Chapitre4

Analyse des fonctions usuelles
Viktoria HEU et Loïc TEYSSIER
4
4.1
Etude des fonctions usuelles étendues
Continuité et dérivabilité
Les fonctions usuelles strictes sont continues sur leur ensemble de définition : au dessus de chaque intervalle
contenu dans l’ensemble de définition de la fonction, on peut tracer le graphe de la fonction sans avoir besoin de
lever le crayon. Cette propriété de continuité donne lieu aux deux théorèmes suivants, qui, encore une fois, peuvent
être démontrés par récurrence sur le nombre d’opérations élémentaires dans un graphe d’évaluation. .
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction usuelle stricte. Soit I = [a, b] avec a < b un intervalle
fermé inclus dans Df . Alors
[min{f (a), f (b)}, max{f (a), f (b)}] ⊂ f ([a, b]),
autrement dit pour toute valeur y entre f (a) et f (b) il existe un certain c ∈ [a, b] tel que f (c) = y.
Théorème sur la structure de l’ensemble de définition d’une fonction usuelle stricte. Soit f une fonction
usuelle stricte. L’ensemble de définition Df peut s’écrire comme une réunion (éventuellement infinie) d’intervalles
ouverts :
a Cas fini : Il existe N ∈ N>0 et des intervalles ouverts deux à deux disjoints In avec n ∈ {1, . . . , N } tels que
Df = I1 ∪ I2 ∪ . . . ∪ IN
S
a Cas infini : Il existe des intervalles ouverts deux à deux disjoints In avec n ∈ N>0 tels que Df = n∈N>0 In =
I1 ∪ I2 ∪ I3 ∪ . . . ∪ In ∪ In+1 ∪ . . .
S
Définition 1. L’ensemble Df = I1 ∪ I2 ∪ . . . ∪ IN dans le cas fini, respectivement Df = n∈N>0 In dans le cas infini,
est appelé la fermeture de l’ensemble de définition Df . Ici, I signifie la fermeture d’un l’intervalle I au sens
du tableau ??. Notons que nous avons Df ⊂ Df . L’ensemble ∂Df := Df \ Df sera appelé le bord de l’ensemble
de définition. Le bord est soit l’ensemble vide, soit il consiste en une réunion dénombrable de points.
Remarque 2. Il est malheureusement d’usage de dénoter R ∪ {−∞, +∞} par R, mais cela n’a rien à voir avec la
fermeture de R, qui est R. Il faut s’en tenir au contexte pour voir ce dont il s’agit.
Les fonctions usuelles strictes sont dérivables sur leur ensemble de définition : pour toute fonction usuelle stricte
f nous pouvons calculer f 0 et nous avons Df 0 ⊃ Df . De plus, f 0 est également une fonction usuelle stricte. Elle est
donc continue sur Df . Plus généralement, pour tout n ∈ N, nous pouvons calculer la dérivée n−ième de f , qui est
encore une fonction usuelle stricte et donc continue sur Df . On dit que f est n fois continûment dérivable sur
Df .
Exercice 3. Soit f une fonction usuelle stricte telle que [0, 1] ⊂ Df
a Si f ([0, 1]) ⊂ [0, 1], montrer que f possède un point fixe dans [0, 1].
a Si [0, 1] ⊂ f ([0, 1]), montrer que f possède un point fixe dans [0, 1].
Exercice 4. Soit f une fonction usuelle stricte, soient a < b tels que [a, b] ⊂ Df et soient λ, µ ∈ R>0 . Montrer qu’il
existe c ∈ [a, b] tel que (λ + µ)f (c) = λf (a) + µf (b)
1
Exercice 5. Démontrer le théorème suivant.
Théorème de Rolle. Soit f une fonction usuelle stricte et soient a < b tels que [a, b] ⊂ Df . Si f (a) = f (b), alors
il existe c ∈ [a, b] tel que f 0 (c) = 0.
Exercice 6. Déterminer l’ensemble de définition, sa fermeture et son bord pour les fonctions usuelles strictes
suivantes
a sin1X
1
a X3
a sgnX
1
a ln(cosh
X)
4.2
Prolongement par continuité et prolongement de la dérivée
ff l’ensemble de définition
Soit f une fonction usuelle stricte et soit Df son ensemble de définition.
Notons D
(
ff →
D
R
ff := {x0 ∈ R | | limx→x f (x)| < ∞}. La fonction réelle fe :
étendu D
0
x0 7→ limx→x0 f (x)
ff et que f et fe coïncident sur Df .
est appelée la fonction usuelle étendue associée à f . Notons que Df ⊂ D
Pour cette raison nous écrivons parfois f aussi pour la fonction usuelle étendue associée f .
Remarque 7. Nous rappelons que par « | limx→x0 f (x)| < ∞ » nous sous-entendons « la limite de f en x0 est définie
ff ⊂ Df et que dans la mesure où la limite à gauche, la limite à droite
et elle est finie ». De plus, cela signifie que D
ff ont du sens pour de fe, elles sont toutes égales.
et/ou l’évaluation en x0 ∈ D
Nous savons calculer la dérivée f 0 de f et nous savons que celle-ci est définie (au moins) sur Df . Soit fe0 la fonction
usuelle étendue associée à f 0 . Nous nous intéressons seulement à un sous-ensemble de son ensemble de définition
0
0
g
ff := {x0 ∈ D
ff | | limx→x f 0 (x)| <
maximal D
à l’ensemble D
f 0 = {x0 ∈ R | | limx→x0 f (x)| < ∞}
0
( , notamment
0
f
Df : →
R
∞}. Nous notons alors fe’ la fonction réelle fe0 :
x
→ limx→x0 f 0 (x)
0
ff ⊂ D
ff ⊂ Df . Ces sous-ensembles peuvent être stricts ou pas !
Remarque 8. Nous avons donc Df ⊂ D
0
0
ff et nous appelons D
ff son ensemble de
Nous disons que la fonction usuelle étendue fe est dérivable sur D
dérivabilité.
Exercice 9. Déterminer la fonction usuelle étendue associée à la fonction racine carrée. Déterminer son ensemble
de dérivabilité. Que remarque-t-on ?
√
Désormais, lorsque nous notons X, nous sous-entendrons la fonction usuelle étendue associée.
Exercice 10. Déterminer la fonction usuelle étendue associée à la fonction valeur absolue. Déterminer son ensemble
de dérivabilité. Que remarque-t-on ?
Désormais, lorsque nous notons |X| nous sous-entendrons la fonction usuelle étendue associée.
4.2.1
La fonction valeur absolue
La  valeur
absolue
|x|
d’un
nombre
réel
x
∈
R est définie
 x si x > 0
0 si x = 0 .
|x| :=

−x si x < 0
Rappelons les propriétés essentielles de la valeur absolue.
a Positivité : Pour tout x ∈ R , nous avons |x| ≥ 0.
a Séparabilité : Nous avons |x| = 0 si et seulement si x = 0.
a Homogénéité : Pour tout x, y ∈ R, nous avons |xy| = |x| × |y|.
a Inégalité triangulaire : Pour tout x, y ∈ R, nous avons |x + y| ≤ |x| + |y|.
Le lemme suivant est souvent utile dans la pratique, même si sa démonstration est quasiment triviale.
Lemme 11. Soient M ∈ R≥0 et x ∈ R. Nous avons |x| ≤ M si et seulement si −M ≤ x ≤ +M.
2
par
Exercice 12. Démontrer les assertions suivantes
a Pour tout x, y, z ∈ R, nous avons |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|.
a Pour tout x, y ∈ R, nous avons ||x| − |y|| ≤ |x + y|.
Exercice
a AB
a AB
a AB
13. Quelles figures peut-on construire à partir des longueurs suivantes ?
= 6, AC = 7, BC = 8
= 7, AC = 5, BC = 12
= 8, AC = 3, BC = 4
Exercice 14. Résoudre les inégalités suivantes
a |7 − 6x + x2 | ≤ 4
a |x − 3| + 2x ≤ 5
Exercice 15. Nous cherchons à déterminer la hauteur d’une tour à distance. Nous constatons que nous devons
lever de regard de 30° afin de viser le haut de la tour. Après avoir marché 50 mètres en direction de la tour, nous
constatons que nous devons lever le regard de 45° . Quelle est la hauteur de la tour et quelle était notre distance
initiale à la tour ?
√
Proposition 16. Pour tout x ∈ R , nous avons |x| = x2 .
√
Démonstration. Par définition, pour une valeur b ∈ R≥0 , nous avons a = b si et seulement si
a a ≥ 0 et
a a2 = b.
Nous √
avons bien |x| ≥ 0 par positivité. De plus, |x|2 = x2 si x ≥ 0 et |x|2 = (−x)2 = (−1)2 x2 = x2 si x < 0. Donc
|x| = x2 .
Par conséquent, l’évaluation de la fonction usuelle stricte |X|, qui est défini sur R \ {0}, en un réel x ∈ R \ {0},
donne bien |x|. De plus, nous avons étendu le domaine de définition de |X| en R,en associant 0 à son évaluation en
R → R .
0. La fonction usuelle étendue |X| s’identifie donc bien à la fonction réelle | ? | :
x 7→ |x|
Exercice 17. Représenter graphiquement la fonction usuelle (étendue) |X 2 − 9|.
4.2.2
La fonction racine nième
Au début du cours, nous avons défini la fonction puissance réelle sans prêter une attention particulière au cas
d’une puissance rationnelle, car celui-ci ne jouait pas un rôle important au niveau symbolique. Or nous cherchons
désormais à identifier nous fonctions usuelles à des fonctions réelles habituelles. Nous devons donc remédier à ce
manquement.
√
√
Soit 2m = n ∈ N>0 pair et soit x ∈ R≥0 . Par définition, la racine nième n x =2m x de x est l’unique réel
y ∈ R≥0 tel que y 2m = x.
1
Exercice 18. On considère la fonction usuelle f (X) = X 2m .
ff .
a Donner la fonction usuelle étendue fe et son ensemble de définition D
0
f
a Calculer fe0 et son ensemble de définition
Df .
√
R≥0 → R≥0
√
a Montrer que la fonction réelle 2m ? :
s’identifie à la fonction usuelle étendue fe.
x
7→ 2m x
√
1
R≥0 → R≥0
2m
√
s’identifie donc à la fonction usuelle étendue X 2m , que nous
La fonction réelle
? :
x
7→ 2m x
√
noterons également 2m X par la suite.
√
√
Soit maintenant 2m + 1 = n ∈ N>0 impair et soit x ∈ R. Par définition, la racine nième n x =2m+1 x de x
est l’unique réel y ∈ R tel que y 2m+1 = x.
1
Exercice 19. On considère la fonction usuelle f (X) = sgn(X) × |X| 2m+1 .
1
a Montrer que limx→0 sgn(x)|x| 2m+1 = 0.
ff .
a Donner la fonction usuelle étendue fe et son ensemble de définition D
0
0
ff .
a Calculer fe et son ensemble de définition D
3
a Montrer que la fonction réelle
2m+1
√
?:
R
x
R√
→
7
→
2m+1
x
s’identifie à la fonction usuelle étendue fe.
1
→
R √ s’identifie donc à la fonction usuelle étendue sgn(X)×|X| 2m+1
.
2m+1
x →
7
x
√
1
que nous noterons également 2m+1 X ou (par abus de notation) X 2m+1 par la suite.
p
Pour tout nombre rationnel pq ∈ Q, nous définissons ensuite la fonction usuelle entendue associée à X q par
√
La fonction réelle 2m+1 ? :
R
1
(X q )p .
4.3
4.3.1
Tableau de variations et représentation graphique
Protocole standard de l’étude d’une fonction usuelle
Le protocole standard pour étudier une fonction usuelle f (X) est le suivant :
ff :
a Déterminer son ensemble de définition étendu D
– Pour cela, on détermine d’abord Df .
– Puis on calcule ∂Df .
– On étudie les limites de f en les points de ∂Df .
g
– On en déduit D
f.
a On détermine des asymptotes de la fonction :
– Si cela a un sens, calculer les limites de f en +∞ et −∞. Si limx→±∞ f (x) = a ∈ R, on dit que la droite
y = a est une asymptote horizontale de f en ±∞.
– On se rappelle s’il y a des points x0 de ∂Df tels que limx→x+ f (x) = ±∞ ou limx→x− f (x) = ±∞. La
0
0
droite x = x0 est alors une asymptote verticale de f en x0
a On étudie les particularités de la dérivée f 0 :
– Calculer f 0 .
– Déterminer les zéros de f 0 . Ils correspondent aux points du graphe de f qui possèdent une tangente
horizontale.
– On calcule la limite de f 0 en les points de ∂Df et on en déduit la tangente (verticale dans le cas d’une
limite infini) en ces points.
– Si cela a un sens, calculer les limites de f 0 en +∞ et −∞. Si limx→±∞ f 0 (x) = a ∈ R \ {0}, on dit que la
droite y = ax + b avec b = limx→±∞ f (x) − ax est une asymptote oblique de f en ±∞.
a On dresse le tableau de variations de f , comportant
ff
– D
– La valeur des limites éventuelles en les points de ∂Df .
– Des coupures en les points éventuelles de ∂Df où la limite à gauche et la limite à droite ne coïncident pas.
– Les zéros de f 0 et le signe de f 0 entre les zéros.
– En conséquence du signe de f 0 le comportement croissant ou décroissant de f .
– L’évaluation de f en les zéros de f 0 .
a Eventuellement, évaluer f en quelques autres points marquants, comme par exemple
– les zéros de la fonction f .
– les zéros de la fonctionf 00 .
a Eventuellement, étudier le signe de f 00 .
– Si f 00 (x0 ) < 0, alors le graphe de f est encourbé vers la droite en x0.
– Si f 00 (x0 ) > 0, alors le graphe de f est encourbé vers la gauche en x0.
a Tracer l’allure du graphe de f . Tous les résultats obtenus lors de l’étude doivent se manifester dans le
dessin !
Exemple 20. Etudier la fonction usuelle f (X) = 6X − 4 +
2
X.
Exercice 21. Etudier les fonctions
usuelles suivantes
√
a f (X) := (X − 1) exp( X + 1)
a g(X) = ln(4X 3 − 2X 2 + X − 1).
Exercice 22. On considère la fonction usuelle f (X) = (X 3 + 1)/(4X + 1).
ff .
a Déterminer D
a En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer que le polynôme g(X) = 8X 3 + 3X 2 − 4 possède
g
une unique racine α∈ D
f . On admet qu’une valeur approchée de α est 0,69.
4
a Donner les variations de la fonction f et tracer l’allure de son graphe.
4.3.2
Représentation graphique d’une fonction modifiée
Supposons connu le graphe d’une fonction réelle f (x). Alors
a Le graphe de f (x)+c s’obtient à partir de celui de f en le décalant de |c| vers le haut si c > 0 ou vers le bas
si c < 0.
a Le graphe de f (x + b) s’obtient à partir de celui de f en le décalant de |b| vers la gauche si b > 0 ou vers la
droite si b < 0.
a Le graphe de df (x) avec d > 0 s’obtient à partir de celui de f en l’étirant dans la direction des ordonnées
avec un facteur d si d > 1 ou en le comprimant dans la direction des ordonnées d’un facteur d1 si d < 1.
a Le graphe de f (ax) avec a > 0 s’obtient à partir de celui de f en l’étirant dans la direction des abscisses avec
un facteur a si a > 1 ou en le comprimant dans la direction des abscisses d’un facteur a1 si a < 1.
a Le graphe de −f (x) s’obtient à partir de celui de f par symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
a Le graphe de f (−x) s’obtient à partir de celui de f par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
Exercice 23. Tracer les graphes des fonctions suivantes
a −2 exp(−X)
a 13 sin( 2X
π )
a cos X + X
a 4 cos(3(π − 2X))
a ln X − X
4.4
Recherche d’extrema
ff . On dit que x0 est un minimum local de f
Définition 24. Soit f une fonction usuelle étendue et soit x0 ∈ D
f
s’il existe ε > 0 tel que pour tout x1 ∈ Df ∩ [x0 − ε, x0 + ε] \ {x0 } nous avons f (x1 ) > f (x0 ). On dit que x0 est un
ff ∩ [x0 − ε, x0 + ε] \ {x0 } nous avons f (x1 ) < f (x0 ).
maximum local de f s’il existe ε > 0 tel que pour tout x1 ∈ D
Nous disons que x0 est un extremum local s’il est un minimum local ou un maximum local.
0
ff . Alors
Proposition 25. Soit f une fonction usuelle étendue et soit x0 ∈ D
a 
x0 est un minimum local si et seulement si pour une petite valeur ε
0
0

f

f (x1 ) < 0 ∀x1 ∈ Df ∩ [x0 − ε, x0 [
et

0

f 0 (x ) > 0 ∀x ∈ D
ff ∩]x0 , x0 + ε]
1
1
a x
0 est un maximum 0 local si et seulement si pour une petite valeur ε

ff ∩ [x0 − ε, x0 [
f 0 (x1 ) > 0 ∀x1 ∈ D

et

0

f 0 (x ) < 0 ∀x ∈ D
ff ∩]x0 , x0 + ε]
1
1
00
>
0 nous avons
>
0 nous avons
0
ff := {x0 ∈ D
ff | | limx→x f 00 (x0 )| < ∞ } tel
Proposition 26. Soit f une fonction usuelle étendue et soit x0 ∈ D
0
00
que f (x0 ) 6= 0. Alors

0

f (x0 ) = 0
a x0 est un minimum local si et seulement si et

 00
f (x0 ) > 0

0

f (x0 ) = 0
a x0 est un maximum local si et seulement si et

 00
f (x0 ) < 0
0
00
ff est appelé point critique si f 0 (x0 ) = 0. Un point x0 ∈ D
ff est appelé point
Définition 27. Un point x0 ∈ D
0
00
tournant si f (x0 ) = f (x0 ) = 0.
Remarque 28. Un point critique est donc potentiellement un extremum local. Un point tournant peut être un
extremum local ou un point d’inflexion.
5
ff . On dit que x0 est un minimum global de
Définition 29. Soit f une fonction usuelle étendue et soit x0 ∈ D
f
f si pour tout x1 ∈ Df \ {x0 } nous avons f (x1 ) ≥ f (x0 ). On dit que x0 est un maximum global de f si pour
ff \ {x0 } nous avons f (x1 ) ≤ f (x0 ). Nous disons que x0 est un extremum global s’il est un minimum
tout x1 ∈ D
global ou un maximum global.
0
ff un extremum local ou global. Alors
Proposition 30. Soit f une fonction usuelle étendue et soit x0 ∈ D
ou bien x0 ∈ ∂Df ou bien x0 est un point critique.
Exercice 31. On considère les fonctions usuelles suivantes :
a f (X) := X 3 + 2X 2 − 5X − 1
2
a g(X) := (5X
√ + 3)/(X − 2X + 1)
a h(X) := 3X 2 − 2X − 1
Pour chacune de ces fonctions,
a Donner son ensemble de définition étendu.
a Etudier les variations de la fonction.
a Déterminer si la fonction possède des extrema globaux ou locaux.
a Donner l’allure du graphe de la fonction.
4.5
Réciproques
Définition 32. Soit f : I → f (I) une fonction réelle définie sur un intervalle. Soit g : J → I une fonction
réelle définie sur l’intervalle J = f (I) et à valeurs dans I. Nous disons que g est la fonction réciproque de f si
g ◦ f = id|I , c’est-à- dire la fonction identité restreinte à l’intervalle I.
Lemme 33. Si, avec les notations ci-dessus, g est la fonction réciproque de f, alors f est la fonction réciproque de
g. Autrement dit, si g ◦ f = id|I alors f ◦ g = id|J .
Démonstration. Si g ◦ f = id|J alors f ◦ g ◦ f = f ◦ id|I = f . Donc f ◦ g = id|f (I) = id|J .
Exemple 34. Nous avons déjà vu des exemples de fonctions usuelles dont nous connaissons la fonction réciproque.
Nous devons juste restreindre éventuellement l’ensemble de définition et l’ensemble d’arrivé de la fonction, pour que
la notion de réciproque aie un sens.
a La fonction usuelle ln :]0, ∞[→
√ R est la fonction réciproque de la fonction usuelle exp : R →]0, ∞[.
a La fonction usuelle étendue X : [0, ∞[→ [0, ∞[ est la fonction réciproque de la fonction usuelle X 2 : [0, ∞[→
[0, ∞[.
√
a La fonction usuelle étendue 3 X : R → R est la fonction réciproque de la fonction usuelle X 3 : R → R.
Il est très facile de représenter graphiquement la fonction réciproque d’une fonction f donnée : il suffit de prendre
le symétrique du graphe de f par rapport à la droite y = x dans R2 .
√
Exercice 35. S’en convaincre pour les fonctions ln et X.
Exercice 36. Dresser le graphe hypothétique de la fonction réciproque des fonctions usuelles suivantes
a La fonction usuelle tan :] − π2 , π2 [→ R.
a La fonction usuelle X 3 : R → R.
a La fonction usuelle X 2 : R → [0, ∞[. Pourquoi une telle fonction réciproque ne peut-elle pas exister ?
ff son ensemble de définition. Soit I un intervalle non
Théorème 37. Soit f une fonction usuelle étendue et soit D
f
vide contenu dans Df . Alors il existe une fonction réelle g : f (I) → I réciproque à f : I → f (I) si et seulement si f
est strictement croissante ou strictement décroissante sur I.
Démonstration. Démontrons l’existence d’une fonction réciproque dans le cas strictement croissant.
Soit y ∈ f (I). Il existe a, b ∈ I tels que a ≤ b et y ∈ [f (a), f (b)]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires
il existe alors x ∈ [a, b] ⊂ I tel que f (x) = y. De plus, si f (x) = f (x0 ) pour une valeur x0 ∈ I, alors x = x0 car f
f (I) → I
est strictement croissante. L’application réelle g :
est donc bien définie. De plus, g ◦ f = Id|I par
y
7→ x
construction.
L’existence d’une réciproque dans le cas décroissant se démontre de manière analogue.
Supposons maintenant que f : I → f (I) possède une fonction réciproque usuelle g : f (I) → I. Si f était ni
strictement croissante ni strictement décroissante il existerait des points x1 < x2 < x3 dans I tels que ou bien
6
f (x1 ) ≥ f (x2 ) ≤ f (x3 ) ou bien f (x1 ) ≤ f (x2 ) ≥ f (x3 ). D’après le théorème sur le valeurs intermédiaires il y aurait,
dans le deux cas, des points x4 ∈]x1 , x2 [ et x5 ∈]x2, x3 [ tels que f (x4 ) = f (x5 ). Cela impliquerait g ◦f (x4 ) = g ◦f (x5 )
et donc x4 = x5 , ce qui est impossible.
Théorème 38. Soit f une fonction usuelle étendue définie (au moins) sur un intervalle I et soit g : f (I) → I une
fonction usuelle étendue qui est réciproque à f |I . Soit x0 ∈ I un point tel que f 0 soit défini en x0 et f 0 (x0 ) 6= 0 .
1
.
Alors g 0 est définie en y0 = f (x0 ) et nous avons g 0 (y0 ) = f 0 (x
0)
Démonstration. En effet, si g ◦ f = id|J , alors (g ◦ f )0 = 1, donc f 0 × (g 0 ◦ f ) = 1. Si g 0 est définie en y0 = f (x0 ),
1
1
nous avons donc bien g 0 (f (x0 )) = f 0 (x
, autrement dit g 0 (y0 ) = f 0 (x
. D’autre part, quitte à restreindre I à
0)
0)
0
0
un plus petit intervalle I contenant x0 nous pouvons supposer que f ne s’annule pas sur I 0 . Nous avons alors
limy→y0 g 0 (y) = limx→x0 f 01(x) qui est bien défini car limx→x0 f 0 (x) l’est et par hypothèse limx→x0 f 0 (x) = f 0 (x0 ) 6= 0.
En particulier, g 0 est définie en y0 = f (x0 ) (du moins au sens étendu).
Remarque 39. Au niveau des graphes de f et g, ce fait se voit de la manière suivante : La tangente de f au point
x0 est symétrique par rapport à la droite y = x à la tangente en y0 = f (x0 ) de g.
Souvent, les fonctions réciproques de fonctions usuelles (même restreintes à des intervalles) ne s’expriment pas
comme des fonctions usuelles. Néanmoins, si f 0 (x0 ) 6= 0 pour un point x0 ∈ I, nous pouvons parler de l’évaluation
1
de la « dérivée » de sa réciproque g en y0 = f (x0 ) en posant g 0 (y0 ) = f 0 (x
.
0)
Pour connaître le comportement d’une fonction réciproque générale, nous disposons uniquement des outils suivants :
a la relation g(y) = x si et seulement si f (x) = y
a l’étude des limites limy→y0 g(y) = limx→x0 f (x)
1
a l’étude de la dérivée g 0 (y0 ) = f 0 (x
0)
a le graphe de la fonction réciproque déduit du graphe de la fonction initiale
Exemple 40. Considérons la fonction usuelle stricte tan :]− π2 , π2 [→ R. Notons que ]− π2 , π2 [⊂ Dtan et tan ] − π2 , π2 [ =
R. Sa fonction réciproque est appelé arctangente et notée Arctan : R →] − π2 , π2 [. Pour toutx ∈ R, nous avons
0
1
π π
1
0
2
Arctan0 (x) = 1+x
2 . En effet, pour tout x ∈]− 2 , 2 [, nous avons tan (x) = 1+tan x et donc Arctan (y) = 1+tan2 x =
1
1+y 2 .
On peut faire l’étude de la fonction réciproque d’une fonction usuelle donnée. Elle est différente en l’étude d’une
fonction usuelle seulement lors de la déterminantion de son ensemble de définition.
Example 41. Etudier la fonction réelle Arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ] définie comme la fonction réciproque de sin sur
l’intervalle en question.
Exercise 42. Etudier la fonction réelle Arccos : [−1, 1] → [0, π] définie comme la fonction réciproque de cos sur
l’intervalle en question.
Exercise 43. Dresser le graphe de la fonction réelle Arccos(cos X).
Exercise 44. Démontrer
√ les égalités suivantes et préciser leur domaine de validité:
a cos(Arcsinx) = √1 − x2
a sin(Arccosx) = 1 − x2
x
a sin(Arctanx) = √1+x
2
x
a tan(Arcsinx) = √1−x
2
a tan(Arccosx) =
a cos(Arctanx) =
4.6
√
1−x2
x
√ 1
1+x2
Récapitulatif des fonctions à connaître
Ce tableau doit tout simplement être connu par cœur, y compris (surtout !) l’allure des courbes.
7
8
si α > 0
si α < 0
R
R≥0
R>0
si n > 0
si n < 0
si n > 0
si n < 0
R>0
R
R6=0
R≥0
R>0
x 7→ ln x
si α > 0
si α < 0
R≥0
R>0
R>0
si n > 0
si n < 0
si n > 0
si n < 0
R
R6=0
R
R6=0
f (R)
R
Df
x 7→ exp x
x 7→ xα , α ∈ R\Z
(
n∈Z
x 7→ xn ,
impair
f
(
n ∈ Z6=0
x 7→ xn ,
pair
x 7→
1
x
x 7→ exp x
x 7→ αxα−1
x 7→ nx
n−1
x 7→ nxn−1
f0
R≥0
R>0
R
R6=0
R
R6=0
R>0
R
si α > 1
si α < 1
si n > 0
si n < 0
si n > 0
si n < 0
Df 0
Graphe
9
[1, +∞[
[0, +∞[
] − 1, 1[
R
[1, +∞[
R
] − 1, 1[
x 7→ cosh x
x 7→ argchx
x 7→ tanh x
x 7→ argthx
R
R
R
x 7→ argshx
] − 1, 1[
R
R
R
+ πZ
x 7→ sinh x
π
2
R
R\
x 7→ arctan x
x 7→ tan x
1
1+x2
x 7→
1
1−x2
] − 1, 1[
R
]1, +∞[
x 7→ √x12 −1
x 7→ 1 − th2 x
R
R
R
R
R
x 7→ shx
x 7→ √x12 +1
x 7→ chx
x 7→
x 7→ 1 + tan2 x
] − 1, 1[
−1
x 7→ √1−x
2
[−1, 1]
x 7→ arccos x
[0, π]
[−1, 1]
R
x 7→ cos x
] − 1, 1[
R
1
x 7→ √1−x
2
π π
−2, 2
[−1, 1]
x 7→ arcsin x
R
Df 0
x 7→ − sin x
x 7→ cos x
[−1, 1]
R
x 7→ sin x
f0
f (R)
Df
f
Graphe