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LP 12 Notion de viscosité d'un fluide
Ecoulements visqueux, nombre de Reynolds
Exemples simples
Introduction expérimentale:
Ecoulement de Couette cylindrique
Projetons la relation d'Euler sur une base cylindrique:
g
z
P
t
vr
P
r
v
.0
0
2
La première de ces équation est incompatible avec le mouvement du
fluide…
A) Forces de viscosité:
1) Expression surfacique:
Lors de l'étude du fluide parfait, nous n'avons tenu compte que des forces surfaciques
normales à la surface. Or il existe également une composante tangentielle de ces forces, qui
sont à l'origine d'un transfert de quantité de mouvement des couches rapides vers les couches
lentes. On appelle ces forces forces de viscosité.
Prenons le cas d'un écoulement unidirectionnel de la forme
x
etyv  ,
.
La force de viscosité (exercée par S1 sur S2) s'oppose à son
mouvement: elle tend à freiner la veine la plus rapide et donc,
par principe d'action réaction, à accélérer la veine lente.
L'expérience montre que cette force:
- doit être proportionnelle à S
- doit être de sens opposé à la vitesse si la vitesse de S2 est plus grande que celle de S1.
On donne donc l'expression générale de la force de viscosité:
TdSnvgradFd extT
.
int
si
Tvv 
où est une constante appelée coefficient de viscosité qui s'exprime en Poiseuille
sPaPl .11 
. Numériquement, on a pour l'air
Pl
5
10
, pour l'eau
Pl
3
10
, pour de
l'huile
Pl1
2) Equivalent volumique:
Considérons à nouveau un fluide dont le champ de vitesse s'écrit
y
etzvv  ,
.
S2
S1
F
Veine rapide
Veine lente
vgrad
z
dzz
tzv ,

La résultante des forces s'exerçant sur cette tranche de fluide de volume
dxdydz
est donc
égale à:
y
zdzz
edxdy
ztzv
dxdy
ztzv
Fd 
,,
soit
y
z
ed
zv
Fd 
3
2
2
Cet écoulement est incompressible, car
0vdiv 
.
Nous pouvons alors généraliser ce résultat à tout fluide incompressible:
Pour un fluide incompressible, l'expression volumique des forces de cisaillement s'écrit:
vfvf mv ;
3) Interprétation microscopique de la viscosité:
Nous avons dit que les forces de viscosité constituaient un transfert de quantité de
mouvement des régions rapides vers les régions lentes.
Nous allons interpréter microscopiquement ce phénomène pour les gaz à l'aide d'un modèle
très simplifié.
Nous supposerons:
- que le gaz est à l'équilibre thermodynamique
cstenTP ,,
. Nous noterons m la masse
d'une particule
- le champ de vitesse moyen est de la forme
y
ezvv  
- on suppose que la vitesse d'agitation
u
à la même norme pour toutes les particules, et
que sa direction ne peut être que parallèle aux axes. Cette agitation étant répartie
uniformément dans les six directions, on a:
-
xy euezv  
pour 1/6 des particules
-
xy euezv  
pour 1/6 des particules
-
yy euezv  
pour 1/6 des particules etc…
- si l est le libre parcours moyen d'une particule, nous supposons que les molécules
traversent une surface d'abscisse z avec la vitesse qu'elles ont acquise en
lz 
ou
lz 
Considérons une surface d'abscisse z délimitant l'espace en deux régions 1 et 2. Pendant
un temps , le nombre de particules traversant de la région 1 vers la région 2 est le nombre
de particules contenues dans un cylindre de base et de hauteur
u
. Le débit moléculaire de
1 vers 2 vaut alors:
1221 6
1
  NN DNSuD
car le fluide est supposé à l'équilibre thermodynamique.
On veut maintenant calculer le débit de quantité de mouvement. Les particules transférées
de 1 vers 2 possèdent une quantité de mouvement selon y qui vaut:
lzmv 
et celles qui passent de 2 à 1
lzmv 
.
Le débit de quantité de mouvement de 1 vers 2 vaut donc:
dz
dv
nmullzvlzvmnSuD x
p3
1
6
1
car
zl 

La thermodynamique montre que
2
11 an
n
l
avec un modèle de sphère dure de rayon
a, et on a
M
RT
u3
. En écrivant par ailleurs que
A
N
M
m
, on trouve
3
12RTM
aNA
Numériquement on trouve à 20°C pour l'air
ma 10 10.5,3 
Pl
5
10
valeur assez
voisine de la valeur expérimentale
Pl
5
10.8,1 
4) Equation locale de la dynamique pour un fluide incompressible:
Cette équation s'obtient tout simplement en ajoutant la force volumique de cisaillement à
l'équation d'Euler pour les fluides parfaits:
vPgradf
Dt
vD vol
 .
Par ailleurs, la viscosité rajoute des conditions aux limites supplémentaires : en régime
permanent, la vitesse de glissement du fluide sur un obstacle est nulle. Comme la vitesse
normale à un obstacle doit être également nulle, ceci signifie que la vitesse d'un fluide en tout
point de coïncidence avec un obstacle est nulle.
B) Dynamique des écoulements incompressibles visqueux:
1) Nombre de Reynolds:
Reprenons l'équation de Navier Stockes sous sa forme développée:
vPgradfvgradv
t
vvol ..
Le terme en
vgradv .
représente la variation convective de la vitesse, ou de la quantité de
mouvement, c'est-à-dire la variation liée au déplacement du fluide.
Supposons à présent que ce terme soit nul, ainsi que toutes les autres actions. L'équation de
Navier Stockes se réduit alors à
v
t
v .
, avec , viscosité cinématique.
On reconnaît là une équation de diffusion, que l'on retrouve dans beaucoup de domaines de
la physique.
Le terme en
v .
représente donc la variation diffusive de la vitesse, ce qui était largement
suggéré par le modèle sommaire de la viscosité pour le gaz.
Si on veut savoir lequel des deux effets est prédominant, on effectue le rapport des deux.
Or l'ordre de grandeur du terme convectif est
L
v1 .
2
, où L est une longueur caractéristique
de l'écoulement, et celui du terme diffusif est
2
1
.. L v
.
Le rapport de ces deux quantités vaut donc
Lv ..
.
La dimension de ce rapport est
1
.. ..... 11
31 
smkg mmkgsmLv
, c'est donc un nombre sans
dimension.
Ce nombre est appelé nombre de Reynolds et est noté Re.

Sa valeur représente de par sa définition même la prédominance du terme diffusif ou du
terme convectif.
On en déduit alors qu'il caractérise les deux types d'écoulement observés:
- l'écoulement laminaire, où les lignes de courant glissent les unes sur les autres en
restant parallèles. Ceci correspond à un nombre de Reynolds faible
2000Re
, où la
diffusion prédomine, i.e. il n'y a pas de transfert de quantité de mouvement "violents"
- l'écoulement turbulent, chaotique, instable, caractérisé entre autre par l'apparition de
tourbillons et par des brisures de symétrie, qui correspond à un nombre de Reynolds
élevé
2000Re
, où la convection prédomine.
Pour l'eau, dans une conduite de 5 cm de diamètre, la transition correspond à une vitesse
1
3.4,4
05,0.1000 10.1,1.2000 ..
 scm
L
Re
v
Le rapport des grandeurs semble physiquement acceptable car:
- plus le fluide est visqueux (au sens usuel du terme), et plus il est difficile d'y faire
apparaître des turbulences.
- Plus l'écoulement est rapide, et plus c'est facile
- Pour un fluide donné, il est plus facile d'obtenir un écoulement laminaire avec un tube
fin qu'avec un tube large.
C'est cette transition que l'on observe avec l'écoulement de Couette cylindrique: lorsque la
vitesse de rotation du cylindre devient trop élevée, il apparaît des tourbillons et la symétrie
cylindrique de l'écoulement disparaît. Ceci tient mathématiquement à la non linéarité de
l'opérateur
gradv.
, alors prédominant.
Il faudra donc manipuler les raisonnement de symétrie avec précautions, puisque ceux-ci
ne seront valables qu'à faible nombre de Reynolds.
Par ailleurs, la non linéarité du terme en
gradv.
implique qu'il faut pouvoir le négliger
pour résoudre analytiquement l'équation de Navier Stockes. Nous allons maintenant étudier
quelques configurations où c'est le cas:
2) Ecoulements de la forme
x
etyvv  ,
:
Dans ce cas simple, l'équation Navier Stockes s'écrit:
xyx e
yv
egPgrade
t
v
2
2
, et en projection:
2
2
yv
x
P
t
v
;
g
y
P
;
0
z
P
On déduit de la seconde équation que
txpgyP,. 
La première égalité s'écrit
x
p
yv
t
v
2
2
. Le premier terme ne dépendant que de y et
t et le second que de x et t, ils sont égaux à une même fonction du temps
tC
.

Intéressons nous à deux cas particuliers:
 si
0tC
, alors la pression ne dépend pas de x. Ceci correspond à l'écoulement de
Couette plan: - Il s'agit d'un écoulement laminaire, et donc on peut
alors dire que le champ de vitesse est de la forme
x
etyvv  ,
.
- Effectivement, en l'absence de contrainte de
pression, celle-ci ne dépend pas de x.
On a alors, en régime stationnaire
0
2
2
yv
soit
y
Lvv
vv 21
2
 Si
csteCtC  0
, alors la pression est une fonction affine de y (tout en restant une
fonction affine de x). Ceci correspond à un écoulement de Poiseuille plan:
- il s'agit toujours d'un écoulement laminaire,
donc le champ de vitesse à la bonne forme
- des dispositifs extérieurs imposent un
gradient de pression selon x. (par exemple,
pour un liquide, une cuve remplie et une
sortie libre du tuyau)
La pression s'écrit alors:
x
lPlP
PgyyxP 0 0., 
Et le champ de vitesse est parabolique et est donné, en régime permanent, par:
llPP
dyvd 
0
2
2
soit
eyy
llPP
yv  2
.2
0
puisque la vitesse s'annule en 0 et en
e. On peut s'en servir pour mesurer la viscosité d'un fluide. En effet, considérons le dispositif
suivant: Le débit volumique va s'écrire:
lPP
L
Le
dyyvLe
0
.12
3
0
lPP
L
Le
Dv 0
.12
3
En mesurant
v
D
,
e
, L et
lPP 0
, on obtient alors la viscosité, en faisant bien attention
à ce que l'écoulement reste laminaire. Il faut donc, pour de l'eau, que les tubes soient assez fin.
Cependant, l'incertitude de construction sur les dimensions des tubes est en général assez
élevée, et donc cette méthode ne donne que peu de résultats.
1
v
2
v
0P
lP
L
)(yP
l
Mesure du débit