agrégation de physique 2002 – 2003 montage n° 3

© Agrégation Physique Marseille 2003
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agrégation de physique 2002 – 2003
montage n° 3 : dynamique des fluides
Bibliographie : [1] - L. Quaranta, Dictionnaire de physique tome 1, (Pierron) nouvelle édition
[2] - Berty…, Physique pratique tome 2,. (Vuibert)
[3] - Mécanique (Gié, Bertin Faroux, etc.)
[4] - Mécanique (Bruhat) + Mécanique (Fleury et Mathieu )
[5] - I. Ryhming,Dynamique des fluides, (Presses Polytechniques Romandes)
[6] - R Comolet, Mécanique expérimentale des fluides, (Masson 1982)
[7] - M. Lesieur, La turbulence, Presses Universitaires de Grenoble 1994
[8] - E. Guyon et all., Hydrodynamique physique, InterEditions/Éditions du CNRS, 1991
⇒ Des modifications seront peut être apportées à ce montage.
1 • INTRODUCTION
1.1 Généralités
Les équations
• Un fluide est un système composé de nombreuses particules libres de se mouvoir les unes par rapport aux autres. Le
fluide peut se présenter sous deux aspects : l’état liquide et l’état gazeux. Le fluide peut se déformer sous l’action de
faibles forces : il ne possède pas de forme propre. Le liquide possède un volume propre limité par une surface libre (la
compressibilité des liquides est très faible) tandis que le gaz occupe tout le volume qui lui est offert.
• Lorsqu’un fluide est en mouvement, les couches de fluides ne glissent pas parfaitement les unes sur les autres : il existe
des forces de frottement. Ce phénomène est décrit à l’aide de la notion de viscosité.
Un fluide parfait est un fluide où tous les phénomènes de diffusion, et en particulier la viscosité, sont négligeables.
⇒ Un fluide au repos est donc parfait.
• L’étude du fluide peut se diviser en quatre parties :
1) La statique des fluides où la relation fondamentale est :
grad gP=ρ(1)
2) Les phénomènes de surface, spécifique des liquides.
3) La dynamique des fluides parfaits où η = 0 ; ils sont décrits par l’équation d’Euler :
ρρ((.)) –
∂
∂+=
vv grad v g grad
tP(2)
À cause du terme (. )v grad v, cette équation est non linéaire.
4) La dynamique des fluides réels, ils sont décrits par l’équation (non linéaire) de Navier-Stokes :
ρρη((.)) – ( (.))
∂
∂+=++
vv grad v g grad v grad grad v
tP∆1 3(3)
où ρ(. )v grad v représente les forces d’inertie et η((.))∆v grad grad v+1
3 représente les forces de viscosité (on négligera le
deuxième terme).
• Si on définit un vecteur vorticité (tourbillon) par ω() ()r rotv r= en prenant le rotationnel de l’équation de Navier-Stokes
et avec quelques hypothèses simplificatrices, on obtient l’équation de Helmholtz qui décrit l’évolution de ωω
ωω :
∂
∂+=+
ωωω ∆ω
t(. ) ( . )v grad grad v η ρ(4)
Le nombre de Reynolds
Ce nombre (sans dimension) R mesure le rapport entre les forces de viscosité et les forces d’inertie, ou entre le flux
convectif de quantité de mouvement et le flux diffusif de quantité de mouvement, ou encore entre le temps caractéristique
de diffusion et le temps caractéristique de convection.
C’est le mécanisme le plus rapide qui domine l’organisation du mouvement.
Si on regarde l’équation de Navier–Stokes, ce nombre peut s’écrire :
R=ρ
η
(. )v grad v
v∆
En faisant les approximations ()v.grad v ≅v
d
2
et ∆v≅v
d
2
2 (d étant une longueur) on obtient :
R=ρ
η
vd ou
R=vd
ν
.

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Avec : v = vitesse caractéristique relative fluide/solide ; ρ = masse volumique du fluide ; η = coefficient de viscosité
dynamique du fluide ; ν = η/ρ = coefficient de viscosité cinématique du fluide ; d = « diamètre » du tube dans lequel
s’écoule le fluide ou « diamètre » du solide s’il est en mouvement dans un fluide, c’est-à-dire dimension caractéristique de
l’écoulement.
• R < 1 ⇒ les effets d’inertie sont négligeables, la diffusion visqueuse prépondérante ; le régime est laminaire, l’équation
(3) devient linéaire :
ρρ η
∂
∂=+
vg grad v
tP– ∆
Si on pose ρg grad=P
o, en régime stationnaire, on obtient l’équation de Stokes
grad v(– )PP
o=η∆
Ces écoulements sont généralement très stables et appelés écoulements rampants.
• R élevé ⇒ la viscosité est négligeable, la convection (effet d’inertie) devient prépondérante ; le régime est dit turbulent.
si R >> 1 ⇒ fluide peu visqueux, tendant vers le fluide parfait (η = 0) ; dans ce cas on peut parfois négliger le
terme de viscosité, le régime peut être turbulent
• Les résultats expérimentaux montrent qu’il existe un nombre de Reynolds critique Rc (dont la valeur dépend du système
étudié : plaque, conduite, sphère,…).
Si R < Rc : le régime est laminaire. En régime stationnaire l’équation d’Euler conduit à l’équation de Bernoulli :
ρρ(. ) –v grad v g grad=P
qui, par intégration le long d’une ligne de courant, donne (à une dimension)
P + 1
2 ρ v2 + ρgz = Cte.
Si R est très élevé, le régime devient complexe (turbulence...).
REMARQUES
1) Dans un fluide réel en mouvement, il existe des contraintes tangentielles de telle sorte que les diverses couches du fluide ne
peuvent pas glisser librement les unes par rapport aux autres ; l’écoulement s’accompagne donc d’une dissipation d’énergie. Le
fluide “parfait” est un modèle de fluide dans lequel les contraintes sont toujours normales; l’écoulement se fait alors sans
dissipation d’énergie.
2) Parfois, même pour des nombres de Reynolds élevés, le transport par convection peut être négligeable. L‘écoulement est alors
similaire à un écoulement à faible vitesse, il est qualifié de laminaire.
La couche limite
Cette notion intervient pour les écoulements laminaires à nombre de Reynolds élevé (donc « fluide parfait ») autour d’un
solide. Loin du solide, si l’écoulement incident n’est pas turbulent, le fluide se comporte comme un fluide parfait. Sur le
solide la vitesse étant nulle, il existe une zone intermédiaire entre le corps et l’écoulement parfait appelée couche limite ;
cette zone est d’autant moins épaisse que le nombre de Reynolds est élevé.
Dans cette région, les termes de viscosité et de convection sont à prendre en compte. En un point d’abscisse x, en aval par
rapport au début de l’obstacle, on montre que l’épaisseur de la couche limite est égale à : δη
ρ
()xx
v
==
xd
R (d étant
une dimension caractéristique de l’écoulement).
Par exemple pour un écoulement d’air à 10 m/s, δ = 1 mm à x = 1 m en aval.
En conclusion
On constate que c’est la valeur du nombre de Reynolds qui indique si le fluide est visqueux ou non visqueux, si le régime
est laminaire ou turbulent. Ainsi, pour un fluide donné, le rapport ν = η/ρ (viscosité cinématique) est sensiblement
constant et c’est le produit « vd » qui permet de considérer le fluide comme visqueux ou non visqueux.
Par exemple (η/ρ)eau ≅ 10–6 SI, et (η/ρ)air ≅ 10–5 SI ; donc suivant les conditions l’air peut être plus visqueux que l’eau.
1.2 Expériences
a) Mise en évidence des régimes laminaire et turbulent
• Expérience avec un liquide
On utilise la cuve à ondes remplie d’eau dans laquelle on place différents obstacles, puis on injecte de l’encre à l’aide
d’une seringue afin de matérialiser les lignes de courant qui se forment à la vidange le récipient.
Pour l’eau on a R = 106 vd
⇒ Pour un régime laminaire R << Rc. Si d ≅ 5 mm il faut v << 0,4 m.s-1; on soufflera donc très doucement pour observer
le régime laminaire
⇒ Inversement pour observer un régime turbulent (R >> Rc) avec par exemple d = 1 cm il faut v >> 0,2 m.s-1 il faut
souffler plus fort sur un obstacle plus gros.
⇒ On peut réaliser cette expérience autrement : à l’aide d’une seringue on injecte plus ou moins fortement un liquide
coloré (encre; MnO4K ...) dans une grande éprouvette remplie d’eau.

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laminaire turbulent
eau
eau colorée
laminaire turbulent
cuve à ondes
• Expérience avec un gaz
On peut réaliser cette mise en évidence avec un sifflet : en soufflant très doucement on entend aucun son ; en soufflant
fortement on entend un son révélant l’existence d’un phénomène périodique : les tourbillons.
b) Mise en évidence des différentes viscosités cinématiques
On réalise l’expérience avec trois tubes à essais remplis de trois liquides de viscosité très différentes. Lorsqu’on retourne
ces tubes, la bulle remonte plus ou moins vite suivant la viscosité :
h
u
il
e
lent
g
l
yc
é
r
i
ne
moyen rapide
eau ou a
l
coo
l
En effet, en supposant les bulles sphériques identiques de volume V, on compare la poussée d’Archimède FA = ρVgk et la
« force de viscosité » Fv = –6πηrvk (formule de Stokes pour une sphère de rayon r). En régime permanent ces deux forces
sont égales FA + Fv = 0, le mouvement d’une bulle est rectiligne uniforme (le temps de relaxation est
τρ
ηη
==
air
liquide liquide
rg2
9
710
25
.–
s pour une bulle de 1 cm de diamètre ; la vitesse limite est atteinte).
D’où l’expression de la vitesse vrg =ρ
η
2
9
2
.
Dans l’hypothèse où les bulles sont identiques, la vitesse ne dépend que du rapport ρ/η. Sachant que (ρ/η)eau = 106,
(ρ/η)huile = 9.103, (ρ/η)glycérine = 1,23.103 (ceci en unité SI, s/m2) on doit observer veau > vhuile > vglycérine.
2 • FLUIDES VISQUEUX, RÉGIME LAMINAIRE
2.1 Viscosimètre à chute ; mesure d’une viscosité (R < 1)
Nous sommes dans le cas où le terme d’inertie est négligeable; le nombre de Reynolds est <1 ou ≅ 1 .
Une grande éprouvette graduée est remplie d’un liquide “visqueux” tel la glycérine (ou une huile...); on y laisse tomber
une bille sans vitesse initiale et on mesure la durée de la chute.
mouvement
accéléré
mouvement
uniforme
A
B
bill
e
glycérine
Le mouvement de la bille est rapidement rectiligne uniforme. Entre A et B on
chronomètre la durée ∆t de chute, donc la vitesse limite est : v = AB
∆t
La RFD appliquée à ce système nous donne : (ρ - ρo) 4
3 πr3g - 6πηrv = 0
en effet, lors du mouvement uniforme, la bille de rayon r est soumise aux force s :
• le poids : + 4
3 π r3 ρg (ρ = masse volumique de la bille)
• la poussée d’Archimède : – 4
3 πr3ρog (ρo = masse volumique de la glycérine)
• la force de viscosité (traînée) : – 6πrηv (formule de Stokes pour une
sphère dans un liquide de viscosité η)
d’où l’expression de la viscosité :
ηρρ =2
9rg v
2–o
⇒ les ordres de grandeur sont :
AB = 14 cm ; ρ=1574 kg.m-3 ; ρo= 1260 kg.m-3 ; r = 6,1 10-3m ; v ≅ 1,5 à 2 cm.s–1 ⇒ η = 1,5 à 1,8 (± 0,2) Pa.s à 20 °C
on doit préciser la température car on sait que η diminue si T augmente.

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Remarques :
– On vérifie que Rc < 1: R = ρovd
η = 1260.1,5.10-2.1,2.10-2 1,5 = 0,15 donc < 1 on est bien dans les conditions du fluide
visqueux.
– Si on remplaçait la glycérine par de l’eau, on obtiendrait R >>1 (non visqueux)
– Si on remplaçait l’eau par l’air naturellement R >>>1, mais on peut remarquer qu’avec d très petit et v très faible,
l’air serait alors visqueux (cf. l’expérience de Millikan)
• Voir également l’expérience utilisant un viscosimètre de Couette dans le montage « Phénomènes de transport ».
2.2 Régime de Poiseuille (R < Rc = 2000) voir ci-dessous
On prend deux pipettes identiques contenant de l’eau et de l’alcool. On note le temps “t” nécessaire pour que le niveau
s’abaisse d’une même quantité.
On suppose que l’écoulement obéit à la loi de Poiseuille (où le régime est laminaire) ; le débit volumique est :
Q = dV
dt = πR4 8hη (PA - PB) avec PA – PB = ρgh (voir [4], [6])
Le volume V (correspondant à la hauteur h) est vidé en t = V
Q donc η ρt = πR4g 8V = Cte
Par suite η
ρ
η
ρtt
eau alcool
=
On connaît par exemple :
ρeau = 1000 kg.m-3 ρalcool = 791 kg.m-3 et ηeau = 10-3 Pa.s
d’où , après plusieurs essais :
ηalcool = .......±.........Pa.s
Il est important de vérifier que Re < 2000 (mesures de d, de v = Q/S)
Exemple : veau = 2 cm3 pour 7 s et valcool = 2 cm3 pour 11 à 13 s. d = 0,5 mm
R ≅ 100 à 300.
NB : on mesure le nombre de Reynolds en A et B ; on mesure l’écoulement en A; la seringue
en B sert à diminuer le débit.
2.3 Exemple d’application : amortissement des oscillateurs
Il y a une expérience simple, facile à monter : un oscillateur “masse-ressort” est plongé dans
une éprouvette remplie d’un fluide visqueux (huile de moteur) . On amorce les oscillations; si le
dispositif est bien réglé, on obtient le régime apériodique
On mesure le k du ressort (ainsi que la période dans l’air)
au régime critique on a : Fc = 2 mk ≅ 6 πη R (Stokes)
Où m est la masse de la bille de rayon R (≅ 1,5 cm).
On peut en déduire la viscosité de l’huile (de l’ordre de 0,5 Pa.s).
3 • DYNAMIQUE DES FLUIDES À VISCOSITÉ NÉGLIGEABLE
C’est à dire que R > Rc. Les régimes peuvent être turbulents.
A
B
seringue
2 cm3
ressort k
masse m
liquide
visqueux
3.1 Régimes laminaire/ turbulent ; loi de Poiseuille, théorème deTorricelli
Pour un écoulement d’un fluide dans une canalisation cylindrique, le nombre de Reynolds critique est de l’ordre de 2400.
Vérification de la loi de Poiseuille
• En régime laminaire, le débit D d’un fluide soumis à une charge ∆P = ρgh dans une canalisation horizontale de diamètre
d et de longueur l, est : DdP=π
η
4
128 l∆
On vérifie cette relation à l’aide d’un vase de Mariotte. On doit s’assurer au préalable que le nombre de Reynolds est
inférieur au nombre critique. Pour cela, le diamètre du tube étant fixé, il faut des vitesses faibles (donc faible charge et
grande longueur l).

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vase de Mariotte
∆Pl
section S
vitesse v
D
1/l
0
Par exemple pour un diamètre de 4 mm, on choisira des longueurs l supérieures à 50 cm et des charges h de l’ordre de 4 à
5 cm d’eau (∆P = ρgh)
Dans ces conditions on mesure le débit à l’aide d’un chronomètre D = V/t ; sachant que D = Sv, on en déduit la vitesse v
donc le nombre de Reynolds ρvd/η.
On trace alors D = f(1/l) qui est une droite passant (extrapolation) par l’origine et dont la pente est :
πρ
η
dgh
4
128 (soit environ
3. 10–6 SI avec les données ci-dessus).
• Pour des tubes plus courts (au-dessous de 20 cm pour φ = 4 mm), des tubes de plus grand diamètre (6 mm, 8 mm), des
charges plus importantes (10 cm et même plus) les vitesses sont plus élevées, le nombre de Reynolds est supérieur à la
valeur critique, le régime devient turbulent, le modèle de Poiseuille n’est plus applicable. Dans ce cas-là, on se rapproche
du fluide « parfait », on peut donc envisager, avec ce même matériel, la vérification du théorème de Torricelli (cf. ci-
dessous § 3.1).
⇒ Pour le régime turbulent, le tracé de la courbe de Blasius (cf. ci-dessous) est très délicat (il faut du bon matériel !). On
se limitera donc à un régime turbulent quelconque et on vérifiera le théorème de Torricelli.
Exemple
Avec V = 250 cm3 on obtient (avec Λ
∆
∆
===d
P
v
dP
v
ghd
v
l
ll
1
2
22
222
ρρ car ∆P = ρgh) :
longueur l (cm)
diamètre φ en mm)
100 (φ 4mm) 80 (φ 4mm) 60 (φ 4mm) 20 (φ 4mm) 36 (φ 6 mm) 60 (φ 8 mm)
charge (cm) 4 4 4 4 8,5 8,5
durée t (s) 62 51 40 38 10 6
débit D (cm3/s) 4,03 4,90 6,25 6,5 25 41,6
vitesse (m/s) 0,32 0,39 0,5 0,52 0,89 0,82
Reynolds 1300 1550 2000 3200 5300 6600
Lg( ) 3,1 3,2 3,3 3,5 3,73 3,82
Lg(Λ) -1,4 -1,5 -1,6 -1,35 -1,45 -1,49
On peut tracer la courbe de Poiseuille et Blasius (on vérifie les pentes, mais très délicat pour la courbe de Blasius…).
Courbe de Poiseuille : d’après la relation ci-dessus Λ=64 donc Log(Λ) = Cte – Log( )
Courbe de Blasius : la loi est de la forme Λ = (100 )–1/4, donc Log(Λ) = Cte – 1
4Log( )