Un peu de logique

Un peu de logique : utilisation de « et » et « ou »
« P et Q » est une phrase vraie uniquement si P et Q sont toutes les deux vraies. « P ou Q » est
une phrase vraie au moins l’une des phrases P ou Q est vraie.
1. a. Énumérer les cas où la phrase « P et Q » est fausse.
b. Énumérer les cas où la phrase « P ou Q » est vraie.
La phrase « P et Q » est fausse si « P » est faux ou si « Q » est faux
La phrase « P ou Q » est fausse si « P » est faux et si « Q » est faux
2. Dire si les phrases ci-dessous sont vraies ou fausses.
a. 5 > 2 et 5 < 7 les deux affirmations P et Q sont vraies donc « P et Q » est vrai
b. 5 > 2 et 5 < 3 P est faux donc c’est faux
c. 5 < 2 et 5 < 3 P et Q sont faux donc c’est faux
d. 5 > 2 ou 5 > 7 P est vrai donc « P ou Q » est vrai
e. 5 > 2 ou 5 < 8 Q est vrai donc « P ou Q » est vrai
f. 5 < 4 ou 5 > 7 P et Q sont fausses donc c’est faux
g. 5 ≥ 4 signifie 5 supérieur à 4 (P) ou égal à 4 (Q), P est vrai donc c’est vrai.
h. 5 ≤ 5 signifie 5 inférieur à 5 (P) ou égal à 5 (Q), Q est vrai donc c’est vrai
3. Colorier sur une droite graduée tous les nombres réels x possédant la propriété
énoncée dans chacun des cas ci- dessous (faire huit figures distinctes).
a. x>5 et x>7. On colorie les réels strictement supérieurs à 7
b. x>5 ou x>7. On colorie les réels strictement supérieurs à 5
c. x > −2 et x <5. On colorie les réels strictement compris entre – 2 et 5
d. x > − 2 ou x < 5. On colorie l’ensemble des réels.
e. x < 3 et x > 4. Aucun réel ne remplit les deux conditions.
f. x < 3 ou x > 4. On colorie les réels strictement inférieurs à 3 et ceux strictement supérieurs à 4
g. x < 3 et x< − 2. On colorie les réels strictement inférieurs à – 2.
h. x < 3 ou x < −2 On colorie les réels strictement inférieurs à 3

4. Négation de phrases comportant « et » ou « ou » 1. On considère ci-dessous des
ensembles de réels caractérisés chacun par une propriété P, chacune de ces propriétés
s’exprimant à l’aide des conjonctions « et » ou « ou ». Compléter le tableau ci-dessous,
dans le but d’exprimer dans chaque cas la négation de la propriété P.
Pour on représente sur une droite graduée les réels qui vérifient P et ceux qui ne
vérifient pas P, vérifient non P.
P
Négation de P
x ≥ 1 et x ≤ 5
x < 1 ou x > 5
x<4 et x>2
x > 4 ou x < 2
x=3 ou x=2
x≠3!et!x!≠2
x ≤0 ou x≥4
0 < x < 4
x>5 ou x<−3
- 3 ≤ x ≤ 5
5. Quelle est la règle qui apparaît concernant la négation d’une phrase de la forme : •
«P et Q »? • «P ou Q»?
La négation de « P et Q » est « non P » ou « non Q ».
La négation de « P ou Q » est « non P » et « non Q »
6. Montrer que chacune des propriétés ci-dessous se traduit en langage mathématique
par des phrases de la forme
« P et Q » ou « P ou Q », x étant un nombre réel.
• (x−2)(x+3) = 0 signifie x – 2 = 0 ou x + 3 = 0
• x2−1= 0 signifie x = 1 ou x = - 1
• (x−2)(x+3)!≠!0 signifie x – 2 ≠ 0 et x + 3 ≠ 0
• x2 −1≠0 signifie x ≠ 1 et x ≠ - 1