06. Angles égaux

Angles. Angles égaux
1. Angles adjacents
A) Activité
Peut-on calculer l’angle
AOC
?
0n peut calculer l'angle
AOC
On ne peut pas calculer l'angle
AOC
AOC
= 115° + 20° = 135° ( Il y a un "trou" )
B) Définition
Deux angles sont adjacents lorsque :
— ils ont le même sommet
— ils ont un côté commun
— ils sont situés de part et d’autre du côté commun
C) Contre-exemples
pas de sommet commun Pas de côté commun pas situés de part et d'autre
du côté commun
D) Propriété
Si deux angles sont adjacents, ALORS on peut les ajouter.
C
B
A
20°
D
115°
O
C
B
A
20°
115°
O

2. Angles complémentaires. Angles supplémentaires
A) Définitions
Deux angles sont complémentaires lorsque leur somme est égale à 90°.
Ex : 22° et 68° ( 22 + 68 = 90 )
Deux angles sont supplémentaires lorsque leur somme est égale à 180°.
Ex : 130° et 50° ( 130 + 50 = 180 )
B) Figures habituelles
Calculons l’angle
AOB
de chaque figure
AOB
et
BOC
sont supplémentaires
AOB
et
BOC
sont complémentaires
AOB
= 180° –
BOC
AOB
= 90° –
BOC
= 180° – 20° = 90° – 20°
= 160° = 70°
C) Triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
3. Angles opposés par le sommet
A) Définition
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque :
— ils ont le même sommet
— leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre
B) Propriété
SI deux angles sont opposés par le sommet ALORS ils sont égaux.
O
1
2
O C
B
?
A 20°
O
? 20°
C
B
A

C) Démonstration
Supposons que
O1
= 22°
Démontrons que
O2
= 22°
Preuve 1 :
Les angles
O1
et
O2
sont symétriques par rapport au point O.
Théorème : SI deux angles sont symétriques ALORS ils sont de même mesure
Conclusion :
O1
=
O2
Preuve 2 :
• Les angles
AOC
et
O1
sont supplémentaires
AOC
= 180° –
O1
AOC
= 180° – 22°
AOC
= 158°
• Les angles
O2
et
AOC
sont supplémentaires
O2
= 180° –
AOC
O2
= 180° – 158°
O2
= 22°
Conclusion :
O1
=
O2
4. Angles formés par deux droites coupées par une sécante
A) Repérer des angles alternes-internes
Les angles
A
et
B
coloriés sont situés :
— de chaque côté de la droite sécante ( s )
— à “ l’intérieur” des deux droites d et d ‘
Ils sont appelés angles alternes-internes.
B) Repérer des angles alternes-externes
Les angles
A
et
B
coloriés sont situés :
— pas du même côté de la droite sécante ( s )
— à “l’extérieur” des deux droites d et d ‘
Ils sont appelés angles alternes-externes.
d
d ’
s
A
B
d
d ’
s
A
B
O
1
2
22°
/
/
/
/
C
B
D
A

C) Repérer des angles correspondants
Les angles
A
et
B
coloriés sont situés :
— pas du même côté de la droite sécante ( s )
— l’un à “l’intérieur” et l’autre à
“l’extérieur” des deux droites d et d’
Ils sont appelés angles correspondants.
D) Cas où les droites d et d’ sont parallèles
d // d'
d
d
s
A
B
d
d
s
A
B
d
d
s
A
B
— Expliquons que les angles alternes-internes
A1
et
B1
sont égaux.
Ils sont symétriques par rapport au point M situé au milieu de [AB].
Ils sont donc égaux :
A1
=
B1
— Expliquons que les angles correspondants
A1
et
B2
sont égaux.
D’après précédemment :
A1
=
B1
Or les angles
B1
et
B2
sont opposés par le sommet donc ils sont égaux :
B1
=
B2
Donc
A1
=
B1
=
B2
soit
A1
=
B2
— Expliquons que les angles alternes-externes
A2
et
B2
sont égaux.
D’après précédemment,
B2
=
A1
Or les angles
A2
et
A1
sont opposés par le sommet donc ils sont égaux :
A2
=
A1
Donc
A2
=
A1
=
B2
soit
A2
=
B2
d
d ’
s
A
B
B
d
d ’
s
A
1
1
2
2
M
/

E) Théorème
SI deux droites coupées par une sécante sont parallèles ALORS
— les angles alternes-internes sont égaux
— les angles alternes-externes sont égaux
— les angles correspondants sont égaux
F) Théorème réciproque
SI deux droites coupées par une sécante forment deux angles
alternes-internes égaux ALORS ces deux droites sont parallèles.
( même théorème pour des angles alternes-externes ou correspondants)