Chapitre4

Analyse des fonctions usuelles
Viktoria HEU et Loïc TEYSSIER
4 Etude des fonctions usuelles étendues
4.1 Continuité et dérivabilité
Les fonctions usuelles strictes sont continues sur leur ensemble de définition : au dessus de chaque intervalle
contenu dans l’ensemble de définition de la fonction, on peut tracer le graphe de la fonction sans avoir besoin de
lever le crayon. Cette propriété de continuité donne lieu aux deux théorèmes suivants, qui, encore une fois, peuvent
être démontrés par récurrence sur le nombre d’opérations élémentaires dans un graphe d’évaluation. .
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit fune fonction usuelle stricte. Soit I= [a, b]avec a < b un intervalle
fermé inclus dans Df.Alors
[min{f(a), f(b)},max{f(a), f(b)}]⊂f([a, b]),
autrement dit pour toute valeur yentre f(a)et f(b)il existe un certain c∈[a, b]tel que f(c) = y.
Théorème sur la structure de l’ensemble de définition d’une fonction usuelle stricte. Soit fune fonction
usuelle stricte. L’ensemble de définition Dfpeut s’écrire comme une réunion (éventuellement infinie) d’intervalles
ouverts :
aCas fini : Il existe N∈>0et des intervalles ouverts deux à deux disjoints Inavec n∈ {1, . . . , N}tels que
Df=I1∪I2∪. . . ∪IN
aCas infini : Il existe des intervalles ouverts deux à deux disjoints Inavec n∈>0tels que Df=Sn∈>0In=
I1∪I2∪I3∪. . . ∪In∪In+1 ∪. . .
Définition 1. L’ensemble Df=I1∪I2∪. . .∪INdans le cas fini, respectivement Df=Sn∈>0Indans le cas infini,
est appelé la fermeture de l’ensemble de définition Df.Ici, Isignifie la fermeture d’un l’intervalle Iau sens
du tableau ??. Notons que nous avons Df⊂Df. L’ensemble ∂Df:= Df\Dfsera appelé le bord de l’ensemble
de définition. Le bord est soit l’ensemble vide, soit il consiste en une réunion dénombrable de points.
Remarque 2.Il est malheureusement d’usage de dénoter ∪ {−∞,+∞} par ,mais cela n’a rien à voir avec la
fermeture de , qui est .Il faut s’en tenir au contexte pour voir ce dont il s’agit.
Les fonctions usuelles strictes sont dérivables sur leur ensemble de définition : pour toute fonction usuelle stricte
fnous pouvons calculer f0et nous avons Df0⊃Df. De plus, f0est également une fonction usuelle stricte. Elle est
donc continue sur Df. Plus généralement, pour tout n∈,nous pouvons calculer la dérivée n−ième de f, qui est
encore une fonction usuelle stricte et donc continue sur Df. On dit que fest nfois continûment dérivable sur
Df.
Exercice 3. Soit fune fonction usuelle stricte telle que [0,1] ⊂Df
aSi f([0,1]) ⊂[0,1], montrer que fpossède un point fixe dans [0,1].
aSi [0,1] ⊂f([0,1]), montrer que fpossède un point fixe dans [0,1].
Exercice 4. Soit fune fonction usuelle stricte, soient a<btels que [a, b]⊂Dfet soient λ, µ ∈>0. Montrer qu’il
existe c∈[a, b]tel que (λ+µ)f(c) = λf(a) + µf(b)
1

Exercice 5. Démontrer le théorème suivant.
Théorème de Rolle. Soit fune fonction usuelle stricte et soient a<btels que [a, b]⊂Df. Si f(a) = f(b),alors
il existe c∈[a, b]tel que f0(c)=0.
Exercice 6. Déterminer l’ensemble de définition, sa fermeture et son bord pour les fonctions usuelles strictes
suivantes
a1
sin X
aX1
3
asgnX
a1
ln(cosh X)
4.2 Prolongement par continuité et prolongement de la dérivée
Soit fune fonction usuelle stricte et soit Dfson ensemble de définition. Notons f Dfl’ensemble de définition
étendu f Df:= {x0∈ | |limx→x0f(x)|<∞}. La fonction réelle e f:(f
Df→
x07→ limx→x0f(x)
est appelée la fonction usuelle étendue associée à f. Notons que Df⊂f Dfet que fet e fcoïncident sur Df.
Pour cette raison nous écrivons parfois faussi pour la fonction usuelle étendue associée f.
Remarque 7.Nous rappelons que par « |limx→x0f(x)|<∞» nous sous-entendons « la limite de fen x0est définie
et elle est finie ». De plus, cela signifie que f Df⊂Dfet que dans la mesure où la limite à gauche, la limite à droite
et/ou l’évaluation en x0∈f Dfont du sens pour de e f, elles sont toutes égales.
Nous savons calculer la dérivée f0de fet nous savons que celle-ci est définie (au moins) sur Df.Soit e f0la fonction
usuelle étendue associée à f0. Nous nous intéressons seulement à un sous-ensemble de son ensemble de définition
maximal g Df0={x0∈ | |limx→x0f0(x)|<∞} , notamment à l’ensemble f Df0:= {x0∈f Df| |limx→x0f0(x)|<
∞}. Nous notons alors e f’ la fonction réelle e f0:(f
Df0:→
x→limx→x0f0(x)
Remarque 8.Nous avons donc Df⊂f Df0⊂f Df⊂Df. Ces sous-ensembles peuvent être stricts ou pas !
Nous disons que la fonction usuelle étendue e fest dérivable sur f Df0et nous appelons f Df0son ensemble de
dérivabilité.
Exercice 9. Déterminer la fonction usuelle étendue associée à la fonction racine carrée. Déterminer son ensemble
de dérivabilité. Que remarque-t-on ?
Désormais, lorsque nous notons √X, nous sous-entendrons la fonction usuelle étendue associée.
Exercice 10. Déterminer la fonction usuelle étendue associée à la fonction valeur absolue. Déterminer son ensemble
de dérivabilité. Que remarque-t-on ?
Désormais, lorsque nous notons |X|nous sous-entendrons la fonction usuelle étendue associée.
4.2.1 La fonction valeur absolue
La valeur absolue |x|d’un nombre réel x∈est définie par
|x|:= 
xsi x > 0
0si x= 0
−xsi x < 0
.
Rappelons les propriétés essentielles de la valeur absolue.
aPositivité : Pour tout x∈, nous avons |x| ≥ 0.
aSéparabilité : Nous avons |x|= 0 si et seulement si x= 0.
aHomogénéité : Pour tout x, y ∈, nous avons |xy|=|x|×|y|.
aInégalité triangulaire : Pour tout x, y ∈, nous avons |x+y|≤|x|+|y|.
Le lemme suivant est souvent utile dans la pratique, même si sa démonstration est quasiment triviale.
Lemme 11. Soient M∈≥0et x∈.Nous avons |x| ≤ Msi et seulement si −M≤x≤+M.
2

Exercice 12. Démontrer les assertions suivantes
aPour tout x, y, z ∈, nous avons |x−y|≤|x−z|+|z−y|.
aPour tout x, y ∈, nous avons ||x|−|y|| ≤ |x+y|.
Exercice 13. Quelles figures peut-on construire à partir des longueurs suivantes ?
aAB = 6,AC = 7,BC = 8
aAB = 7,AC = 5,BC = 12
aAB = 8,AC = 3,BC = 4
Exercice 14. Résoudre les inégalités suivantes
a|7−6x+x2| ≤ 4
a|x−3|+ 2x≤5
Exercice 15. Nous cherchons à déterminer la hauteur d’une tour à distance. Nous constatons que nous devons
lever de regard de 30°afin de viser le haut de la tour. Après avoir marché 50 mètres en direction de la tour, nous
constatons que nous devons lever le regard de 45°.Quelle est la hauteur de la tour et quelle était notre distance
initiale à la tour ?
Proposition 16. Pour tout x∈, nous avons |x|=√x2.
Démonstration. Par définition, pour une valeur b∈≥0, nous avons a=√bsi et seulement si
aa≥0et
aa2=b.
Nous avons bien |x| ≥ 0par positivité. De plus, |x|2=x2si x≥0et |x|2= (−x)2= (−1)2x2=x2si x < 0. Donc
|x|=√x2.
Par conséquent, l’évaluation de la fonction usuelle stricte |X|, qui est défini sur \ {0}, en un réel x∈ \ {0},
donne bien |x|.De plus, nous avons étendu le domaine de définition de |X|en ,en associant 0à son évaluation en
0.La fonction usuelle étendue |X|s’identifie donc bien à la fonction réelle |?|:→
x7→ |x|.
Exercice 17. Représenter graphiquement la fonction usuelle (étendue) |X2−9|.
4.2.2 La fonction racine nième
Au début du cours, nous avons défini la fonction puissance réelle sans prêter une attention particulière au cas
d’une puissance rationnelle, car celui-ci ne jouait pas un rôle important au niveau symbolique. Or nous cherchons
désormais à identifier nous fonctions usuelles à des fonctions réelles habituelles. Nous devons donc remédier à ce
manquement.
Soit 2m=n∈>0pair et soit x∈≥0.Par définition, la racine nième n√x=2m√xde xest l’unique réel
y∈≥0tel que y2m=x.
Exercice 18. On considère la fonction usuelle f(X) = X1
2m.
aDonner la fonction usuelle étendue e fet son ensemble de définition f Df.
aCalculer e f0et son ensemble de définition f Df0.
aMontrer que la fonction réelle 2m√?:≥0→≥0
x7→ 2m√xs’identifie à la fonction usuelle étendue e
f.
La fonction réelle 2m√?:≥0→≥0
x7→ 2m√xs’identifie donc à la fonction usuelle étendue X1
2m,que nous
noterons également 2m√Xpar la suite.
Soit maintenant 2m+ 1 = n∈>0impair et soit x∈.Par définition, la racine nième n√x=2m+1 √xde x
est l’unique réel y∈tel que y2m+1 =x.
Exercice 19. On considère la fonction usuelle f(X) = sgn(X)× |X|1
2m+1 .
aMontrer que limx→0sgn(x)|x|1
2m+1 = 0.
aDonner la fonction usuelle étendue e fet son ensemble de définition f Df.
aCalculer e f0et son ensemble de définition f Df0.
3

aMontrer que la fonction réelle 2m+1√?:→
x7→ 2m+1√xs’identifie à la fonction usuelle étendue e
f.
La fonction réelle 2m+1√?:→
x7→ 2m+1√xs’identifie donc à la fonction usuelle étendue sgn(X)×|X|1
2m+1 .
que nous noterons également 2m+1√Xou (par abus de notation) X1
2m+1 par la suite.
Pour tout nombre rationnel p
q∈,nous définissons ensuite la fonction usuelle entendue associée à Xp
qpar
(X1
q)p.
4.3 Tableau de variations et représentation graphique
4.3.1 Protocole standard de l’étude d’une fonction usuelle
Le protocole standard pour étudier une fonction usuelle f(X)est le suivant :
aDéterminer son ensemble de définition étendu f Df:
– Pour cela, on détermine d’abord Df.
– Puis on calcule ∂Df.
– On étudie les limites de fen les points de ∂Df.
– On en déduit g Df.
aOn détermine des asymptotes de la fonction :
– Si cela a un sens, calculer les limites de fen +∞et −∞. Si limx→±∞ f(x) = a∈, on dit que la droite
y=aest une asymptote horizontale de fen ±∞.
– On se rappelle s’il y a des points x0de ∂Dftels que limx→x+
0f(x) = ±∞ ou limx→x− 0f(x) = ±∞. La
droite x=x0est alors une asymptote verticale de fen x0
aOn étudie les particularités de la dérivée f0:
– Calculer f0.
– Déterminer les zéros de f0. Ils correspondent aux points du graphe de fqui possèdent une tangente
horizontale.
– On calcule la limite de f0en les points de ∂Dfet on en déduit la tangente (verticale dans le cas d’une
limite infini) en ces points.
– Si cela a un sens, calculer les limites de f0en +∞et −∞. Si limx→±∞ f0(x) = a∈ \ {0}, on dit que la
droite y=ax +bavec b= limx→±∞ f(x)−ax est une asymptote oblique de fen ±∞.
aOn dresse le tableau de variations de f, comportant
–f Df
– La valeur des limites éventuelles en les points de ∂Df.
– Des coupures en les points éventuelles de ∂Dfoù la limite à gauche et la limite à droite ne coïncident pas.
– Les zéros de f0et le signe de f0entre les zéros.
– En conséquence du signe de f0le comportement croissant ou décroissant de f.
– L’évaluation de fen les zéros de f0.
aEventuellement, évaluer fen quelques autres points marquants, comme par exemple
– les zéros de la fonction f.
– les zéros de la fonctionf00.
aEventuellement, étudier le signe de f00.
– Si f00(x0)<0, alors le graphe de fest encourbé vers la droite en x0.
– Si f00(x0)>0, alors le graphe de fest encourbé vers la gauche en x0.
aTracer l’allure du graphe de f.Tous les résultats obtenus lors de l’étude doivent se manifester dans le
dessin !
Exemple 20. Etudier la fonction usuelle f(X)=6X−4 + 2
X.
Exercice 21. Etudier les fonctions usuelles suivantes
af(X) := (X−1) exp(√X+ 1)
ag(X) = ln(4X3−2X2+X−1).
Exercice 22. On considère la fonction usuelle f(X) = (X3+ 1)/(4X+ 1).
aDéterminer f Df.
aEn utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que le polynôme g(X)=8X3+ 3X2−4possède
une unique racine α∈g Df.On admet qu’une valeur approchée de αest 0,69.
4

aDonner les variations de la fonction fet tracer l’allure de son graphe.
4.3.2 Représentation graphique d’une fonction modifiée
Supposons connu le graphe d’une fonction réelle f(x).Alors
aLe graphe de f(x)+cs’obtient à partir de celui de fen le décalant de |c|vers le haut si c > 0ou vers le bas
si c < 0.
aLe graphe de f(x+b)s’obtient à partir de celui de fen le décalant de |b|vers la gauche si b > 0ou vers la
droite si b < 0.
aLe graphe de df(x)avec d > 0s’obtient à partir de celui de fen l’étirant dans la direction des ordonnées
avec un facteur dsi d > 1ou en le comprimant dans la direction des ordonnées d’un facteur 1
dsi d < 1.
aLe graphe de f(ax)avec a > 0s’obtient à partir de celui de fen l’étirant dans la direction des abscisses avec
un facteur asi a > 1ou en le comprimant dans la direction des abscisses d’un facteur 1
asi a < 1.
aLe graphe de −f(x)s’obtient à partir de celui de fpar symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
aLe graphe de f(−x)s’obtient à partir de celui de fpar symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Exercice 23. Tracer les graphes des fonctions suivantes
a−2 exp(−X)
a1
3sin(2X π)
acos X+X
a4 cos(3(π−2X))
aln X−X
4.4 Recherche d’extrema
Définition 24. Soit fune fonction usuelle étendue et soit x0∈f Df.On dit que x0est un minimum local de f
s’il existe ε > 0tel que pour tout x1∈f Df∩[x0−ε, x0+ε]\ {x0}nous avons f(x1)> f(x0).On dit que x0est un
maximum local de fs’il existe ε > 0tel que pour tout x1∈f Df∩[x0−ε, x0+ε]\{x0}nous avons f(x1)< f(x0).
Nous disons que x0est un extremum local s’il est un minimum local ou un maximum local.
Proposition 25. Soit fune fonction usuelle étendue et soit x0∈f Df0.Alors
ax0est un minimum local si et seulement si pour une petite valeur ε > 0nous avons
f0(x1)<0∀x1∈f Df0∩[x0−ε, x0[
et
f0(x1)>0∀x1∈f Df0∩]x0, x0+ε]
ax0est un maximum local si et seulement si pour une petite valeur ε > 0nous avons
f0(x1)>0∀x1∈f Df0∩[x0−ε, x0[
et
f0(x1)<0∀x1∈f Df0∩]x0, x0+ε]
Proposition 26. Soit fune fonction usuelle étendue et soit x0∈f Df00 := {x0∈f Df0| |limx→x0f00(x0)|<∞ } tel
que f00(x0)6= 0.Alors
ax0est un minimum local si et seulement si 
f0(x0)=0
et
f00(x0)>0
ax0est un maximum local si et seulement si 
f0(x0)=0
et
f00(x0)<0
Définition 27. Un point x0∈f Df0est appelé point critique si f0(x0) = 0. Un point x0∈f Df00 est appelé point
tournant si f0(x0) = f00(x0)=0.
Remarque 28.Un point critique est donc potentiellement un extremum local. Un point tournant peut être un
extremum local ou un point d’inflexion.
5