Exercices: Structures alg`ebriques

Université de Sousse
ISITCOM Hammam Sousse
Année 2011-2012
1ère année Ingénieur
Exercices: Structures algèbriques
Exercice 1 Soient les fonctions suivantes de R∗ dans R∗
f1 (x) = x
f2 (x) =
1
x
f3 (x) = −x
f4 (x) = −
1
x
Montre que G = {f1 , f2 , f3 , f4 } est un groupe pour la loi de composition ◦.
Exercice 2 Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ?
1. ] − 1, 1[ muni de la loi définie par x ? y =
x+y
1+xy
;
2. {z ∈ C : |z| = 2} pour la multiplication usuelle ;
3. R+ pour la multiplication usuelle ;
4. {x ∈ R 7→ ax + b : a ∈ R \ {0} , b ∈ R} pour la loi de composition des applications.
Exercice 3 Soit l’ensemble
½µ
J =
x x
x x
¶
¾
∈ M2 (R) : x ∈ R \ {0} .
Montrer que J muni de la multiplication usuelle des matrices est un groupe abélien.
Exercice 4
1. L’ensemble R \ {−1} muni de la loi ? définie par ∀a, b ∈ R, a ? b = a + b + ab
est-il un groupe ?
2. L’ensemble E = {−1, 1, i, −i} ⊆ C muni de la loi usuelle de multiplication dans C est-il
un groupe ?
3. L’ensemble E = {( a0 00 ) : a ∈ R \ {0}} muni de la loi de multiplication usuelle des matrices
de M2 (R) est-il un groupe ?
4. L’ensemble S2 (R) des matrices symétriques réelles d’ordre 2 muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de M2 (R) est-il un groupe ?
Exercice 5 Montrer que si H et K sont des sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous-groupe
de G. Est-ce vrai pour H ∪ K ?
Exercice 6 Si G est un groupe, on appelle centre de G et on note Z(G) l’ensemble
{x ∈ G/∀y ∈ G, xy = yx}.
1. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
2. Montrer que G est commutatif ssi Z(G) = G.
3. Calculer Z(σ3 ).
Exercice 7 Soit E un ensemble muni d’une loi interne ?. On appelle translation à droite (resp.
à gauche) par a ∈ E, l’application da (resp. ga ) de E dans E définie par da (x) = a ? x (resp.
ga (x) = x ? a).
1
1. Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections.
2. Réciproquement, si la loi ? de E est associative, et que les translations à droite et à gauche
sont des bijections, on va montrer que (E, ?) est un groupe.
(a) Montrer que pour tout x ∈ E, il existe un unique élément ex ∈ E (resp. fx ∈ E) tel
que ex ? x = x (resp. x ? fx = x).
(b) Si x, y ∈ E, montrer que ex = ey (noté e dorénavant) et fx = fy (noté f dorénavant).
(c) Montrer que e = f (noté e dorénavant).
(d) Montrer que pour tout x ∈ E, il existe un unique élément x̄ ∈ E (resp. x̄¯ ∈ E) tel
que x̄ ? x = e (resp. x ? x̄¯ = e).
(e) Montrer que x̄ = x̄¯.
(f) Conclure.
Exercice 8 Soit (G, .) un groupe. On appelle conjugaison par a ∈ G, l’application fa de G
dans G définie par fa (x) = a.x.a−1 .
1. Montrer que fa est un automorphisme de G.
2. Soit Γ = {fa : a ∈ G}. Montrer que (Γ, ◦) est un groupe.
3. Soit Φ : G → Γ, a 7→ fa . Vérifier que Φ est un morphisme. Est-il injectif ? (indication :
préciser ce morphisme lorsque G est abélien).
Exercice 9 Soient les ensembles
¶
¾
¶
¾
½µ
½µ
x
x
x 0
∈ M2 (R) : x ∈ R
∈ M2 (R) : x ∈ R et M =
L=
−x −x
0 0
Étudier si, munis des lois usuelles, L et M sont des anneaux, des corps.
Exercice 10 On définit sur R les deux lois ⊕ et ⊗ par x ⊕ y = x + y − 1 et x ⊗ y = x + y − xy.
Montrer que (R, ⊕, ⊗) est un corps.
Exercice 11 Soit (G, +) un groupe commutatif. On (
note End(G) l’ensemble des endomorG→G
phismes de G sur lequel on définit la loi + par f + g :
.
x 7→ f (x) + g(x)
Montrer que (End(G), +, ◦) est un anneau.
Exercice 12 Soit (A, +, ×) un anneau.
On appelle centre de A l’ensemble C = {x ∈ A/∀y ∈ A, xy = yx}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Exercice 13 Soient A et B deux anneaux. On définit sur A × B les lois
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
(x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 )
1. Montrer que A × B est alors un anneau.
2. Si A et B sont des corps, en est-il de même pour A × B ?
Exercice 14 Soit Z[i] = {a + ib, (a, b) ∈ Z2 }.
1. Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour les lois usuelles de C.
2. Déterminer les inversibles de Z[i].
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