Les quadrilatères - Correction

DERNIÈRE IMPRESSION LE
21 juillet 2016 à 23:19
Les quadrilatères - Correction
E XERCICE 1
Voir cours
E XERCICE 2
C
b
M1
b
b
M5
b
b
D
b
A
b
M2
b
I
b
b
O
b
b
b
B
M4
b
M3
E XERCICE 3
1) Il s’agit d’un tirage simultanée où l’ordre n’intervient pas. On raisonne en prenant le nombre de tirages de 2 étiquettes avec un ordre, puis on divise par 2
qui correspond aux 2 ordres possibles des deux étiquettes.
• Tirage avec ordre : 10 choix pour la première étiquette et 9 pour la deuxième
soit 10 × 9 = 90 tirages.
90
• On divise par 2 car l’ordre n’intervient pas :
= 45
2
Il y a 45 tirages possibles de deux étiquettes.
2) Les deux configurations possibles correspondent à deux angles droits successifs (trapèze rectangle) ou deux angles droits opposés :
b
b
b
b
b
PAUL MILAN
b
b
1
b
CRPE
EXERCICES
-
CORRECTION
3) Soit ABCD un quadrilatère.
• Dans la première configuration, on trace un angle droit à l’aide des points
A, B, et C. On trace la perpendiculaire à la diagonale [BD] passant par A,
elle coupe alors la parallèle à (AD) passant par B en C.
• Dans la deuxième configuration, on trace un angle droit à l’aide des points
A, B et C. On trace le cercle de diamètre [BD], il coupe la perpendiculaire à
[BC] passant par A en C.
C
C
B
b
B
b
b
b
b
b
b
A
b
b
D
A
b
b
D
4) Les étiquettes incompatibles avec "Deux côtés parallèles seulement", sont toutes
celles qui représente un parallélogramme. Il y en a cinq :
• "Quatre angles droits" (rectangle)
• "Côtés égaux deux à deux" (parallélogramme)
• "Quatre côtés égaux" (losange)
• "Côtés opposés parallèles" (parallélogramme)
• "Diagonales se rencontrant en leur milieu" (parallélogramme)
5) On trace deux droites perpendiculaires (AC) et (BD) de même longueur (non
sécantes en leur milieu).
A
b
H
E
B
b
b
b
b
F
b
D
b
G
b
C
Il s’agit du quadrilatère de Varignon.
Dans les triangles ABC et ADC, E et F, d’une part, sont les milieux des côtés
[AB] et [BC] et G et H, d’autre part, sont les milieux des côtés [CD] et [DA],
d’après le théorème des milieux, on a :


(
 (GH) // (AC)
 (EF) // (AC)
(EF) // (GH)
et
⇒
1
1
 GH = AC
 EF = AC
EF = GH
2
2
PAUL MILAN
2
CRPE
EXERCICES
-
CORRECTION
Le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.
Comme AC = BD et (AC) ⊥ (BD), en appliquant le théorème des milieux
dans les triangles ABC et ABC, on a :

 (EF) // (AC)
 EF = 1 AC
2

 (EH) // (BD)
 EH = 1 BD
2
et
⇒
(
(EF) ⊥ (EH)
EF = EH
Le parallélogramme EFGH a deux côtes consécutifs de même longueur perpendiculaires donc EFGH est un carré.
E XERCICE 4
Un isocerfvolant
1) Construction d’un isocerfvolant ABCD en A.
A
b
B
b
I
b
D
b
b
C
2) Par exemple un trapèze isocèle ou un cerf-volant isocèle.
E
b
E
F
b
b
b
H
b
F
b
b
H
G
b
G
3) a) Proposition vraie : une diagonale est axe de symétrie et il possède 4 angles
droits donc un en A.
b) Proposition Fausse : une diagonale peut être à l’extérieur du quadrilatère.
contre-exemple :
PAUL MILAN
3
CRPE
EXERCICES
-
CORRECTION
E
b
G
F
b
b
b
I
b
H
c) Proposition fausse : un rectangle en général n’a pas de diagonale comme
axe de symétrie.
d) Proposition vraie : si les diagonales se coupent en leurs milieux, le quadrilatère est un parallélogramme. Comme c’est un isocervolant, le parallélogramme possède un angle droit (rectangle) et un axe de symétrie donc
deux côtés consécutifs sont égaux(losange). Un losange et un rectangle définissent bien un carré.
4) On obtient la construction suivante :
Programme de construction :
b
• On place un point A et un point B
tel que AB = 4 cm.
• On trace la perpendiculaire (AI) à
(AB) passant par A.
• On place le point D sur (AI) tel que
AD = 4 cm.
• On détermine les intersections C1 et
C2 des cercles de centres respectifs
B et D et de rayon 3 cm.
• Le point C1 est tel que AC1 < BC1
A
b
b
b
C1
b
B
I
b
b
b
C2
D
L’isocerfvolant est donc ABC1 D.
E XERCICE 5
Voir cours
E XERCICE 6
Carrés. Travail de recherche
1) ABCD est un carré et K et I sont les milieux respectifs des côtés [DC] et [AB]
donc : (DK) // (IB) et DK = IB, donc :
Le quadrilatère BKDI possède deux côtés opposés parallèles de même longueur, BKDI est donc un parallélogramme.
2) a) BKDI est un parallélogramme donc : (DI) // (BK)
Dans le triangle AGB, (FI) // (BG) et I milieu de [AB], d’après le théorème
des milieux : F est le milieu de [AG] donc FG = AF
En appliquant le théorème des milieux dans le triangle BHC, on a :
1
JG = HC et dans le triangle CED, on a EH = HC
2
PAUL MILAN
4
CRPE
EXERCICES
-
CORRECTION
1
On a donc JG = HC, EH = HC et comme EFGH est un carré FG = EH,
2
1
donc JG = FG
2
5
1
Conclusion : AJ = AF + FG + GJ = FG + FG + FG = FG
2
2
b) Dans le triangle AJB rectangle en B, appliquons le théorème de Pythagore :
AJ2 = AB2 + BJ2
√
a 2
2 + a2
5
a
a
4a
AB = a et BJ = , donc : AJ2 = a2 +
⇒ AJ =
=
2
2
4
2
√
√
5
5
a 5
a 5
Comme AJ = FG, on a : FG =
⇒ FG =
2
2
2
5
√
FG
5
=
Le rapport cherché est donc :
AB
5
Le rapport des aires est égal au rapport des côtés au carré, donc :
√ !2
5
1
=
5
5
AEFGH
=
AABCD
3) a) Dans le triangle EBH, on sait que G est le milieu de BH et que (EH) // (MG),
donc d’après le théorème des milieux, comme M est le milieu de [FG], M
est le milieu de [EB], donc les points E, M et B sont alignés.
b) En reliant les points E et B, F et C, G et D, H et A, on détermine ainsi les
milieux respectifs de [FG], [GH], [HE] et [EF]. On a ainsi réalisé un nouveau
carré PQRT
A
B
I
F
M
P
S
L
b
b
Q
J
O
R
E
G
H
K
D
PAUL MILAN
C
5
CRPE
EXERCICES
-
CORRECTION
c) Le rapport entre les côtés de EFGH et des côtés de ABCD est de
√
5
,
5
donc le rapport entre les côtés de PQRT et des côtés de ABCD est de
Conclusion : la longueur du côté du carré PQRT est
PAUL MILAN
6
√ !2
1
5
=
5
5
a
.
5
CRPE