Ondes

 VI. Oscillations et ondes 
Stéphane Swillens - édition 2009
1
Table des matières
1. Mouvements périodiques ......................................................................................................2
1.1 Approche intuitive...........................................................................................................2
1.2 Mouvement sinusoïdal ....................................................................................................2
1.3 Mouvement périodique et force de rappel.......................................................................4
2. Ondes.....................................................................................................................................7
2.1 Approche intuitive...........................................................................................................7
2.2 Description mathématique...............................................................................................8
2.3 Corde vibrante...............................................................................................................11
3. Onde sonore.........................................................................................................................13
3.1 Approche intuitive.........................................................................................................13
3.2 Son et corde vibrante.....................................................................................................14
3.3 Puissance et intensité d'une onde sonore.......................................................................15
3.4 Interférences..................................................................................................................16
3.5 Effet Doppler.................................................................................................................17
3.6 Mur du son. ...................................................................................................................20
4. Onde lumineuse...................................................................................................................21
4.1 Généralités.....................................................................................................................21
4.2 Interactions lumière-matière .........................................................................................22
4.3 Réflexion.......................................................................................................................23
4.4 Réfraction......................................................................................................................24
4.5 Interférences..................................................................................................................26
5. Optique géométrique...........................................................................................................28
5.1 Lentilles sphériques minces ..........................................................................................28
5.1.1 Généralités..............................................................................................................28
5.1.2 Approche graphique...............................................................................................29
5.1.3 Techniques de calcul..............................................................................................31
5.2 Œil et optique de la vision.............................................................................................33

 VI. Oscillations et ondes 
Stéphane Swillens - édition 2009
2
1. Mouvements périodiques
1.1 Approche intuitive
aujourd'hui
Si, sur ma montre, je regarde avancer la trotteuse (ou "aiguille des secondes"), je remarque
qu'elle fait un tour complet en 1 minute. Elle revient donc périodiquement à une même
position, et la période de ce mouvement est de 1 minute. Je peux aussi dire qu'elle tourne avec
une fréquence égale à un tour par minute (la fréquence est donc l'inverse de la période). Bien
sûr, la montre a été construite pour qu'il en soit ainsi. Un pendule qui oscille sous son point
d'attache, une balançoire qui va et vient de façon régulière, une masse retenue par un ressort
qui la fait monter et descendre régulièrement, la terre qui tourne autour du soleil, sont autant
de systèmes présentant un mouvement périodique. Dans tous ces mouvements, je remarque
que la position du mobile considéré est la même en un temps t et les temps ultérieurs t+T,
t+2T, t+3T,... où T est la période: la variable de position doit donc être une fonction
périodique du temps. Cette fonction peut prendre n'importe quelle forme mathématique, la
plus usitée étant la fonction sinus (ou cosinus, voir ci-dessous). Mais d'autres formes plus
bizarres existent: par exemple, le tracé assez compliqué d'un électrocardiogramme présente
aussi une période, qui n'est rien d'autre que l'inverse de la fréquence du battement cardiaque,
c'est-à-dire le pouls.
 Un mouvement périodique, appelé aussi oscillation, qu'il soit sinusoïdal ou non, est
caractérisé par sa période T, ou sa fréquence f qui vaut 1/T. 
1.2 Mouvement sinusoïdal
Si je reprends l'exemple de la montre, je vois que la trotteuse n'est rien d'autre qu'un vecteur
qui tourne autour de son origine à la vitesse constante d'un tour par minute (fig VI.1a où les
aiguilles des minutes et des heures ne m'intéressent pas). Me rappelant (éq 2.2 du chapitre III)
que cette vitesse angulaire est donnée par
dt
d
 1.1
où l'angle  est exprimé en radians, et qu'un tour correspond à un angle  égal à 2, je peux
dire que

 VI. Oscillations et ondes 
Stéphane Swillens - édition 2009
3
T
2
 1.2
Dans le cas de la trotteuse, la période T vaut 1 minute et donc  = 2/min.
Il s'agit ici d'un mouvement périodique circulaire où la variable (t) représente l'orientation du
vecteur "trotteuse" au cours du temps. En intégrant l'éq 1.1 et en utilisant l'éq 1.2, je trouve la
relation cinématique:
T
t
2t)t(  1.3
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50
y
t (min)
12
3
6
9
T
+A
-A
ab
fig VI.1
Supposons que je veuille analyser maintenant comment évolue dans le temps la composante y
du vecteur "trotteuse" selon un axe de référence vertical. Je choisis arbitrairement  comme
étant l'angle que fait la trotteuse avec cet axe, avec  = 0 lorsque la trotteuse est sur 12h, que
je choisis comme position initiale. Dans ce cas, la composante y du vecteur "trotteuse" est la
projection de ce vecteur sur l'axe vertical et vaut Acos où A est la longueur du vecteur. En
utilisant l'éq 1.3, je trouve
)
T
t
2cos(A)tcos(A)t(cosA)t(y  1.4
Je vois qu'en t = 0, la composante y est maximale et vaut A. La coordonnée y peut être vue
comme la position d'un point résultant de la projection de l'extrémité tournante de la trotteuse
sur l'axe vertical. Ce point se déplace sur cet axe selon un mouvement rectiligne. J'ai donc
transformé un mouvement périodique circulaire (au fait, comment se présente graphiquement
ce mouvement en fonction du temps?) en un mouvement périodique rectiligne caractérisés par
la même période T. La position y de ce point oscille périodiquement dans le temps selon la loi
en cosinus de l'éq 1.4, représentée à la fig VI.1b (ligne continue). L'amplitude du mouvement

 VI. Oscillations et ondes 
Stéphane Swillens - édition 2009
4
vaut A, c'est-à-dire la demi-distance entre les deux positions extrêmes. Bien que la fonction
cosinus provienne du choix de , je remarque que j'aurais pu utiliser la fonction sinus (ligne
discontinue à la fig VI.1b) qui est identique à la fonction cosinus (ligne continue) pour autant
que "j'avance" la fonction sinus d'un quart de période, ce qui correspond à un déphasage de
/2. Je peux donc réécrire l'éq 1.4
)
2
T
t
2sin(A)
2
tsin(A)t(y   1.5
Le déphasage a pour seul effet de translater dans le temps la courbe sinusoïdale, et n'est
introduit que pour satisfaire la condition initiale. Si j'avais choisi  = /2 en t = 0, l'équation
du mouvement aurait été donnée par y(t) = Asin(t) ce qui ne change pas fondamentalement
l'allure du mouvement (voir courbe pointillée de la fig VI.1b).
Je remarque que, sur base de l'équation donnant la position d'un point qui oscille dans le
temps (éq 1.4), je peux calculer la vitesse et l'accélération que subit le point à tout instant:
)tsin(A
dt
dy
)t(v  1.6
))t(y
2
( )tcos(
2
A
dt
dv
)t(a  1.7
Je vois qu'il existe un décalage d'un quart de période (déphasage égal à /2) entre y et v, et
entre v et a. De ce fait, l'accélération a(t) (éq 1.7) et la position y(t) (éq 1.4) ne diffèrent que
par leurs amplitudes qui sont par ailleurs de signes contraires (comme montré à l'éq 1.7).
Cette constatation me sera utile dans un moment.
1.3 Mouvement périodique et force de rappel
Si je tiens un ressort par ses extrémités, je vois que, pour changer sa longueur, je dois lui
appliquer deux forces (une à chaque extrémité!) dirigées dans des sens contraires pour
comprimer le ressort (diminuer sa longueur) ou l'étirer (augmenter sa longueur). Dans les
deux cas, si je lâche ensuite le ressort, il reprend aussi vite sa longueur initiale (pour autant
que je ne l'aie pas distendu outre mesure... ou cassé...). C'est donc qu'il a la possibilité de
rappeler ses extrémités à une distance donnée l'une de l'autre: le ressort est doué d'une force
de rappel qui tend à le ramener à sa longueur initiale (position d'équilibre) si on a modifié sa
longueur au préalable. Tant que je n'éloigne pas trop le ressort de sa position d'équilibre, cette
force de rappel est proportionnelle à la différence entre la longueur atteinte et sa longueur à
l'équilibre (c'est Robert Hooke qui a trouvé cela). C'est ce qui est montré à la fig VI.2: une
extrémité du ressort est fixée à une paroi, l'autre extrémité tirée vers la droite (x positif),

 VI. Oscillations et ondes 
Stéphane Swillens - édition 2009
5
laissée à sa position d'équilibre (x = 0), ou poussée vers la gauche (x négatif). Par définition,
la force de rappel sera toujours dirigée dans le sens opposé à celui de la force extérieure qui
tend à déformer le ressort. Et puisque, autour de la position d'équilibre, cette force est
proportionnelle à l'élongation du ressort, sa composante selon l'axe de déplacement x est
donnée par
kx
x,rappel
F 1.8
où k est la constante de rappel ou d'élasticité. La force de rappel est représentée à la fig VI.2,
ayant pris la position d'équilibre (Fx = 0) comme origine de l'axe des x.
Frappel
position d’équilibre
position comprimée
position étirée
paroi
0
x
Fx
0
fig VI.2
Je suis de nouveau dans ma cabine spatiale "en état d'apesanteur". Une extrémité du ressort
est attachée à la paroi, et à l'autre extrémité, j'ai fixé une masse. Masse et ressort ne bougent
pas : ils sont en position d'équilibre. Si maintenant j'éloigne (ou je rapproche) la masse de la
paroi, j'allonge (ou je comprime) le ressort qui va donc opposer à ma force sa force de rappel.
Que va-t-il se passer si je lâche la masse? Celle-ci va être soumise à la force de rappel qui
tendra à faire reprendre au ressort sa position d'équilibre:
- la masse est donc accélérée, prend de la vitesse en se rapprochant de la position d'équilibre;
- au moment où la masse atteint à grande vitesse la position d'équilibre, plus aucune force
n'agit sur elle;