On travaillera dans le référentiel géocentrique ayant

L'arrimage entre deux satellites dans l'espace pose de nombreux problèmes: même en état
d'impesanteur, leur masse importante fait qu'ils doivent se rejoindre avec des vitesses quasi
identiques pour éviter un choc catastrophique. De plus, leur trajectoire dépend de leur
vitesse: modifier leur vitesse modifie leur trajectoire.
Le but de ce problème est d'aborder une solution pour organiser une rencontre spatiale.
On travaillera dans le référentiel géocentrique
ayant son origine au centre O de la terre. Ce
référentiel sera considéré comme galiléen.
Un satellite de masse m, assimilable à un point
matériel M est repéré par ses coordonnées
polaires r,  d'origine O.
1)-Exprimer, en fonction de r,  et de leurs
dérivées par rapport au temps, les coordonnées
radiales et ortho radiales de la vitesse
v
et de
l'accélération
a
de M.
2)- M n'est soumis qu'à la force de gravitation exercée par la terre. Exprimer cette force en
fonction de G, constante de gravitation, de Mt, masse de la terre, de m, de r et
r
u
, vecteur
unitaire radial, puis en fonction du rayon terrestre R, de l'intensité de la pesanteur g0 à la
surface de la terre, de m, de r et
r
u
.
3)- Le point M est animé d'un mouvement circulaire de rayon r0. Montrer que ce mouvement
est uniforme. En déduire la forme simplifiée que prennent alors la vitesse et l'accélération
exprimées précédemment.
4)- Déterminer le module v0 de la vitesse de M en fonction de g0, R et r0. En déduire le temps
T0 mis par M pour effectuer une révolution, en fonction de R, g0 et r0.
5)- Exprimer, en fonction de m, g0, R et r0, l'énergie mécanique E0 du satellite.
6)- Application numérique: on donne: R=6400 km ; g0=9,81 m.s-2 r0=6766 km ;
Déterminer la vitesse v0 ainsi que la période T0.
On admettra sans démonstration que lorsqu'un satellite a un mouvement elliptique, son
énergie et sa période de révolution gardent les mêmes expressions que celles établies dans le
cas circulaire, à condition de remplacer le rayon de la trajectoire par le demi grand axe a de
l'ellipse.
Lorsque le satellite est au point A, on lui donne
une impulsion pour que sa vitesse s'accroisse de
v v u
, donc colinéaire à
0
v
. Cet
accroissement étant très rapide, on pourra
considérer que la vitesse change au point A. De
plus, dans la mesure où v est très petit devant
v0, on pourra considérer que l'accroissement est
infinitésimal. Le mouvement devient elliptique,
de demi grand axe
0
a r r
, où
0
rr
et de
période
0
TT
avec
0
TT
.
Rendez-vous spatial
M
O
r
ur
u
v0
v0+v
A

7)- Exprimer Ec, variation d'énergie cinétique en A, ainsi que la variation d'énergie
mécanique E0. On développera au premier ordre en
0
v
v
et en
0
r
r
. En déduire une relation
simple entre
0
v
v
et
0
r
r
.
8)- Exprimer
0
T
T
en fonction de
0
r
r
, puis de
0
v
v
.
9)- Application: deux satellites S1 et S2 sont sur la même orbite circulaire de rayon r0. S2 a un
retard de D = 10 km sur S1. Au passage en A de S2, on lui applique l'accroissement de vitesse
précédent, pour qu'après une révolution, il arrive en A en même temps que S1 .
Exprimer le retard en temps t de S2 sur S1. En déduire l'accroissement de vitesse v qu'il faut
lui communiquer, en fonction de D et de T0.
Commentez la valeur absolue et le signe de cet accroissement.
I- Au delà de l'altitude H = 100 km se situe l'ionosphère qui est un plasma, c'est-à-dire un gaz
d'ions, contenant par unité de volume n électrons de charge –e et n ions de charge +e.
19
1,6 10eC
et de masse m = 0,9.10-30 kg
Le milieu est et reste globalement neutre.
Une onde électromagnétique plane, polarisée rectilignement selon la direction Ox se propage
dans la direction Oy. Son champ électrique s'écrit:
()
0
i t ky
x
E E e u
On admettra sans autre justification que le milieu reste neutre, que l'action du champ
magnétique de l'onde est négligeable, et que les ions, de masse suffisamment importante, ne
sont pas mis en mouvement par le champ électrique.
En revanche, les électrons, sous l'action du champ électrique, prennent une vitesse de la
forme:
()
0
i t ky
x
v v e u
On négligera toute force dissipative, ainsi que les forces de pesanteur.
1)- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à un électron de masse m,
exprimer la vitesse en fonction de e, m,  et
E
.
En déduire la densité de courant
j
associée à ce mouvement, ainsi que la conductivité  du
milieu. On constate que cette dernière est imaginaire pure: à quelle hypothèse doit-on ce
résultat ?
2)- Le milieu se comportant comme le vide, sans charge globale et parcouru par le courant
j
,
écrire les équations de Maxwell.
Communications radio terrestres

3)- En déduire l'équation de propagation, puis l'équation de dispersion. On exprimera k2 en
fonction de c, vitesse de la lumière dans le vide, de  et de
2
0
p
ne
m
.
4)- Déterminer la fréquence fp au dessous de laquelle il n'y a pas de propagation, puis la
longueur d'onde dans le vide p correspondante.
On donne: n = 8.1011 électrons/m3 ; c = 3.108 m.s-1;
09
1
36 10
II-
Deux plans horizontaux d'équation y = 0 et y = H, parfaitement conducteurs limitent une
portion d'espace considéré comme du vide sans charge ni courant
On envoie dans la direction Ox horizontale une onde électromagnétique polarisée
horizontalement selon Oz, et de la forme:
()
0sin( ) i t kx zz
E E my e u E u
Cette onde se propage dans le vide, E est solution de l'équation de D'Alembert:
2
22
10 E
Ect
1)- Etablir la relation entre k2, m,  et c pour que la forme proposée soit solution de l'équation
de D'Alembert; exprimer k2 en fonction de m,  et c.
2)- Rappeler les conditions de passage de E. En déduire la valeur de E en y = 0 et y = 2, puis
les valeurs possibles de m en fonction de H et d'un nombre entier p.
3)- En déduire k2 en fonction de , c, p et H, ainsi que la plus petite valeur 0 de  pour
laquelle il peut y avoir propagation dans le mode p = 7.
4)- Application numérique: H = 300 km. Déterminer la valeur numérique de 0, ainsi que la
fréquence correspondante f0, et la
longueur d'onde dans le vide 0.
5)-La terre est entourée d'une
atmosphère d'épaisseur H dans laquelle
une onde électromagnétique se propage
comme dans le vide. Au dessus de H se
situe l'ionosphère. Si l'onde a une
fréquence inférieure à fp, il y a réflexion
totale de l'onde sur l'interface
atmosphère – ionosphère: on admettra
x
y
z
O
H
Terre
Ionosphère
Atmosphère
H

alors que cette dernière se comporte comme un conducteur parfait.
La terre se comporte également comme un conducteur parfait.
Le rayon terrestre de 6400 km étant grand devant H, on pourra considérer localement que la
terre et l'interface atmosphère – ionosphère sont des plans parallèles distants de H, c'est-à-dire
que l'ensemble se comporte comme le guide d'onde précédemment étudié.
Le schéma montre approximativement le trajet d'une onde qui se propage selon le mode 7
Lorsqu'on veut communiquer par radio d'un point à l'autre de la terre, on envoie des ondes
modulées en amplitude, qui couvrent une bande de fréquence d'environ 20 kHz autour de la
fréquence de la porteuse. De ce fait, si on est proche de la fréquence de coupure on a une
distorsion importante rendant les communications impossibles: on admettra que cette
distorsion reste raisonnable si f1 = 500 f0.
Déduire des résultats des parties précédentes le domaine de longueurs d'onde dans le vide des
ondes qui permettent de communiquer d'un point à l'autre de la terre.
Rem:
Si cette étude donne une idée du phénomène, elle est trop simpliste pour avoir une véritable
valeur quantitative: l'ionosphère n'est pas homogène, et il y a des réflexions sur les interfaces
séparant les différentes couches. De plus, la densité électronique de l'ionosphère est
largement fonction de l'activité solaire, et varie entre le jour et la nuit: une onde peut se
propager de nuit au départ et de jour à l'arrivée ou vice-versa.