Un peu de logique : utilisation de « et » et « ou » « P et Q » est une phrase vraie uniquement si P et Q sont toutes les deux vraies. « P ou Q » est une phrase vraie au moins l’une des phrases P ou Q est vraie. 1. a. Énumérer les cas où la phrase « P et Q » est fausse. b. Énumérer les cas où la phrase « P ou Q » est vraie. La phrase « P et Q » est fausse si « P » est faux ou si « Q » est faux La phrase « P ou Q » est fausse si « P » est faux et si « Q » est faux a. 2. Dire si les phrases ci-dessous sont vraies ou fausses. 5 > 2 et 5 < 7 les deux affirmations P et Q sont vraies donc « P et Q » est vrai b. 5 > 2 et 5 < 3 P est faux donc c’est faux c. 5 < 2 et 5 < 3 P et Q sont faux donc c’est faux d. 5 > 2 ou 5 > 7 P est vrai donc « P ou Q » est vrai e. 5 > 2 ou 5 < 8 Q est vrai donc « P ou Q » est vrai f. 5 < 4 ou 5 > 7 P et Q sont fausses donc c’est faux g. 5 ≥ 4 signifie 5 supérieur à 4 (P) ou égal à 4 (Q), P est vrai donc c’est vrai. h. 5 ≤ 5 signifie 5 inférieur à 5 (P) ou égal à 5 (Q), Q est vrai donc c’est vrai 3. Colorier sur une droite graduée tous les nombres réels x possédant la propriété énoncée dans chacun des cas ci- dessous (faire huit figures distinctes). a. x>5 et x>7. On colorie les réels strictement supérieurs à 7 b. x>5 ou x>7. On colorie les réels strictement supérieurs à 5 c. x > −2 et x <5. On colorie les réels strictement compris entre – 2 et 5 d. x > − 2 ou x < 5. On colorie l’ensemble des réels. e. x < 3 et x > 4. Aucun réel ne remplit les deux conditions. f. x < 3 ou x > 4. On colorie les réels strictement inférieurs à 3 et ceux strictement supérieurs à 4 g. x < 3 et x< − 2. On colorie les réels strictement inférieurs à – 2. h. x < 3 ou x < −2 On colorie les réels strictement inférieurs à 3 4. Négation de phrases comportant « et » ou « ou » 1. On considère ci-dessous des ensembles de réels caractérisés chacun par une propriété P, chacune de ces propriétés s’exprimant à l’aide des conjonctions « et » ou « ou ». Compléter le tableau ci-dessous, dans le but d’exprimer dans chaque cas la négation de la propriété P. Pour on représente sur une droite graduée les réels qui vérifient P et ceux qui ne vérifient pas P, vérifient non P. P Négation de P x ≥ 1 et x ≤ 5 x < 1 ou x > 5 x<4 et x>2 x > 4 ou x < 2 x=3 ou x=2 x≠ 3 et x ≠ 2 x ≤0 ou x≥4 0<x<4 x>5 ou x<−3 -3≤x≤5 5. Quelle est la règle qui apparaît concernant la négation d’une phrase de la forme : • «P et Q »? • «P ou Q»? La négation de « P et Q » est « non P » ou « non Q ». La négation de « P ou Q » est « non P » et « non Q » 6. Montrer que chacune des propriétés ci-dessous se traduit en langage mathématique par des phrases de la forme « P et Q » ou « P ou Q », x étant un nombre réel. • (x−2)(x+3) = 0 signifie x – 2 = 0 ou x + 3 = 0 • x2−1= 0 signifie x = 1 ou x = - 1 • (x−2)(x+3) ≠ 0 signifie x – 2 ≠ 0 et x + 3 ≠ 0 • x2 −1≠0 signifie x ≠ 1 et x ≠ - 1