Angles - maths pour le secondaire

Appliquer :
OBJECTIFS
187
Angles
■ à l’utilisation du vocabulaire;
■ à l’utilisation de propriétés pour démontrer.
■ des angles complémentaires et des angles supplémentaires;
■ des angles adjacents et des angles opposés par le sommet;
■ des angles alternes-internes et des angles correspondants.
La constellation d’Orion a la forme d’un sablier renversé.
C’est l’une des plus belles constellations que l’on peut
apercevoir en hiver dans l’hémisphère nord.
Sur la représentation ci-contre :
1) les droites passant, d’une part, par les étoiles Bellatrix
et Mintaka et, d’autre part, par les étoiles Alnitak et Saïph,
sont-elles parallèles?
2) les droites passant, d’une part, par les étoiles Bételgeuse
et Alnitak et, d’autre part, par les étoiles Mintaka et Rigel,
sont-elles parallèles?
11
CHAPITRE
Découvrir :
Meissa Bellatrix
144°
144°
69°79°
Mintaka
Rigel
Saïph
Bételgeuse
Alnitak
Nébuleuse de la tête de cheval
© NOA/AURA/NSF/Ciel et Espace
Nébuleuse de la tête de cheval.

ACTIVITÉS
➜
JE DÉCOUVRE Associer certains angles entre eux
3
Les droites ( d ) et ( d’ ) sont coupées par une droite (D) appelée sécante commune.
L’angle orange et l’angle violet L’angle vert et l’angle rose
sont dits angles alternes-internes sont dits angles correspondants
pour les droites (
d ) et ( d’ ) coupées par la sécante (D). pour les droites ( d ) et ( d’ ) coupées par la sécante (D).
1) Quelle est ici la signification du mot alterne? du mot interne ?
2) a) Reproduire chacune des figures.
b) Colorier en bleu l’angle alterne-interne à l’angle rouge pour les droites (
d ) et ( d’ ) coupées par la sécante (D).
c) Colorier en vert l’angle correspondant à l’angle rouge pour les droites (
d ) et ( d’ ) coupées par la sécante (D).
(d)
(d)
(d) (d)
(d’)
(d’)
(d’)(d’)
12 3 4
(d)
(d’)
(d)
(d’)
JE DÉCOUVRE Prouver que des angles ont la même mesure
4
Les droites ( d ) et ( d’ ) sont parallèles.
Le point
I est le milieu du segment [ AB ].
1) Démontrer que la droite ( d’ ) est le symétrique de la droite ( d )
par rapport au point
I .
2) a) Que peut-on dire de la position des angles M
m
AI et I
m
BN?
b) Justifier que les angles M
m
AI et I
m
BN ont la même mesure.
c) Recopier et compléter la phrase :
« Si deux droites sont ... , alors toute sécante commune forme des angles ... de même ... . »
3) a) Que peut-on dire de la position des angles P
m
AS et I
m
BN ?
b) Que peut-on dire des angles
P
m
AS et M
m
AI ?
c) En déduire que les angles
P
m
AS et I
m
BN ont la même mesure.
d) Recopier et compléter la phrase :
« Si deux droites sont ... , alors toute sécante commune forme des angles ... de même ... . »
(d)
(d’)
(D)
M
P
A
B
I
S
N
Partie A. Angles complémentaires, angles supplémentaires
Lorsque la somme des mesures de deux angles est égale à 90°, ces deux angles sont dits complémentaires.
Lorsqu’elle est égale à 180°, ils sont dits supplémentaires.
1) Citer un angle complémentaire à l’angle :
a)
A
m
BE ; b) C
m
EB.
2) Citer un angle complémentaire à l’angle B
m
AE .
3) Citer un angle supplémentaire à l’angle :
a)
C
m
ED ; b) B
m
ED .
Partie B. Angles adjacents, angles opposés par le sommet
Deux angles sont adjacents lorsqu’ils ont le même sommet, qu’ils ont un côté commun et qu’ils sont situés de part
et d’autre de ce côté.
Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu’ils ont le même sommet et que les côtés de l’un sont les prolon-
gements des côtés de l’autre.
1) Pour quelle(s) figure(s) suivante(s), l’angle orange et l’angle violet sont-ils adjacents ?
Lorsqu’ils ne le sont pas, expliquer pourquoi.
2) Pour quelle(s) figure(s) suivante(s), l’angle orange et l’angle violet sont-ils opposés par le sommet ?
Lorsqu’ils ne le sont pas, expliquer pourquoi.
1 2
5
4
3
JE DÉCOUVRE Apprendre le vocabulaire
1
1) a) Tracer deux droites ( d ) et ( d’ ) sécantes au point O .
Marquer deux points
A et B qui appartiennent respectivement aux droites ( d ) et ( d’ ) et qui sont distincts
du point
O .
b) Construire les points
A’ et B’ , symétriques respectifs des points A et B
par rapport au point O .
2) a) Justifier que les angles A
m
OB et A
m
’OB’
sont opposés par le sommet.
b) Justifier que les angles
A
m
OB et A
m
’OB’
ont la même mesure.
3) Recopier et compléter la phrase suivante :
« Deux angles opposés par le sommet ont ... . »
JE DÉCOUVRE Énoncer une propriété
2
188 189
Chap. 11 - Angles
J’ai utilisé la somme des angles d’un triangle.
J’ai commencé
par expliquer
pourquoi le point A’
appartient à (d).
A
D
E
BC
J’ai commencé par prouver
que le point B est le symétrique du point A
par rapport au point I.
GUESMI.B

191
Chap. 11 - Angles
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque :
●ils ont le même sommet;
●leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.
●L’angle vert et l’angle bleu sont opposés par le sommet.
●L’angle vert et l’angle rouge sont alternes-internes
pour les droites (
d
2) et (
d
3) et la sécante (
d
1).
●L’angle bleu et l’angle rouge sont correspondants pour
les droites ( d
2) et (
d
3) et la sécante (
d
1).
L’angle vert et l’angle bleu sont opposés par le sommet,
ainsi que l’angle violet et l’angle rouge.
■ EXEMPLE :
Sur la figure ci-contre :
●les angles bleus sont alternes-internes;
●les angles rouges sont alternes-internes.
■ EXEMPLE :
Propriété. Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Deux droites ( d ) et ( d’ ) coupées par une sécante (D)
définissent deux paires d’angles alternes-internes.
Dans l’exemple précédent, l’angle rouge et l’angle violet ont la même mesure.
■ EXEMPLE :
cAngles opposés par le sommet
dAngles alternes-internes
Deux droites ( d ) et ( d’ ) coupées par une sécante (D)
définissent quatre paires d’angles correspondants.
eAngles correspondants
COURS
➜
bAngles adjacents
1
Vocabulaire
■ EXEMPLES :
aAngles complémentaires, angles supplémentaires
L’angle bleu et l’angle rouge sont
adjacents.
■ EXEMPLE :
Sur chaque figure, les angles coloriés ne sont pas adjacents.
Les deux angles Les deux angles Les deux angles
n’ont pas n’ont pas ne sont pas situés de part
le même sommet. de côté commun. et d’autre du côté commun.
190
Deux angles sont complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90°.
Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180°.
Propriété. Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
Deux angles sont adjacents lorsque :
●ils ont le même sommet;
●ils ont un côté commun;
●ils sont situés de part et d’autre du côté commun.
Justification :
On a vu au
Chapitre 10 que la somme des mesures des angles
aigus d’un triangle rectangle est égale à 90°.
Ces angles sont donc complémentaires.
■Remarque :
Sur la figure ci-contre, l’angle rouge et l’angle bleu ont la
même mesure mais ne sont pas opposés par le sommet.
●L’angle bleu et
l’angle violet sont
complémentaires.
●L’angle rouge et
l’angle vert sont
supplémentaires.
B
AC
(d)
(d’)
(d)
(d’)
(d2)(d1)
(d3)
Sur la figure ci-contre, deux angles coloriés de la
même couleur sont correspondants.
■ EXEMPLE :
A
m
BC + A
m
CB = 90°
■Remarque : deux droites sécantes définissent deux paires d’angles opposés par le sommet.
GUESMI.B

193
Chap. 11 - Angles
JE RÉDIGE LA SOLUTION D’UN EXERCICE
Le quadrilatère ABCD est un trapèze tel que
les droites (
AB ) et ( CD ) sont parallèles.
Le point
O est le point d’intersection de ses
diagonales.
1) Déterminer la mesure de l’angle
B
mm
DC .
Justifier la réponse.
2) Déterminer la mesure de l’angle
D
mm
OC .
Justifier la réponse.
3) Déterminer la mesure de l’angle
B
mm
OC .
Justifier la réponse.
Énoncé de l’exercice
Rédaction de la solution Mes conseils
1) ●Le∑ droITe∑ ( AB )eT ( DC )coUpée∑ par la sécanTe ( BD )
foRmenT de∑ angle∑ A
m
BO eT B
m
DC alTerne∑
-
inTerne∑.
De plu∑, le∑ droITe∑ (
AB )eT ( DC )soNT parallèle∑.
●OR, sI deUx droITe∑ soNT parallèle∑, aloR∑ toUte sécanTe
coMmUne foRme de∑ angle∑ alTerne∑
-
inTerne∑ de même
mesUre.
●DoNc le∑ angle∑ A
m
BO eT B
m
DC soNT de même mesUre.
Et aInsi :
B
m
DC = A
mm
BO = 30°.
2) La soMme de∑ mesUre∑ de∑ angle∑ d’un trIangle esT
égale à 180°.
Dan∑ le trIangle
DOC , oN a :
D
m
OC + O
m
DC + O
m
CD = 180°
D
m
OC + 30° + 48° = 180°
D
m
OC + 78° = 180°
D
m
OC = 180° – 78°
D
m
OC = 102°.
3) Le∑ angle∑
B
m
OC et D
m
OC soNT supplémenTaIre∑.
ON a doNc :
B
m
OC + D
m
OC = 180°
B
m
OC + 102° = 180°
B
m
OC = 180° – 102°
B
m
OC =78°.
Je ne dois pas confondre
la propriété
avec la propriété réciproque.
L’angle O
m
DC est le même
que l’angle B
m
DC .
Pour rédiger, je dois
vérifier les hypothèses
permettant d’utiliser la propriété.
L’angle B
m
OD est un angle plat
puisque les points B, O et D
sont alignés.
Sur la figure, les droites ( d ) et ( d’ )sont parallèles.
L’angle rouge et l’angle orange sont alternes-internes pour les
droites (
d ) et ( d’ )coupées par la sécante (D).
Comme les droites (
d ) et ( d’ )sont parallèles, l’angle rouge
et l’angle orange ont la même mesure.
■ EXEMPLE :
aPropriétés
●Les propriétés 1et 2servent à démontrer que des angles ont la même mesure.
●Les propriétés 3et 4servent à démontrer que des droites sont parallèles.
192
Propriété 1. Si deux droites sont parallèles,
alors toute sécante commune forme des angles alternes-internes de même mesure.
COURS
➜
Propriété 2. Si deux droites sont parallèles,
alors toute sécante commune forme des angles correspondants de même mesure.
L’angle bleu et l’angle vert sont correspondants pour les
droites (
d ) et ( d’ )coupées par la sécante (D).
Comme l’angle bleu et l’angle vert ont la même mesure,
les droites (
d ) et ( d’ )sont parallèles.
■ EXEMPLE :
bPropriétés réciproques
Propriété 3. Si deux droites coupées par une sécante forment
deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
Propriété 4. Si deux droites coupées par une sécante forment
deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
30°
48°
O
AB
DC
(d)
(d’)
(d)
(d’)
2
Droites parallèles et angles
GUESMI.B

Solution :
SAVOIR-FAIRE
➜
Chap. 11 - Angles
En utilisant la figure, citer :
a) deux angles adjacents et complémentaires ;
b) deux angles adjacents et supplémentaires ;
c) deux angles opposés par le sommet;
d) deux angles alternes-internes pour les droites
( OS ) et ( US ) coupées par la sécante ( OR );
e) deux angles correspondants pour les droites
( OS ) et ( US ) coupées par la sécante ( OR ).
Énoncé :
Citer :
deux angles adjacents et complémentaires ;
deux angles adjacents et supplémentaires ;
deux angles adjacents ni complémentaires ni supplé-
mentaires ;
deux angles opposés par le sommet.
1) Tracer deux droites sécantes.
Colorier en rouge deux angles opposés par le sommet.
Colorier en bleu deux autres angles opposés par le
sommet.
2) Que peut-on dire d’un angle rouge et d’un angle
bleu?
c
b
a
d
c
b
a
A
B
C
D
G
F
E
Tracer un rectangle ABCD de centre O .
Citer un angle :
adjacent et complémentaire à l’angle B
m
AO ;
complémentaire, mais non adjacent, à l’angle
B
m
AO ;
adjacent et supplémentaire à l’angle
A
m
OB .
Reproduire en plus grand la figure.
Colorier en vert l’angle alterne-interne à l’angle bleu
pour les droites (
d
1) et (
d
2) coupées par la sécante (
d
3).
Colorier en violet l’angle alterne-interne à l’angle bleu
pour les droites (
d
3) et (
d
4) coupées par la sécante (
d
2).
Colorier en jaune l’angle correspondant à l’angle rouge
pour les droites ( d
1) et (
d
2) coupées par la sécante (
d
4).
Colorier en orange l’angle correspondant à l’angle
rouge pour les droites ( d
3) et (
d
4) coupées par la
sécante ( d
1).
d
c
b
a
(d1)
(d2)
(d3)
(d4)
c
b
a
J’APPLIQUE
>
a) Les angles U
m
OR et R
m
OS sont adjacents et complémentaires.
b) Les angles O
m
RU et O
m
RS sont adjacents et supplémentaires.
c) Les angles O
m
RU et E
l
RS sont opposés par le sommet.
d) Les angles S
m
OR et O
m
RU sont alternes-internes
pour les droites ( OS ) et ( US ) coupées par la sécante ( OR ).
e) Les angles F
m
OR et U
m
RE sont correspondants
pour les droites ( OS ) et ( US ) coupées par la sécante ( OR ).
FO
URS
E
Solution :
1
J’APPRENDS À...
Utiliser le vocabulaire
La droite ( CD ) coupe la droite ( AG ) en B et
la droite ( EF ) en D .
1) Prouver que les droites ( AB ) et ( EF )
sont parallèles.
2) En déduire la mesure de l’angle B
m
DF .
Énoncé :
J’APPLIQUE
>
2
J’APPRENDS À...
Utiliser des propriétés pour démontrer
Pour les exercices 5à 7,les droites ( AB ) et ( CD ) sont-
elles parallèles? Justifier la réponse.
Les droites (
AC ) et ( DE ) sont parallèles.
1) Calculer la mesure de l’angle
A
m
BD .
2) Calculer la mesure de l’angle B
m
DE .
123°
BC
E
A
D
BC
D
E
A
45°
46°
B
C
E
A
D
113°
113°
B
C
A
D
1) Construire un triangle BAS tel que :
AS =5cm, B
m
AS =75° et BA = 6 cm.
Placer le point R sur le segment [ BA ] à 4,2 cm du
point B .
La parallèle à la droite ( AS ) passant par le point R coupe
le côté [ BS ] en E . Placer le point E .
2) Quelle est la mesure de l’angle B
m
RE ?
Justifier la réponse.
Pour les exercices 10 à 12,le quadrilatère
ABCD est un
trapèze. On justifiera chaque réponse.
1) Calculer la mesure de l’angle
D
m
OC .
2) En déduire celle de O
m
CD .
1) Déterminer la mesure de l’angle
A
m
OD .
2) Calculer la mesure de l’angle
A
m
DO .
3) En déduire la mesure de l’angle
D
m
AO .
1) Calculer la mesure de l’angle
A
m
BO .
2) Calculer la mesure de l’angle A
m
OB .
3) En déduire la mesure de l’angle B
m
AO .
48°
32°
B
C
A
O
D
b
a
1) Les droites ( AB ) et ( EF ) coupées par la sécante ( AD ) forment les angles B
m
AD et
A
m
DE alternes-internes. De plus, d’après le codage, B
m
AD et A
m
DE ont la même mesure.
D’après la propriété du cours : « Si deux droites coupées par une sécante forment
deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles. »
Donc, les droites (
AB ) et ( EF ) sont parallèles.
2) Les droites (
AB ) et ( EF ) coupées par la sécante ( BD ) forment les angles B
m
DF et
C
m
BG correspondants. De plus, d’après la question précédente, ( AB ) // ( EF ).
Or, si deux droites sont parallèles, alors toute sécante commune forme des angles
correspondants de même mesure.
Donc, B
m
DF = C
m
BG = 75°.
1
195
194
FO
URS
E
J’ai colorié les angles alternes-internes en bleu
et les angles correspondants en rouge.
2
3
4
75°
B
F
E
AG
D
C
5 6
7
8
9
10
11
12
GUESMI.B