Revêtements ramifiés du plan projectif

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
J EAN -P IERRE S ERRE
Revêtements ramifiés du plan projectif
Séminaire N. Bourbaki, 1958-1960, exp. no 204, p. 483-489
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1958-1960__5__483_0>
© Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki, 1958-1960,
tous droits réservés.
L’accès aux archives du séminaire Bourbaki (http://www.bourbaki.
ens.fr/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la
présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire BOURBAKI
12e année, 1959/60, n° 204
Mai
REVÊTEMENTS RAMIFIÉS
1960
DU PLAN PROJECTIF
par Jean-Pierre SERRE
(d’après
1. Résultats
Commençons
THÉORÈME
nombres
S. ABHYANKAR
[2])
classiques.
par
rappeler l’énoncé
1. - Soit
V
une
et soit
complexes,J
du "théorème d’existence" de
variété algébrique,
n :
V’ -~ V
un
définie sur
revêtement fini
le corps C des
au sens topologique)
de V . Il existe alors sur V’ une structure algébrique et
compatible avec la structure analytique de V’ , et qui soit
un morphisme (algébrique).
(De façon plus imagée :
est algébrique).
Noter que l’on
particulièrement
riété de
ne
tout revêtement
suppose pas
V
où
W -
au cas
V
=
Riemann-Enriques
une
seule
telle que
qui soit
n
soit
topologique d’une variété algébrique
projective ;3 au contraire, on s’intéresse
F , W étant projective et F une sous-va-
le théorème 1 montre alors que les soue-groupes d’indice fini de
W ;
n~(W - F) correspondent biunivoquement aux revêtements connexes W’ -~ W qui sont
non ramifiés en dehors de
F . Lorsque W est la droite projective (resp. le
plan projectif), c’est bien là le théorème d’existence de Rienmnn (resp. d’Enriques~
Il n’est pas
question d’exposer ici la démonstration
du théorème 1.
Indiquons
seulement que, si V est normale, il se déduit de deux résultats de GRAUERTREMMERT ([3], théorème 1, et [4], théorème 32), et que le cas général se ramène
au cas normal grâce à la théorie de la descente de GROTHENDIECK
(cf. [5], p. 10
et
11).
Le théorème 1 montre
quel intérêt il
algébrique) à déterminer le groupe
dim(V) = 1 . Il n’en est plus de môme
y
a
71 (V) .
celui où
V
=,J2 -
C ,
permottant d’obtenir
C
étant
une
en
(même
d’un
point
de
vue
purement
Cette détermination est facile
dimension 2 . Le
courbe du
plan
J~ .
lorsque
plus étudié est
Une méthode générale
cas
le
générateurs
C) a été donnée par
VAN KAMPEN (cf. ZARISKI,
De
nombreux
cas
chapitre VIII).
particuliers ont été
étudiés par ZARISKI, CHISINI, etc. Le résultat le plus frappant est sans doute le
et relations pour
483
THÉORÈME
à
(~8~,
dû à ZARISKI
suivant,
163) :
p.
2. - Si la courbe
C
n’a que des
C)
tangentes distinctes, le groupe
(Noter
ments
donnent immédiatement
homologiques
courbes irréductibles de
Zr
tient de
ZARISKI
commence
général
(ce
analogue
démonstration
sa
C)
par l’élément
C
qu’il n’y parvient
que
est quo-
).
d)
... ,
est formé d’un certain
et passe de là
nom-
au
travail serait
complète.
[2]
géométrie algébrique
en
des argu-
est réunion de
le groupe
d ,
du mémoire d’ABHYANKAR
théorème 2
d’ailleurs
verra
C
pense 1 ),
"dégénérescence" ; j’ignore quel
de
argument
objectifs
au
engendré
doubles
points
commutatif,
n’est pas aussi facile que l’on
un
par
... ,
est
structure : si
vérifier cet énoncé lorsque
par
nécessaire pour rendre
L’un des
dl ’
par le sous-groupe
bre de droites
cas
degrés
sa
des
est commutatif .
n1(P2 - C)
fois que l’on sait que
une
que,
points simples ou
est de démontrer
de
un
résultat
caractéristique quelconque ;
on
partiellement.
2. Revêtements décemment ramifiés.
A
de
partir
maintenant,
clos
algébriquement
sant caractéristique
Soit
V
V’ -~
x ::
V ,
R(V)
et
k
de
de
’k
V
où
est
comme on
de
le voit
R(V) ;3
(c’est-à-dire
en
le
prenant pour
V
rt:
V’/G.
degré
revêtement de
V ,
Dans
V’
K
le
V
un
corps
p
l’expo-
tout
morphisme
morphisme 7t
finies). Si
V et V’ , R(V’)
appelé le degré du
propre, et à fibres
[R(V’) : R(V)]
toute extension finie
le groupe de
s’identifie à
appellerons
de même dimension que
normale,
R(V) ;$
Inversement,
Un revêtement
ne
en
sont les corps de fonctions rationnelles de
est extension finie de
revêtement.
nous
de GROTHENDIECK
au sens
R(V’)
plaçons
nous
variété normale ;$
une
étant "fini"
géométrie algébrique sur
caractéristique quelconque ; on désigne par
(au sens de BOURBAKI).
nous
de
est
R(V)
la normalisée de
V
est de la forme
dans
R(V’) ,
K.
R(V’) est extension galoisienGalois G de R(V’)/R(V) opère alors sur V’ , et V
toute la suite, nous ne considérerons que des revêteest dit
galoisien
si
ments galoisiens.
Soit donc x~’
est
non
ramifié
L’ensemble des
Lorsque
V
V’ -~ V
en un
points
est
non
un
point
tel
revêtement,
P
V
E
V’
son
est
une
degré.
n
On dit que
points
V’
distincts.
sous-variété 0394 de V, distancée de V.
composantes irréductibles
pureté", voir plus loin, n°
toutes les
de codimension 1 : c’est le "théorème de
n
est formé de
si
de ramification de
singulière,
et soit
de ~
4.1.
sont
Soit
C
une
sous-variété irréductible decodimension 1
une
composante irréductible
C’
sont des
yf (C) ;
de
anneaux
locaux
[7], chapitre V, par exemple) s’applique.
particulier,
du
de
Galois
G ; c’est
groupe
sous-groupe d’inertie IC,
En
s(Q) = Q
tels que
pour tout
est décemment ramifié
de la
C
une
A
et
C’
et soit
A’
C
de
on
et
(cf.
peut définir le
l’ensemble des
G
s E
C’ . Nous dirons que le revêtement considéré
C
en
C’
du choix de
le groupe
ramifi.cation,
Soit
E
( "tamely ramified")
(condition indépendante
p
Q
V ~
et la théorie de la ramification
discrète,
de valuation
anneaux
les
de
si
IC’
au-dessus de
est alors
sous-variété irréductible de
est d’ordre
premier
C ). D’après
à
la théorie
cyclique.
V . Un revétemeht
V’ -~ V
o
sera
dit
décemment ramifié sur (V, C) si V’ est non ramifié en dehors de C , et est
décemment ramifié pour toute sous-variété irréductible de codimension 1 de V
(il suffit d’ailleurs de le vérifier pour celles qui sont contenues dans C ) ~;~..Soit
fi
algébriquement
extension
une
V ,
sur
(V , C)
et tels que le revêtement
forment
une
R(V) ;
close de
les sous-corps
K
de
0,
finis
correspondant soit décemment ramifié sur
croissante ; leur réunion est une extension
famille filtrante
galoisienne (infinie en général) de R(V) , dont le groupe de Galois sera noté
C) . Lorsque C ,Ô , on retrouve le groupe fondamental de V ~ au sens
GROTHENDIECK ;3 lorsque le corps est le corps C des complexes, le théorème 1
=
montre que le
groupe 03C0d1(V , C)
usuel
C) ,
nl(V -
pour la
de.
n’est autre que le
topologie
complété du groupe fondamental
des sous-groupes d’indice fini.
3. Revêtements décemment ramifiés de certaines surfaces.
Nous allons maintenant faire
une
série
d’hypothèses
restrictives
le
sur
couple
(V , C) .
(i)
(Le
et
V
est
une
surface
singulière.
non
général peut souvent se ramener à celui-là en coupant par
appliquant le théorème de Bertini. Cette hypothèse n’est donc
qu’elle le parait).
cas
en
tive
La sous-variété
points simples,
ou
C
est
bien des
posantes irréductibles
de
une
V’ -~ V
un
points
sont
hyperplans
pas si restric-
ou
bien des
points doubles ordinaires . De plus, toutes les
C
sont
[Cette hypothèse est plus forte
irréductible, elle signifie que
S oit n :
courbe dont tous les
des
non
que celle du théorème 2. Par
C
est
non
C ,
et soient
exemple,
si
C
est
singulière].
revêtement décemment ramifié
composantes irréductibles de
com-
singulières,
C~
( V , C) . Soient
images réciproques
sur
leurs
C
les
Une étude locale des revêtements décemment ramifiés
(cf. n° 4.2) montre que les
sont des courbes non singulières, éventuellement réductibles.
C~
(iii) La variété V est projective, et, pour toute composante irréductible
Ca de C , la dimension de la série linéaire complète
( est 2 .
Le fait que
1 soit de dimension > 2 et contienne un diviseur irréductible entraine qu’elle n’a pas de composante
fixe, et qu’elle n’est pas "composée
pinceau" (autrement dit, elle définit une application rationnelle de V
dans un espace projectif dont l’image est de dimension
2). Il en est donc de même
de la série formée des n-1(D) ,9 D E
En appliquant à cette série linéaire le
théorème de Bertini et le théorème de connexion, on voit que tous les
rt - (D) sont
avec un
.
connexes.
s’applique
voit que
on
be
Ceci
y
D =
est connexe, Comme
Cd
singulière,
non
notamment à
on en
conclut que c’est
et
C03B1 ,
une
n-1(C)
comme
sait d’autre
on
CI a
et
C~
revêtement
Cp
le sous-groupe de
et
invariant,
de
sur
en un
point (cf.
4.2)
G engendré par
n°
en ce
I
ramifié
rencontrent
se
du groupe
(V , c) ,
point
au
G . Soit
une cour-
(C a(
3 c’est
la
un
le
(
et
mon-
étude locale du
une
et
I
sous-groupe cycli-
un
moins ;
montre alors que
les
que c’est
part
support
pour
irréductible. Soit
courbe
dans le groupe de Galois G ;3 c’est
groupe d’inertie de
que invariant de G . Si a:l f3, les hypothèses faites sur
trent que
a
commutent. Soit
I
commutatif,
sous-groupe
V’/I ;3 c’est un revêtement décemment
Valois G/I ; de plus, la construction même
V" =
de groupe de
montre que les groupes d’inertie des C dans V" sont nuls, c’est-à-dire
que aucun des C a n’est contenu dans le lieu de ramification A de V~~ -~ V 0
V"
D’après
le théorème de
pureté,
fié. En passant à la limite
THÉORÈME 3. le quotient de
au
groupe
ne
sur
couple
a~~~,
V’ ,
(V , C)
on
autrement dit
est
l’énonce
vérifie
essentiellement
rami-
les hypothèses (i) , (ii) , (iii),
l
est
isomorphe
celui que démontre ABHYANKAR dans
~2~,
bien
pas).
est
simplement
degré >
1
),
connexe
le
(c’est-à-
groupe
est commutatif .
effet, l’hypothèse
~)
non
j~) .
CORQLLAIRE. - Si l’on suppose en outre que V
ne possède aucun revêtement non ramifié de
En
est
obtient le résultat suivant :
dive
C)
V" e V
par le sous-groupe commutatif invariant
n~(V 3
(Ce théorème
qu’il
Si le
on
Il
V
simplement
connexe"
signifie
que le groupe
est trivial.
Le corollaire ci-dessus
s’applique
notamment
au
couple
(PZ , C) ,
où
P2
le
désigne
tout espace
effet,
égale
projectif
da(da 3)/2
à
+
(ii).
courbe vérifiant la condition
une
est
degré
de
C
de
composante
une
C
et
plan projectif,
simplement
connexe
(voir
4.3),
n°
et si
la dimension de la série linéaire
d ,
En
Ca
(
est
est
est bien ) 2 .
qui
REMARQUES.
C)
commutatif, il n’est pas difficomplètement,
Lorsque
on trouve, comne on pouvait s’y attendre, le complété du groupe analogue
~
pour la topologie des sous-groupes d’indice fini et premier à p .
1. - Une fois que l’on sait que
cile de le déterminer
V
=P~
C
sur
2. - Le corollaire
soient
Ca
donc,pas
non
au
moyen de la théorie de Kummer.
[2]
théorème 3 est démontré dans
au
singulières,
que l’on
est
puisse
sans
supposer que les
mais la démonstration est incorrecte. Il
obtenir
une
véritable
généralisation
ne
semble
du théorème 2 par
méthodes d’ABHYANKAR ;3 c’est bien dommage. [On peut toutefois traiter le cas
où les
Ca n’ont "pas trop" de points multiples, grâce à des éclatements convenables. Cf. une série de mémoires d’ABHYANKAR en cours de publication].
les
4. Indications
sur
4.1. Théorème de
une
(et
les démonstrations.
pureté. -
Il
a
été énoncé tout d’abord par ABHYANKAR
avec
Une démonstration simple
démonstration incorrecte, attribuée à ZARISKI
correcte) a été publiée ensuite par ZARISKI [9].
Le théorème
...
schémas quelconques. Sous cette forme, il
vient d’être démontré par NAGATA [6], s’appuyant lui-même sur un résultat de
garde
un sens
pour des
CHOW.
4.2.
Étude
locale des revêtements décemment ramifiés. - On
LEMME D’ABHYANKAR. - Soient
W
V’ et
s’appuie
sur le :
doux revêtements décemment ramifiés de
(V , C) ; pour toute composante irréductible C de codimension 1 de C,
soit ia (resp. ja) l’ordre du groupe d’inertie d’une composante irréductible
C~ (rosp. Da)
W
a.
que
b.
que j
Si alors
posé
est
on
des corps
Soit
G
de l’ image réciproque
non
est
note
de
C3
su osons :
singulière,
multiple
W’
de i
pour tout
le revêtement
R(V’) et R(W) ,
le groupe de Galois de
a .
commun
W’
V’ -~
est
V ,
un
de
V’
et
revêtement
soit
H
W
correspondant
non
celui de
au com-
ramifié de
W.
W ~ V ~
et ~oit
S
celui de
W’ -~
V9 le groupe S contient deux sous-groupes invariants T’
S/T G , S/T’ H , et l’on a T n T’ = le l Soit I le
groupe d’inertie d’une composante irréductible
Ea de l’image réciproque de
et
T
tels que
dans
W’ ;
=
=
.
le groupe
Ia
se
dans le
plonge
Ca
des groupes
produit
correspondants
dans V’ et W, groupes qui sont cycliques d’ordre
ia et ja respectivement.
Il en résulte que
est d’ordre premier à p , donc cyclique, et comme il se
Ia
projette sur le groupe d’inertie de W -~ V , la condition (b) montre qu’il est
n T’
isomorphe à ce dernier. On a donc
{e3 , ce qui montre qu’aucun des
n’est contenu dans l’ensemble de ramification de W’ -~ W ;’ en
appliquant le
Da
=
théorème de pureté,
conclut bien que
on en
W’ -~ W est
Revenons maintenant à la situation du numéro 3 ;3
d’un
sinage
point
point simple étant analogue).
d’un
cas
est défini
C
que
P E C . Traitons le
régulier
de
P
en
paramètres.
prendra
équations x’n = x
On
définie par les
miers à
W
pour
variété
une
(V , C) ,
singulière,
non
V’ -~ V
double de
point
n ,
Z/nZ
d’Abhyankar
à
V’
EV,
P’
et
W ,
Z/mZ
x
=
H . On
n
pourvu que
un
V
x
système
k2
V,
encore
trouve
on
respectivement
peut donc appliquer
soient choisis
m
n
sur
m ,9 et le
et
le lemme
assez
On
grands.
tire :
Si
P
complété
Comme
e
V’ ,
de l’anneau
Q
W,
E
local ~
Q’
E
W’
sont des
ces
de
t~Q
quotient
s’identifie à celui de l’anneau local
anneaux
=
sont
intégralement clos,
k~~x’ , y’]]
par
un
on
voit
que Op,
opérant
par
x’ -~
4.3.
ce
nl(Pn) -~0 , cas, si
étant
X -~ P1
Le théorème de Bertini
est
un
s’identifie
au
(ce
On obtient ainsi
-~
une
X
t~Q,, .
sous-groupe fini du groupe
ex’ , y’
~y’ , où en - ~’m - 1 ).
de
vue
description complète (du point
"formel") du revêtement
description qui permet de vérifier sans difficultés les assertions
dernier
Dans
le
points correspondants,
on a :
et que tous
de
(le
revêtement décemment ramifié
un
et
voi-
étant deux entiers pre-
à restreindre
quitte
formant
m
au
C
peut supposer
forment
y
la sous-variété de
W
y,
x,
on
les ordres des groupes d’inertie étant
groupe de Galois étant
en
y’~ =
,
un
où
0 ,
xy =
alors pour
p . On constate facilement que,
étudier
on va
est
ramifié.
question étant locale,
La
l’équation
par
P
où
cas
non
revêtement
permet
non
de
ramifié,
g ; la formule de Hurwitz montre que
V’ -~
V ,
du numéro 3.
se ramener au cas
de
degré d ~
n
=
le genre
1 .
qui entraîne nécessairement d
[Variante : montrer qu’un revêtement non ramifié de
de kn+l ramifié seulement à l’origine, et appliquer
d’où
d ,
g = 1 -
=
ce
1 .
Pn
définit
un
le théorème de
revêtement
pureté].
BIBLIOGRAPHIE
[1]
ABHYANKAR
Math.,
(S.). t.
On the ramification of
p. 575-592.
algebraic functions,
Amer. J. of
77, 1955,
[2]
ABHYANKAR (S.). - Tame coverings and fundamental groups of algebraic varieties,
Part I : Branch loci with normal crossings, Applications : theorems of
Zariski and Picard, Amer. J. of Math., t. 81, 1959, p. 46-94.
[3]
GRAUERT (H.) et REMMERT (R.). - Espaces
Sc. Paris, t. 245, 1957, p. 882-885.
[4]
GRAUERT (H.) und REMMERT
p. 245-318.
[5]
GROTHENDIECK
métrie
[6]
[7]
[8]
[9]
analytiquement complets,
(R.). - Komplexe Räume,
Math.
Annalen,
C. R. Acad.
t.
136, 1958,
(A.). - Technique de descente et théorèmes d’existence en géoalgébrique, I : Généralités, Descente par morphismes fidèlement
plats, Séminaire Bourbaki, t. 12, 1959/60, n° 190, 29 p.
NAGATA (M.). - On the purity of branch loci in regular local rings, Illinois
J. of Math., t. 3, 1959, p. 328-333.
SAMUEL (P.) und ZARISKI (0.). - Commutative algebra, Vol. 1. - Princeton,
Van Nostrand, 1958 (The University Series in higher Mathematics).
ZARISKI (0.). - Algebraic surfaces. - New York, Chelsea publishing Company,
1948 (Ergebnisse der Mathematik, Band 3, 5).
ZARISKI (0.). - On the purity of the branch locus of algebraic functions,
Proc. nat. Acad. Sc. U. S. A., t. 44, 1958, p. 791-796.
489