Seconde I –Travail de mathématiques – Vacances de Printemps

Seconde I –Travail de mathématiques – Vacances de Printemps
Devoir individuel (à rédiger soigneusement sur copie double ; à rendre le
mardi 26 avril 2011)
Les élèves souhaitant une orientation en 1ère STL traitent les exercices 1, 2
et 5 ;
les élèves souhaitant une orientation en 1ère ES traitent les exercices 1, 3 et 5 :
les élèves souhaitant une orientation en 1ère S traitent les exercices 1, 2, 5 et 6 ;
les autres traitent les exercices 1, 4 et 5.
Exercice 1. Soit f la fonction définie par
( ) 9 ² 12 12f x x x  
1) Vérifier que f(x) peut aussi s’écrire
(3 2)² 16x
2) Factoriser f(x).
3) Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée
a) Résoudre l’inéquation f(x)  – 16
b) Déterminer les antécédents de – 12
c) Etablir le tableau de variations de f
d) Etablir le tableau de signes de f(x).
4) A l’aide de la calculatrice, déterminer le tableau des valeurs de f(x)
pour x allant de – 3 à 1.5 avec un pas de 0.5.
5) Sur papier millimétré, représenter la courbe de f dans un repère
orthogonal d’unités : 2 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 4 en
ordonnée.
Exercice 2. n° 74 page 335
Exercice 3. n° 42 page 143
Exercice 4. n° 41 page 45
Exercice 5. n° 28 page 142 (La question 3 est facultative)
Exercice 6. n° 107 page 127

Corrigé du n° 1 :
1)
2
3 2 16 9 ² 12 4 16 9 ² 12 12 ( )x x x x x f x         
2)
( ) (3 2) 4 (3 2) 4 (3 6)(3 2)f x x x x x       
3) a) On choisit la forme canonique :
(3 2)² 16 16 (3 2)² 0xx      
:
on sait qu’un carré est toujours positif ou nul (dans ) donc cette inégalité est
vraie pour toutes les valeurs de x : S = 
Autre méthode : on dresse un tableau de signes :
x
– ∞
2
3
+∞
signe de 3x+2
–
0
+
signe de 3x+2
–
0
+
signe du produit
+
0
+
S = 
b) On choisit la forme développée
9 ² 12 12 12 9 ² 12 0 3 (3 4) 0x x x x x x         
4
3 0 ou 3 4 0 0 ou 3 x x x x       
4
0; 3 S
c) Dans l’expression développée de f(x) le coefficient de x² est positif. On en
déduit que f admet un minimum.
Première méthode : l’extremum est atteint quand le carré est nul donc quand
x =
2
3
et cet extremum est égal à
216
3
f
Deuxième méthode : les nombres 0 et
4
3
ont la même image par f d’après la
question 3.b). Donc l’axe de symétrie de la courbe a pour équation
4
02
3
23
x
. Le minimum de f est atteint pour x =
2
3
et il est
égal à
216
3
f
D’où le tableau de variations de f :
x
-∞
2
3
+∞
Variations de f
16
d) On choisit l’écriture factorisée et on dresse un tableau de signes :
x
– ∞
–2
2
3
+∞
signe de 3x +6
–
0
+
+
signe de 3x - 2
–
–
0
+
signe du produit
+
0
-
0
+
4) et 5)
Placer TOUS ces
points ainsi que le
sommet de la
parabole de
coordonnées
2; 16
3
x
f(x)
-3
33
-2,5
14.25
-2
0
-1,5
-9.75
-1
-15
-0,5
-15,75
0
-12
0,5
-3,75
1
9
1,5
24,25
(Cf)
0 1
4
x
y

Corrigé du n° 2
Une figure permet de vérifier
1. On calcule les coordonnées
des vecteurs
AD
et
BC
1 ( 3) 4
2 0 2
AD 
5 ( 3) 8
0 4 4
BC 
On constate que
2BC AD
les vecteurs sont colinéaires
donc les droites (BC) et
(AD) sont parallèles, ce qui
prouve que ABCD est un trapèze.
2.
1
2
AD
Kxx
x
;
1
2
AD
Kyy
y
donc K(-1 ; -1)
De même L (1 ; 2)
3. On a xA = x B = – 3 donc la droite (AB) a pour équation x = – 3
La droite (CD) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. On calcule son
coefficient directeur :
0 ( 2) 2 1
5 1 4 2
CD
CD
yy
axx
La droite (CD) a une équation de la forme
1
2
y x b
Avec D :
112
2b   
d’où
5
2
b
(CD) a pour équation
15
22
yx
T est sur (AB) donc xT = –3
T est aussi sur (CD) donc yT =
15
( 3) 4
22
Donc T(– 3 ; – 4)
4. On calcule les coordonnées des vecteurs
2
3
KL
et
2
3
KT 
.
On constate que les vecteurs
et KL TK
sont égaux : donc K est le milieu de
[TL] ce qui prouve que les points K, L et T sont alignés.
Corrigé du n° 3
1. Avec le contrat B Justine va gagner
5
1500 4000 1700
100
euros : le
contrat A est donc plus intéressant.
2.
5
( ) 1500 1500 0.05
100
B x x x    
On résout l’inéquation B(x)  1800
1500 0.05 1800
0,05 300
300 6000
0.05
x
x
x
Le montant des ventes de Justine doit être supérieur à 6000 euros pour
que le contrat B soit plus intéressant.
Corrigé du n° 4
1. En B2 on a entré = ½*B1
2. En C2 on aura : = ½ *C1 et en E : = ½ *E1
3. En raison de la priorité des opérations on obtient le tableau de valeurs de
la fonction f
4. Pour avoir le tableau de valeurs de la fonction g il faut entrer en B2 :
1/(2* 1)B

Corrigé du n° 5
1.
0b ax b ax b x a
2. Une solution
Corrigé du n° 6
1°) On calcule le volume du prisme à base triangulaire REPNAM :
AM = x ; AN = AD – DN = 8 – x
L’aire de la base AMN est donc :
(8 )
2
xx
La hauteur est AE = 8
Le volume de ce prisme, en cm3, est donc :
(8 )
8 4 (8 ) 32 4 ²
2
xx x x x x
On calcule le volume du cube : 83 = 512
Le volume V(x) est donc en cm3 :
( ) 512 (32 4 ²) 4 ² 32 512V x x x x x     
2°) V est une fonction polynôme de degré 2. Le coefficient de x² est positif donc la
fonction V admet un minimum.
Pour déterminer ce minimum, on cherche deux nombres ayant la même image.
Quand x = 0 ou quand x = 8 le prisme REPNAM a un volume nul
donc V(0) = V(8) = 0.
Les nombres 0 et 8 ont la même image par V : ce sont donc les abscisses de deux
points symétriques sur la parabole représentant V. On en déduit que l’axe de symétrie
de cette parabole a pour équation : x =
08 4
2
Le minimum de V est atteint pour x = 4 et il est égal à V(4) = 448