Obstruction et transgression cofiomologique - ETH E

Thèse
no
3841
Obstruction
et
transgression
cofiomologique
dans
les
espaces
fibres
THESE
présentée
à
l'École
polytechnique
fédérale,
Zurich
pour
l'obtention
du
grade
de
Docteur
es
sciences
mathématiques
par
FRANÇOIS
SIGRIST
math.
dipl.
EPF
né le
2
février
1940
de Rafz
(Canton
de
Zurich)
acceptée
sur
proposition
du
rapporteur:
professeur
B.
Eckmann
du
corapporteur:
professeur
K.
Voss
Juris
Druck
+
Verlag
Zurich
1967

1
INTRODUCTION.
Ce
travail
est
consacré
a
l'étude
de la
relation
qui
existe
entre
l'obstruction
à
une
section
d'un
espace
fibre
d'une
part,
et
la
transgression
d'un
élément
transgressif
de la
fibre d'autre
part.
Dans
ce
travail,
les deux
définitions
habituelles
des
espaces
fibres
interviennent.
La
première
est
la
notion
de
fibration
localement
triviale
("fiber
bundle").
Une
application
p
:
E
-*
X
est
appelée
fibration
localement
triviale,
de
fibre
F
si
l'on
peut
recouvrir
X
par
une
famille
d'ouverts
{uif
telle
que p
(U.)
soit
homéomorphe
a
U. xF
,
avec
les
conditions
de
compatibilité
usuelles;
le
groupe
structural
est
alors
le
groupe
des
homéomorphismes
de
la
fibre
[9].
Rappelons
le
problème
de
l'existence
d'une
section:
c'est
une
application
s
:
X
-*
E
,
telle
que ps
=
identité.
Lorsque
la
base
X
est
un
polyèdre,
on
cherche
a
construire la
section
(k)
au-dessus
des
squelettes
X
de
dimension croissante
k de
la
base.
Connaissant
une
section
partielle
s
:
X
-*
E
,
le
prolongement
de
s
à
une
application
s
:
X
-*
E
rencontre
une
obstruction
que
l'on
peut
caractériser
par
une
grandeur
algébrique précise:
c'est
une
n-cochaîne
de
X
à
valeurs
dans
le
système
de
coefficients
locaux
formé
par
les
groupes
7t
(F)
Pour
que
{k _.(F)j
soit
bien
un
système
local,
il faut
exiger
que
la fibre soit
(n-1)-simple,
c'est-a-dire
que
7t
(F)
opère
trivialement
sur
it
(F) .
La
construction
de
la
cochaîne
d'obstruction
eu
(s)
«
C
(x;{t(
_.
(F)
})
s'effectue ainsi:
on
considère
un
simplexe
a
de
X
,
suffisamment
petit
pour
que p
(a
)
soit
homéomorphe
à
a
xF
;
on
projette
alors,
à
l'aide
de
la
décomposition
en
produit
,
la
section,
restreinte
au
bord de
a
,
sur
la
fibre;
la classe
d'homotopie
de
l'image
sphérique
obtenue
fournit
un
élément
de
k
(F).
Par
ou
(s)
on
note
la
cochaîne
qui
à
chaque
a
associe
cet
élément.
Comme
on
sait,
il
existe
une
autre
définition
des
espaces
fibres,
adaptée
à
des
questions
d'homotopie.
Une
application
p
:
E
-»
X
est
une
fibration
avec
"relèvement
des
homotopies"
si
tout
diagramme
commutatif

peut
être
complété
en
un
diagramme
commutatif
Dans
la
plupart
des
cas,
une
fibration
localement triviale
possède
la
propriété
de
relèvement
des
homotopies
[9],
mais
en
général,
une
fibration
avec
relèvement
des
homotopies
n'est
pas
localement
triviale.
Cependant,
un
grand
nombre
de
propriétés
des
fibrations
localement
triviales
est
conservé.
Le
chapitre
I
est
consacré
à
quelques-unes
d'entre
elles;
en
particulier,
la
notion
classique
de
système
de
coefficients
locaux
s'adapte
particulièrement
bien
aux
fibrations
définies
homotopiquement.
Si
on
appelle
fibres
les
images
inverses des
points
de la
base
(elles
sont
homo¬
topiquement
équivalentes),
on
peut
en
effet
démontrer
que
le
système
des
groupes
Jt
_.
des fibres
est
encore
un
système
local
sur
la
base,
a
condition
que
les
fibres
soient
(n-1)-simples.
Ce
résultat,
mentionné
ci-dessus
pour
le
cas
localement
trivial,
est
ici
démontré
dans
le
cas
général.
Il
est
alors
possible
de
donner
la
généralisation
de
la
définition
classique
de
l'obstruction.
Il
s'agit
d'une
définition
complètement
homotopique,
et
suffisamment
explicite
pour
que
la
notion
classique
en
demeure
un
cas
particulier.
Le
procédé
se
résume
comme
suit: soit
p
:
E
-»
B
une
fibration,
de
fibre
(n-1)-simple,
et
X
un
polyèdre.
A
tout
diagramme
commutatif
d'applications
continues
.(n-1)
->
E
.(n)
-*
B

3
on
peut
associer
une
n-cochaîne
de
X
à
valeurs
dans le
système
local
|n
_1(F)|
induit
sur
X
par
l'application
g
;
cette
construction
ne
met
en
jeu
que
la
triangulation
de
X
et
le
relèvement
des
homotopies.
Le
cas
particulier
ou
B
=
X
,
g
=
inclusion
X
-+
X
,
s
=
section
partielle
X
-»
E:
X(n"1}
S-
*E
D
P
x<n>
2
yX
fournit
une
cochaîne
io(s)
C
(X;{tc
.(F)
M
que
nous
appelons
obstruction
de la section
s
.
Si l'on
suppose
la fibration
localement
triviale,
un
calcul
explicite
montre
que
co(s)
est,
en
effet,
l'obstruction
au
sens
classique.
La
généralisation
ainsi
obtenue
conserve
la
propriété
fondamentale:
la
section
est
extensible
si
et
seulement
si
l'obstruction
est
nulle.
Cette
définition
homotopique,
en
plus
de la
généralité,
présente
un
autre
avantage:
il
est
possible
de
lui
appliquer
directement
le
formalisme
algébrique
des
groupes
d'homotopie généralisés
d'ECKMANN-HILTON, auxquels
le
chapitre
III
est
consacré.
Nous
considérons
dans
la
suite
une
théorie
de
cohomologie
extraordinaire
h
;
nous
la
supposons
donnée
homotopiquement,
ce
qui
n'est
pas
une
restriction essentielle
[4].
On
peut
lui
appliquer
le
formalisme
homotopique
et
celui
des
suites
spectrales.
Rappelons
le
résultat
fondamental:
pour
un
polyèdre
X
,
de
dimension
finie,
il existe
une
suite
spectrale
permettant
de
"calculer
approximativement"
les
groupes
de
cohomologie
extra¬
ordinaire
h
(X).
Cette
suite
spectrale
se
présente
ainsi:
E^'n
=
Cn(x;
hm-n(So))
E?'"
=
H^X;
hm-n(S0))
E'11
=
Ghm(X).
œ
«n

4
C
est
le
groupe
des
cochaînes
simpliciales
de
X
,
à
coefficients
dans le
groupe
de
cohomologie
extraordinaire
de
la
sphère
S
.
h"
est
le
groupe
de
cohomologie
simpliciale
de
X.
Le
groupe
h
(X)
possède
une
filtration
due
à
la
décomposition
squelettique
de
X.
G
est
le
groupe
gradué
associé
à
cette
filtration.
Algébriquement,
ce
résultat
s'interprète
ainsi:
à
l'aide
de
la
cohomologie
simpliciale
H*(X),
il
est
possible
de
donner
une
approximation
de
h*(X);
la
suite
spectrale
mène
de
H
(X)
à
h
(X)
convenablement
filtré
et
gradué.
Dans
ce
travail,
l'interprétation
homotopique
domine;
le
point
crucial
est
une
description
homotopique
détaillée
de
la
convergence
de
la
suite
spectrale.
E
'
intervient
comme
groupe
des classes
d'homotopie
de
paires
d'applications
rendant
commutatif
le
diagramme
(a)
,(n-l)_
jn
M)
-»EB_
-*
B_
Ce
groupe
est,
en
effet,
isomorphe
à
C
(X;
h
(SQ)),
et
l'isomorphisme
est
fourni directement
par
le
procédé
décrit
au
chapitre
I.
L'examen
de
la
convergence
montre
de
plus
que
les
éléments
de
E
'
annulés
par
toutes
les
différentielles
(aboutissant
donc
a
E
'
)
sont
explicitement
donnés
par
les
diagrammes
de
type
(a)
décomposables
en
(b)
.(n-1)
_L_>
xCn-l)
-»
EB
m
,(n)
'n+1
-*
X
-»
B