Le parallélogramme

Chapitre 7
Le parallélogramme
7.1 Propriétés du parallélogramme
Théorème.
Un parallélogramme est un qua-
drilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux
à deux.
Remarque.
Un parallélogramme est un qua-
drilatère non croisé.
Propriétés.
Si un quadrilatère est un parallé-
logramme alors...
ses diagonales sont de même milieu,
ses côtés opposés sont de même longueur,
ses angles opposés sont de même mesure.
7.2 Caractérisation du parallélogramme
Théorème.
Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c'est un
parallélogramme.
Preuve.
Soit ABCD un quadrilatère et O le milieu des diagonales [AC] et [BD].
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CHAPITRE 7.
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LE PARALLÉLOGRAMME
Les droites (AB) et (CD) sont symétriques par rapport au point O, on applique :
si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles,
donc
(AB)//(CD).
On montre de même que
(BC)//(AD),
par conséquent ABCD
est un parallélogramme.
Théorème.
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de même longueur
deux à deux alors c'est un parallélogramme.
Antiparallélogramme
Preuve.
Parallélogramme
Soit ABCD un quadrilatère non croisé tel que
Soit D' le point tel que
0
(AB)//(CD )
et
AB = CD
et
BC = AD.
0
(BC)//(AD ).
A
D' D
B
C
ABCD' est un parallélogramme, on applique : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur, donc
CD0 = AB = CD
et
0
AD = BC = AD, les triangles ACD et ACD' sont superposables. ABCD étant non
croisé, les triangles ACD et ACD' sont confondus, D et D' sont confondus et ABCD
est un parallélogramme.
Théorème.
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de
même longueur alors c'est un parallélogramme.