Seconde I –Travail de mathématiques – Vacances de Printemps

Seconde I –Travail de mathématiques – Vacances de Printemps
Devoir individuel (à rédiger soigneusement sur copie double ; à rendre le
mardi 26 avril 2011)
Les élèves souhaitant une orientation en 1ère STL traitent les exercices 1, 2
et 5 ;
les élèves souhaitant une orientation en 1ère ES traitent les exercices 1, 3 et 5 :
les élèves souhaitant une orientation en 1ère S traitent les exercices 1, 2, 5 et 6 ;
les autres traitent les exercices 1, 4 et 5.
Exercice 1. Soit f la fonction définie par f ( x)  9 x²  12 x  12
1) Vérifier que f(x) peut aussi s’écrire (3x  2)²  16
2) Factoriser f(x).
3) Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée
a) Résoudre l’inéquation f(x)  – 16
b) Déterminer les antécédents de – 12
c) Etablir le tableau de variations de f
d) Etablir le tableau de signes de f(x).
4) A l’aide de la calculatrice, déterminer le tableau des valeurs de f(x)
pour x allant de – 3 à 1.5 avec un pas de 0.5.
5) Sur papier millimétré, représenter la courbe de f dans un repère
orthogonal d’unités : 2 cm pour 1 en abscisse et 1 cm pour 4 en
ordonnée.
Exercice 2. n° 74 page 335
Exercice 3. n° 42 page 143
Exercice 4. n° 41 page 45
Exercice 5. n° 28 page 142 (La question 3 est facultative)
Exercice 6. n° 107 page 127
Corrigé du n° 1 :
1)
 3x  2 
2)
f ( x)   (3x  2)  4  (3x  2)  4   (3x  6)(3x  2)
2
 16  9 x²  12 x  4  16  9 x²  12 x  12  f ( x)
on sait qu’un carré est toujours positif ou nul (dans ) donc cette inégalité est
–
–
+
0
0
0
+∞
2
3
16
d) On choisit l’écriture factorisée et on dresse un tableau de signes :
x
–∞
+∞
2
–2
3
+∞
3
signe de 3x+2
signe de 3x+2
signe du produit

Variations de f
3) a) On choisit la forme canonique : (3x  2)² 16  16  (3 x  2)²  0 :
vraie pour toutes les valeurs de x : S = 
Autre méthode : on dresse un tableau de signes :
2
x
–∞

D’où le tableau de variations de f :
x
-∞
+
+
+
S=
b) On choisit la forme développée
9 x²  12 x 12  12  9 x²  12 x  0  3x(3x  4)  0
4
 3x  0 ou 3x  4  0  x  0 ou x  
3
4


S  0;  
3

c) Dans l’expression développée de f(x) le coefficient de x² est positif. On en
déduit que f admet un minimum.
Première méthode : l’extremum est atteint quand le carré est nul donc quand
2
 2
et cet extremum est égal à f     16
3
 3
4
Deuxième méthode : les nombres 0 et  ont la même image par f d’après la
3
x= 
question 3.b). Donc l’axe de symétrie de la courbe a pour équation
 4
0 
 3    2 . Le minimum de f est atteint pour x =  2 et il est
x
2
3
3
 2
égal à f     16
 3
–
–
+
signe de 3x +6
signe de 3x - 2
signe du produit
4) et 5)
x
f(x)
-3
33
-2,5
14.25
-2
0
-1,5
-9.75
-1
-15
-0,5
-15,75
0
-12
0,5
-3,75
1
9
1,5
24,25
Placer TOUS ces
points ainsi que le
sommet de la
parabole de
coordonnées
 2

  ; 16 
 3

0
0
+
–
-
+
+
+
0
0
y
(Cf)
4
0
1
x
 2
 3
Corrigé du n° 2
Une figure permet de vérifier
1. On calcule les coordonnées
On constate que les vecteurs KL et TK sont égaux : donc K est le milieu de
[TL] ce qui prouve que les points K, L et T sont alignés.
des vecteurs AD et BC
1  (3)   4 
AD 
 
 2  0   2 
 5  (3)   8 
BC 
 
 0  4   4 
Corrigé du n° 3
1. Avec le contrat B Justine va gagner 1500  4000 
On constate que
BC  2 AD
les vecteurs sont colinéaires
donc les droites (BC) et
(AD) sont parallèles, ce qui
prouve que ABCD est un trapèze.
2.
xK 
xA  xD
y  yD
 1 ; yK  A
 1 donc K(-1 ; -1)
2
2
De même L (1 ; 2)
3. On a xA = x B = – 3 donc la droite (AB) a pour équation x = – 3
La droite (CD) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées. On calcule son
coefficient directeur :
a
yC  yD 0  (2) 2 1

 
xC  xD
5 1
4 2
1
La droite (CD) a une équation de la forme y  x  b
2
1
5
Avec D : 1  b  2 d’où b  
2
2
1
5
(CD) a pour équation y  x 
2
2
T est sur (AB) donc xT = –3
T est aussi sur (CD) donc yT =
Donc T(– 3 ; – 4)
 2 
.
 3 
4. On calcule les coordonnées des vecteurs KL   et KT 
1
5
 (3)   4
2
2
5
 1700 euros : le
100
contrat A est donc plus intéressant.
2.
B( x)  1500  x 
5
 1500  0.05 x
100
On résout l’inéquation B(x)  1800
1500  0.05 x  1800
0, 05 x  300
300
x
 6000
0.05
Le montant des ventes de Justine doit être supérieur à 6000 euros pour
que le contrat B soit plus intéressant.
Corrigé du n° 4
1. En B2 on a entré = ½*B1
2. En C2 on aura : = ½ *C1 et en E : = ½ *E1
3. En raison de la priorité des opérations on obtient le tableau de valeurs de
la fonction f
4. Pour avoir le tableau de valeurs de la fonction g il faut entrer en B2 :
 1/ (2* B1)
Corrigé du n° 5
1.
ax  b  0  ax  b  x  
2. Une solution
Corrigé du n° 6
b
a
1°) On calcule le volume du prisme à base triangulaire REPNAM :
AM = x ; AN = AD – DN = 8 – x
L’aire de la base AMN est donc :
x(8  x)
2
La hauteur est AE = 8
Le volume de ce prisme, en cm3, est donc : 8 
x(8  x)
 4 x(8  x)  32 x  4 x²
2
On calcule le volume du cube : 83 = 512
Le volume V(x) est donc en cm3 :
V ( x)  512  (32 x  4 x²)  4 x²  32 x  512
2°) V est une fonction polynôme de degré 2. Le coefficient de x² est positif donc la
fonction V admet un minimum.
Pour déterminer ce minimum, on cherche deux nombres ayant la même image.
Quand x = 0 ou quand x = 8 le prisme REPNAM a un volume nul
donc V(0) = V(8) = 0.
Les nombres 0 et 8 ont la même image par V : ce sont donc les abscisses de deux
points symétriques sur la parabole représentant V. On en déduit que l’axe de symétrie
de cette parabole a pour équation : x =
08
4
2
Le minimum de V est atteint pour x = 4 et il est égal à V(4) = 448