Exercices: Structures alg`ebriques

Universit´e de Sousse Ann´ee 2011-2012
ISITCOM Hammam Sousse 1`ere ann´ee Ing´enieur
Exercices: Structures alg`ebriques
Exercice 1 Soient les fonctions suivantes de R∗dans R∗
f1(x) = x f2(x) = 1
xf3(x) = −x f4(x) = −1 x
Montre que G={f1, f2, f3, f4}est un groupe pour la loi de composition ◦.
Exercice 2 Les ensembles suivants, pour les lois consid´er´ees, sont-ils des groupes ?
1. ] −1,1[ muni de la loi d´efinie par x?y=x+y
1+xy ;
2. {z∈C:|z|= 2}pour la multiplication usuelle ;
3. R+pour la multiplication usuelle ;
4. {x∈R7→ ax +b:a∈R\ {0}, b ∈R}pour la loi de composition des applications.
Exercice 3 Soit l’ensemble
J=½µ x x
x x ¶∈ M2(R) : x∈R\ {0}¾.
Montrer que Jmuni de la multiplication usuelle des matrices est un groupe ab´elien.
Exercice 4 1. L’ensemble R\ {−1}muni de la loi ?d´efinie par ∀a, b ∈R, a ? b =a+b+ab
est-il un groupe ?
2. L’ensemble E={−1,1, i, −i} ⊆ Cmuni de la loi usuelle de multiplication dans Cest-il
un groupe ?
3. L’ensemble E={(a0
0 0 ) : a∈R\ {0}} muni de la loi de multiplication usuelle des matrices
de M2(R) est-il un groupe ?
4. L’ensemble S2(R) des matrices sym´etriques r´eelles d’ordre 2 muni de la loi de multiplica-
tion usuelle des matrices de M2(R) est-il un groupe ?
Exercice 5 Montrer que si Het Ksont des sous-groupes de Galors H∩Kest un sous-groupe
de G. Est-ce vrai pour H∪K?
Exercice 6 Si Gest un groupe, on appelle centre de Get on note Z(G) l’ensemble
{x∈G/∀y∈G, xy =yx}.
1. Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
2. Montrer que Gest commutatif ssi Z(G) = G.
3. Calculer Z(σ3).
Exercice 7 Soit Eun ensemble muni d’une loi interne ?. On appelle translation `a droite (resp.
`a gauche) par a∈E, l’application da(resp. ga) de Edans Ed´efinie par da(x) = a?x (resp.
ga(x) = x?a).
1

1. Montrer que dans un groupe les translations `a droite et `a gauche sont des bijections.
2. R´eciproquement, si la loi ?de Eest associative, et que les translations `a droite et `a gauche
sont des bijections, on va montrer que (E, ?) est un groupe.
(a) Montrer que pour tout x∈E, il existe un unique ´el´ement ex∈E(resp. fx∈E) tel
que ex? x =x(resp. x?fx=x).
(b) Si x, y ∈E, montrer que ex=ey(not´e edor´enavant) et fx=fy(not´e fdor´enavant).
(c) Montrer que e=f(not´e edor´enavant).
(d) Montrer que pour tout x∈E, il existe un unique ´el´ement ¯x∈E(resp. ¯ ¯x∈E) tel
que ¯x?x=e(resp. x ? ¯ ¯x=e).
(e) Montrer que ¯x=¯ ¯x.
(f) Conclure.
Exercice 8 Soit (G, .) un groupe. On appelle conjugaison par a∈G, l’application fade G
dans Gd´efinie par fa(x) = a.x.a−1.
1. Montrer que faest un automorphisme de G.
2. Soit Γ = {fa:a∈G}. Montrer que (Γ,◦) est un groupe.
3. Soit Φ : G→Γ, a 7→ fa. V´erifier que Φ est un morphisme. Est-il injectif ? (indication :
pr´eciser ce morphisme lorsque Gest ab´elien).
Exercice 9 Soient les ensembles
L=½µ x0
0 0 ¶∈ M2(R) : x∈R¾et M=½µ x x −x−x¶∈ M2(R) : x∈R¾
´
Etudier si, munis des lois usuelles, Let Msont des anneaux, des corps.
Exercice 10 On d´efinit sur Rles deux lois ⊕et ⊗par x⊕y=x+y−1 et x⊗y=x+y−xy.
Montrer que (R,⊕,⊗) est un corps.
Exercice 11 Soit (G, +) un groupe commutatif. On note End(G) l’ensemble des endomor-
phismes de Gsur lequel on d´efinit la loi + par f+g:(G→G
x7→ f(x) + g(x).
Montrer que (End(G),+,◦) est un anneau.
Exercice 12 Soit (A, +,×) un anneau.
On appelle centre de Al’ensemble C={x∈A/∀y∈A, xy =yx}.
Montrer que Cest un sous-anneau de A.
Exercice 13 Soient Aet Bdeux anneaux. On d´efinit sur A×Bles lois
(x, y)+(x0, y0) = (x+x0, y +y0)
(x, y)(x0, y0) = (xx0, yy0)
1. Montrer que A×Best alors un anneau.
2. Si Aet Bsont des corps, en est-il de mˆeme pour A×B?
Exercice 14 Soit Z[i] = {a+ib, (a, b)∈Z2}.
1. Montrer que Z[i] est un anneau commutatif pour les lois usuelles de C.
2. D´eterminer les inversibles de Z[i].
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