Mesures de risque

Risques financiers
Mesures de risque usuelles
Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Mesures de risque
Christian Francq
CREST-ENSAE
Chapitre 1: Concepts de base pour l’analyse quantitative des
risques financiers
Mesures de risque
Risques financiers
Mesures de risque usuelles
Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Objectif : présenter les outils théoriques de la gestion des risques
financiers.
Références :
McNeil, A.J., Frey, R. et P. Embrechts (2005) Quantitative
risk Management, Princeton University Press.
Gouriéroux, C. et A. Tiomo (2007) Risque de crédit,
Economica.
Poly (Gouriéroux et Zakoïan) + pamplemousse
Mesures de risque
Risques financiers
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Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Plan
1
Risques financiers
2
Mesures de risque usuelles
3
Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Mesures de risque
Risques financiers
Mesures de risque usuelles
Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Divers types de risques
Régulation
Facteurs de risque
1
Risques financiers
Divers types de risques
Régulation
Facteurs de risque
2
Mesures de risque usuelles
3
Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Mesures de risque
Risques financiers
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Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Divers types de risques
Régulation
Facteurs de risque
Grandes catégories de risques
Les investisseurs, les banques et autres établissements financiers,
ainsi que les compagnies d’assurance, sont exposés à des risques
financiers :
1
risque de marché (chute de la valeur d’un actif, taux de
change, prix des matières premières, ...)
2
risque de crédit (défaut d’un emprunteur)
3
risque opérationnel (panne du système informatique, épidémie
de grippe, incendie, fraude interne, fraude externe, risque
judiciaire, litiges commerciaux, litiges avec les autorités, ...)
4
risque d’illiquidité Market liquidity and funding liquidity risks
(ne pas pouvoir vendre ou acheter assez vite, pas de
contrepartie, volume de transaction trop important faisant
varier les cours, ne pas satisfaire les demandes de retraits ...)
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Divers types de risques
Régulation
Facteurs de risque
Grandes catégories de risques
Il y a aussi :
risque de modèle (utilisation d’un mauvais modèle pour
mesurer le risque)
risque systémique (effondrement de l’ensemble du système
financier causé par l’uniformité des portefeuilles d’actifs,
l’interdépendance des banques, ...)
risque de contagion (de voir les actifs se re-corréler)
risque lié à l’aléa moral (une banque est "too big to fail" et
n’a donc pas d’incitation à la prudence)
risque de catastrophe naturelle, risque démographique, ...
certains peuvent sans doute être intégrés dans le risque
opérationnel.
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Régulation
Facteurs de risque
Comité de Bâle
Le Comité de Bâle sur le Contrôle Bancaire a été créé par les
gouverneurs des banques centrales du G10 en 1985. Le comité
formule des recommandations (qui n’ont pas force de loi) sur le
comportement prudentiel bancaire :
1
Bâle 1 (88) : Concerne essentiellement le risque de crédit.
Pour les banques, mise en place d’un "ratio de Cooke"
minimal de 8% de fonds propres par rapport aux crédits
accordés (avec des pondérations).
2
Bâle 2 (04) :
3
Bâle 3 (publié 2010) :
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Divers types de risques
Régulation
Facteurs de risque
Comité de Bâle
1
Bâle 1 (88) :
2
Bâle 2 (04) : Prend aussi en compte le risque de marché et le
risque opérationnel. Utilisation de la VaR (depuis 93) et
d’autres mesures de risques. Les établissements financiers
peuvent mettre en place leur propre modèle de gestion des
risques. Le modèle est validé par la commission bancaire, qui
impose de nouveaux fonds propres si le modèle n’est pas
satisfaisant.
3
Bâle 3 (publié 2010) :
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Divers types de risques
Régulation
Facteurs de risque
Comité de Bâle
1
Bâle 1 (88) :
2
Bâle 2 (04) :
Bâle 3 (publié 2010) :
3
Augmentation des fonds propres à hauteur de 10,5% des actifs
pondérés par les risques.
Un coussin de capital supplémentaire peut temporairement
être imposé par un état membre pour éviter les bulles.
Introduction d’un ratio d’effet de levier (pas équivalent à la
contrainte de fonds propres à cause de la pondération des
risques, qui reste évaluée par chaque banque). Un plafond
d’environ 33 fois les fonds propres est imposé (même pour
acquérir des actifs jugés peu risqués, tels que les obligations
d’État).
Introduction de ratios de liquidité (obligation de détenir une
proportion suffisante d’actifs liquides)
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Régulation
Facteurs de risque
Distribution conditionnelle ou marginale de la perte
Soit un portefeuille d’actifs risqués de valeur Vt en t .
A horizon h, la perte est Lt,t+h = −(Vt+h − Vt ).
A la date t , la future perte Lt,t+h est aléatoire.
On distingue :
la distribution conditionnelle de la perte, c’est-à-dire la loi de
Lt,t+h sachant l’information disponible à la date t ;
la distribution inconditionnelle (ou marginale) de la perte,
c’est-à-dire la loi de Lt,t+h sachant juste Vt .
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Régulation
Facteurs de risque
Facteurs de risque
La valeur Vt est fonction d’un vecteur Z t = (Zt,1 , . . . , Zt,d )0 de d
facteurs de risques :
Vt = f (t, Z t ).
Exemple
Un investisseur européen investit dans le CAC40, le SP500 et le
FTSE100. Les facteurs sont
Z t = (log CACt , log SPt , log FTSEt , log USt , log GBPt )0 .
En notant X t = Z t − Z t−1 le vecteur des accroissements des facteurs
de risque, on a
Lt,t+1 = f (t, Z t ) − f (t + 1, Z t + X t+1 ),
dont la loi est déterminée par celle de X t+1 .
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Régulation
Facteurs de risque
Opérateur de perte
On a de façon générale
Lt,t+1 = `t (X t+1 )
où `t (·) est l’opérateur de perte, qui relie les changements de
facteurs de risque et les pertes.
Linéarisation : Si f est dérivable, on approxime la perte par
Ã
d ∂f
X
∂f
Lt,t+1 ' −
(t, Z t ) +
(t, Z t )Xt+1,i
∂t
i=1 ∂zi
!
et l’opérateur de perte par
Ã
d ∂f
X
∂f
`t (x) ' −
(t, Z t ) +
(t, Z t )xi
∂t
i=1 ∂zi
!
Évidemment, l’approximation est meilleure si f est presque linéaire
et si Xt est petit.
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Régulation
Facteurs de risque
Illustration
Exemple (suite)
Pour l’investisseur européen, qui a investi 30% dans le CAC40, 40%
dans le SP500 et 30% dans FTSE100,
Vt = a1 CACt + a2 SPt × USt + a3 FTSEt × GBPt = 0.3 + 0.4 + 0.3,
en normalisant pour que Vt = 1 euro. On a
Ã
Lt,t+1
= 1 − a1 CACt e
log
CACt+1
CACt +
0.4eXt+1,2 +Xt+1,4 + 0.3eXt+1,3 +Xt+1,5
¢
' −0.3Xt+1,1 − 0.4(Xt+1,2 + Xt+1,4 ) − 0.3(Xt+1,3 + Xt+1,5 ).
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
1
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2
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
3
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Définition de la VaR
On résume le risque, qui est une v.a.r., en prenant la plus petite
valeur ayant une probabilité inférieure à α d’être perdue.
Définition (VaR)
La valeur à risque (conditionnelle/inconditionelle), notée VaR pour
Value at Risk, au niveau de risque α ∈ (0, 1) et à horizon h ∈ N∗ est le
quantile d’ordre 1 − α de la distribution
(conditionnelle/inconditionelle) des pertes :
©
ª
VaRt,h (α) = inf x : Pt (Lt,t+h ≤ x) ≥ 1 − α .
Si Pt incorpore toute l’information disponible jusqu’à la date t , alors
VaRt,h (α) est une VaR conditionnelle. Notez que VaRt,h (α) est une
fonction décroissante de α.
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
VaR et queues de distribution :
loi normale N (trait plein), loi de Student
à 3 dégrés de libertés S (tirés) et loi double exponentielle E (trait pointillé fin)
queues proportionnelles à e−x
2
/2
p
2|x|
, x−4 et e−
VaR
0.6
0.5
distribution des pertes
2.5
0.4
0.3
2
0.2
0.1
1.5
α
-1
1
-0.1
2
VaR
3
0.01
0.02
Mesures de risque
0.03
0.04
0.05 α
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Valeur à Risque comme quantile des rendements
Soit les log-rendements rt = log Vt /Vt−1 , Vt > 0, et qt (h, α) le α
P
quantile de hi=1 rt+i . Pour des distributions continues strictement
croissantes, on a
´
³
Ph
Lt,t+h = Vt 1 − e i=1 rt+i ,
³
´
VaRt,h (α) = Vt 1 − eqt (h,α) .
0.3
Parfois, on définit la VaR par VaRt (α) = VaRt,1 (α) = −qt (1, α).
0.1
0.2
Distribution of the returns
0.0
α
−4
− VaRt(α)
0
Mesures de risque
4
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
VaR cond. et VaR marg. sur rendements simulés
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
VaR cond. et VaR marg. sur rendements simulés
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
VaR cond. et VaR marg. sur rendements simulés
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Fonction de répartition
Définition (f.d.r.)
La fonction de répartition (f.d.r.) de la v.a.r. X est l’application
F
: R → [0, 1]
x 7→ F(x) = P(X ≤ x)
Une f.d.r. est croissante, tend vers 0 en −∞, tend vers 1 en +∞,
est continue à droite (par continuité décroissante car si xn ↓ x alors
] − ∞, xn ] ↓] − ∞, x]), admet une limite à gauche en tout point (par
continuité croissante car si xn ↑ x alors ] − ∞, xn ] ↑] − ∞, x[) et est
continue en x ssi P(X = x) = 0.
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Fonction quantile
Définition (Quantile)
L’inverse généralisée, encore appelée la fonction quantile, de la
v.a.r. X de f.d.r. F est définie par
F − : ]0, 1[→ R
y 7→ F − (y) = inf{x : F(x) ≥ y}.
Propriétés
1
2
∀y ∈]0, 1[, Ey := {x : F(x) ≥ y} = [F − (y), ∞[.
−
Preuve
La fonction F est croissante, continue à gauche et admet une
Preuve
limite finie à droite (tandis que la f.d.r. F est cádlág).
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Fdr F (en bleu) et fonction quantile F − (en rouge) :
(x1,F(x1))
0.6
(F(x1),F−(F(x1)))
0.2
(x2,F(x2))
(F(x2),F−(F(x2)))
(x2,0)
−0.2
F(x) et F−(x)
1.0
F − (F(x1 )) = x1 et F − (F(x2 )) < x2
−0.2
0.0
0.2
0.4
(x1,0)
0.6
x et y
Mesures de risque
0.8
1.0
1.2
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Autre propriétés
Propriétés
3
∀y ∈]0, 1[, x ≥ F − (y) ⇔ F(x) ≥ y.
4
∀y ∈]0, 1[, F{F − (y)} ≥ y.
5
∀x ∈ R, F − {F(x)} ≤ x.
6
Si U ∼ U [0,1] alors F − (U) est une v.a.r. qui a pour f.d.r. F.
7
Si F est continue strictement croissante alors F(X ) ∼ U [0,1] .
8
−
Si a ≥ 0 et α ∈]0, 1[, FaX
(α) = aFX− (α) + b.
+b
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Preuve
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Attention
Propriétés
1
F − (α) < x 6⇒ α < F(x).
2
α < F(x) 6⇒ F − (α) < x.
3
On peut avoir F{F − (y)} > y.
4
On peut avoir F − {F(x)} < x.
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Interprétation d’un quantile
Propriétés
Soit α ∈]0, 1[ et la "check function"
Graphique
ρ α (u) = (α − 1)u1u<0 + αu1u>0 = u(α − 1u<0 ) = αu+ + (1 − α)u− .
Pour tout X telle que E|X | < ∞,
n
o
FX− (α) = inf arg min Eρ α (X − u) .
u
Preuve
Remarque : analogue de EX = arg minu E(X − u)2 et généralisation
de medX = arg minu E|X − u|.
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Autre interprétation de la VaR
Si la loi de Lt,t+h est continue et intégrable,
¡
VaRt,h (α) = arg min Eρ 1−α Lt,t+h − u
¢
u
¡
¢+
¡
¢−
= arg min(1 − α)E Lt,t+h − u + αE Lt,t+h − u .
u
La VaR est donc un capital optimal u immobilisé à la date t ,
occasionnant un coût 1 − α si Lt,t+h > u et α si Lt,t+h < u. En
général α est petit, donc on donne un poids plus important à la
sous évaluation du capital.
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
De l’utilité de la VaR conditionnelle (pour le banquier)
Soit
µ
Z
U
¶
∼ N (0, I 2 ),
L = Z + U ∼ N (0, 2).
Au même niveau de risque α ∈ (0, 1/2), la VaR conditionnelle (à Z )
est en moyenne inférieure (et donc plus économique) que la VaR
marginale :
©
ª
©
ª
E VaRL|Z (α) = E Z + Φ−1 (1 − α) = Φ−1 (1 − α)
p −1
<
2Φ (1 − α) = VaRL (α).
Remarque : peut se generaliser à des lois non centrées et non
gaussiennes ; dans un cadre temporel Lt = E(Lt | Lu , u < t) + Ut .
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Moins de réserve en moyenne avec la VaR conditionnelle
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Perte L=Z+U, information Z, VaR sachant Z et VaR marginale
0
10
20
30
40
50
La moyenne de la VaR conditionnelle (trait pointillé rouge) est inférieure à la
VaR marginale (en bleu)
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Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Moins de reserve et aussi moins de perte
Soit
µ
Z
U
¶
∼ N (0, I 2 ),
L = Z + U ∼ N (0, 2).
Avec la VaR conditionnelle à Z , en cas de perte supérieure à la
VaR, le surplus de perte moyen est
©
ª
©
ª
E L − VaRL|Z (α) | L > VaRL|Z (α) = E U | U > Φ−1 (1 − α) − Φ−1 (1 − α)
¢
1 ¡ −1
=
φ Φ (1 − α) − Φ−1 (1 − α).
α
Avec la VaR marginale, ce surplus est
E {L − VaRL (α) | L > VaRL (α)} =
p
¢ p
2 ¡ −1
φ Φ (1 − α) − 2Φ−1 (1 − α).
α
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
0.3
0.4
La VaR ne tient pas compte du montant des pertes
0.1
0.2
Loss Distribution
0.0
α
0
6
0.3
0.4
−6
VaRt(α)
0.1
0.2
Loss Distribution
0.0
α
−6
0
VaRt(α)
Mesures de risque
6
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Définition de l’expected shortfall
Définition (Expected Shortfall)
Si E|Lt,t+h | < ∞ et α ∈ (0, 1), alors
1
ESt,h (α) =
α
α
Z
0
VaRt,h (u)du.
L’expected shortfall est la VaR moyenne pour des niveaux de risque
inférieurs à α. L’expected shortfall est parfois appelée TailVaR ou
AVaR (pour Average VaR) ou même CVaR (pour Conditional VaR),
avec parfois des définitions différentes !
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Définition équivalente
Proposition (Expected Shortfall dans le cas L continue)
Si Lt,t+h est continue, strictement croissante et intégrable, et si
α ∈ (0, 1), alors
©
ª
ESt,h (α) = E Lt,t+h | Lt,t+h ≥ VaRt,h (α)
µ
= α−1 E Lt,t+h 1n
Lt,t+h ≥VaRt,h (α)
¶
o
.
Preuve
L’expected shortfall est la perte attendue en cas de dépassement.
C’est la moyenne des 100α% pires pertes.
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Cas où L n’est pas forcément continue
Soit F une f.d.r. et F − sa pseudo inverse. Pour α ∈]0, 1[, on note
α+ = inf Gα ,
Gα = {y ∈]0, 1[: F − (y) > F − (α)}.
Figure
Propriétés
1
Gα =]F {F − (α)} , 1[.
2
α+ = F {F − (α)}.
3
∀y ∈ [α, α+ ], on a F − (y) = F − (α).
Preuve
Propriétés
Si la loi L de Lt,t+h vérifie EL+ < ∞, avec VaRt,h (α) = VaR,
ESt,h (α) =
¤
1 £
E L1L≥VaR + VaR {α − P(L > VaR)} .
α
Mesures de risque
Preuve
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Fonction quantile
Quantile solution d’une optimisation
Expected Shortfall
Cas d’une perte gaussienne
Propriétés
Si
Lt,t+h = mt,h + σt,h N,
où N ∼ N (0, 1)
et mt,h et σt,h > 0 sont des constantes à la date t, alors
1
2
VaRt,h (α) = mt,h + σt,h Φ−1 (1 − α),
©
ª
ESt,h (α) = mt,h + σt,h α1 φ Φ−1 (1 − α) ,
Preuve
où φ et Φ désignent la densité et la fdr d’une N (0, 1)
Cas plus général
Si L = m + σL∗ ,
où EL∗ = 0, Variance(L∗ ) = 1, alors
VaR = m + σFL−∗ (1 − α),
σ
ES = m +
α
α
Z
0
Mesures de risque
FL−∗ (1 − u)du.
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Modèle paramétrique
Simulation historique
Riskmetrics (JP Morgan)
1
Risques financiers
2
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3
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Modèle paramétrique
Simulation historique
Riskmetrics (JP Morgan)
Mesures de risque
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Modèle paramétrique
Simulation historique
Riskmetrics (JP Morgan)
Cadre
Soit un portefeuille "cristallisé" de d actions. On note St,j le prix de
l’action j à la date t et aj le nombre d’actions j. La valeur du
portefeuille est
Vt =
d
X
aj St,j = a0 St
j=1
avec des notations évidentes.
La perte à horizon h est
Lt,t+h = −(Vt+h − Vt ) = −a0
h
X
∆St+j ,
∆St = St − St−1 .
j=1
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Modèle paramétrique
Simulation historique
Riskmetrics (JP Morgan)
VaR marginale avec modèle paramétrique non dynamique
Si on suppose par exemple que ∆St ∼ N (m, Σ), alors
p
VaRt,1 (α) = −a0 m + a0 ΣaΦ−1 (1 − α).
C’est une "VaR non conditionnelle".
En pratique on estime m et Σ par la moyenne et la variance
empirique des ∆Si , i = 2, . . . , t .
Si on suppose les ∆St iid N (m, Σ) alors
¡
¢
Lt,t+h ∼ N −ha0 m, ha0 Σa ,
d’où
p p
VaRt,h (α) = −ha0 m + h a0 ΣaΦ−1 (1 − α),
et, quand m = 0,
p
VaRt,h (α) = hVaRt,1 (α).
Mesures de risque
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Modèle paramétrique
Simulation historique
Riskmetrics (JP Morgan)
VaR marginale avec modèle non paramétrique
On estime la distribution des ∆St+j par la distribution empirique des
∆Si , i = 2, . . . , t . Ainsi VaRt,1 (α) est estimée par l’opposé du
α-quantile empirique des a0 ∆Si , i = 2, . . . , t .
Pour des modèles avec fonction de perte
Lt,t+h = `t (∆St+1 , . . . , ∆St+h ),
on peut simuler Lt,t+h (générer des "scenarios" de pertes) en tirant
∆St+1 , . . . , ∆St+h dans les ∆Si , i = 2, . . . , t .
Avec cette méthode, ou avec la précédente, on peut rendre la VaR
conditionnelle, c’est-à-dire "time-varying", en utilisant la méthode
sur des fenêtres glissantes ("rolling window"). Par exemple, on peut
générer les scénarios en tirant dans les ∆Si , i = t − K + 1, . . . , t (avec
par exemple K = 250).
Mesures de risque
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Mesures de risque usuelles
Exemples de méthodes pour évaluer le risque d’un portefeuille
Modèle paramétrique
Simulation historique
Riskmetrics (JP Morgan)
Riskmetrics : VaR conditionnelle par lissage
Soit le rendement rt = a0 ∆St . Le "modèle" s’écrit
Lt,t+1 = −rt+1 = σt+1 η t+1 ,
η t iidN (0, 1)
où
σ2t+1 = λσ2t + (1 − λ)rt2
avec λ ∈]0, 1[ un paramètre de lissage (λ = 0.95 en général).
En partant d’une valeur initiale σ21 , on calcule
2
σ2j = λσ2j−1 + (1 − λ)rj−1
,
j = 2, . . . , t + 1
et on obtient
VaRt,1 (α) = −σt+1 Φ−1 (α) = σt+1 Φ−1 (1 − α).
Fin du Chapitre 1
,!
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Modèle paramétrique
Simulation historique
Riskmetrics (JP Morgan)
Preuve de Ey := {x : F(x) ≥ y} = [F − (y), ∞[.
Pour y ∈]0, 1[, l’ensemble Ey n’est pas vide, sinon F(x) < y < 1 ∀x, ce
qui est impossible car F(x) → 1 quand x → ∞. Notons que si x ∈ Ey
et x0 ≥ x alors F(x0 ) ≥ F(x) ≥ y , puisque F est croissante, ce qui
signifie que x0 ∈ Ey . A priori, l’ensemble Ey est donc, soit de la forme
]a, ∞[ ou alors de la forme [a, ∞[, avec a ∈ R ∪ {−∞}. L’ensemble Ey
est borné inférieurement, sinon F(x) ≥ y > 0 ∀x, ce qui est
impossible puisque F(x) → 0 quand x → −∞. Notons enfin que si
xn ↓ x et xn ∈ Ey ∀n alors x ∈ Ey puisque F est continue à droite.
Tout ceci montre que
Ey = [F − (y), ∞[.
Propriétés de F −
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Preuve de la propriété 2
Si 0 < y ≤ y 0 < 1 alors x ∈ Ey0 implique F(x) ≥ y 0 ≥ y , c’est-à-dire
x ∈ Ey . Au vu de la propriété 1, Ey0 ⊂ Ey implique F − (y) ≤ F − (y 0 ), ce
qui montre que F − est croissante.
Soit yn une suite qui tend en croissant vers y ∈]0, 1[. Notons que
x ∈ [F − (yn ), F − (y)[ ssi yn ≤ F(x) < y . Ceci ne peut se produire pour
une infinité de yn lorsque yn → y . On en déduit que F − (yn ) → F − (y),
d’où la continuité à gauche.
Considérons maintenant une suite yn qui tend en décroissant vers
y ∈]0, 1[. La suite F − (yn ) est décroissante et minorée par F − (y),
donc elle converge. Ceci montre que F − admet une limite finie à
Propriétés de F −
droite en tout point.
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Preuve des autres propriétés
3
4
Par définition de Ey , F(x) ≥ y ⇔ x ∈ Ey , et au vu de la propriété
1, x ∈ Ey ⇔ x ≥ F − (y).
D’après la propriété 3), F{F − (y)} ≥ y ssi F − (y)} ≥ F − (y), ce qui
est évidemment vrai.
5
Se montre de la même manière, en utilisant la propriété 3).
6
Toujours d’après la propriété 3), on a
P{F − (U) ≤ x} = P{U ≤ F(x)}. Puisque la f.d.r. de U est l’identité
sur [0, 1], on a P{U ≤ F(x)} = F(x), et on conclut que la f.d.r. de
F − (U) au point x est bien F(x).
7
8
P(F(X ) ≤ α) = P(X ≤ F −1 (α)) = F(F −1 (α)) = α.
−
Pour a > 0, FaX
(α) ≤ x ⇔ α ≤ FaX +b (x) = P(X ≤ x−b
a )⇔
+b
x−b
−
−
Propriétés de F −
FX (α) ≤ a ⇔ aFX (α) + b ≤ x, ∀x.
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1.0
Graphe de la Check Function
0.5
0.0
ρα(u)
α=0.05
α=0.10
α=0.90
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
u
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Preuve que le quantile s’obtient par une optimisation
La fonction ρ α (·) est convexe. On en déduit que u 7→ ρ α (X − u)
est aussi p.s. convexe sur R. Par intégration u 7→ Eρ α (X − u)
est également convexe sur R (et donc continue).
Il est clair que ρ α (x − u) est positiveR pour tout x et tend
vers
R
∞ quand |u| → ∞. D’après Fatou ( lim inf ≤ lim inf )
Eρ α (X − u) → ∞ quand |u| → ∞.
La fonction u 7→ Eρ α (X − u) admet donc un minimum, en un
point ou© sur tout un intervalle
compact. Soit
ª
u∗ = inf arg minu Eρ α (X − u) . La dérivée en u∗ n’existe pas
toujours, mais la dérivée à gauche doit être strictement
négative et la dérivée à droite doit être ≥ 0. On a
u
∗
¾
½
∂
= inf u : + Eρ α (X − u) ≥ 0
∂u
½
¾
∂
= sup u : − Eρ α (X − u) < 0 .
∂u
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Preuve (suite)
La dérivée (à droite et à gauche) de
u 7→ ρ α (x − u) = (α − 1)(x − u)1x−u<0 + α(x − u)1x−u>0
vaut 1 − α lorsque u > x et vaut −α lorsque u < x. Pour u < x
on a ρ α (x − u) = α(x − u) donc la dérivée à gauche de ρ α (x − u)
vaut aussi −α lorsque u ≤ x. On a donc
∂
ρ α (x − u) = −α1u≤x + (1 − α)1u>x ,
∂u−
∂
ρ α (x − u) = −α1u<x + (1 − α)1u≥x = −α + 1u≥x .
∂u+
En utilisant Lebesgue pour dériver sous l’espérance,
∂
Eρ α (X − u) = −α + P(X ≤ u),
∂u+
d’où le résultat.
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Preuve de l’équivalence des 2 définitions de l’ES
Soit L la loi de Lt,t+h à la date t et U ∼ U [0,1] . On sait que
FL−1 (U) ∼ L. On a donc
o
n
o
n
E L1L>VaRt,h (α)
= E FL−1 (U)1F −1 (U)>F −1 (1−α)
L
L
©
ª
= E FL−1 (U)1U>1−α
Z 1
=
FL−1 (u)du
1−α
Z α
=
VaRt,h (v)dv
0
en faisant le changement de variable v = 1 − u.
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Graphique illustrant α+ = F {F − (α)}
1.0
1.2
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0.4
0.6
(F(x1),F−(F(x1)))
0.2
(x2,F(x2))
0.0
(F(x2),F−(F(x2)))
(x2,0)
(x1,0)
−0.2
F(x) et F−(x)
0.8
(x1,F(x1))
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x et y
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Preuve que α+ = F {F − (α)}
Puisque x < F − (y) ⇔ F(x) < y , on a
y > F {F − (α)} ⇔ F − (α) < F − (y). On en déduit que
Gα =]F {F − (α)} , 1[, ce qui montre les deux premiers points.
∀y ∈ [α, α+ ], on a F − (y) ≥ F − (α) car F − est croissante. Par
Retour
ailleurs on a F − (y) ≤ F − (α) car y 6∈ Gα .
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Preuve de l’expression de ES
En remarquant que pour 1 − α ≤ u ≤ (1 − α)+ , c’est-à-dire
1 − (1 − α)+ ≤ v ≤ α, on a F − (1 − v) = F − (1 − α), on obtient
¡
¢
©
ª
E L1L>VaR = E F − (U)1F − (U)>F − (1−α)
Z
Z 1−(1−α)+
−
=
F (u)du =
F − (1 − v)dv
G
0
Z α
Z α1−α
−
F (1 − v)dv −
F − (1 − α)dv
=
0
1−(1−α)+
Z α
Z α
=
Var(v)dv − VaR(α)
n
o dv.
0
1−F
VaR(α)
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Preuve des expressions pour une perte gaussienne
−
L’expression de la VaR découle de FaX
(α) = b + aFX− (α) pour
+b
a ≥ 0. En faisant le changement de variable v = Φ−1 (1 − u), on a
Z
1 α −1
Φ (1 − u)du
α 0
Z
1 ∞
= mt,h + σt,h
vφ(v))dv.
α Φ−1 (1−α)
ESt,h (α) = mt,h + σt,h
Preuve alternative (avec notation allégée) :
©
ª
E (L | L > VaR) = m + σE N | N > Φ−1 (1 − α)
Z ∞
1
uφ(u)du.
= m+σ
α Φ−1 (1−α)
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