 
Q
T
 m  c p (1  1 )
T0
T0
3) Entropie de création
2nd principe pour le système :
S   S échange  S création  S création  m  c p ln
S création  m  c p (
T1
T
 1  ln 1 )
T0
T0
T1
 R * .
T0
On étudie f ( x)  x  1  ln x
On pose x 
T0
T
 m  c p (1  1 )
T1
T0
f ' ( x)  1  1
x
f ' ( x)  0  1  1  0  x  1
x
f ' ( x)  0  x  1
f ' ( x)  0  x  1

x 0
1
 0 
f'(x)


f(x)
0
Scréation  0 si T1  T0
Scréation  0  T1  T0
B) Deux solides en contact thermique

'
 et ' sont deux solides de capacités thermiques isobares massiques c p , c p '
(constantes), et de masses m, m’.   ' est isolé thermiquement, on considère une
transformation monobare pour  et ' . On note T et T’ les températures initiales de
  ' , T f la température finale du système.
1) Calcul de S et S ' .
Pour  : état initial Pext, T ; état final Pext, T f
Donc S   m  c p ln
Tf
T
Tf
T'
On suppose pour simplifier que m  m' , c p  c p ' .
De même pour ' , S '  m'c p ' ln

m  c pT  m'c p ' T ' 
 si m  m' , c p  c p ' alors Tf 



m

c

m
'

c
'
p
p


Séchange et Scréation ne sont pas définis pour les deux sous-systèmes  et ' .
T
T
S Univers  S    '  m  c p ln f  m'c p ' ln f
T
T'
2
T
 m  c p ln f
avec m  m' et c p  c p '
TT '
(T  T ' )²
 m  c p ln
; (T  T ' )²  (T  T ' )²  4TT '
4TT '
 (T  T ' )² 
 m  c p ln 1 
0
4TT ' 

 0 si et se ulement si T  T'
Tf 
T T'
2
III Entropie du gaz parfait
A) Fonction entropique du gaz parfait
Pour un gaz quelconque, la donnée de S (U , V ) donne l’accès à l’équation d’état
f ( P,V , T )  0 et à la fonction U (V , T ) et réciproquement.
On a, pour un gaz parfait : PV  nRT et dU  nCm,V dT d’où, avec l’identité
thermodynamique :
dU  TdS  PdV
 1 dT dV 
dU P
dT
dV

 dV  nC m ,V
 nR
 nR

T
T
T
V
V 
  1 T
dP dV dT
PV  nRT  VdP  PdV  nRdT 


P
V
T
 1 dT dT dP 
  dT dP 
  nR

 dS  nR



T
P 
P 
  1 T
  1 T
 dS 
 1  dP dV  dV  nR  dV dP 

 dS  nR






V  V    1  V
P 
  1 P
Donc, par intégration entre un état initial A(TA ,VA ) et B( P,V , T ) :
 T 1 dT V dV
S  S (V , T )  S A  nR 

 T   1 T V V
A
 A
Si  ne dépend pas de T :




 1
T
V 
S  S (V , T )  S A  nR
ln
 ln 
VA 
   1 TA
D’où :
 1
T
V 

S (V , T )  S A  nR
ln
 ln


1
T
V
A
A 

 1

 cte  nR
ln T  ln V   Ecriture non homogène! !
  1

B) Transformation adiabatique réversible interne du gaz parfait
Une telle transformation est isoS.
Donc dS  0
nR  dV dP 



 1  V
P 
dV dP


 0 (on retrouve la loi de Laplace)
V
P

C) Transformation monotherme du gaz parfait
On considère la transformation qui va d’un état initial A(T0 , PA ,VA ) vers un état
final P(T0 , PB ,VB )
 1
T
V 
V
Alors S  S (VB , T0 )  S (VA , T0 )  nR
ln 0  ln B   nR ln B
VA 
VA
   1 T0
P
Ou S  S ( PB , T0 )  S ( PA , T0 )  nR ln B
PA
Exemple : pour une détente de Joule Gay-Lussac d’une mole de gaz parfait de V à
2V
 nR ln 2  5,8J.K 1 (la transformation est irréversible et le système
2V, S  nR ln
V
isolé).
IV Diagrammes T–S
A) Diagramme T–S
T
A
B
S
Une transformation quasi-statique peut être représentée dans un diagramme T–S
Pour une étape infinitésimale d’une transformation réversible interne :
Qrév  TdS   Aire sous la courbe représentative de la transformation
B
SB
A
SA
Donc QAB   Qrév   TdS   Aire sous la courbe (si S B  S A )
B) Transformation cyclique
T
1

B
2
A
S
Qcycle  Q 1  Q 2 = – Aire +Aire = –Aire délimitée par la transformation.
Wcycle  Qcycle  0 ; le cycle est donc résistant.
Remarque : le cycle a le même sens que dans le diagramme de Clapeyron (moteur
dans le sens horaire, résistant dans le sens trigonométrique)
De même, si la transformation se fait dans le sens horaire, la chaleur reçue sera
positive.
C) Cycle de Carnot
En coordonnées de Clapeyron :
P
C
adiabatique
réversible
isoT, Tc
B
D
adiabatique réversible
isoT, Tf
A
V
Diagramme T–S du même cycle :
T
Détente isoT
D
Adiabatique
Adiabatique
réversible
réversible
B
A
Compression isoT
C
S
Remarque : la transformation suit le sens horaire dans les deux cas
QAB  –Aire < 0 ; le système cède de la chaleur à T f
QCD  +Aire > 0 ; le système reçoit de la chaleur de Tc
Wcycle  Qcycle  –Aire délimitée par la transformation < 0 (moteur)
r
Tf
 W (Tc  T f )( S A  S B ) (rectangle )

 1
QCD
(Tc  0)( S A  S B )
Tc