EC 9A : E 1. Les différentes formes de tableaux

EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES
REPRESENTATION DE DONNEES
COURS
Objectifs du chapitre :
 Etre capable de connaître différents modes de représentations de
données numériques ou de relations entre de telles données
 Interpréter et réaliser différents modes de représentation de données
numériques
 Passer d’un mode de représentation à un autre mode de
représentation
La représentation de données numériques peut prendre trois formes
principales :



Les données sont fournies à l’intérieur d’un texte qui, souvent, les
commente au fur et à mesure ;
Les données sont fournies dans un tableau ; certains peuvent être
assez complexes ;
Les données représentées sous forme graphique : il existe différents
types de représentations graphiques, certaines sont présentées dans
ce chapitre
1. Les différentes formes de tableaux
En moyenne, les dépenses des familles par grandes catégories se
répartissent de la façon suivante (en pourcentage du total des dépenses) :
Alimentation
Habillement
Logement,
hébergement,
équipements
Santé
Transports
Communication,
loisirs, culture
Autres
20%
7%
30%
5%
16%
12%
10%
Ce tableau est un tableau à entrée simple : il ne comporte qu’une seule ligne
de données numériques.
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D’autres sont d’une lecture plus complexe. Le tableau suivant, à double
entrée, présente les données réelles à partir desquelles a été fabriqué le
tableau ci-dessus. Certaines rubriques ont été regroupées et les données
numériques arrondies. (source : Insee, enquête sur le budget de famille
2000-2001, publiée que le site http://www.insee.fr/fr)
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2. Les différents types de représentations graphiques
Il existe une très grande variété d’outils utilisés pour représenter un
ensemble de données numériques.
Exemple : cette carte de France, rend compte de l’importance des
populations des principales villes, mais sans que les aires des disques soient
proportionnelles aux populations.
Dans la suite, nous nous intéresserons aux représentations graphiques qui
respectent les proportions entre données. Soulignant ainsi le lien étroit qui
existe avec la proportionnalité.
Voici une définition donnée par J.F. Pichard, « Représentations graphiques
en statistiques », in Des chiffres et des lettres au collège, Bulletin Inter-IREM,
premier cycle, 1992 :
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Définition : un graphique ou une représentation graphique est un dessin
codifié – quant à la forme, la taille et la couleur - dont les points, les courbes,
les surfaces, voire les volumes en perspective, respectent les proportions des
grandeurs observées.
L’auteur de cette définition poursuit en énumérant trois qualités essentielles
d’un graphique :
 Sa lisibilité : il doit être appréhendé plus rapidement que les données
chiffrées, en révélant l’essentiel ;
 Sa fidélité : il ne doit pas déformer la réalité des faits ;
 Son « autosuffisance » : il doit pouvoir être compris indépendamment
de la série de données représentées et donc comporter un titre, le
libellé des axes, une indication des échelles choisies ainsi que la
source des données.
a. Représentations de partitions et représentations de fonctions
Ces deux types de représentations dits de « partition » et de « fonction »
peuvent être considérés comme les types de base. Nous verrons ensuite que
chacun d’eux peut être traduit par des « dessins » visuellement très proches.

Dans le cas d’une partition, un « tout » est entièrement décomposé en
sous-parties deux à deux disjointes.
Exemple : le tout (les dépenses) est décomposé en sous-parties (les
catégories de dépenses)

Dans le cas d’une fonction, il s’agit très souvent de traduire une
évolution dans le temps ou de rendre compte des modifications d’une
grandeur en fonction d’une autre grandeur.
Exemple : la grandeur
« distance par rapport au point de départ »
évolue en fonction de la grandeur « durée écoulée depuis le départ »
b. Diagrammes rectangulaires, circulaires et semi-circulaires
Ils sont utilisés pour représenter une partition.
Le principe est que les sous-parties sont représentées par des surfaces dont
les aires sont proportionnelles aux effectifs des sous-parties.
Exemple : les ventes annuelles d’un marchand de cycles : 50% de vélos pour
enfants, 30% de vélos pour hommes et 20% de vélos pour femmes.
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
Dans le cas des diagrammes circulaires et semi-circulaires, la
proportionnalité effectifs-aires se ramène à une proportionnalité
effectifs-angles.

Dans le cas du diagramme rectangulaire, la proportionnalité effectifsaires se réduit à une proportionnalité effectifs-longueurs car la largeur
des rectangles est toujours la même.
c. Diagrammes en bâtons
Un diagramme en bâtons peut prendre plusieurs formes et représenter aussi
bien une partition qu’une fonction
i. Représentation d’une partition par un diagramme en bâtons
Exemple : La situation de la vente de vélos (de type partition) peut être
représentée par un diagramme en bâtons, les bâtons étant des rectangles (on
parle parfois de diagrammes en tuyaux d’orgue) de même base (document 1)
ou des segments (document 2)
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ii. Représentation d’une fonction par un diagramme en bâtons
Exemple : L’évolution du nombre de naissances dans une ville au cours des
5 dernières années.
Evolution des naissances
2005
2006
240
315
2007
260
2008
190
2009
350
Certains types de diagrammes en bâtons sont parfois difficiles à interpréter.
Exemple : dans le document qui suit, les bâtons sont horizontaux et
représentent les effectifs (en milliers d’habitants) de sexe masculin sur la
partie gauche et de sexe féminin sur la partie droite. On parle de pyramide
des âges.
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d. Histogramme
Il s’agit d’un type de diagramme particulier dans lequel c’est l’effectif qui est
proportionnel à l’aire du rectangle qui le représente
Cette représentation est notamment utilisée lorsque les effectifs
correspondent à une variable continue qui n’est pas découpée en tranches
« égales »
Exemple : Cet histogramme représente la répartition de 27 élèves d’une
classe selon le temps mis pour venir à l’école, avec 3 tranches de temps
d’inégales amplitudes :
On peut vérifier que, aux approximations de mesure près, les aires des
rectangles sont bien proportionnelles aux effectifs.
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e. Graphiques à points ou à lignes
Ces graphiques sont plus souvent utilisés pour représenter des relations
entre données
Exemple : L’évolution des naissances peut également être représentée de la
façon suivante :
Deux remarques peuvent être faites à propos de ces graphiques :

Les segments qui joignent les points sur le 2ème graphique donnent
une information sur le sens et l’intensité de l’évolution entre deux
années, mais chaque point de ces segments n’a, en lui-même, pas de
signification (le milieu du segment qui joint le 1er point au 2ème point
ne donne pas l’indication du nombre de naissances enregistrées de
janvier à juin 2011) ;

Le fait de choisir une origine et une échelle différentes pour les effectifs
sur ces deux graphiques permet d’amplifier ou de réduire la vision qui
est donnée des évolutions du nombre de naissances : cette remarque
fait partie de ce dont toute personne doit avoir conscience lorsqu’elle
lit (ou plutôt interprète) de telles représentations.
Dans certains cas, chaque point de la ligne représentée a une signification :
c’est vrai lorsqu’on a affaire à un phénomène continu (c’est-à-dire
représentable par une fonction de IR dans IR ou d’une partie de IR dans IR).
Par exemple, si on remplit progressivement un récipient et si on suit
l’évolution de la hauteur de liquide, on a une relation entre le volume de
liquide et la hauteur du liquide dans le récipient.
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