TD 1.1 : fonte d`un iceberg TD 1.2 : le plongeur TD 1.3

Cours de GPE :
partie
physique
Organisation des TD :
TD 1.1 : fonte d’un iceberg
TD 1.2 : le plongeur
TD 1.3 : force sur la paroi d’un canal
TD2.1 : notion de débit, de vitesse d’un écoulement
TD 2.2 : vidange d’un réservoir
TD 2.3 : jet d’eau de Genève
Td 3.1/ EFFET VENTURI
TD 3.2 : le château d’eau
TD 4.1 et 4.2 : micro organisme, frottements visqueux
Organisation des CM :
Fluide parfait
Dynamique du fluide visqueux
Tension superficielle
Tension osmotique
Hasard et diffusion
FLUIDE PARFAIT
I QU’EST CE QU’UN FLUIDE ?
a) LES DIFFERENTS ETATS DE LA MATIERE
Il y 4 états :
 Solide : les particules ont des positions très bien déterminées et ces positions sont
invariables les unes par rapport aux autres. Elles peuvent bouger mais dans un espace très
restreint.
Une roche est dans un état cristallin si elle a des facettes à la surface (microscopie optique,
électronique ; diffraction des rayons X). On arrive à connaitre la position des atomes et des particules
grace à ces techniques. Les liaisons entre les particules sont rigides : le solide ne se déforme pas,
n’épouse pas la forme du récipient dans lequel on le met : il existe un ordre à longue distance (même
organisation, peu importe la distance à laquelle on regarde l’objet).
Mais les cristaux peuvent avoir des défauts :
 Ponctuels : une lacune (il manque un atome)
 Des Impuretés : le diamant coloré
 Des macles : glissement de plan par rapport à un autre
Masse volumique : ‽ >> 1000 kg /m cube
Liquide : Les molécules peuvent glisser les unes par rapport aux autres.
Les particules :
 Ordre local à courte distance
 Condensées
 Peu liées
Distance parcourue par les molécules est beaucoup plus grande.
Pour trouver La distance minimale entre deux particules :
 Ro = 3A
Eau/ alcool : miscible (même type d’intéraction entre les deux molécules)
Eau/ méthane : immiscibilité
Le liquide est déformable (adopte la forme du récipient) mais est incompressible
Les cristaux liquides sont des liquides complexes qui ont des propriétés des liquides et des propriétés
des solides cristallins.
Les colloides (systèmes dans lesquels des particules très petites sont en suspension dans un fluide),
les gels (mélange d’une matière colloidale et d’un liquide).
Masse volumique : ‽ glace < ‽ liq eau  liaisons hydrogènes
920 kg/m³ < 1000kg/m³
Gaz :
Très peu d’intéractions entre les particules. Etat dispersé et désorganisé
Particules :
 Désordonnées
 Espacées
 Non liées
 Très agitées
Il occupe tout l’espace disponible.
Masse volumique : ‽air : 1.29.10⁻³ kg/m³
Notion de compressibilité : K= -1/V * dV/d‽
K= 47. 10⁻⁶ bar ⁻ⁱ eau liq
Kair= 1 bar⁻ⁱ
b) LES CHANGEMENTS D ’ETAT OU CHANGEMENTS DE PHASE PTV
Remarque :Chaleur= énergie
Le fluide est le terme générique dans lequel on met les liquides et les gaz( dans certaines conditions )
car ils changent de forme
On dit fluide « parfait » car ils n’offrent aucune résistance au changement de forme à volume
constant.
La résistance au changement de forme est appelée viscosité.
Dans le cas d’un fluide parfait, la viscosité est nulle (ou non nulle mais sans écoulement). On est dans
un état statique.
Dans le cas d’un fluide réel et d’un écoulement, on est dans un état dynamique= fluide visqueux
II. LOI DE L’HYDROSTATIQUE
1. NOTION DE PRESSION
a) Liquide dans un récipient
Le liquide exerce une force normale (perpendiculaire) à la paroi. (P= pression F= force S= surface)
P= F/S = Newton/ m² =Pa
Autres unites: bar= 10⁵ Pa
1 atm= 1013 mbar= 1,013 10⁵ Pa
Mesures Médicales:
Mm Hg 1mmHg= 133,4 Pa
Cm H₂O 1cm H₂O= 98,1 Pa
1 atm= 760 mm Hg
Il y a Propagation uniforme de pression dans tout le recipient
b) Au sein d’un liquide
On considère un cylindre de liquide dans le liquide
On fait le bilan des forces
ƩF= O
= mgu + pSu – p’S’u = 0
= mgu + (p-p’)Su = 0
Mg + (p-p’)=0
‽Vg – (p-p’)S=0
‽Shg + (p-p’)S=0
Donc ‽hg= (p’-p)
Δp = pgh
Loi de l’hydrostatique
Remarque:
Air Patm: poids d’une colonne d’air pesant sur 1cm²
Torricelli (1680)
c) Un objet au sein d’un liquide
Poussée d’Archimède
Un corps immergé dans un fluide ƩF= O
Force
de
f
III DYNAMIQUE DES FLUIDES
1. APPROXIMATION, CONSEQUENCES, DEBITS
Fluide parfait :
Aucune force de frottement = aucune dissipation d’énergie mécanique (chaleur)
_ ni à l’intérieur du liquide
_ ni entre le liquide et les parois
Régime permanent :
L’écoulement est établi (différent du régime transitoire).
Dans les équations, les paramètres et les grandeurs sont indépendantes du temps.
Elles ne dépendent que de la position
Fluide non compressible = liquide et gaz (dans certaines conditions)
Le volume est indépendant de la pression
Ligne de courant : particules fluo/colorées/métalliques ; bulles d’air matérialisent.
Les lignes restent toujours parallèles (pas d’échange de matière entre deux lignes de matière)
2. BERNOUILLI
Lien entre la pression, la vitesse, et les caractéristiques de l’écoulement.
Sur Δt = Va  a’
Vb  b’ Va= Vb
Va= Sa*d = Sa* Va * Δt
Vb= Sb* d = Sb * Vb*Δt
Δm = ρ * ΔV = ρSaVaΔt = ρSbVbΔt
ΔEc (ab) = ½ Δm (Vb² _ Va²)
= travail des forces mises en jeu
= f* distance
Forces mises en jeu
 Pesanteur :
Δmg = force
Travail = force * distance
ΔW1 = - gΔm (zb – za) = gΔm(za- zb)
ΔW1 > 0 puisque moteur

Pa en A,
Moteur
w>0
Pb en B
R2SISANT
W<0
ΔW2 = (SaPaVa – SbPbVb)Δt
(SaPa= force de pression)
Au final :
ΔEc = ΔW1 + ΔW2
½ Δm (Vb² - Va²) = Δmg (za – zb) + (SaPaVa – SbPbVb) Δt
A
B
½ ΔmVa² + Δmgza + SaPaVaΔt = ½ ΔmVb² +Δmgzb + SbPbVbΔt
1/2 ρv Va² + ρv gza + vPa = 1/2 ρv Vb² + ρv gzb + vPb
1/2 ρ Va² + ρ gza + Pa = 1/2 ρ Vb² + ρ gzb + Pb = ½ ρVc² + ρgzc + Pc
3. CONSEQUENCES
P + ρgz + ½ ρv² = conste
Importance de la vitesse par une mesure de P, on peut remonter à la vitesse
H1 différents h2
Bernouilli :
Pb + ρgzb +1/2 ρVb² = Pc + ρgzc + ½ Vc²
Pc – Pb = ½ ρVb²
= ρg ( h2 – h1) hydrostatique
Vb = racine de ( 2g (h2-h1)
Application : Vsang, tubes pitot
On peut élargir les mesures à des canalisations dont le diamètre change.
Q= cste
SaVa= SbVb
Va< Vb
la V augmente, P diminue
Pa + ½ ρVa² + ρgza = Pb + ½ ρVb² = ρgzb
(Pa – Pb) = ½ ρ (Vb² - Va²)
>0
>0
Pa > Pb
Effet venturi
Trompe à eau :
DYNAMIQUE DU FLUIDE VISQUEUX
I.
VISCOSITE
Emécanique  chaleur
Forces de frottements entre molécules au sein du fluide et avec les parois
 Fluide réel ou fluide visqueux
Variation, linéaire de la vitesse entre les plaques :
F/S =η Dv/ dy
Eta = viscosité
Η = F/S dy/dV = Nsm/m²m = Ns / m² = Pa* s (unite = pascal * secondes)
Gaz: η air à 20° = 1,8.10⁻⁵ Pas
Hydrogene = 9.10⁻⁶ Pas
Liq: 20°
eau= 10^-3 Pas
Hg= 1,5 10^-3 Pas
Benzene = 6. 10 ⁻⁴ Pas
Glycerine: 0,8 Pas
à 0° = 8 Pas
: η sang = 2.10^-3 à 5.10^-3 Pas
: η cinématique η/ ρ (masse volumique)
Si température augmente liquide : η diminue
Gaz : η augmente
Viscosité cinématique : η/ρ = m²/s
II.
ECOULEMENT D’UN FLUIDE DANS UN TUYAU
1) LOI DE POISEUILLE
Berbouilli : η=0
P+ ρgh + ½ ρv²= constante
Tout le point dans l’écoulement, on a toujours la même constante
ηdifférent de 0
perte d’énergie pendant l’écoulement
ΔEc = ΣW + W
(due aux forces visqueuses)
Pa + ρgha + ½ ρva² = Pb + ρghb +1/2ρvb² + ΔP
(effet des forces de friction)
On définit les partes de charge
ΔP/longueur
2) PERTE DE CHARGE , VITESSE , DEBIT
Dans un système simple, la variation de pression est linéaire avec la distance parcourue.
On considère un tuyau cylindre, de rayon a, régime permanent (indépendant du temps)
A l’équilibre ΣF =0
Composante horizontale des forces :
Forces de pression : Fp = Fpa – Fpb = PaSa – PbSb
= PaΠr² - PbΠr² = (Pa – Pb)Πr² (>0)
Forces dues à la viscosité : F= ηS Dv/ dr
Fvis = ηS dv/dr = 2Πrlη dv/dr
( S = 2Πrl = surface du cylindre)
Composante horizontale des forces :
Fp + Fvis = 0
(Pa – Pb)Πr² + 2Πηrl dv/dr = 0
Dv/ dr = - (Pa – Pb/ l) r/2η
Dv = - ((Pa – Pb) / l2η) ∫rdr
V(r) = -( (Pa – Pb)/ 4lη ) r² + constante
Pour trouver la constante : v (a)= 0
 (Pa – Pb/ 4lη)a² = 0
 Constante = (Pa – Pb/ 4lη)a²
V(r) = ((Pa – Pb)/4lη) (a² - r²)
Profil de vitesse vrai lorsque le tube est étroit. (v= vitesse et V = volume)
Pour le débit : dQ(r) = v(r) 2Πrdr
Q =∫ dQ = ∫ v(r) 2Πrdr = ∫ (( Pa – Pb)/ 4lη) (a² - r²) 2Π rdr
(0  a)
Lorsqu’on double le rayon a  2a
Le débit : * 16
Q = Πa² v moyenne = S * ½vmax
((Pa – Pb)/ 8ηl ) a² = ½ (v(a)) = ½ ((Pa – Pb)/ 4lη) a²
Q= Π/ 8η ((Pa – Pb)/ l) a⁴
III.
RESISTANCE AU MOUVEMENT DANS UN FLUIDE
Particule d’argile dans un fluide, déplacement avion / voiture
Déplacement des organismes dans leur milieu (poisson, bactérie, canard)
Goutte de pluie : sphérique / r , indéformable
Forces qui s’appliquent au système :
Poids de la goutte : P = - mgu = ρVgu
Poussée d’archimède : Ar = ρVgu
Résistance de l’air au passage de la goutte :
F= ηs dv/dr = 2Πalη (dv/dr)
(r=a)
F= 8Πlη v (moy)
De façon générale:
F= kDηv
(D= géometrie, η= viscosité, v= vitesse)
Cas sphère : F = 6Πrηv
Fsphère/fluide = 6Πηrv
--- loi de Stoke
Goutte : P + Ar + Fvis = 0
à l’équilibre : a= 0 (v constante= vitesse limite)
Goutte de pluie :
Ρeau 4/3 Πrᶟg = 6Πrηv + 4/3 Πrᶟ ρair g
4/3Πrᶟ (ρeau – ρair)g = 6Πrηv
 V= 2/9 ( (ρeau – ρair)/ η) gr²
Une goutte de brouillard : rb = 1µm
vb= 1,2 10⁻⁴ m/s = 43,2 cm/h
Une goutte de pluie : rp = 1mm
vp = 121m/s
Ρeau = 1000 kg/mᶟ
Ρair = 1,3 kg/mᶟ
G = 9,8 m.s⁻²
η = 1,8 10⁻⁵ Pa.s
IV MOUVEMENT LAMINAIRE / TURBULENT
a) NOMBRE DE REYNOLDS (RE)
Mis en évidence 1883 par Gsborne Reynolds
Nature de son régime :
 Laminaire
 Transitoire
 Turbulent
Régime visqueux ou inertiel
Définition : c’est un nombre sans unité (dimension)  rapport entre les forces d’inertie (ρv²/ d
ρ= masse volumique ; v² = vitesse d’écoulement ; d= dimension du système) et les forces
visqueuses (η * v/d² )
Donc Re= ρvd/η
Re<< 1 l’écoulement est dominé par la viscosité
Re> 1 l’écoulement est dominé par l’inertie
1< Re < 1500 : écoulement laminaire
Re> 3000 : écoulement turbulent
b) ECOULEMENT A PETITS NOMBRES DE REYNOLDS
C’est la partie visqueuse qui joue un rôle. On définit alors la couche limite : δ= racine de (Lη/ ρv)
(L = dimension du système)
_ δ<<L/2  écoulement parfait
_ δ >> L/2  écoulement visqueux
TENSION SUPERFICIELLE
I.
INTRODUCTION
A. EXPERIENCES INTRODUCTIVES
 Eponge
 Bulle de savon
 Insectes aquatiques
B. FORCES DUES A LA TENSION SUPERFICIELLE
Effet macroscopique. La force due à la tension superficielle est une force attractive exercée sur une
interface (= sur une longueur).
Elle se note : F= σ * l
(ou γ * l)
σ= coefficient de tension superficielle
l= longueur
_ σ est en N/m (mN/m)
Eau : σ= 72,8 mN/m
Ethanol : σ= 22mN/m
Mercure (Hg) : σ= 436 mN/M (présence de liaisons métalliques)
C. INTERPRETATION MOLECULAIRE
_σ= F/l = E/S
Pour minimiser l’Energie, on doit diminuer la surface S entre le liquide et l’air  le volume du liquide
va alors se mettre sous la forme d’une sphère.
II.
PHENOMENES LIES AU MOUILLAGE
A. LE MOUILLAGE
C’est la capacité d’un liquide à s’étaler à la surface d’un solide
facteurs : nature du liquide
Matériaux, nature
Structure du matériau
Quand la température augmente, l’agitation thermique augmente également et σ diminue.
Effet du mouillage dans des tubes
B. CAPILLARITE
Loi de Junn
ΣF = 0
Approximation = variation de pression entre le haut et le bas du tube
Poids : P= -mgu = -ρ(liq)Vgu = -ρ * h *πr²gu
F due à la tension superficielle
F= 2πrσcosϴ
2πrσcosϴ - ρhπr²g = 0
_h= 2πrσcosϴ / ρπr²g = 2σcosϴ/ ρrg
III.
EFFET DE PRESSION
Quelle est la variation de pression entre l’intérieur et l’extérieur
F pression= Δp * πr²
F tension superficielle = 2πrσ
A l’équilibre : F pression = F tension sup
Δpπr² = 2πrσ
Donc Δp= 2σ/r (Laplace)
Si r diminue, Δp augmente.
Eau : r= 1µm ; σ= 73 mN/m ; Δp = 1,46.10⁵ Pa
A l’intérieur on a une pression supérieure à la pression atmosphérique.
R= 1mm  Δp= 1,46.10² Pa
R= 1cm  Δp = 14,6 Pa
Δp(air1/air2)= p(air1) - p(air2)
= (p(air1) – p(eau)) + (p(eau) – p(air2))
= 2σeau/ rint + 2σeau/ rext
R(int) = r(ext) = 4σeau/ r(moyen)
Murissement d’Oswald  petites se vident dans les grosses
IV.
MESURE DE LA TENSION SUPERICIELLE
1) ANNEAU (VU EN TP DE L1)
Arrachement de l’anneau
_ σ = F – Poids de l’anneau / 4πrcosϴ
2) GOUTTE PENDANTE
10 gouttes d’eau  poids  σeau
(4 car 2 * 2πr) (2πr = périmètre)
10 gouttes d’éthanol  σéthanol = Poids éthanol/ Poids eau * σeau
V.
APPLICATION EN BIO
_ poumons :
2m² de peau
100 m² de poumons
Variation de la surface de 10%
La surface augmente, l’énergie augmente si σ reste constant
0,5 µm de liquide = eau
Alvéole R= 0,005 – 0,1 µm
Loi de Laplace : Δp = 1460 Pa
Δp = 2800 Pa (toujours grand)
 Surfactant = mélange de lipides et de peptides modifie en permanence la σ
(tension superficielle)
 Montée de la sève
Energie de cohésion entre 2 molécules d’un liquide. L = 20Ӑ
ΔE = 2σS
Equivalent au travail de la force nécessaire à éloigner 2 molécules
ΔW= F* l
ΔW=ΔE= F*l = 2Σs
F/S = 2σ /l
(S est en N/m² = Pa : c’est une pression)
Pression = 2* σeau * 1/ l
= 7,3. 10⁷ Pa
(σeau = 73.10⁻ᶟ
et l= 20.10⁻ⁱ⁰)
TENSION OSMOTIQUE
Cristal de sel dans l’eau :
Choc osmotique, paroi des cellules semi perméable
Laisse passer l’eau/ bloque les sels
Pint = Pion + Peau
Pext = Peau
Pint + Pext = Pion = π (pression osmotique)
CA < CB
Eau A  B
Cb diminue
Variation de hauteur due à la pression osmotique
Ions très dilués environ = aux gaz parfaits
PV= nRT
P= nRT/V = cRT
_π= Pa – Pb
Pc’ = Patm – Pa’
Pa’ – Pb’ = Pa – Pb
_ π = Pa’ – Pb’ = Pa’ – Pc’
_ π = ρgh = cRT
R= constante des gaz parfaits=
h= Crt/ ρ(eau salée)g
HASARD ET DIFFUSION
I.
INTRODUCTION
Déplacement des molécules dans un fluide
Cas étudiés : fortes dilutions environ égales aux gaz parfaits
Chocs élastiques entre les molécules ou entre les molécules et les parois
Des trajectoires rectilignes que les molécules se déplacent à des vitesses bien déterminées et
changent de trajectoire après chaque choc
 Mouvement au hasard qui est caractérisé par
Un libre parcours moyen
Ou Une distance moyenne entre deux chocs
A) PARTICULES EN SUSPENSION
1) Mouvement Brownien
Mouvement désordonné et les particules se déplacent au hasard
Robert Brown : botaniste dans les années 1827 et a observé une solution de pollen au microscope :
les particules bougent. Elles sont ballotées par les particules su solvant
Un corps en solution = soluté
Solution peut être classée en trois catégories :
 Soluté environ = ions ou molécules . solution ordinaire ou moléculaire (non
observable)
 Protéine/virus
dim 10⁻² µm solution colloidale (astuce pour observer
les colloides)
 Hématies / leucocytes
dim 10µm suspension ou émulsion (observable par
microscopie)
Mouvement de ces particules détectables = environ agitation thermique des molécules
= énergie cinétique interne désordonnée
= chaleur du système
A température ambiante :
Particules
virus
Masses (kg) 2.10⁻ⁱ⁷
Vitesse
0,025
(m/s)
protéine
2.10⁻²ᶟ
25
molécules
4,5. 10⁻²⁶
530
2) Expérience de Pernn
Solution colloidale (gaz parfait)  effet de la pesanteur
P(z)= p(z0)e(-α(z-z0) )
α = mg/kT
En comptant le nombre de particules pour chaque z
_ n(z) = n(z0)e(-α(z-z0))
On applique le ln
α = mg/kT = mgṈ/RT (Ṉ = nombre d’avogadro= 6, 02310 *10²ᶟ molécules/mol)
B) LIBRE PARCOURS MOYEN
1) Loi de distribution
Notée λ distance parcourue entre 2 chocs
_ r1 est la distance parcourue entre les points i (i différent de 1)
La distance moyenne parcourue entre deux chocs
_ λ = 1/N Σr1
N est le nombre de choc (N suffisamment grand)
De la même manière si t1 est l’intervalle de temps entre les chocs i (i différent de 1)
_ τ = 1/N Σ ti (temps moyen entre deux chocs)
 _ τ et λ sont reliés par la vitesse moyenne : λ environ = Ṽτ
Loi de distribution :
Si on regarde le distribution de particules n’ayant pas subi de collision au bout d’un intervalle de
temps t correspondant loi exponentielle
N(t) = No e (-t/τ)
idem que la décroissance radioactive : τ : la constante de temps
De la même manière en fonction de la distance moyenne parcourue :
X= variable de distance
N(x)= No e (-x/λ)
No= 100
2) Section efficace de collision
Quelle est l’influence de la taille ?
Particules sphériques de même rayon
N(x) pour x/ λ = 3
Cylindre de longueur l : distance de déplacement
Volume du cylindre : πr²*l
Quelle est la veleur de d pour qu’il y ait collision : d< 2R
Volume autour de la sphère 1 : 4Πr²l
Si la sphère 2 est dans ce volume, il y aura chocs.
_ n = le nombre de particules par unité de volume
Le nombre de chocs = 4πr²l*n
Le litre parcours moyen :
_ λ= l/ν
(l= distance totale parcourue
ν= nombre de chocs)
_λ= l/ 4πr²ln = 1/ 4πr²n
_ λ= 1/nv
(n= nombre de particules par unité de volume
Plus il y a de particules, plus λ sera petit
Plus la taille des particules est grande et plus λ sera petit
v= section efficace %R)
C) MARCHE AU HASARD
1) Diffusion des molécules
N= nombre de chocs
OPN = OP(N-1) + l
OPN² = OP(N-1)² + l² + OP(N-1) - l
=0
OPN² = Nl²
√(OPN²) = α √(N)
α proportionnel à α√(t)
La distance parcourue dépend de √(t)
On cherche le coefficient de proportionnalité entre la distance parcourue et le temps  coefficient
de diffusion
Système à une seule dimension (planche du fakir)
Loi mathématique qui décrit le phénomène :
P(x, t) = 1/ √(2πNl²) * e(-x²/ 2Nl)
P= probabilité
_ x= distance parcourue
N = nombre de chocs
_ l = distance moyenne entre 2 chocs
_ ts= temps moyen entre deux chocs
- t(total) = Nts
donc
N= t/ts
P(x, t) = √ (ts / 2πtl²) * e(-x²ts/ 2tl²)
D= coefficient de diffusion : D = l² / 2ts =
D est en m²/s
Molécules
Hydrogène
Oxygène
Oxygène
Eau
Glucose
ADN
Solvant
Air
air
Eau
Eau
Eau
Eau
1/ √(4πDt)* e(-x²/ 4Dt)
D (cm²/s)
0,64
0,16
1.10⁻⁵
2.10⁻⁵
6,7. 10⁻⁶
0,13