Les quadrilatères - Correction

DERNIÈRE IMPRESSION LE 21 juillet 2016 à 23:19
Les quadrilatères - Correction
EXERCICE 1
Voir cours
EXERCICE 2
OBA
C
I
D
M1M5
M2
M3
M4
EXERCICE 3
1) Il s’agit d’un tirage simultanée où l’ordre n’intervient pas. On raisonne en pre-
nant le nombre de tirages de 2 étiquettes avec un ordre, puis on divise par 2
qui correspond aux 2 ordres possibles des deux étiquettes.
•Tirage avec ordre : 10 choix pour la première étiquette et 9 pour la deuxième
soit 10 ×9=90 tirages.
•On divise par 2 car l’ordre n’intervient pas : 90
2=45
Il y a 45 tirages possibles de deux étiquettes.
2) Les deux configurations possibles correspondent à deux angles droits succes-
sifs (trapèze rectangle) ou deux angles droits opposés :
PAUL MILAN 1CRPE

EXERCICES -CORRECTION
3) Soit ABCD un quadrilatère.
•Dans la première configuration, on trace un angle droit à l’aide des points
A, B, et C. On trace la perpendiculaire à la diagonale [BD] passant par A,
elle coupe alors la parallèle à (AD) passant par B en C.
•Dans la deuxième configuration, on trace un angle droit à l’aide des points
A, B et C. On trace le cercle de diamètre [BD], il coupe la perpendiculaire à
[BC] passant par A en C.
A
BC
D A
B
C
D
4) Les étiquettes incompatibles avec "Deux côtés parallèles seulement", sont toutes
celles qui représente un parallélogramme. Il y en a cinq :
•"Quatre angles droits" (rectangle)
•"Côtés égaux deux à deux" (parallélogramme)
•"Quatre côtés égaux" (losange)
•"Côtés opposés parallèles" (parallélogramme)
•"Diagonales se rencontrant en leur milieu" (parallélogramme)
5) On trace deux droites perpendiculaires (AC) et (BD) de même longueur (non
sécantes en leur milieu).
B D
A
C
E
FG
H
Il s’agit du quadrilatère de Varignon.
Dans les triangles ABC et ADC, E et F, d’une part, sont les milieux des côtés
[AB] et [BC] et G et H, d’autre part, sont les milieux des côtés [CD] et [DA],
d’après le théorème des milieux, on a :
(EF)// (AC)
EF =1
2AC et 
(GH)// (AC)
GH =1
2AC ⇒((EF)// (GH)
EF =GH
PAUL MILAN 2CRPE

EXERCICES -CORRECTION
Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.
Comme AC = BD et (AC)⊥(BD), en appliquant le théorème des milieux
dans les triangles ABC et ABC, on a :
(EF)// (AC)
EF =1
2AC et 
(EH)// (BD)
EH =1
2BD ⇒((EF)⊥(EH)
EF =EH
Le parallélogramme EFGH a deux côtes consécutifs de même longueur per-
pendiculaires donc EFGH est un carré.
EXERCICE 4
Un isocerfvolant
1) Construction d’un isocerfvolant ABCD en A.
B D
I
A
C
2) Par exemple un trapèze isocèle ou un cerf-volant isocèle.
FG
E H F H
G
E
3) a) Proposition vraie : une diagonale est axe de symétrie et il possède 4 angles
droits donc un en A.
b) Proposition Fausse : une diagonale peut être à l’extérieur du quadrilatère.
contre-exemple :
PAUL MILAN 3CRPE

EXERCICES -CORRECTION
F H
G
I
E
c) Proposition fausse : un rectangle en général n’a pas de diagonale comme
axe de symétrie.
d) Proposition vraie : si les diagonales se coupent en leurs milieux, le qua-
drilatère est un parallélogramme. Comme c’est un isocervolant, le parallé-
logramme possède un angle droit (rectangle) et un axe de symétrie donc
deux côtés consécutifs sont égaux(losange). Un losange et un rectangle dé-
finissent bien un carré.
4) On obtient la construction suivante :
Programme de construction :
•On place un point A et un point B
tel que AB = 4 cm.
•On trace la perpendiculaire (AI) à
(AB) passant par A.
•On place le point D sur (AI) tel que
AD = 4 cm.
•On détermine les intersections C1et
C2des cercles de centres respectifs
B et D et de rayon 3 cm.
•Le point C1est tel que AC1< BC1
L’isocerfvolant est donc ABC1D.
B
A
I
D
C1
C2
EXERCICE 5
Voir cours
EXERCICE 6
Carrés. Travail de recherche
1) ABCD est un carré et K et I sont les milieux respectifs des côtés [DC] et [AB]
donc : (DK)// (IB)et DK =IB, donc :
Le quadrilatère BKDI possède deux côtés opposés parallèles de même lon-
gueur, BKDI est donc un parallélogramme.
2) a) BKDI est un parallélogramme donc : (DI)// (BK)
Dans le triangle AGB, (FI)// (BG)et I milieu de [AB], d’après le théorème
des milieux : F est le milieu de [AG] donc FG =AF
En appliquant le théorème des milieux dans le triangle BHC, on a :
JG =1
2HC et dans le triangle CED, on a EH =HC
PAUL MILAN 4CRPE

EXERCICES -CORRECTION
On a donc JG =1
2HC, EH =HC et comme EFGH est un carré FG =EH,
donc JG =1
2FG
Conclusion : AJ =AF +FG +GJ =FG +FG +1
2FG =5 2FG
b) Dans le triangle AJB rectangle en B, appliquons le théorème de Pythagore :
AJ2=AB2+BJ2
AB =aet BJ =a
2, donc : AJ2=a2+a 22=4a2+a2 4⇒AJ =a√5 2
Comme AJ =5
2FG, on a : 5 2FG =a√5 2⇒FG =a√5 5
Le rapport cherché est donc : FG
AB =√5 5
Le rapport des aires est égal au rapport des côtés au carré, donc :
AEFGH
AABCD = √5 5!2
=1
5
3) a) Dans le triangle EBH, on sait que G est le milieu de BH et que (EH)// (MG),
donc d’après le théorème des milieux, comme M est le milieu de [FG], M
est le milieu de [EB], donc les points E, M et B sont alignés.
b) En reliant les points E et B, F et C, G et D, H et A, on détermine ainsi les
milieux respectifs de [FG], [GH], [HE] et [EF]. On a ainsi réalisé un nouveau
carré PQRT
M
S
P
Q
R
A B
CD
I
J
K
L
E
F
G
H
O
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