Thèse no 3841 Obstruction et transgression cofiomologique dans les espaces fibres THESE présentée à l'École polytechnique fédérale, Zurich pour l'obtention du grade de Docteur es sciences mathématiques par FRANÇOIS SIGRIST math. né le de Rafz acceptée sur 2 dipl. EPF février 1940 (Canton de Zurich) proposition du rapporteur: professeur B. Eckmann du corapporteur: professeur K. Voss Juris Druck + Verlag Zurich 1967 1 INTRODUCTION. travail Ce à l'obstruction entre l'étude de la relation qui existe a d'un section une fibre d'une part, espace transgression d'un élément transgressif la et consacré est de fibre la d'autre part. Dans espaces fibration p E : les (U.) X compatibilité usuelles; homéomorphismes des Rappelons base la X au-dessus s est des X à s obstruction que une système le fibre soit trivialement La eu (s) C « de a à la (x;{t( X produit , , p : tout E -» (F). k cet on est diagramme : X X -* de X les k E , dans valeurs groupes local, la de le grandeur une à section rencontre E -* par c'est-a-dire cochaîne s'effectue petit il que 7t (F) 7t faut exiger (F) opère de Par d'obstruction ainsi: pour restreinte d'homotopie p l'aide de au bord (s) on note (a ) la un soit simplexe homéomorphe décomposition la de l'image sphérique ou considère on que a , sur obtenue la en fibre; fournit un cochaîne qui à chaque élément. sait, adaptée X }) section, la associe Comme (F) : système Lorsque la croissante s formé par un projette alors, à on élément de fibres, _. groupe . la suffisamment ; classe a (F) de s identité. = dimension locaux bien de c'est section: construire a n-cochaîne (n-1)-simple, it sur ps partielle une soit construction xF a c'est {k _.(F)j que la que d'une peut caractériser coefficients de de application une l'on algébrique précise: Pour X section une que cherche on (k) le alors est telle [9]. telle , {uif F conditions les avec , l'existence de polyèdre, xF structural groupe E -* U. a fibre de d'ouverts famille une fibre la squelettes de prolongement de : un Connaissant base. le problème le application une par homéomorphe soit de application Une triviale, localement des notion la est ("fiber bundle"). fibration peut recouvrir p première La triviale appelée est définitions habituelles deux interviennent. localement X -* l'on si que travail, ce fibres à une il des existe une autre définition des questions d'homotopie. fibration commutatif avec Une espaces application "relèvement des homotopies" si peut être complété Dans la plupart des propriété la une de fibration triviale. diagramme commutatif un une cas, fibration triviales système grand un fibrations les images la inverses a résultat, ici Jt groupes base, _. des mentionné cas la généralisation de la Il s'agit explicite pour procédé de fibre se que général, localement fibrations des consacré I est la notion la peut est Si classique Il système un soient le pour homo¬ le que local alors système sur (n-1)-simples. localement cas est sont démontrer effet en bien appelle fibres (elles base encore fibres on Ce trivial, possible complètement homotopique, notion la résume de général. possède de est donner définition classique de l'obstruction. définition comme (n-1)-simple, commutatif les que ci-dessus le Le on fibres dans d'une en s'adapte particulièrement locaux points des condition démontré chapitre Le particulier, définies homotopiquement. topiquement équivalentes), des en propriétés de nombre conservé. est coefficients de aux [9], mais relèvement des homotopies n'est pas avec quelques-unes d'entre elles; de triviale localement relèvement des homotopies Cependant, localement à en et d'applications demeure en soit : E X polyèdre. A un p continues .(n-1) .(n) classique suit: -> E -* B -» B tout un une et cas suffisamment particulier. fibration, diagramme 3 peut associer on construction relèvement g inclusion = induit met ne des n-cochaîne de une |n _1(F)| local jeu en X sur homotopies. Le X s X -+ , par l'application triangulation la que à valeurs dans X particulier cas X(n"1} S- partielle X cochaîne une Si calcul au sens l'on de de lui la la (X;{tc C s est, section directement ainsi est un autre obtenue conserve si la seulement et homotopique, en il est possible algébrique des groupes avantage: chapitre le III consacré. Nous considérons extraordinaire ce un l'obstruction extensible formalisme le triviale, d'homotopie généralisés d'ECKMANN-HILTON, auxquels est appelons nous que effet, en définition Cette généralité, présente appliquer M localement co(s) que la .(F) . fibration nulle. est E: -» yX généralisation La fondamentale: l'obstruction plus io(s) montre classique. , *E 2 section suppose explicite propriété si la le et X = P x<n> fournit système cette ; X B D obstruction de g de ou section = le qui h n'est pas appliquer le ; une nous suite la dans la supposons restriction formalisme homotopique dimension finie, "calculer approximativement" ordinaire h (X). Cette E^'n E?'" E'11 œ existe les suite et pour suite une celui un groupes de spectrale se Cn(x; hm-n(So)) = H^X; hm-n(S0)) Ghm(X). «n donnée cohomologie de homotopiquement, [4]. des On polyèdre lui peut suites X spectrales. , de spectrale permettant = = théorie essentielle Rappelons le résultat fondamental: il une cohomologie présente de extra¬ ainsi: 4 dans le h" h le est C le X. X cohomologie extraordinaire de la Algébriquement, cohomologie simpliciale filtration une est G de de groupe possède (X) de de groupe est groupe ce résultat approximation h (X) la crucial point convergence des groupe est de commutatif S . groupe filtration. cette ainsi: à possible est l'aide de de donner spectrale mène de suite H la une à (X) gradué. et suite spectrale. d'homotopie classes Le description homotopique détaillée une la il sphère X. l'interprétation homotopique domine; travail, ce la filtré convenablement Dans le h*(X); de à coefficients , décomposition squelettique s'interprète H*(X), cohomologie simpliciale à la due gradué associé à le de simpliciales cochaînes des groupe de intervient ' E paires d'applications de comme rendant diagramme le ,(n-l)_ (a) -»EB_ jn M) Ce groupe est, l'isomorphisme au chapitre donc type a (a) de la annulés ' E E ' fourni est isomorphe à B_ C (X; directement par (SQ)), h le et procédé décrit I. L'examen de effet, en -* ) convergence montre toutes par sont de plus que différentielles explicitement donnés décomposables (b) les par les (aboutissant les diagrammes en .(n-1) _L_> xCn-l) -» EB m ,(n) 'n+1 -* X éléments -» B de 5 dernier le Dans on considère En décomposant chapitre, qui est synthèse une des précédents, diagramme le le diagramme (d) constate: on interprété i cochaîne, comme est i l'obstruction i (e) est un élément relative (f) est un résultats sont un élément la base. transgressif de la avec (p) h suite la notion -i E et sa de et spectrale. à fournit fois la transgression propriétés ces ' annule , transgression de (e) dans fibre la s. dans fournit le transgression-obstruction: de transgressif |tt ,,m/n différentielles, les toutes section cohomologie la élément de interprétation adéquate Une Théorème : combinés l'élément de cohomologique: f" de la (p). h traverse alors (s) de o par Ces u> F B -* (F) locaux } _. -• lit affaiblit de . cohomologie f" induit (B it . la (F) } _. en ) transforme système un l'obstruction m (s) e homomorphisme de coefficients, qui traverse de f", la changée suite de spectrale signe. considère le on (X; {k obtient pour (S h _. (F) un aboutir par coefficients système constant C élément un représenté homomorphisme de un qui On (F), h }) de coefficients ) Si . par élément à la l'on cet de E ' transgression 6 La démonstration de la consiste de convergence l'obstruction de que ment liées. Comme deux 1) théorème Le struction de est qui en première la égale, plus général théorème un point de départ supérieure tout notion Une par BARCUS. est due qui relie pour le ob¬ (en de fibre. la constitua le l'obstruction point et (par pour HILTON avec départ de Oxford valable ECKMANN fibration une décrite [Quart.J.Math. à première cohomologie ordinaire. celle plus générale encore arbitraires re¬ on transgression fondamentale constitue à étroite¬ sont général La la [3], il en d'obstruction équivalente à classe transgression de que premières approches: les étude; notre l'autre, obstruction: la et l'hypothèse Sous de d'ECKMANN homotopies qui est différent) cations de la générale des travail notre et notion La relèvement de (c) démontre donc résultat du signe près, au cohomologie ordinaire) 2) furent diagramme transgression cohomologique, l'une particuliers cas on la et indépendamment énoncés trouve spectrale. partielle, section cette définies bien étude du une suite la section d'une l'existence en 5, des (pas de procédé un 150 (1954)]. appli¬ encore publiée). L'auteur à qui sation il doit tient à l'idée enrichissante. remercier de ce ici travail, le professeur ainsi que B. mainte Eckmann, conver¬