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(c) JP Marca pour CNAM INTEC
UV205
MATHEMATIQUES #2
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UV205
MATHEMATIQUES
PARAGRAPHE No 1
ETUDE ELEMENTAIRE DES
PROBABILITES
Objectifs
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• Les Probabilités et statistiques fournissent, au
sein de l'appareillage mathématique, les outils de
traitement des données obtenus lors d'activités
répétitives comme celles rencontrées dans les
jeux de hasard, mais aussi dans
· le marketing,
· l'assurance,
· l'agriculture,
· la chimie,
· la recherche médicale,
· les processus industriels et logistiques .
Quizz
•
•
•
•
•
•
•
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Probabilité ?
Probabilité théorique ?
Probabilité empirique ?
Impossibilité?
Certitude ?
Erreur aléatoire ?
Espérance Mathématique ?
Calcul des probabilités
• C'est l'intégration du hasard, traduit
mathématiquement en variable
aléatoire, qui a permis de projeter
dans l'avenir les résultats de la
statistique descriptive et de faire de
la statistique une discipline
dynamique, aux domaines
d'application illimités.
• Il ne s'agit plus seulement de décrire,
mais d'interpréter et de prévoir.
• Le calcul des probabilités, sous
l'impulsion de grands mathématiciens
tels que Pascal, Fermat, Bernouilli,
Huygens, Euler, Laplace et Gauss, va
permettre à la statistique de devenir
une véritable science.
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Calcul des probabilités
• Il connaît un fort
développement au XIXème
siècle pour être appliqué aussi
bien dans les sciences
physiques que dans les
sciences sociales.
• Au XXème siècle, la Recherche
Opérationnelle fait beaucoup
appel à la Théorie des Jeux.
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EPREUVE, EVENTUALITE ET EVENEMENT
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• Considérons une épreuve probabiliste, par exemple le
tirage d'une carte au hasard dans un jeu de cartes, le
jet d'un dé ou le tirage d'une boule dans une urne.
• On désigne par éventualité chaque possibilité
élémentaire et par évènement un ensemble
d'éventualités. L'univers des possibles est l'ensemble
des éventualités
• Une épreuve comporte n éventualités possibles
également probables et s'excluant mutuellement.
EPREUVE, EVENTUALITE ET EVENEMENT
• Dans l'épreuve du jeu de dé,
n'importe laquelle des 6
éventualités (chaque éventualité
correspond à une face) a la même
chance de survenir après
lancement.
• Dans l'épreuve du jeu de cartes,
n'importe laquelle des 52
éventualités (chaque éventualité
correspond à une carte d'un jeu de
52) a la même chance de survenir
après tirage si l'on remet la carte
tirée dans le jeu.
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PROBABILITE
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• Décider de participer à un tournoi de bridge c'est
espérer la victoire.
• Il est possible de vaincre à coup sûr si l'on reçoit les 13
cartes à pique. Cette distribution tient-elle du rêve ?
• Par définition, on ne sait si un évènement aléatoire va
se produire ou non.
• Tout ce que l'on peut faire, c'est mesurer la probabilité
d'apparition de cet évènement.
• Il existe deux définitions de la probabilité : l'une
théorique, l'autre empirique.
PROBABILITE
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• Dans le cas où l'univers des possibles est formé
d'éventualités en nombre fini qui ont toutes autant de
chances de se produire (équiprobabilité), la
probabilité théorique est définie comme :
nombre
favorables
nombre
de de
cascas
favorables
--------------------------------nombre
de cas
possibles.
nombre
totaltotal
de cas
possibles.
• Ainsi la probabilité qu'une pièce tombe sur son côté
pile est de 1/2 (on négligera la probabilité qu'elle
tombe sur la tranche).
• La probabilité de tirer un six avec un dé est de 1/6.
PROBABILITE
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• Dans de nombreux cas, il est impossible de déterminer
cette probabilité théorique.
• On a alors recours à l'expérimentation et on définit la
probabilité empirique comme le rapport du nombre
constaté d'occurences de l'évènement sur le nombre
d'essais effectués.
• Plus le nombre d'essais est important, plus la
probabilité empirique se rapproche de la probabilité
théorique.
• Simulation
PROBABILITE
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• Définissons un évènement A, par exemple le tirage
d'un 8 de coeur, l'obtention d'une face affichant un
nombre pair ou le tirage d'une boule blanche dans
l'urne.
• Si parmi les n éventualités de notre épreuve, k sont
favorable à l'événement A, la probabilité de celui-ci
est égale à k/n :
k
Nombre d'éventualités équiprobables favorables
P {A} = -- = -----------------------------------------------------n
Nombre d'éventualités équiprobables possibles
• Les éventualités sont encore appelées évènements
élémentaires. L'ensemble de toutes les éventualités
possibles constitue l'ensemble des évènements ou
ensemble fondamental E.
PROBABILITE
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Exemple 1. On tire une carte dans un jeu de 52
cartes. Quelle est la probabilité de tirer un huit de
coeur ? Quelle est la probabilité de tirer un coeur ?
Quelle est la probabilité de tirer un 8 ?
PROBABILITE
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Exemple 1. On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle
est la probabilité de tirer un huit de coeur ? Quelle est la
probabilité de tirer un coeur ? Quelle est la probabilité de
tirer un 8 ?
1
P {8 de coeur} = --- = 0,02
52
PROBABILITE
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Exemple 1. On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle
est la probabilité de tirer un huit de coeur ? Quelle est la
probabilité de tirer un coeur ? Quelle est la probabilité de
tirer un 8 ?
1
P {8 de coeur} = --- = 0,02
52
13
P {coeur}
= --- = 0,25
52
PROBABILITE
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Exemple 1. On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle
est la probabilité de tirer un huit de coeur ? Quelle est la
probabilité de tirer un coeur ? Quelle est la probabilité de
tirer un 8 ?
1
P {8 de coeur} = --- = 0,02
52
13
P {coeur}
= --- = 0,25
52
4
P {huit}
= --- = 0,077
52
PROBABILITE
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Exemple 2. On jette un dé. Quelle est la probabilité
de tirer un six ? Quelle est la probabilité de tirer
nombre pair?
PROBABILITE
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Exemple 2. On jette un dé. Quelle est la probabilité de tirer
un six ? Quelle est la probabilité de tirer nombre pair?
1
P {six} = --- = 0,16
6
PROBABILITE
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Exemple 2. On jette un dé. Quelle est la probabilité de tirer
un six ? Quelle est la probabilité de tirer nombre pair?
1
P {six} = --- = 0,16
6
3
P {pair} = --- = 0,50
6
PROBABILITE
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Exemple 3. On tire une boule dans une urne qui
contient 10 boules blanches, 20 boules noires et
30 boules rouges. Quelle est la probabilité
d'obtenir une boule blanche.?
PROBABILITE
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Exemple 3. On tire une boule dans une urne qui contient 10
boules blanches, 20 boules noires et 30 boules rouges.
Quelle est la probabilité d'obtenir une boule blanche.?
10
P {boule blanche} = --- = 0,16
60
IMPOSSIBILITE, CERTITUDE ET EVENEMENT
ALEATOIRE
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Un évènement impossible (impossibilité) est un
évènement pour lequel aucune des éventualités
pouvant résulter de l'épreuve probabiliste n'est
favorable. L'ensemble des éventualités favorables à
cet évènement est vide. La probabilité d'un
évènement impossible est donc nulle.
P {φ} = 0
Un évènement certain (certitude) est un
évènement pour lequel toutes les éventualités
pouvant résulter de l'épreuve probabiliste sont
favorables. L'ensemble des éventualités favorables à
cet évènement est l'ensemble fondamental E lui
même. La probabilité d'un évènement certain est
donc égale à 1.
P {E} = 1
IMPOSSIBILITE, CERTITUDE ET EVENEMENT
ALEATOIRE
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Entre ces deux extrêmes, évènement impossible et
évènement certain, il y a toute la gamme des
évènements possibles. Une probabilité est donc
toujours comprise entre 0 et 1.
Un évènement aléatoire a une probabilité
comprise entre 0 et 1.
0 =< P <= 1
La somme des probabilités de tous les évènements
Ai possibles et mutuellement incompatibles est
égale à 1 :
P {ΣiAi} = 1
IMPOSSIBILITE, CERTITUDE ET EVENEMENT
ALEATOIRE
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Dans l'exemple de l'urne, les probabilités réciproques de tirer
une boule blanche, une boule noire et une boule rouge ;
10
P {boule blanche} = --60
P {boule noire}
20
= --60
P {boule rouge}
30
= --60
La somme de ces probabilités :
10
--60
20
30
60
+ --- + --- = --- = 1
60
60
60
ESPERANCE MATHEMATIQUE
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On appelle Espérance mathématique la moyenne
arithmétique des valeurs possibles pondérées par leur
probabilité :
E(X) = Σi (pi . xi)
L'exemple de la loterie permet d'appréhender la signification
de cette espérance mathématique.
Dans une loterie, le gain moyen est celui obtenu au cours d'un
nombre précis et limité de parties.
L'espérance mathématique correspond au gain moyen sur un
nombre théoriquement infini.
Cette espérance est donc inaccessible au joueur mais est un
point de repère essentiel pour l'organisateur car elle indique la
tendance de gain moyen par partie et lui permet de fixer le
prix du billet assurant le bénéfice recherché.
ESPERANCE MATHEMATIQUE
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Illustrons le concept avec un exemple simple :
Une tombola prépare 200 billets et assigne un lot de
1000 € au billet gagnant.
La probabilité est de 1/200.
Le montant du gain est de 1000 €.
L'espérance mathématique est de 5 €.
Le prix du billet doit donc être supérieur à 5 € si
l'utilisateur espère une marge.
Rappelons aussi le pari de Pascal : même si vous
considérez que la probabilité que Dieu existe est
faible, la valeur du gain (la vie éternelle !) est telle
que l'espérance mathématique est forte.
EVENEMENT COMPLEMENTAIRE
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L'évènement Ä complémentaire de l'évènement A
est formé par toutes les éventualités possibles et
incompatibles qui ne font pas partie de A.
C'est le complément de A par rapport à l'ensemble
des évènements E.
Par définition : P {A} + P {Ã} = 1, d'où :
P {A} = 1 - P { Ä}
EVENEMENT COMPLEMENTAIRE
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Dans l'exemple de l'urne, on se propose de calculer
l'évènement : tirer une boule noire OU une boule
rouge.
La réponse est évidente dès lors qu'on considère la
probabilité de l'évènement complémentaire : tirer
une boule blanche.
P {Noire OU Rouge} = 1 -
10
5
P {Blanche} = 1 - --- = --60
6
Il faut donc souvent penser à rechercher la
probabilité de l'évènement complémentaire.
EVENEMENT COMPLEMENTAIRE
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On tire 13 cartes dans un jeu de 52 cartes.
Quelle est la probabilité d'obtenir tous les piques ?
Répondre à cette question implique de calculer le
nombre d'éventualités équiprobables possibles que
comporte le tirage de 13 cartes parmi 52.
Ceci conduit à l'étude des problèmes de
dénombrement, c'est à dire à l'analyse
combinatoire.
Celle-ci fait l'objet du paragraphe suivant.
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MATHEMATIQUES
PARAGRAPHE No 2
ANALYSE COMBINATOIRE
Objectifs
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• Comprendre
l'importance
de
l'analyse
combinatoire pour opérer le dénombrement des
cas favorables et des cas possibles dans la
détermination d'une probabilité
Quizz
•
•
•
•
•
•
•
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Dénombrement ?
Analyse combinatoire ?
Permutation ?
Arrangement ?
Combinaison ?
Application de l’analyse
combinatoire au calcul des
probabilités ?
Avec ou sans remise ?
DISPOSITIONS ORDONNEES ET NON ORDONNEES
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• L'analyse combinatoire a pour objet le dénombrement
des différentes dispositions que l'on peut former à
partir d'un ensemble d'éléments.
• Nous symboliserons les éléments par des lettres.
• Nous distinguerons deux types de dispositions : les
dispositions ordonnées et non ordonnées.
• Considérons une escadrille de trois avions, F-AAAA, FBBBB et F-CCCC
DISPOSITIONS ORDONNEES ET NON ORDONNEES
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• Dans les dispositions ordonnées, deux dispositions
contenant les mêmes éléments sont considérées
comme différentes si ceux-ci n'occupent pas les
mêmes places.
• Si constitue une patrouille avec deux avions, je
différencierai la configuration où F-AAAA est le leader
et F-BBBB l'ailier de celle ou F-BBBB est le leader et
F-AAAA l'ailier.
• Dans les dispositions non ordonnées, deux
dispositions composées des mêmes éléments sont
considérées comme identiques quelque soient les
places occupées par ceux-ci.
• Les deux patrouilles constituées sont considérées
comme identiques.
LES PERMUTATIONS
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• Une permutation de n éléments est une disposition
ordonnée de ces éléments, chacun de ceux-ci figurant
une fois et une seule dans chaque permutation.
• Dans notre escadrille de trois avions, nous avons 6
permutations :
1
2
3
4
5
6
F-AAAA
F-AAAA
F-BBBB
F-BBBB
F-CCCC
F-CCCC
F-BBBB
F-CCCC
F-AAAA
F-CCCC
F-AAAA
F-BBBB
F-CCCC
F-BBBB
F-CCCC
F-AAAA
F-BBBB
F-AAAA
• On note Pn le nombre de permutations que l'on peut
effectuer avec n éléments
• Pn = 1 * 2 * 3 * ... * n = n! .
LES PERMUTATIONS
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• Avec 3 avions : 3! = 3 * 2 = 6
• Dans le tableur Microsoft Excel, la fonction Factorielle
s'écrit =FACT(x)
• Modèle Simul2.xls
LES PERMUTATIONS
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• L'Union Européenne comprend désormais 25 pays
membres qui, à tour de rôle, président le Conseil
pendant 6 mois. Combien y-a-t-il de façons
différentes d'organiser l'ordre de succession à la
Présidence du Conseil ?
LES PERMUTATIONS
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• L'Union Européenne comprend désormais 25 pays
membres qui, à tour de rôle, président le Conseil
pendant 6 mois. Combien y-a-t-il de façons
différentes d'organiser l'ordre de succession à la
Présidence du Conseil ?
• Réponse :
• 25 ! = 15 511 210 043 330 985 984 000 000
LES ARRANGEMENTS
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• Un arrangement de p éléments choisis dans un
ensemble de n éléments est une disposition ordonnée
de p de ces n éléments, chacun d'eux ne pouvant
figurer plus d'une fois dans le même arrangement.
A
p
• On note
n le nombre d'arrangements de p
éléments choisis parmi n.
p
A
=
n
n!
-----------(n - p) !
LES ARRANGEMENTS
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• Reprenons notre escadrille et voyons comment former
nos patrouilles de deux appareils en distinguant
leader et ailier :
No Arrangement
1
2
3
4
5
6
Leader
F-AAAA
F-BBBB
F-BBBB
F-CCCC
F-AAAA
F-CCCC
• Arrangement de 3 avions 2 à 2
•
2
3 !
A = --------- = 6
3 (3 - 2) !
Ailier
F-BBBB
F-AAAA
F-CCCC
F-BBBB
F-CCCC
F-AAAA
LES ARRANGEMENTS
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• Si nous avions à former des patrouilles de 3 avions,
chacun ayant une place spécifique, à partir d'une
escadrille de 7 appareils :
LES ARRANGEMENTS
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• Si nous avions à former des patrouilles de 3 avions,
chacun ayant une place spécifique, à partir d'une
escadrille de 7 appareils :
•
3
7 !
A = --------- = 210
7 (7 - 3) !
• Dans le tableur Microsoft Excel, la fonction
Arrangement s'appelle PERMUTATION -ce qui n'est
pas très heureux, même si un arrangement de n
éléments choisi dans un ensemble de n éléments est
une permutation- et s'écrit =PERMUTATION(n;p).
• Modèle Simul3.xls
LES ARRANGEMENTS
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• 50 candidats se présentent à un concours comportant
5 places. La liste des reçus est triée selon le nombre
de points obtenus. Combien y a t il de listes
possibles?
LES ARRANGEMENTS
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• 50 candidats se présentent à un concours comportant
5 places. La liste des reçus est triée selon le nombre
de points obtenus. Combien y a t il de listes
possibles?
•
5
A
50
50 !
= ------ = 254 251 200
45 !
LES COMBINAISONS
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• Une combinaison de p éléments choisis dans un
ensemble de n éléments est une disposition non
ordonnée de ces p éléments où chacun figure au plus
une fois.
• La combinaison est une opération analogue à
l'arrangement, mais dans laquelle on ne tient pas
compte de l'ordre des éléments. Que l'avion F-AAAA
occupe la place de leader ou d'ailier n'importe pas.
C
p
• On note
n le nombre de combinaisons de p
éléments choisis parmi n.
p
C
=
n
n!
-----------p! (n - p) !
LES COMBINAISONS
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• Reprenons notre escadrille et voyons comment former
des patrouilles de deux appareils sans attribuer un
rôle particulier aux pilotes :
No Combinaison
1
1 (la même)
2
2 (la même)
3
3 (la même)
Avion 1
F-AAAA
F-BBBB
F-AAAA
F-CCCC
F-BBBB
F-CCCC
Avion 2
F-BBBB
F-AAAA
F-CCCC
F-AAAA
F-CCCC
F-BBBB
LES COMBINAISONS
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• Combinaisons de 3 avions 2 à 2
•
2
3 !
C = ------------- = 3
3 2 ! (3 - 2) !
• Dans le tableur Microsoft Excel, la fonction
Combinaison s'appelle COMBIN et s'écrit
=COMBIN(n;p)
• Modèle Simul4.xls
LES COMBINAISONS
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• En 1943, vous êtes chargé d'organiser un convoi de vivres
et de munitions pour le port russe de Mourmansk.
• Dans le port il y a 4 escorteurs, 7 cargos et 3 porte-avions.
• Votre convoi doit comporter un escorteur de tête, 3 cargos,
1 porte-avion et un escorteur de queue.
• Combien d'organisations possibles ?
LES COMBINAISONS
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• En 1943, vous êtes chargé d'organiser un convoi de vivres
et de munitions pour le port russe de Mourmansk. Dans le
port il y a 4 escorteurs, 7 cargos et 3 porte-avions. Votre
convoi doit comporter un escorteur de tête, 3 cargos, 1
porte-avion et un escorteur de queue. Combien
d'organisations possibles ?
• Possibilités de choix pour le premier escorteur = 4
3
• Possibilités de choix pour les 3 cargos = C7
= 35
• Possibilités de choix pour le dernier escorteur = 3 (choix
réduit par la sélection de l'escorteur de tête.
• D'où : 4 * 35 * 3 * 3 = 1260
LES COMBINAISONS
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Nous retrouvons nos 50 candidats qui se présentent à un
concours comportant 5 places. La liste des reçus est triée
cette fois selon l'ordre alphabétique. Combien y a t il de listes
possibles ?
LES COMBINAISONS
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Nous retrouvons nos 50 candidats qui se présentent à un
concours comportant 5 places. La liste des reçus est triée
cette fois selon l'ordre alphabétique. Combien y a t il de listes
possibles ?
5
C
50 !
= ---------- = 2 118 760
50
5 ! 45 !
PROPRIETES DES COMBINAISONS
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Propriété No 1 : A partir d'un arrangement de p éléments
choisis parmi n, on obtient p! combinaisons en permutant les
p éléments.
p
p!
p
C
=A
n
n!
= ------------------
n
( n - p) !
Propriété No 2 : En raison de la symétrie de la formule :
p
C
n-p
= C
n
n
PROPRIETES DES COMBINAISONS
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Propriété No 3 :
p
C
p
= C
n
p-1
+ C
n-1
n-1
La démonstration de la propriété No 3 :
Soit les n éléments a, b, ...n. Le nombre de combinaisons que l'on peut
effectuer avec ces n éléments est égal à la somme du nombre des
combinaisons contenant l'élément a et du nombre de combinaisons ne le
contenant pas.
On peut former toutes les combinaisons contenant a en ajoutant à celui-ci
(p-1) éléments choisis parmi les (n-1) éléments différents de a. Le nombre
de combinaisons contenant a est donc :
p-1
C
n-1
PROPRIETES DES COMBINAISONS
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Le nombre de combinaisons ne contenant pas a sont obtenues en choisissant
p éléments parmi les (n-1)
p
C
n-1
Par conséquent :
p
C
p
=C
n
+
n-1
p-1
C
n-1
PROPRIETES DES COMBINAISONS
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Propriété No 4 (Développement du binôme de Newton) :
n
(p + q)
=
n
Σ
k=0
k
C
n
k
p
n-k
q
La démonstration de la propriété No 4 :
2 2
2
(p + q) = p + 2pq + q
3 3
2
2 3
(p + q) = p + 3 p q + 3 q p + q
.....................................
n
n
1 n-1
k k n-k
n
(p + q) = p + C p q + ... + C p q + ... + q
n
n
En effet, dans cette expression, on obtient un terme en pk qn-k en choisissant
p dans k des n facteurs (p+q) composant (p + q)n, k étant pris dans les (n k) facteurs restants. On pourra donc former autant de termes pk qn-k qu'il y a
de façons de choisir k facteurs dans l'ensemble des n facteurs. L'ordre des
facteurs n'intervenant pas, on obtient Cnk termes pk qn-k.
PROPRIETES DES COMBINAISONS
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Remarque : En faisant dans la formule du binôme de Newton:
p =q=1
on obtient le résultat remarquable suivant :
0
C
1
+ C
n
n
+ ... + C
n
n
=
2
n
La somme des coefficients du développement du binôme de
Newton est égale à 2n.
DISPOSITIONS SANS REPETITION ET AVEC REPETITION
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Introduisons une nouvelle distinction entre dispositions, selon que les
éléments qui les constituent peuvent y figurer une seule ou plusieurs fois.
Dispositions sans répétition : un même élément ne peut figurer qu'une seule
fois dans une disposition. Les dispositions sans répétition correspondent au
schéma de tirages sans remise, dit encore tirages exhaustifs, dans une urne
(ou dans un jeu de cartes).
Dispositions avec répétition : un même élément peut figurer plusieurs fois
dans une dispositions. Les dispositions avec répétition correspondent au
schéma de tirages avec remise, dits encore tirages indépendants, dans une
urne (ou dans un jeu de cartes).
Exemple
En disposant deux à deux les éléments de l'ensemble {a,b}, on peut faire
deux dispositions ordonnées sans répétition :
(a,b)
(b,a)
et quatre dispositions ordonnées avec répétition :
(a,a) (a,b) (b,a) (b,b)
LES ARRANGEMENTS AVEC REPETITION
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Un arrangement avec répétition de p éléments choisis dans un ensemble de
n éléments est une disposition ordonnée des éléments choisis, chacun
pouvant figurer plusieurs fois (jusqu'à p fois) dans le même arrangement.
Exemple / Soit un ensemble de 4 éléments { a,b,c,d}. Arrangeons les 2 à 2
avec répétition. On obtient :
ab ba
ac ca
ad da
bc cb
bd db
cd dc
aa bb
cc dd
soit 16 arrangements avec répétition.
On note Anp le nombre d'arrangements avec répétition de p éléments choisis
parmi n. On a :
p p
A=n
n
APPLICATION DE L'ANALYSE COMBINATOIRE
AU CALCUL DES PROBABILITES
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Rappelons la question posée à la fin du chapitre précédent.
On a 13 cartes dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la
probabilité d'obtenir tous les coeurs ?
Puisque l'ordre dans lequel les cartes ont été tirées n'a pas
d'importance, il s'agit de combinaisons. Un jeu de 52 cartes
permet C5213 combinaisons de 13 cartes. Toutes sont
équiprobables si la distribution a été faite au hasard. Une
seule est favorable.
La probabilité :
1
1
P {tous les coeurs} = --- = + ----------------C5213
635 013 559 600
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Sachant qu'un joueur joue 5000 parties de poker par an,
combien de temps doit il jouer pour récupérer un carré d'as à
la première donne ?
Exercice
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Sachant qu'un joueur joue 5000 parties de poker par an,
combien de temps doit il jouer pour récupérer un carré d'as à
la première donne ?
Le nombre de mains possibles de 5 cartes avec un jeu de 52
est :
C525 = 2 598 960
Sur ce nombre, seules 48 ont les 4 as (Chaque combinaison
de 4 as incorpore l'une des 48 autres cartes restantes).
La probabilité d'avoir 4 as lors d'une partie est donc :
48/2 598 960 = 0,00001847
Avec 5000 parties, la probabilité est de : 0,09234463
Il faut jouer près de 11 ans (10,8) pour que cette probabilité
atteigne 1.
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Une boîte de 20 pièces de rechange contient 18 bonnes et 2
défectueuses. On prélève au hasard 6 pièces dans la boîte.
Quelle est la probabilité que 5 de ces pièces exactement
soient bonnes ?
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Une boîte de 20 pièces de rechange contient 18 bonnes et 2
défectueuses. On prélève au hasard 6 pièces dans la boîte. Quelle
est la probabilité que 5 de ces pièces exactement soient bonnes ?
L'ordre du choix des 6 pièces n'a pas d'importance et le nombre
total de façons de choisir ces pièces est le nombre de manières de
choisir 6 éléments dans un ensemble de 20, à savoir, C206.
Le nombre de choix qui contiennent exactement 5 bonnes pièces et
une mauvaise est égal au nombre de manières de choisir 5 pièces à
partir de 18 objets, à savoir C185, multiplié par le nombre de façons
de choisir 1 objet à partir de 2, à savoir C21.
La probabilité que l'évènement survienne est égale à :
C185 . C21
-------------C206
Cette probabilité vaut 0,44.
Problème #2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
8 personnes autour d'une table ronde
Combien de dispositions possibles sachant que 2 personnes
ne peuvent rester ensemble ?
Problème #2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
8 personnes autour d'une table
Combien de dispositions possibles sachant que 2 personnes
ne peuvent rester ensemble ?
Nombre de cas possibles en tenant compte de la position =
Nombre d'arrangements = n!
Mais la table est ronde : il y a n possibilités de construire
chaque arrangement. Le nombre de cas possibles :
(n!)/n = (n-1)!
Les incompatibilités : il y a (n-2)! possibilités de placer les
autres convives. Pour chacune de ces possibilités il y a 2
mauvais placements, la combinaison Autres, A, B et la
combinaison Autres, B, A (Du fait de la rotondité de la
table, A, B, Autres et B,A, Autres sont équivalents aux
premiers).
Le nombre de cas acceptables est donc (n-1)! - 2*(n-2)!
Pour n=8 => 3 600
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
UV205
MATHEMATIQUES
Paragraphe No 3
ALGEBRE DES ENSEMBLES
Objectifs
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Comprendre les atouts de l'algèbre des
ensembles pour résoudre certains problèmes de
probabilités
Quizz
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Ensemble ?
Appartenance ?
Diagramme de Venn ?
Inclusion ?
Réunion ?
Intersection ?
Partition ?
Dualité et complémentarité ?
Différence ?
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Un ensemble est une collection d'objets ou
d'évènements, appelés éléments ayant comme
caractère commun d'appartenir à l'ensemble.
• Le nombre n d'éléments d'un ensemble E est appelé
son cardinal. On note :
• |E| = n
• Appartenance
• Si e est un élément de l'ensemble E, on écrit
•
e∈E
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Le diagramme de Venn
• Comme Euler dans ses "Lettres à une Princesse
d'Allemagne", écrites en 1760, on peut représenter un
ensemble E par une surface "patatoïde" délimitée par
un trait.
• Cette surface est inscrite dans un rectangle R qui
représente le référentiel que nous nommerons
ensemble fondamental.
• On remarquera que les éléments n'interviennent pas
dans ce type de représentation. Certains la font
remonter à G.W. Leibniz (1646-1716)
• La première utilisation de tels diagrammes en logique.
Les Américains leur donnent aujourd'hui le nom de
diagrammes de Venn bien que John Venn n'ait publié
sa "Symbolic logic" qu'en 1894.
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Le diagramme de Venn
Stat01.swf
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La relation d'inclusion
• Un ensemble A est inclus dans un ensemble E si
chaque élément de A appartient aussi à E.
• e ∈ A => e ∈ E
• On écrit alors que A ⊂ E
ou
E ⊃ A
• On dit que A est une partie ou un sous-ensemble de
E.
Stat02.swf
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Partie vide
• L'ensemble vide est l'ensemble qui ne comporte pas
d'éléments. On le désigne par le symbole ∅.
• Soit A une partie de E. Le complémentaire de A par
rapport à E, noté Ã est constitué de tous les éléments
de E qui n'appartiennent pas à A.
• e ∈ Ã
⇔
e ∉ A
• Le symbole ⇔ signifie "équivalent à"
Stat03.swf
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Ensemble des parties d'un ensemble
• Soit l'ensemble E = {a, b, c, d}
• Formons toutes les parties possibles de E :
∅
{a} ,{b} ,{c} ,{d}
{ab} ,{ac} ,{ad} ,{bc}, {bd} ,{cd}
{abc} ,{abd} ,{acd} ,{bcd}
{abcd}
Elles forment un nouvel ensemble appelé ensemble
des parties de E et noté P (E).
• Rappelons que l'ensemble E lui-même et l'ensemble
vide ∅ appartiennent à l'ensemble des parties de E :
• E ∈ P(E)
∅ ∈ P(E)
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• En formant les parties de E, nous avons constaté que
celle-ci étaient constituées par les combinaisons que
l'on peut constituer avec les éléments appartenant à
l'ensemble. Un ensemble à n éléments a donc :
•
0
1
n
C + C + ... + C =
n
n
n
2
n
parties
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Si deux ensembles sont disjoints
A ∩ B= ∅
Stat04.swf
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On appelle réunion de A et B, l'ensemble R formé
des éléments appartenant à A ou à B (éventuellement
aux deux).
• On note :
R=A ∪ B
Stat05.swf
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On appelle intersection de A et de B, l'ensemble I
formé des éléments appartenant à la fois à A et B.
• On note :
I=A∩ B
• Si A et B sont disjoints, leur intersection est
l'ensemble vide
Stat06.swf
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Les opérations de réunion et d'intersection possèdent
les propriétés de commutativité, d'associativité et
de distributivité. Ces dernières sont
particulièrement utiles.
• Distributivité de la réunion par rapport à l'intersection
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Distributivité de l'intersection par rapport à la réunion
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Partition d'un ensemble
• On appelle partition d'un ensemble E un ensemble de
parties {A1, A2, A3, ... An} non vides, disjointes deux
à deux et dont la réunion est égale à l'ensemble E:
• Ai = ∅ pour toutes les valeurs de i
• Ai ∩ Aj = ∅ avec i ≠ j
• Les parties Ai sont appelées les classes de la partition.
• Si les éléments de l'ensemble sont des éventualités,
une partition revient à décomposer l'ensemble
fondamental, tel que nous l'avons défini dans le
chapitre 1, en évènements mutuellement
incompatibles. Ceux-ci forment alors ce qu'on appelle
un système complet d'évènements.
• Le système complet d'évènements d'un lancement de
2 pièces est {Pile-Pile, Pile-Face, Face-Pile, FaceFace}
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Dualité et complémentation
• Les propriétés algébriques de l'union et de
l'intersection vont par deux. Par exemple, la propriété :
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• a son expression duale, qui s'en déduit en échangeant
les symboles ∪ et ∩ :
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• Cette dualité résulte de ce que, à chaque partie A de E,
on peut associer sa complémentarité Ã
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Différence
• La différence A - B de deux parties A et B est
constituée par les éléments de A qui ne sont pas
éléments de B :
__
• A-B=A∩B
LE LANGAGE DE L'ALGEBRE DES ENSEMBLES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Les lois de Morgan fournissent les règles de calcul
relatives à l'opération de complémentation :
Loi 1 : La complémentaire d'une réunion est l'intersection
des complémentaires
______
__ __
(A ∪ B) = A ∩ B
Stat07.swf
Loi 2 : La complémentaire d'une intersection est la
réunion des complémentaires
______
__ __
(A ∩ B) = A ∪ B
Ces lois se démontrent aisément avec les diagrammes de
Venn
Problème #1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Sur 150 personnes :
• 65 regardent la télévision
• 60 écoutent la radio
• 50 lisent un journal
• 35 regardent la télévision et écoutent la radio
• 25 regardent la télévision et lisent un journal
• 30 lisent un journal et écoutent la radio
• 10 regardent la télévision, écoutent la radio et lisent un
journal
Combien de personnes ne regardent que la télévision ?
Combien de personnes n'ont pas d'activité ?
Problème #1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
TV
TV + R
TV+J
TV+J+R
Radio ®
J+R
Journal (J)
Problème #1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
TV seul
Radio seul
Journal seul
TV + Radio sans J
TV + Journal sans Radio
Journal + Radio sans TV
Les 3
Total
Solde
15
5
5
25
15
20
10
95
150
55
TV
Radio
Journal
65
60
50
TV=65-25-10-15=15
TV + R
=35-10=25
TV+J
=25-10=15
TV+J+R
=10
Radio (R)
=60-25-10-20
=5
Journal (J)=50-20-10-15=5
J+R
=30-10=20
Intérêt pour votre métier de cette approche :
problématique de l'acheteur
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
BESOIN REEL
Non Qualité
Non Qualité
Chance
Qualité
Sur-spécification
SPECIFICATION
REALISATION
OU
ACHAT DE SOLUTION
Gaspillage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
UV205
MATHEMATIQUES
Paragraphe No 4
REGLES DU CALCUL
DES PROBABILITES
Objectifs
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Comprendre les probabilités composées et les
règles d'application des théorèmes de Bayes.
• S'approprier l'ensemble des principes du calcul
des probabilités grâce à des exercices de
synthèse.
Quizz
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Règles de calcul ?
Probabilités totales ?
Indépendance et incompatibilité ?
Probabilité conditionnelle ?
Probabilité A ou B ?
Probabilité A et B ?
Probabilités composées ?
Dépendance et indépendance ?
Théorème de Bayes ?
Une nouvelle approche du calcul des probabilités
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La théorie des probabilités a été redéfinie d'une manière
plus rigoureuse au plan mathématique à la lumière des
règles de l'algèbre des ensembles.
• Ceci impose un référentiel de postulats ou axiomes,
desquels on tire un certain nombre de théorèmes.
• Les régles du calcul des probabilités indiquent comment
il est possible de déterminer la probabilité d'un évènement
défini à partir des opérations logiques que nous venons
d'étudier, effectuées sur les parties de l'ensemble
fondamental.
• Ces règles sont introduites sous forme d'axiomes qui
généralisent les résultats variables dans le cas où il est
possible de définir l'ensemble fondamental comme un
ensemble d'évènements élémentaires équiprobables.
• Si on interprète les probabilités d'évènements comme des
modèles de fréquence de réalisation d'évènements lors de
multiples répétitions d'une expérience donnée, ces
probabilités auront les propriétés essentielles de ces
fréquences.
Une nouvelle approche du calcul des probabilités
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Axiome No 1 : Une probabilité est donc un nombre
compris entre 0 et 1 parce que la fréquence relative est un
nombre compris entre 0 et 1.
•
Axiome No 2 : La probabilité de l'évènement E, où E est
l'ensemble fondamental, est égale à 1 parce qu'un des
résultats possibles est certain de se produire quand
l'expérience est réalisée.
•
Axiome No 3 : Si deux évènements A et B sont disjoints,
la probabilité de la réunion de ces évènements doit être
égale à la somme des probabilités de ces deux évènements
parce que pour ces évènements la fréquence relative de
réalisation de A et B est égale à la fréquence relative de
réalisation de A plus la fréquence relative de réalisation
Une nouvelle approche du calcul des probabilités
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Autres axiomes :
Soit l'ensemble fondamental E et F la famille des évènements.
La famille F des évènements est une classe de parties de
l'ensemble fondamental
Les évènements A1, A2, An appartiennent à F
Une mesure de la probabilité P est une fonction à valeur réelle
définie sur un ensemble fondamental E telle que :
1.
0 <= P(A) <= 1
2.
P(E) = 1
3.
P(A1 ∪ A2 ∪ ... An) = P(A1)+P(A2)+...+P(An)
On pourra aussi dire que P est une application P de F dans
[0,1]
Une nouvelle approche du calcul des probabilités
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Propriétés :
P(∅) = 0
P(Ã) = 1 - P(A)
Si A ⊂ B, P(A) <= P(B)
On tire aussi de ces axiomes deux théorèmes très importants
qui vont constituer les principales règles de calcul qui
s'appliquent aux probabilités : le théorème des probabilités
totales et le théorème des probabilités composées.
Le théorème des probabilités totales
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Les applications des probabilités envisagent souvent plusieurs
évènements combinés plutôt qu'un seul évènement.
Considérons deux évènements A1 et A2 associés à une
expérience.
Il est souvent intéressant de savoir si, lorsque l'expérience se
produit, A1 et A2 se réalisent tous les deux ou si un seul des
évènements se produit.
L'algèbre des ensembles nous fournit un mode de
représentation pour ces probabilités :
La probabilité pour que les deux évènements surviennent :
P(A1 ∩ A2) - Probabilité A1 ET A2
La probabilité pour qu'un seul des évènements surviennent :
P(A1 ∪ A2) - Probabilité A1 OU A2
Le théorème des probabilités totales
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Supposons que les points de l'ensemble fondamental
correspondant aux réalisations de A1 et A2 soient des points
à l'intérieur de deux aires désignées respectivement A1 et A2.
• On peut donc représenter le diagramme de Venn, figuré sur le
schéma interactif ci-dessous.
• En passant la souris sur les équations ensemblistes
définissant chaque zone du diagramme, vous faîtes apparaître
la probabilité correspondante.
Stat10.swf
Le théorème des probabilités totales
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La probabilité que l'un de deux évènements survienne est
égale à la somme des trois probabilités mises en évidence sur
le schéma : la probabilité d'avoir A1 sans A2, le probabilité
d'avoir A2 sans A1 et la probabilité d'avoir les deux.
___
___
P(A1 ∪ A2) = P(A1 ∩ A2) + P(A1 ∩ A2) + P(A1 ∩ A2)
Nous voyons aussi sur le même diagramme que
___
P(A1) = P(A1 ∩ A2) + P(A1 ∩ A2)
___
P(A2) = P(A2 ∩ A1) + P(A1 ∩ A2)
La combinaison de ces trois expression permet, en éliminant
P(Ã1 ∩ A2) et P(A1 ∩ Ã2) de la première grâce aux deux
dernières, d'obtenir l'expression suivant pour la probabilité
recherchée :
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2)
Le théorème des probabilités totales
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
THEOREME DES PROBABILITES TOTALES
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2)
La probabilité de trouver des comptables avec des cheveux verts OU
des yeux mauves s'obtient en additionnant la probabilité d'avoir des
cheveux verts quelque soit la couleur des yeux à la probabilité d'avoir
des yeux mauves quelque soit la couleur des cheveux. A ce résultat il
faut cependant retirer la probabilité d'observer simultanément
cheveux verts et yeux mauves car cet événement est inclus à la fois
dans A et dans B, donc compté deux fois.
Le théorème des probabilités totales :
cas des évènements qui s'excluent
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Si les deux ensembles du diagramme précédent sont disjoints,
deux évènements A1 et A2 n'ont aucun point commun. On dit
qu'ils sont mutuellement exclusifs.
P(A1 ∩ A2) = 0
La formule devient alors :
FORMULE PARTICULIERE DES PROBABILITES TOTALES
Si A1 et A2 sont des évènements mutuellement exclusifs
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2)
On peut généraliser ces formules à n évènements (n > 2).
Exemples d'applications
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes : Probabilité d'avoir
un coeur ou un roi ?
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes : Probabilité d'avoir
un as ou un roi ?
Exemples d'applications
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes : Probabilité d'avoir
un coeur ou un roi ?
P(1 roi ou un coeur) = P(1 coeur) + P(1 roi) - P(roi de coeur)
(cas général)
4
1
1
1
P = -- = -- + -- - -13
4
13
52
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes : Probabilité d'avoir
un as ou un roi ?
P(1 roi ou un as) = P(1 as) + P(1 roi) (cas des évènements
qui s'excluent)
2
1
1
P = -- = -- + -13
13
13
Exemples d'applications
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On jette deux dés. Quelle est la probabilité d'obtenir soit un
total de 7, soit un total de 11 points ?
Exemples d'applications
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On jette deux dés. Quelle est la probabilité d'obtenir soit un
total de 7, soit un total de 11 points ?
A1 est la probabilité d'obtenir un total de 7.
A2 est la probabilité d'obtenir un total de 11 points.
Ces évènement sont mutuellement exclusifs.
6 arrangements permettent d'obtenir A1 : (1,6), (2,5), (3,4),
(4,3), (5,2) et (6,1)
2 arrangements permettent d'obtenir A2 : (5,6) et (6,5)
6
2
P(A1) = --
P(A2) = --
36
36
6
2
8
P(A1 ∪ A2)= -- + -- = -36
36
36
INDEPENDANCE ET INCOMPATIBILITE.
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Il est important de ne pas confondre les notions
d'indépendance et d'incompatibilité.
L'incompatibilité va de pair avec l'exclusion.
Deux évènements A et B sont exclusifs ou incompatibles si,
lorsque A se réalise, B ne peut pas se réaliser et
réciproquement (Tirer une carte qui soit à la fois un cœur et un
pique : réalisation simultanée impossible).
Nous avons vu que lorsque deux évènements sont exclusifs,
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2)
Deux évènements A et B sont indépendants si la réalisation
de A n'est pas influencée par la réalisation de B et
réciproquement.
Deux évènements indépendants sont nécessairement
compatibles mais la réciproque n'est pas toujours vraie.
Nous verrons dans le paragraphe suivant la traduction
mathématique de l'indépendance
PROBABILITES CONDITIONNELLES.
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On appelle probabilité conditionnelle d'un évènement B
dépendant d'un évènement A la probabilité de B sachant que
A est réalisé.
Cette probabilité se note Probabilité(B/A) et s'énonce
Probabilité de B si A.
P(A ∩ B)
P(B/A) = ---------P(A)
Pour décomposer une probabilité conditionnelle (probabilité de
doubler votre capital si vous spéculez en bourse) il faut mettre au
numérateur l'intersection des 2 évènements constituant la condition
(Spéculer en bourse ET doubler le capital) et au numérateur la
probabilité de l'événement de référence (spéculer en bourse).
Exemples d'applications
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.
Désignons par B l'évènement "Tirer un roi" et par A
l'évènement "tirer un roi ou un coeur".
On a :
P(A ∩ B) = P(B) = 4/52 = 1/13
P(A) = 12 (coeurs sauf roi) + 3 (rois sauf roi coeur) + 1 (roi
de coeur)/52 = 16/52 = 4/13
La probabilité d'avoir tiré un roi, sachant que l'on a tiré un roi
ou un coeur :
P(A ∩ B)
P(B/A) = --------P(A)
P(un roi)
1/13
1
P(un roi/un roi ou un coeur) = -------------------- = ----- = --P(un roi ou un coeur)
4/13
4
PROBABILITES COMPOSEES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La formule des probabilités composées résulte du concept
de probabilité conditionnelle.
P(A ∩ B) = P(B/A) * P(A)
P(A ∩ B) = P(A/B) * P(B)
Lorsqu'un événement aléatoire AB résulte de la réalisation
simultanée de deux évènements aléatoires A et B, la
probabilité de réalisation de l‘évènement AB considéré est
égale à la probabilité de réalisation de l'un des évènements
composants, multipliée par la probabilité de réalisation de
l'autre sachant que le premier s'est effectivement réalisé.
PROBABILITES COMPOSEES : ILLUSTRATION
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Une digue vient d'être construite sur une rivière. Elle est
capable de résister à des crues tant que le débit reste inférieur
à 109 m3 par seconde.
Au delà elle a une chance sur deux de rompre;
Une société souhaite aménager les terres protégées par la
digue à condition que la probabilité de rupture dans les 30
prochaines années soit inférieure à 0,01.
Les statistiques ont pu établir que l'occurrence du débit
critique dans les 30 dernières années a été de 0,014.
Décision ?
PROBABILITES COMPOSEES : ILLUSTRATION
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Une digue vient d'être construite sur une rivière. Elle est capable de
résister à des crues tant que le débit reste inférieur à 109 m3 par
seconde.
Au delà elle a une chance sur deux de rompre;
Une société souhaite aménager les terres protégées par la digue à
condition que la probabilité de rupture dans les 30 prochaines années
soit inférieure à 0,01.
Les statistiques ont pu établir que la probabilité du débit critique dans
les 30 dernières années a été de 0,014.
Décision ?
P(A) rupture digue
P(B) crue critique = 0,014
P(A/B) = 0,5 (probabilité de rupture sachant que le niveau critique
est atteint)
P(B/A) = 1 (Si la digue cède, c'est qu'il y a crue)
P(AB)= P(A) P(B/A) = P(A)
P(AB) = P(B) P(A/B) = 0,014 . 0,5
P(A) = 0,014 . 0,5 = 0,007 < 0,01 => Décision favorable
EVENEMENTS INDEPENDANTS
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Nous avions défini que deux évènements sont indépendants
si le fait que l'évènement A soit réalisé ne donne aucune
connaissance sur l'évènement B. Dans le cas inverse ils sont
dépendants .
Si deux évènements A et B sont indépendants l'un de l'autre :
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B)
P(A ∩ B) = P(A) * P (B)
Illustration
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Synthèse sur dénombrement, indépendance,
exclusion, probabilités composées et totales
• Soit un lampadaire de 3 ampoules
• Chaque ampoule a 1 chance sur 2 d'être en panne au
bout de 1000 heures
• Probabilité pour qu'au bout de 1000 heures, 2 soient
en panne
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Probabilité
Théorème des
d'avoir A OU B probabilités
totales
Si évènements P(A ou B) =
mutuellement P(A) + P(B)
exclusifs
Probabilité
Théorème des
d'avoir A ET B probabilités
composées
Si évènements P(A et B) =
indépendants P(A) * P(B)
Illustration
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On tire 3 cartes sans remise dans un jeu de 52 cartes.
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 as ?
Illustration
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On tire 3 as sans remise dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la
probabilité d'obtenir 3 as ?
Désignons par A1, A2 et A3 les ensembles de tirages de 3
cartes dans lesquels figurent respectivement un as au premier,
au second et au troisième tirage.
Selon la formule des probabilités composées généralisée :
P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) * P(A2/A1) * P(A3/A2 ∩ A1)
Soit :
Probabilité de tirer un as sur un jeu de 52 cartes qui en
comporte 4.
Probabilité de tirer un as lorsqu'on vient de tirer un as (soit
probabilité de tirer un as sur un jeu de 51 cartes qui en
comporte 3)
Probabilité de tirer un as lorsqu'on vient de tirer un as ET un as
(soit probabilité de tirer un as sur un jeu de 50 cartes qui en
comporte 2)
4
3 2
1
= -- * -- * -- = ------52 51 50 5 525
Problème #4
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Soit A et B des évènements tels que
p(A) = 1/3 , P(B) = 1/4, P(A et B) = 1/6
Calculer
P(A ou B)
P(A/B) Probabilité de A quand B est réalisé
P(B/A) Probabilité de B quand A est réalisé
Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
Problème #4
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Soit A et B des évènements tels que
p(A) = 1/3 , P(B) = 1/4, P(A et B) = 1/6
Calculer
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A et B)
= 1/3 + 1/4 - 1/6 = 5/12
P(A/B) = P(A et B) / P(B) = (1/6) / (1/4) = 2/3
P(B/A) = P(A et B) / P(A) = (1/6) / (1/3) = 1/2
Les évènements A et B ne sont pas indépendants car
p(A) * p(B) est différent de p(A et B)
Etude d'un cas
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Imaginons qu'une urne contienne deux boules rouges.
Une deuxième urne d'apparence identique contient une boule
rouge et une boule blanche.
Une urne est choisie au hasard et on tire une boule. Quelle est
le probabilité que la première urne soit choisie, si la boule
tirée est rouge ?
B est l'évènement "Tirer la première urne". Son complément est
choisir de le seconde urne.
A est l'évènement "Tirer une boule rouge" Son complément à est de
choisir une boule blanche.
Le problème consiste à déterminer la probabilité conditionnelle P(B/A)
(Choix première urne B SI la boule tirée est rouge A)
Le théorème des probabilités composées donne :
P(A ∩ B)
P(B/A) = --------P(A)
Etude d'un cas
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On a :
P(A ∩ B) = P(B) * P(A/B)
La probabilité de choix de la première urne P(B) = 0,5
Une fois celle-ci choisie, on est sûr d'avoir une boule rouge :
P(A/B) = 1
P(A ∩ B) = 0,5 * 1 = 0,5
Premier théorème de Bayes
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
L'exemple du paragraphe précédent est typique des problèmes où
l’on examine le résultat d'une expérience et où on se demande
ensuite quelle est la probabilité que le résultat soit effectivement dû à
une des causes possibles.
Dans l'exemple, deux causes possibles pour avoir une boule rouge,
soit avoir la première urne (qui ne contient que des boules rouges),
soit tirer une des boules rouges de la seconde urne.
Nous avons obtenu le résultat en appliquant les théorèmes des
probabilités, mais par un processus un peu long.
Le Théorème de Bayes a pour objectif d'aller directement au résultat.
PREMIER THEOREME DE BAYES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le premier théorème de Bayes a pour objet d'exprimer
P(B/A) en fonction de P(A/B).
P(A/B) * P(B)
P(B/A) = ---------------P(A)
On le démontre en éliminant P(A ∩ B) entre les expressions de
probabilités conditionnelles.
P(A ∩ B)
P(A/B) * P(B)
P(B/A) = ---------------- = -----------------P(A)
P(A)
SECOND THEOREME DE BAYES
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le second théorème de Bayes est une généralisation du
premier
P(A/Bi) * P(Bi)
P(Bi/A) = --------------------------Σk P(A/Bk) * P(Bk)
Par définition des probabilités conditionnelles, on peut écrire :
P(A ∩ Bi) = P(A/Bi) * P(Bi)
Par ailleurs, les Bk formant une partition de l'ensemble
fondamental, le théorème des probabilités totales devient :
P(A) =
Σk P(A/Bk) * P(Bk)
Illustration
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Une entreprise de sous-traitance possède 3 machines
M1, M2 et M3.
La production pour l'année :
Machine
Production
Taux rejets
M1
240
10%
M2
300
5%
M3
660
1%
Quelle est la probabilité pour qu'un lot, dans lequel on a
tiré une pièce défectueuse, provienne de la machine
M1 ?
Illustration
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Une entreprise de sous-traitance possède 3 machines M1, M2 et M3.
La production pour l'année :
Machine
Production
Taux rejets
M1
240
10%
M2
300
5%
M3
660
1%
Quelle est la probabilité pour qu'un lot, dans lequel on a tiré une pièce
défectueuse, provienne de la machine M1 ?
Probabilité pour qu'une pièce tirée au hasard vienne de M1 :
P(M1) = 240/1200 = 0,20, de M2 : P(M2) = 300/1200 = 0,25,
de M3 : P(M3) = 660/1200 = 0,55
Si l'on fait intervenir l'événement D, à savoir "pièce
défectueuse", les probabilités deviennent :
P(D/M1) = Probabilité qu'une pièce venant de M1 soit
défectueuse = 0,1
De la même manière, P(D/M2) = 0,05 et P(D/M3) = 0,01
Illustration
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
L'application du second théorème de Bayes
P(D/M1)*P(M1)
p(M1/D) = --------------------------------------------------P(D/M1)*P(M1) + P(D/M2)*P(M2) + P(D/M3)*P(M3)
0,1*0,2
p(M1/D) = ----------------------------------------- = 0,526
0,1*0,2 + 0,05*0,25 + 0,01*0,55
On obtiendrait de même :
P(M2/D) = 0,329 et P(M3/D) = 0,145
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On fabrique un objet p indifféremment à partir de 3
machines A, B et C.
Machine
% Production
Taux rejets
A
60%
1%
B
30%
2%
C
10%
5%
Une pièce B est rejetée. Quelle est la probabilité qu'elle
vienne de A ?
Probabilité pour qu'une pièce tirée au hasard vienne de A :
P(A) = 0,6, de B : P(B) = 0,3, de C : P(C) = 0,1
Si l'on fait intervenir l'événement D, à savoir "pièce
défectueuse", les probabilités deviennent :
P(D/A) = Probabilité qu'une pièce venant de A soit défectueuse
= 0,01
De la même manière, P(D/B) = 0,02 et P(D/C) = 0,05
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
L'application du second théorème de Bayes
P(D/A)*P(A)
p(A/D) = --------------------------------------------------P(D/A)*P(A) + P(D/B)*P(B) + P(D/C)*P(C)
0,6*0,01
p(A/D) = ----------------------------------------- = 0,35
0,6*0,01 + 0,3*0,02 + 0,1*0,05
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On fabrique un objet p indifféremment à partir de 3 machines A, B et
C.
Machine
% Production
Taux rejets
A
60%
1%
B
30%
2%
C
10%
5%
Une pièce B est rejetée. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de A ?
Exercices de synthèse No 1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Lors d'un audit comptable, on extrait au hasard 30 pièces
Quelle est la probabilité pour qu'au moins deux de ces pièces
ait été émises le même jour (On considère 220 jours
ouvrables).
Toutes les dates sont équiprobables
Exercices de synthèse No 1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Lors d'un audit comptable, on extrait au hasard 30 pièces. Quelle est
la probabilité pour qu'au moins deux de ces pièces ait été émises le
même jour (On considère 220 jours ouvrables).
Toutes les dates sont équiprobables
La mention "au moins" nous indique de recourir à la probabilité de
l'événement complémentaire.
C'est à dire qu'on s'intéresse à la probabilité qu'il n'y ait aucune
coïncidence des dates d'émission dans un groupe de n pièces.
Le nombre total de cas possibles est 220 à la puissance n noté
220^n.
Le nombre de cas favorables est le nombre de choix ordonnés de n
dates parmi 220, soit: 220! / (220-n)!
Donc, la probabilité qu'il n'y ait aucune coïncidence de dates
d'émission est :
220! / ((220-n)! * 220^n ) = produit[(220 - i)/220 , pour i=0 à n-1]
= produit[1 - i/220 , pour i=0 à n-1]
La probabilité P(n) qu'il y ait au moins une coïncidence est donc :
P(n) = 1 - produit[1 - i/220 , pour i=0 à n-1]. Il suffit ensuite de
calculer P(30).
Exercices de synthèse No 1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La difficulté vient du fait que les termes de la formule excèdent les
capacités de calcul des tableurs et des calculettes.
Il faut donc réfléchir un peu pour organiser le calcul, en tenant
compte des limites et des possibilités des outils..
Si on dispose d'une calculatrice programmable, il est possible de
programmer, avec une boucle, le calcul de l'expression :
produit[1 - i/220 , pour i=0 à n-1].
Cette programmation dépend de la calculatrice et du langage utilisés.
Si l'on dispose d'un tableur, l'expression : produit[1 - i/220 , pour i=0
à n-1] est facile à calculer en faisant un tableau de taille n, avec 3
colonnes : une colonne pour i, une colonne pour 1 - i/220, une
colonne pour le produit et une colonne pour le résultat final.
Exercices de synthèse No 1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le tableau donne donc une probabilité de 0,87
Exercices de synthèse No 2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La probabilité d'être de sexe masculin est de 0,5.
La probabilité qu'un individu de sexe quelconque soit du
groupe sanguin A est de 0,40
Quelle est la probabilité pour un individu d'être une femme de
groupe sanguin A ?
Quelle est la probabilité qu'un individu de groupe sanguin A
soit de sexe masculin ?
Exercices de synthèse No 2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La probabilité d'être de sexe masculin est de 0,5.
La probabilité qu'un individu de sexe quelconque soit du groupe
sanguin A est de 0,40
Quelle est la probabilité pour un individu d'être une femme de groupe
sanguin A ?
P = 0,20
Quelle est la probabilité qu'un individu de groupe sanguin A soit de
sexe masculin ?
P=0,50
Exercice de synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
L'éclairage d'une pièce nécessite l'emploi de 2 lampes.
Soit A1 l'évènement : la 1ère lampe est défaillante - P(A1) = 0,12
Soit A2 l'évènement : la 2nde lampe est défaillante - P(A2) = 0,18
On donne P(A1 ∩ A2) = 0,07. Probabilité pour que les 2 lampes
fonctionnent ?
Exercice de synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
L'éclairage d'une pièce nécessite l'emploi de 2 lampes.
Soit A1 l'évènement : la 1ère lampe est défaillante - P(A1) = 0,12
Soit A2 l'évènement : la 2nde lampe est défaillante - P(A2) = 0,18
On donne P(A1 ∩ A2) = 0,07. Probabilité pour que les 2 lampes
fonctionnent ?
Par hypothèse P(A1 ∩ A2) = 0,07 qui est ≠ 0
F et G ne sont pas mutuellement exclusifs.
P(A1) * P(A2) = 0,12 * 0,18 = 0,0216 qui est ≠
P(A1 ∩ A2)
F et G ne sont pas indépendants
L'évènement "Au moins une lampe est défaillante" = P(A1 ∪ A2)
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 ∩ A2)
= 0,12 + 0,18 - 0,07 = 0,23
L'évènement "Les deux lampes fonctionnent" est l'évènement
contraire du précédent.
_______
P(A1 ∪ A2) = 1 - P(A1 ∪ A2) = 1 - 0,23 = 0,77
Exercice de synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La probabilité qu'un moteur à piston sur un monomoteur tombe en
panne en 1925 était 0,005.
La probabilité qu'un moteur à piston sur un bimoteur tombe en panne
en 1925 était 0,003.
Quel est l'avion le plus sûr ?
Exercice de synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La probabilité qu'un moteur à piston sur un monomoteur tombe en
panne en 1925 était 0,005.
La probabilité qu'un moteur à piston sur un bimoteur tombe en panne
en 1925 était 0,003.
Quel est l'avion le plus sûr ?
Probabilité pour qu'au moins un des moteurs tombe en panne sur le bimoteur
Evénement "1er moteur 1 fonctionne" : 1-0,003 = 0,997
Evénement "2eme moteur fonctionne" : 1 - 0,003 = 0,997
Probabilité que les deux moteurs fonctionnent : 0,997 * 0,997 = 0,994009
Probabilité pour qu'au moins un des moteurs tombe en panne : 1 - 0,994009
= 0,005991
La panne d'un seul des 2 moteurs au décollage est critique, surtout avec une
charge exceptionnelle en carburant (Crash de Fonck).
Le monomoteur est donc plus sûr, malgré la fiabilité moindre de son moteur.
C'est ce raisonnement qui a poussé Lindbergh a voler sur un monomoteur
Ryan pour traverser l'Atlantique Nord, alors que tous ceux qui avaient tenté
avant lui -et échoué- étaient partis sur des bimoteurs. Son choix fut le bon.
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
UV205
MATHEMATIQUES
Paragraphe No 5
VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITE DISCRETES
Objectifs
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous avons traité le problème "Quelle est la
probabilité pour qu'un événement -ou une
combinaison d'évènements- survienne" ?
• Nous voulons maintenant tenter de résoudre un
autre problème : "Quelle est la probabilité
pour que dans le cas d'un nombre déterminé
d'essais, l'événement considéré se produise
un certain nombre de fois ?"
• Ceci va nous conduire à introduire la notion
de variable aléatoire et de loi de probabilité.
• L'analyse des caractéristiques des variables
aléatoires nous conduira à jeter un pont avec
les statistiques descriptives
• Nous verrons plusieurs lois caractéristiques.
Quizz
•
•
•
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Distribution de probabilité ?
Variable aléatoire ?
Loi de probabilité ?
Répartition ?
Densité ?
Variable discrète ?
Loi binomiale ?
Loi binomiale et variable de
Bernouilli ?
Quizz
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Loi de Poisson ?
Conditions applications de Poisson
versus binomiale ?
Distribution de la probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Dès que la probabilité d'un évènement est connue (soit par
le calcul, soit à partir d'un grand nombre d'essais
empirique), une autre problématique peut être envisagée.
• Celle-ci s'exprime : "Quelle est la probabilité pour que dans
le cas d'un nombre déterminé d'essais, l'événement
considéré se produise un certain nombre de fois ?"
• Nous savons que la probabilité de faire pile avec une pièce
est 1/2.
• Le nouveau problème posé :
• Quelle est la probabilité de faire 5 fois pile en jetant 12 fois
la pièce ?
Distribution de la probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Les lois de probabilité synthétisent toutes ces notions.
•
Elles reviennent à associer des probabilités à chaque valeur
d'une variable aléatoire correspondant aux diverses
éventualités d'une expérience aléatoire.
•
Chaque loi de probabilité peut être étudiée en fonction de
sa distribution (ou répartition) et de sa densité.
•
La fonction de répartition F(X) est définie par :
•
F(X) = Probabilité pour que la variable aléatoire X prenne
une valeur inférieure à x.
•
La fonction de densité f(X) est définie par :
•
f(X) = Probabilité pour que la variable aléatoire X prenne
une valeur particulière x.
•
Nous reviendrons sur ces fonctions.
Distribution de la probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La loi de probabilité est aussi définie par des grandeurs
caractéristiques comme l'espérance mathématique -définie
au paragraphe 1- qui représente un gain moyen et la
dispersion des résultats possibles autour de ce gain moyen.
• Cette dispersion est mesurée par l'écart type.
• Selon la nature de l'essai et des évènements à évaluer, il
existe différents modèles mathématiques qui peuvent être
utilisés.
• Le tableur permet de les matérialiser.
Variable aléatoire
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Variable aléatoire
• Si à chacun des évènements élémentaires de l'ensemble des
X évènements E on fait correspondre un nombre, on définit
une variable aléatoire X.
• On dit que la variable aléatoire X est discrète lorsque ses
différentes valeurs possibles x sont en nombre fini.
• Supposons un lancement d'une pièce de monnaie, limité à
deux occurrences.
• Soit la variable aléatoire X qui correspond au nombre de
faces obtenues.
• Elle peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.
Loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Loi de probabilité
• En associant à chacune des valeurs possibles de la variable
aléatoire discrète la probabilité de l'événement
correspondant, on obtient la loi de probabilité de X.
• Du fait du caractère discret de la variable la représentation
graphique est un diagramme en bâtons.
• La somme des probabilités composant une loi de probabilité
est toujours égale à 1
ΣiP(X=xi) = 1
Loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Si nous reprenons notre exemple des deux lancements de
pièces pour la recherche de "face", nous obtenons la loi de
probabilité suivante :
Evènement
élémentaire
Variable
aléatoire X
Probabilité P(X)
Pile - Pile
0
1/4
Pile - Face
1
1/4
Face - Pile
1
1/4
Face - Face
2
1/4
Total
1
Loi de probabilité : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
0,6
0,5
P(X) Probabilité
0,5
0,4
0,3
0,25
0,25
0,2
0,1
0
X Variable aléatoire
Série1
Loi de probabilité : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Probabilité d'avoir
0 face
0,6
0,5
P(X) Probabilité
0,5
0,4
0,3
0,25
0,25
0,2
0,1
0
X Variable aléatoire
Série1
Loi de probabilité : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Probabilité d'avoir
1 face
0,6
0,5
P(X) Probabilité
0,5
0,4
0,3
0,25
0,25
0,2
0,1
0
X Variable aléatoire
Série1
Loi de probabilité : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Probabilité d'avoir
2 faces
0,6
0,5
P(X) Probabilité
0,5
0,4
0,3
0,25
0,25
0,2
0,1
0
X Variable aléatoire
Série1
Loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Autre illustration sur la base d'un jet de pièce.
• Nous considérons cette fois la variable aléatoire X comme le
nombre de jets successifs pour avoir enfin face.
• L'ensemble des valeurs possibles n'est plus 0-2. Il s'étend de
1 (on fait face au premier coup) à un très grand nombre (on
finit par y arriver au bout d'un nombre astronomique de jets,
après une extraordinaire série de piles) .
• Le domaine est l'ensemble des entiers positifs.
• Nous sommes dans le cas d'un ensemble infini dénombrable.
• Pour que x jets soient nécessaires, il faut enchaîner :
·
x-1 piles
·
1 face (xéme tirage)
• La probabilité est alors P(X=x) = (1/2)x-1 * (1/2)
• Soit 1/2x
Loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La loi de probabilité est alors :
Evènement
élémentaire
Variable
aléatoire X
Probabilité P(X)
Face au 1er
coup
1
1/2
Face au 2e coup
2
1/4
Face au 3e coup
3
1/8
Face au xe coup
x
1/2X
Total
1
Loi de probabilité : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
0,6
0,5
0,4
0,3
Série1
0,2
0,1
Variable X
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
0,015625
0,0078125
0,00390625
0,00195313
0,00097656
0,00048828
0,00024414
0,00012207
6,1035E-05
3,0518E-05
1,5259E-05
7,6294E-06
3,8147E-06
1,9073E-06
9,5367E-07
4,7684E-07
2,3842E-07
Probabilité P(X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Loi de probabilité : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Probabilité d'avoir
face au premier
coup
0,6
0,5
0,4
0,3
Série1
0,2
0,1
Variable X
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
0,015625
0,0078125
0,00390625
0,00195313
0,00097656
0,00048828
0,00024414
0,00012207
6,1035E-05
3,0518E-05
1,5259E-05
7,6294E-06
3,8147E-06
1,9073E-06
9,5367E-07
4,7684E-07
2,3842E-07
Probabilité P(X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Loi de probabilité : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Probabilité d'avoir
face au second
coup et pile au
premier
0,6
0,5
0,4
0,3
Série1
0,2
0,1
Variable X
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
0,015625
0,0078125
0,00390625
0,00195313
0,00097656
0,00048828
0,00024414
0,00012207
6,1035E-05
3,0518E-05
1,5259E-05
7,6294E-06
3,8147E-06
1,9073E-06
9,5367E-07
4,7684E-07
2,3842E-07
Probabilité P(X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Fonction de répartition
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Fonction de répartition
• La fonction de répartition F(x) de la variable discrète X est
définie par :
• F(X) = P(X<x)
• C'est une fonction positive non décroissante.
• Elle exprime la probabilité que X prenne une valeur
strictement inférieure à x.
• Cette fonction est égale à 0 pour -oo
• Cette fonction est égale à 1 pour +oo
• On passe facilement de la loi de probabilité à la fonction de
répartition et réciproquement.
• F(X) =
Σ
xi<x
P(=xi)
Fonction de répartition
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Si nous reprenons notre premier exemple des deux lancements
de pièces, nous obtenons la fonction de répartition suivante :
Evènement
élémentaire
Variable
aléatoire X
Probabilité P(X)
Fonction de
répartition F(X)
0
Pile - Pile
0
1/4
1/4
Pile - Face
1
1/4
1/2
Face - Pile
1
1/4
3/4
Face - Face
2
1/4
1
Total
1
Fonction de répartition : représentation graphique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
1,2
1
0,8
0,6
Série1
0,4
0,2
0
1
2
3
Fonction de répartition
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Si nous reprenons notre second exemple :
Evènement
élémentaire
Variable
aléatoire X
Probabilité P(X)
Fonction de
répartition F(X)
Départ
0
0
0
Face au 1er
coup
1
1/2
1/2
Face au 2e coup
2
1/4
3/4
Face au 3e coup
3
1/8
7/8
Face au xe coup
x
1/2X
((2x-1)/2x
Limite
oo
Total
1
1
Fonction de répartition
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
1,2
1
0,8
0,6
Série1
0,4
0,2
X
21
19
17
15
13
11
9
7
5
0
3
0,5
0,75
0,875
0,9375
0,96875
0,984375
0,9921875
0,99609375
0,99804688
0,99902344
0,99951172
0,99975586
0,99987793
0,99993896
0,99996948
0,99998474
0,99999237
0,99999619
0,99999809
0,99999905
0,99999952
0,99999976
1
0,5
0,25
0,125
0,0625
0,03125
0,015625
0,0078125
0,00390625
0,00195313
0,00097656
0,00048828
0,00024414
0,00012207
6,1035E-05
3,0518E-05
1,5259E-05
7,6294E-06
3,8147E-06
1,9073E-06
9,5367E-07
4,7684E-07
2,3842E-07
F(X) Répartition
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Loi de probabilité à deux dimensions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Soit deux variables aléatoires discrètes définies sur
l'ensemble fondamental E.
• Si à chacune des valeurs possibles du couple (X,Y) on
associe la probabilité de l'événement correspondant, on
obtient la loi conjointe des variables aléatoires X et Y
• ou loi de la variable aléatoire à deux dimensions (X,
Y).
Loi de probabilité à deux dimensions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Considérons le jet de deux dés.
• La variable aléatoire X correspond au nombre de points X1
apportés par le premier dé.
• La variable aléatoire Y correspond à la somme des points
des deux dés : Y = X1 + X2
• pij représente la probabilité que X et Y prennent
respectivement deux valeurs déterminées xi et yj
• pij = P(X=xi, Y=yj)
•
•
= P(X1 = xi, X2=yj - xi)
= P(X1 = xi)* p(X2=yj - xi) en raison de la formule des
probabilités composées
• Or la probabilité pour qu'un dé prenne une certaine valeur
est égale à 1/6.
• Donc pij = 1/6 * 1/6 = 1/36
• La loi de probabilité a donc l'allure du tableau suivant
Loi de probabilité à deux dimensions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Y
X
1
2
3
4
5
6
Loi
marginale
de Y
2
3
4
5
6
7
8
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0
0 1/36 1/36
9
0
0
1/36
1/36
1/36
1/36
Loi
marginale
10 11 12
de X
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
1/36 0
0
1/6
1/36 1/36 0
1/6
1/36 1/36 1/36
1/6
1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
1
Loi de probabilité à deux dimensions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Y
X
1
2
3
4
5
6
Loi
marginale
de Y
2
3
4
5
6
7
8
Loi
1 chance sur 36
(6*6) d'avoirmarginale
une
9
10 11 12
de X
somme égale à
2
1/6
avec
le0 premier
dé
0
0
0
1/6
0
0= 10(1 et
0 1)1/6
si
1/36Aucune
0
0 chance
0
1/6
premier
a
1/36 le
1/36
0
0 dé 1/6
valeur
1/36une
1/36 1/36
0 >=2
1/6
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
1/6
1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
1
Loi de probabilité à deux dimensions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Y
X
1
2
3
4
5
6
Loi
marginale
de Y
2
3
4
5
6
7
8
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0
0 1/36 1/36
6 possibilités àLoi1
chance surmarginale
36
9
10 11 12
d'avoir 7 : de X
1/6
1
+
6
0
0
0
0
1/6
2
+
5
0
0
0
0
1/6
30 + 04
1/36 0
1/6
1/36 1/36 4
0 + 03
1/6
5 + 02
1/36 1/36 1/36
1/6
1/36 1/36 1/36
1/6
6 +1/36
1
1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
1
Loi de probabilité à deux dimensions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Y
X
1
2
3
4
5
6
Loi
marginale
de Y
Loi de probabilité
marginale de X
2
3
pi =
4
5
6
Σjpij
= P(X=xi)
7
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
Une probabilité de 1/6
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
pour chaque face du
0
0 1/36
dé1/36 1/36 1/36
0
0
0 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0 1/36 1/36
0
0
0
0
0 1/36
8
9
0
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
0
0
1/36
1/36
1/36
1/36
Loi
marginale
10 11 12
de X
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
1/36 0
0
1/6
1/36 1/36 0
1/6
1/36 1/36 1/36
1/6
1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
1
Loi de probabilité à deux dimensions
Loi de probabilité
marginale de Y
pj =
Y
X
1
2
3
4
5
6
Loi
marginale
de Y
2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Σipij = P(Y=yi)
P(2) = 1/36
4
5
6
7
8
P(3)=1/36+1/36
3
P(4) = 1/36+1/36+1/36
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0
…..
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
P(11) = 1/36+1/36
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
P(12) = 1/36
0
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0
0 1/36 1/36
9
0
0
1/36
1/36
1/36
1/36
Loi
marginale
10 11 12
de X
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
1/36 0
0
1/6
1/36 1/36 0
1/6
1/36 1/36 1/36
1/6
1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
1
Loi de probabilité conditionnelle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous avons défini la probabilité conditionnelle au paragraphe
4.
• Les probabilités Pj/i correspondant aux diverses valeurs
possibles yi de Y forment la loi conditionnelle de Y liée par
X=xi.
• Dans l'exemple précédent, la loi conditionnelle du nombre de
points X amené par le premier dé , sachant que la somme Y
des points des eux dés est égale à 5, est :
Y
X
1
2
3
4
5
6
Loi
marginale
de Y
2
3
4
5
6
7
8
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0 1/36 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0 1/36 1/36 1/36
0
0
0
0
0 1/36 1/36
9
0
0
1/36
1/36
1/36
1/36
Loi
marginale
10 11 12
de X
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
0
0
0
1/6
1/36 0
0
1/6
1/36 1/36 0
1/6
1/36 1/36 1/36
1/6
1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
P(X/Y) = P(XetY)/P(X)
P(Y)=1/9
P(X) = 1/36 ou 0 selon X
1
X
1
2
3
4
5
6
P(X/Y=5)
1/4
1/4
1/4
1/4
0
0
Total
1
Retour sur l'indépendance
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous avons défini l'indépendance au paragraphe 4
• La notion d'indépendance de deux évènements peut
également être étendue à deux variables aléatoires X et Y.
• On dit que deux variables X et Y sont indépendantes si,
pour tout couple de valeurs (xi,xj) on a la relation
• pij = pi *pj
• c'est à dire si, quels que soient xi et yi, les évènements
(X=xi) et (Y=yj) sont indépendants.
Caractéristiques d'une variable aléatoire discrète
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Retour sur le concept d'espérance mathématique
•
Nous avons défini l'espérance mathématique au
paragraphe 1
•
La définition E(X)
variable discrète.
= Σi (pi . xi) est valable pour une
Quelle est l'espérance mathématique d'un jeu de dés
Caractéristiques d'une variable aléatoire discrète
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Retour sur le concept d'espérance mathématique
•
Nous avons défini l'espérance mathématique au
paragraphe 1
•
La définition E(X)
variable discrète.
= Σi (pi . xi) est valable pour une
Quelle est l'espérance mathématique d'un lancer d'un dé
E(X) = 1/6*1 + 1/6*2 + 1/6*3 + 1/6*4 + 1/6*5 + 1/6*6
= 1+2+3+4+5+6/6
= 21/6 = 3,5
Caractéristiques d'une variable aléatoire discrète
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Propriétés de l'espérance mathématique
E(aX+b)=aE(X) + b
E(X+Y)=E(X) + (Y)
L'espérance mathématique d'une somme de variables
aléatoires est égale à la somme des espérances
mathématiques
E(X)=m
L'espérance mathématique d'une moyenne de variables
aléatoires est égale à cette moyenne
E(X.Y) = E(X).E(Y)
Si X et Y sont indépendantes
Caractéristiques d'une variable aléatoire discrète
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Variance
• La variance V(X) de la variable aléatoire X est 'espérance
mathématique des carrés des écarts à l'espérance
mathématiques
V{X} = E{ (X- E{X})2 }
• Dans le cas de variables discrètes
V{X} =
Σ i pi(xi - E(X)}2
• L'écart type est la racine carrée de la variance
σ = V V(X)
Caractéristiques d'une variable aléatoire discrète
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Exemple variance
•
Reprenons l'exemple de notre lancer de dés
•
L'espérance mathématique a été évaluée à 3,5
•
Par suite :
6
•
V(X) =
•
= 2,92
Σ
x=1
1/6 (x-3,5)2
x
1
2
3
4
5
6
(x-3,5)^2
6,3
2,3
0,3
0,3
2,3
6,3
Div 1/6
1
0,4
0
0
0,4
1
2,92
Intérêt de ces concepts pour le gestionnaire
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'intérêt de ces concepts mathématiques un peu
formels n'est pas évident pour le gestionnaire.
• Nous allons illustrer l'intérêt de la variance en
tant que mesure de la dispersion des variables
aléatoires autour de valeurs de position à l'aide
d'une étude de cas qui reviendra aussi sur les
concepts de base des statistiques descriptives et
illustrera quelques fonctions utiles d'Excel
Etude de cas
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Vous avez pour mission d'auditer la filiale
MULTISERVICES SA.
• Un des objectifs de la mission est d'apprécier son
efficacité commerciale
2002
2003
2004
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
250 240 260 270 280 230 290 180 210 250 270 300 320 380 330 350 360 270 230 230 270 330 350 350 360 380 380 400 350 300 350 410 430 450 440 460
Multiservices SA
500
300
Série1
200
Linéaire (Série1)
100
Mois
35
33
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
0
1
CA
400
Etude de cas
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Mois
Année
2002
2003
2004
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
250
320
360
240
380
380
260
330
380
270
350
400
280
360
350
230
270
300
290
230
350
180
230
410
210
270
430
250
330
450
270
350
440
300
350
460
Evolution Multiservices SA
500
CA
400
2002
300
2003
200
2004
100
0
1
2
3
4
5
6
7
Mois
8
9
10
11
12
Etude de cas
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Mois
Année
2002
2003
2004
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
250
320
360
240
380
380
260
330
380
270
350
400
280
360
350
230
270
300
290
230
350
180
230
410
210
270
430
250
330
450
270
350
440
300
350
460
0
0
0
0
1
0
3
2
2
3
1
12
180-209
210-239
240-269
270-299
300-329
330-359
360-389
390-419
420-449
450-479
>=480
Fréquences absolues
180
210
240
270
300
330
360
390
420
450
480
1
1
2
5
3
0
0
0
0
0
0
12
0
0
2
2
0
3
4
1
0
0
0
12
Fréquences relatives
8,33%
8,33%
16,67%
41,67%
25,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
16,67%
16,67%
0,00%
25,00%
33,33%
8,33%
0,00%
0,00%
0,00%
12
12
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
8,33%
0,00%
25,00%
16,67%
16,67%
25,00%
8,33%
180-209
210-239
240-269
270-299
300-329
330-359
360-389
390-419
420-449
450-479
>=480
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
2004
2003
2002
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2002
2004
10
11
Etude de cas
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Mois
Année
2002
2003
2004
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
250
320
360
240
380
380
260
330
380
270
350
400
280
360
350
230
270
300
290
230
350
180
230
410
210
270
430
250
330
450
270
350
440
300
350
460
Position
Mode
250,00
Médiane
255,00
Position avec nivellement
Moyenne arithmétique
252,50
Moyenne géométrique (1) 250,21
Moyenne harmonique (2) 247,74
Dispersion
Etendue
120,00
Ecart absolu moyen
25,83
Variance
1068,75
Ecart-type
32,69
350,00 380,00
330,00 390,00
L'observation la plus fréquente
Valeur qui partage la population en 2 sous groupes d'égal effectif
314,17 392,50
310,02 389,71
305,58 248,31
Somme des valeurs divisée par nombre de valeurs
Racine nieme du produit de toutes les valeurs
Inverse de la moyenne arithmétique des inverses des observations
150,00 160,00
42,78
39,17
2407,64 2118,75
49,07
46,03
Ecart entre la plus forte et la plus faible
Moyenne des écarts absolus des observations par rapport à la moyenne arithmétique
Moyenne arithmétique des carrés des écrts entre valeurs et moyenne arithmétique
Racine carrée de la variance
(1) Utile pour tout phénomène multiplicatif (variation de prix, intérêts composés)
Calcul taux croissance moyen
(2) Utile pour analyse de rendements, de consommations, cad chaque fois que l'on combine 2 variables sous forme de rapport
Loi binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Lorsque les évènements sont représentés par des
variables discrètes, nous pouvons recourir à la
distribution binomiale.
• On appelle suite de n épreuves de Bernouilli
l'expérience qui consiste à répéter n fois une
épreuve ayant eux issues possibles.
• Chaque épreuve doit être indépendante l'une de
l'autre.
• Soit une suite de n épreuves de Bernouilli avec
pour chaque épreuve :
· La probabilité p d'un succès
· La probabilité q = 1-p d'un échec
Loi binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Faux
Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Vrai
Faux
Faux
Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Faux
Faux
Loi binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Les probabilités obtenues apparaissent comme les
termes du développement du binôme
• n=1
p+q
• n=2
(p+q)2
• n=3
(p+q)3
Evènement
n=1
n=2
n=3
F
V
FF
FV
VF
VV
FFF
FFV
FVF
VFV
FVV
VFV
VVF
VVV
Variable
aléatoire
0
1
0
1
1
2
0
1
1
1
2
2
2
3
Probabilité
P(X)
q
p
q2
2pq
p2
q3
3pq2
3qp2
p3
Loi binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La probabilité Pk d'obtenir k succès au cours de
ces n épreuves (qui est aussi la probabilité
d'obtenir n-k échecs) est :
Pk = Cnk pk qn-k (0<k<=n)
• La loi de probabilité correspondante s'appelle loi
binomiale
Loi binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Exemple
• A la suite d'une étude de la Direction
Commerciale, on constate que 50% des systèmes
vendus sont des systèmes ALPHA.
• La probabilité pour qu'une commande choisie au
hasard concerne un équipement ALPHA est donc
0,5.
• Si nous sélectionnons dix commandes, de 0 à 10
commandes du groupe peuvent concerner des
systèmes ALPHA.
• La probabilité pour chacune de ces possibilités
peut être définie à l'aide de la distribution
binomiale.
Loi binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Exemple
• La probabilité pour que x commandes ALPHA
soient dans un groupe sélectionné est représenté
par f(x)
• Cette fonction est la fonction de densité.
• La fonction F(x) renvoie à la probabilité selon
laquelle 0 à x commandes concernent un matériel
ALPHA.
• Cette fonction est la fonction de distribution
• Nous nous appuyons sur Excel pour visualiser la
solution
Reprise Binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Un lot de pièces qui contient 10% de pièces
défectueuses
• Ce lot de pièces dans lequel on prélève un
échantillon de taille n = 10
• Probabilité pour que cet échantillon contienne 2
pièces défectueuses
• B(10;0,1)
• P(2) = Prob(X = 2) = C10 2 p2 q8
• = C10 2 (0,1)2 (0,9)8
• 19%
Reprise Binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Un journal mensuel lance une campagne de
publicité
pour
susciter
de
nouveaux
abonnements en envoyant un numéro en
spécimen à des personnes susceptibles de
s'abonner
• La probabilité que l'envoi d'un
engendre un abonnement est p = 0,2
spécimen
• Quelle est la probabilité pour que l'envoi de 10
spécimens
provoque
trois
abonnements
nouveaux
Reprise Binomiale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Un journal mensuel lance une campagne e
publicité
pour
susciter
de
nouveaux
abonnements en envoyant un numéro en
spécimen à des personnes susceptibles de
s'abonner
• La probabilité que l'envoi d'un
engendre un abonnement est p = 0,2
spécimen
• Quelle est la probabilité pour que l'envoi de 10
spécimens
provoque
trois
abonnements
nouveaux
• B(10;0,2)
• P(3) = C10 3 (0,2)3 (0,8)
• 20%
7
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
LOI.BINOMIALE
• Renvoie la probabilité d'une variable aléatoire
discrète suivant la loi binomiale.
• Utilisez la fonction LOI.BINOMIALE pour résoudre
des problèmes comportant un nombre de tests ou
d'essais déterminé, lorsque le résultat des essais
ne peut être qu'un succès ou un échec, lorsque les
essais sont indépendants ou lorsque la probabilité
de succès est constante au cours des
expérimentations.
• La fonction LOI.BINOMIALE peut, par exemple,
calculer la probabilité pour que deux des trois
enfants à naître soient des garçons.
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Syntaxe
LOI.BINOMIALE(nombre_s;essais;probabilité_s;cumulative)
•
nombre_s
représente le nombre d'essais réussis.
•
essais
•
probabilité_s représente la probabilité de succès de
chaque essai.
•
cumulative représente une valeur logique qui détermine
le mode de calcul de la fonction. Si l'argument cumulative
a la valeur VRAI, alors LOI.BINOMIALE renvoie la fonction
de distribution cumulée qui représente la probabilité qu'il y
ait au plus nombre_s succès ; si l'argument cumulative a la
valeur FAUX, LOI.BINOMIALE renvoie la fonction de
probabilité de masse qui représente la probabilité qu'il y ait
nombre_s succès.
représente le nombre d'essais indépendants.
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Notes
•
Les arguments nombre_s et essais sont tronqués à leur partie
entière.
•
Si l'un des arguments nombre_s, essais ou probabilité_s n'est
pas numérique, la fonction LOI.BINOMIALE renvoie la valeur
d'erreur #VALEUR!
•
Si l'argument nombre_s < 0 ou nombre_s > essais, la
fonction LOI.BINOMIALE renvoie la valeur d'erreur
#NOMBRE!
•
Si l'argument probabilité_s < 0 ou probabilité_s > 1, la
fonction LOI.BINOMIALE renvoie la valeur d'erreur
#NOMBRE!
•
La fonction de probabilité de masse est la suivante :
•
b(x,n,p) =Cxn pn (1-p)x-n
•
La distribution binomiale cumulée est la suivante :
•
B(x,n,p) =Σy=0nb(x,n,p)
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Exemple
Le jeu pile ou face avec une pièce de monnaie ne
peut donner qu'un seul résultat. La probabilité que
le premier lancer donne le résultat face est de 0,5 et
la probabilité d'obtenir 6 fois le résultat face sur dix
lancers se calcule de la façon suivante :
LOI.BINOMIALE(6;10;0,5;FAUX) égale 0,205078
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Nous reprenons notre exemple concernant les
ventes d'ALPHA
f(x) = LOI.BINOMIALE(LC(-1);10;0,5;FAUX)
f(x) = LOI.BINOMIALE(LC(-2);10;0,5;VRAI)
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
x
f(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,00097656
0,00976563
0,04394531
0,1171875
0,20507813
0,24609375
0,20507813
0,1171875
0,04394531
0,00976563
0,00097656
F(X)
0,00097656
0,01074219
0,0546875
0,171875
0,37695313
0,62304688
0,828125
0,9453125
0,98925781
0,99902344
1
Probabilité pour
qu'une
commande
concerne
l'équipement
Alpha
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
f(x)
1
2
3 4
5
6
7
8
Nombre de commandes
9 10 11
f(x)
F(X)
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•De la courbe précédente nous tirons :
•Probabilité pour que 6 commandes sur les 10 tirées
au hasard concernent des ALPHA = 20,51 %
•La probabilité la plus forte se situe naturellement
pour 5 commandes puisque la probabilité pour
qu'une commande tirée au hasard concerne un
ALPHA est de 50%.
•Probabilité pour qu'il y ait un ALPHA au moins dans
6 parmi les 10 tirées au hasard :
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•De la courbe précédente nous tirons :
•Probabilité pour que 6 commandes sur les 10 tirées
au hasard concernent des ALPHA = 20,51 %
•La probabilité la plus forte se situe naturellement
pour 5 commandes puisque la probabilité pour
qu'une commande tirée au hasard concerne un
ALPHA est de 50%.
•Probabilité pour qu'il y ait un ALPHA au moins dans
6 parmi les 10 tirées au hasard = 82,81 %
•La probabilité tend vers 1 si l'on tend à considérer
les 10 commandes.
• Autrement dit, si on prend 10 commandes au hasard dans un
ensemble de commandes où la probabilité d'avoir un ALPHA
est de 50%, on est sûr d'en avoir une au minimum qui
concerne un ALPHA.
Loi binomiale avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Exemple
Le jeu pile ou face avec une pièce de monnaie ne
peut donner qu'un seul résultat. La probabilité que
le premier lancer donne le résultat face est de 0,5 et
la probabilité d'obtenir 6 fois le résultat face sur dix
lancers se calcule de la façon suivante :
LOI.BINOMIALE(6;10;0,5;FAUX) égale 0,205078
Rappel définition
Mois
Année
2002
2003
2004
1
2
250
320
360
240
380
380
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
260 270
330 350
380 400
280
360
350
230
270
300
290
230
350
180
230
410
210
270
430
250
330
450
270
350
440
300
350
460
Position
Mode
250,00 350,00 380,00
Médiane
255,00 330,00 390,00
Position avec nivellement
Moyenne arithmétique
252,50 314,17 392,50
Moyenne géométrique (1) 250,21 310,02 389,71
Moyenne harmonique (2)
247,74 305,58 248,31
Dispersion
Etendue
120,00 150,00 160,00
Ecart absolu moyen
25,83
42,78
39,17
Variance
1068,75 2407,64 2118,75
Ecart-type
32,69
49,07
46,03
L'observation la plus fréquente
Valeur qui partage la population en 2 sous groupes d'égal effectif
Somme des valeurs divisée par nombre de valeurs
Racine nieme du produit de toutes les valeurs
Inverse de la moyenne arithmétique des inverses des observations
Ecart entre la plus forte et la plus faible
Moyenne des écarts absolus des observations par rapport à la moyenne arithmétique
Moyenne arithmétique des carrés des écrts entre valeurs et moyenne arithmétique
Racine carrée de la variance
(1) Utile pour tout phénomène multiplicatif (variation de prix, intérêts composés)
Calcul taux croissance moyen
(2) Utile pour analyse de rendements, de consommations, cad chaque fois que l'on combine 2 variables sous forme de rapport
-32,5
1056,3
2118,75
46,03
-12,5
156,3
-12,5 7,5 -42,5 -92,5 -42,5 17,5
37,5
57,5
47,5
67,5
156,3 56,3 1806,3 8556,3 1806,3 306,3 1406,3 3306,3 2256,3 4556,3
loi binomiale et variable Bernouilli
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• A chaque épreuve élémentaire, dont le résultat
se présente sous la forme d'une alternative Vrai Faux, nous pouvons associer une variable
aléatoire Xi pouvant prendre la valeur 1 avec une
probabilité p et la valeur 0 avec une probabilité q
Evenement
Variable
Probabilité
A
1
p
A barre
0
1-p
• Toute variable B(n;p) peut être considéré comme
la somme de n variables de Bernouilli B(1;p)
loi binomiale et variable Bernouilli
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Ainsi, le nombre X de faces obtenues en n tirages
peut etre considéré comme la somme de n
variables de Bernouilli indépendantes X1, X2, …
Xn
• Ces variables sont indépendantes
• Les probabilités restent constantes
• D'où les grandeurs caractéristiques mode,
espérance mathématique, écart type et variance
mode
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Soit le rapport P(X+1)/P(X)
• P(X) = n!/x! (n-x)! pX (1-p)
n-X
• P(X+1) = …
• Rapport = (n-x) p / (x+1) q
• Le mode est la valeur Mo de X pour laquelle la
probabilité est la plus forte
• P(X) > P(x-1) et P(X) > P(x + 1)
• Mo est l'entier compris entre np-q et np+p
• Cas factures ALPHA n=10 p = 0,5 => Mo = 5
Espérance mathématique
• X=X1 + X2 + X3 + … + Xn
• E(Xi) = 0*q + 1*p
• E(X) = p + p + p + p + … + p
• E(X) = np
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Variance et ecart type
• V(X) = Σ1 à n (xi- E(X))2 P(xi))
• V(X) = npq
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Ajustement loi binomiale à une distribution
statistique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Supposons une série d'observations concernant une
variable statistique X correspondant a priori aux
conditions d'applications de la loi binomiale (n
épreuves indépendantes
• On ne connaît pas p (objectif sondage)
• La méthode d'ajustement consiste à adopter, pour
représenter le phénomène, la loi binomiale dont
l'espérance mathématique est égale à la moyenne
de la distribution observée
• E(X) = np => p = moyenne / n
Loi de Poisson
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
La loi de Poisson traite des situations similaires à
celle de la distribution binomiale.
•
Il existe toutefois deux différences importantes.
•
Le groupe sélectionné (échantillon) est
généralement très grand.
•
La probabilité pour la réalisation d'un événement
est très petite.
•
La loi de Poisson travaille avec l'espérance mathématique
alors que la loi binomiale travaille avec les variables tirages
et probabilité_succès.
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Syntaxe
•
LOI.POISSON(x;espérance;cumulative)
•
x
•
espérance représente l'espérance
mathématique
•
cumulative représente une valeur logique
déterminant le mode de calcul de la fonction :
cumulatif ou non. Si l'argument cumulative est
VRAI, la fonction LOI.POISSON renvoie la
probabilité de Poisson pour qu'un événement
aléatoire se reproduise un nombre de fois
inférieur ou égal à x. Si l'argument cumulative
est FAUX, la fonction renvoie la probabilité de
Poisson pour qu'un événement se reproduise x
fois exactement.
représente le nombre d'événements.
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Notes
•
Si l'argument x n'est pas un nombre entier, il est
ramené à sa valeur entière par troncature.
•
Si les arguments x ou espérance ne sont pas
numériques, la fonction LOI.POISSON renvoie la
valeur d'erreur #VALEUR!
•
Si l'argument x<0, la fonction LOI.POISSON
renvoie la valeur d'erreur #NOMBRE!
•
Si l'argument espérance<0, la fonction
LOI.POISSON renvoie la valeur d'erreur
#NOMBRE!
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
La fonction LOI.POISSON se calcule comme suit :
•
Si l'argument cumulative = FAUX :
•
LOI.POISSON = e-Λ Λκ / κ!
•
Si l'argument cumulative = VRAI :
•
CUM.LOI.POISSON =
Σ e-Λ
Λκ / κ!
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Exemples
•
LOI.POISSON(2;5;FAUX) égale 0,084224
•
LOI.POISSON(2;5;VRAI) égale 0,124652
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Nous allons traiter le problème de la fiabilité
d'une usine de production de consommables
pour le matériel de forage pétrolier pour les
opérateurs Exploration-Production du secteur
pétrolier.
•
La probabilité de CQ (Anomalie Qualité) est de
0,0002.
•
Nous devons prévoir le nombre d'anomalies
susceptibles d'intervenir au cours de la
fabrication d'un lot de 5000 pièces.
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Nous allons traiter le problème en utilisant
simultanément la loi binomiale et la loi de Poisson.
•
Pour Poisson :
•
Le nombre de tirages est de 5000
•
La probabilité d'occurrence d'un CQ est de 0,0002
•
La loi binomiale s'écrit :
loi.binomiale(x;5000;0,0002;cumulative)
•
L'espérance mathématique est égale à la
probabilité d'un événement multipliée par le
nombre d'évènements, soit 5000 * 0,0002 = 1
•
La loi de Poisson s'écrit :
loi.poisson(x;1;cumulative)
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Poisson
Binomiale
0,36787944 0,36784265
0,36787944 0,36791623
0,18393972 0,18395812
0,06131324 0,06130711
0,01532831 0,01532064
0,00306566 0,00306229
0,00051094 0,00050997
7,2992E-05
7,278E-05
9,124E-06 9,0866E-06
1,0138E-06 1,0082E-06
1,0138E-07 1,0066E-07
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Poisson
Binomiale
Poisson
Loi de Poisson
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Une variable aléatoire discrète X qui prend les
valeurs entières x = 0,1,2, …
•
avec la probabilité
•
P(x) = P(X=x) = e-m mx / x!
•
est une variable de Poisson
•
Le paramètre m représente à la fois la moyenne
et la variance de la distribution
•
On vérifie que
•
Le paramètre
Σ P(x) de 0 à oo tend vers 1
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Renvoie la probabilité d'une variable aléatoire
suivant une loi de Poisson.
•
Une application courante de la loi de Poisson est
la prédiction du nombre d'événements
susceptibles de se produire sur une période de
temps déterminée, par exemple,
· le nombre de voitures qui se présentent à un poste de
péage pendant l'espace d'une minute.
· le nombre de pièces défectueuses en cas d'échantillon
grand et de faible taux de panne, ou le nombre de
défaillances d'un équipement au cours d'une période
donnée
· le nombre d'accidents survenus au cours d'une période
· le nombre d'arrivées simultanées à un guichet
•
C'est la loi des faibles probabilités
Loi de Poisson avec Excel
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
On démontre au passage l'intérêt de la loi de
Poisson pour les couples faible probabilité * grand
nombre d'évènements.
•
On retrouve avec l'espérance une valeur moyenne,
alors que la loi binomiale mixe un très grand
nombre avec un très petit nombre, ce qui est
mécaniquement un source d'erreurs
Interprétation résultats
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Probabilité que tous les tests soient bons dans la
série de 5000: 36%
•
Probabilités de détecter une anomale : 36%
•
Probabilité de détecter 6 anomalies : 5/10000
CARACTÉRISTIQUES POISSON
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Mode : partie entière de m
•
Espérance mathématique = m
•
Variance = m
CONDITIONS D'APPLICATION POISSON
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Approximation binomiale par Poisson P(np) vue
dans application
•
Règle : approximation ok si n> 30 et p <0,1 et
np(1-p) < 5
•
Avantage 1 paramètre, d'ou emploi de tables
CONDITIONS D'APPLICATION POISSON
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
La loi de Poisson peut aussi être la résultante
d'un Processus de Poisson
•
Un processus de Poisson correspond à à la
réalisation d'évènements aléatoires dans le
temps : arrivée bateaux, trains, avions à
destination, appels téléphoniques, clients au
guichet, pannes machines
•
Le processus de Poisson répond aux hypothèses
suivantes :
· Probabilité de réalisation d'un événement au
cours d'une petite période infinitésimale de
temps dt est proportionnelle à cette durée de
temps dt. Elle tend donc vers 0 si dt tend vers
0
· Evènements indépendants entre eux et
indépendants du temps
AJUSTEMENT POISSON A UNE
DISTRIBUTION OBSERVEE
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Soit une distribution observée qui semble a priori
relever d'une distribution théorique de Poisson.
•
Premier contrôle : vérifier égalité moyenne et
variance
•
Si écart trop fort considérer plutôt la moyenne
empirique plutôt que la variance empirique
•
Comparer ensuite probabilités théoriques avec
distribution observée
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
UV205
MATHEMATIQUES
Paragraphe No 6
VARIABLES ALEATOIRES
ET LOIS DE PROBABILITE CONTINUES
Quizz
•
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Variable aléatoire continue ?
Loi de probabilité continue ?
Caractéristiques d'une variable
aléatoire continue ?
Loi normale ?
Loi exponentielle ?
Validité de l'ajustement d'une loi
de probabilité à une distribution
observée?
Objectifs
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Notre démarche d'analyse s'adresse maintenant
aux variables aléatoires continues.
Plan
• Variable aléatoire continue
• Loi de probabilité continue
• Extension à deux dimensions
• Caractéristiques d'une variable
aléatoire continue
• Loi normale
• Loi de probabilité exponentielle
• Validité de l'ajustement d'une loi
de probabilité à une distribution
observée
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Variable aléatoire continue
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Une variable aléatoire continue est une variable dont
l'ensemble de définition est un intervalle (ou une réunion
d’intervalles)
• Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la définition
de la loi de probabilité qui lui est attachée exige quelques
précautions.
• Le nombre de points que contient l’intervalle de définition
est infini non dénombrable.
• Il en résulte qu’à une valeur déterminée de la variable
aléatoire correspond une probabilité nulle.
• On est donc conduit à définir la loi de probabilité de x par la
probabilité que appartienne à l’intervalle ouvert −∞,x
• c’est à dire par sa fonction de répartition
]
[
Loi de probabilité continue
•
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La loi de probabilité d’une variable aléatoire continue est définie
par sa fonction de répartition F(x)
F(x) = P(X<x)
F(x) est une fonction positive croissante avec
lim F(x) = 0 quand x -> - oo
lim F(x) = 1 quand x -> + oo
La représentation graphique de la fonction de répartition est la
courbe cumulative ou courbe de répartition.
F(x)
x
Probabilité attachée à un intervalle
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
P(a<=X<b) = P(X<b) - P(X<=a) = F(a) - F(b)
F(x)
F(b)
F(a)
x
a
b
Densité de probabilité
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Densité moyenne
F (b) − F (a)
f (a, b) =
b−a
•
Densité en un point : dérivée de la fonction de
répartition (par définition de la dérivée)
Probabilité élémentaire
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Probabilité élémentaire pour que la variable
aléatoire X prenne une valeur inférieure à
l'intervalle dx entourant le point x :
P( x ≤ X < x + dx ) = f ( x )dx
•
Dans l'intervalle (a,b)
a
P(a ≤ X < b) =
∫
f (x )dx = F (b) − F (a)
b
•
Cette probabilité correspond à l'aire rouge
Probabilité élémentaire
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
L'aire comprise entre la courbe de densité de
probabilité et l'axe des abcisses est égale à 1.
Caractéristique d'une variable aléatoire
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La définition de l'espérance mathématique, de la
variance et de la covariance s'appliquent aux
variables aléatoires continues.
Propriétés identiques que pour les variables
discrètes
Loi Normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La loi normale ou loi de Laplace-Gauss est
une des distributions que l'on rencontre le
plus souvent.
• C'est la loi suivie par une variable
aléatoire qui est la résultante d'un grand
nombre de causes indépendantes dont les
effets s'additionnent et dont aucune n'est
prépondérante.
Loi Normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La densité de probabilité de la loi normale
f (x) =
1
2πσ
e
1 x −m 2
)
− (
2 σ
• La loi normale dépend de deux
paramètres m (espérance mathématique)
et σ (écart type)
X → N(m, σ )
Loi Normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
10 ecart type
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
10,5
11
11,5
12
12,5
13
13,5
14
14,5
15
15,5
16
16,5
17
17,5
18
18,5
19
19,5
20
2
7,4336E-07
2,51475E-06
7,99187E-06
2,38593E-05
6,69151E-05
0,000176298
0,000436341
0,001014524
0,002215924
0,004546781
0,00876415
0,015869826
0,026995483
0,043138659
0,064758798
0,091324543
0,120985362
0,150568716
0,176032663
0,193334058
0,19947114
0,193334058
0,176032663
0,150568716
0,120985362
0,091324543
0,064758798
0,043138659
0,026995483
0,015869826
0,00876415
0,004546781
0,002215924
0,001014524
0,000436341
0,000176298
6,69151E-05
2,38593E-05
7,99187E-06
2,51475E-06
7,4336E-07
4
0,00438208
0,00594298
0,00793491
0,01043025
0,01349774
0,01719657
0,02156933
0,02663457
0,0323794
0,03875307
0,04566227
0,05296916
0,06049268
0,06801375
0,07528436
0,08204024
0,08801633
0,09296377
0,09666703
0,09895942
0,09973557
0,09895942
0,09666703
0,09296377
0,08801633
0,08204024
0,07528436
0,06801375
0,06049268
0,05296916
0,04566227
0,03875307
0,0323794
0,02663457
0,02156933
0,01719657
0,01349774
0,01043025
0,00793491
0,00594298
0,00438208
6
0,01657952
0,01898378
0,02158627
0,02437566
0,02733501
0,03044151
0,03366645
0,03697536
0,04032845
0,04368123
0,04698531
0,05018957
0,05324133
0,0560878
0,05867755
0,06096206
0,0628972
0,06444469
0,06557329
0,06625991
0,06649038
0,06625991
0,06557329
0,06444469
0,0628972
0,06096206
0,05867755
0,0560878
0,05324133
0,05018957
0,04698531
0,04368123
0,04032845
0,03697536
0,03366645
0,03044151
0,02733501
0,02437566
0,02158627
0,01898378
0,01657952
8
0,02283114
0,02463818
0,02648458
0,02835837
0,03024634
0,03213424
0,03400687
0,03584833
0,03764218
0,03937169
0,04102012
0,04257095
0,04400817
0,04531654
0,04648189
0,04749133
0,04833351
0,04899886
0,04947971
0,04977048
0,04986779
0,04977048
0,04947971
0,04899886
0,04833351
0,04749133
0,04648189
0,04531654
0,04400817
0,04257095
0,04102012
0,03937169
0,03764218
0,03584833
0,03400687
0,03213424
0,03024634
0,02835837
0,02648458
0,02463818
0,02283114
0,25
0,2
Série1
0,15
Série2
Série3
0,1
Série4
0,05
0
0
5
10
15
20
25
Loi Normale centrée réduite
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• En faisant le changement de variable
t=(x-m)/σ, on obtient une expression
beaucoup plus simple de la loi normale,
de paramètre m=0 et σ = 1
y(t ) =
1
2π
e
t
−
2
2
Loi Normale centrée réduite
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Moyenne
0 ecart type
-3
-2,8
-2,6
-2,4
-2,2
-2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
1
0,00443185
0,00791545
0,01358297
0,02239453
0,03547459
0,05399097
0,07895016
0,11092083
0,14972747
0,19418605
0,24197072
0,28969155
0,3332246
0,36827014
0,39104269
0,39894228
0,39104269
0,36827014
0,3332246
0,28969155
0,24197072
0,19418605
0,14972747
0,11092083
0,07895016
0,05399097
0,03547459
0,02239453
0,01358297
0,00791545
0,00443185
0,00238409
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
Série1
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La taille des étudiants se distribue selon une loi normale
de moyenne égale à 175 cm et d’écart-type égal à 8 cm.
• Pourcentage des étudiants ayant une taille supérieure à
1,83 m
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La taille des étudiants du CPE se distribue selon une loi
normale de moyenne égale à 175 cm et d’écart-type égal
à 8 cm.
• Pourcentage des étudiants ayant une taille supérieure ou
égale à 1,83 m
• P(X>=183) est donné par l'aire sous la courbe normale
dont les paramètres sont m = 175 et s = 8 à droite de
x=183
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
150
152
154
156
158
160
162
164
166
168
170
172
174
176
178
180
182
0,00037778
0,00079977
0,00159052
0,00297149
0,00521512
0,00859828
0,01331728
0,01937653
0,02648458
0,03400687
0,04102012
0,04648189
0,04947971
0,04947971
0,04648189
0,04102012
0,03400687
0,000889025
0,002020137
0,004332448
0,008774475
0,016793306
0,030396362
0,052081279
0,084565722
0,130294517
0,190786953
0,265985529
0,353830233
0,450261775
0,549738225
0,646169767
0,734014471
0,809213047
183 0,03024634 0,841344746
184
186
188
190
192
194
196
198
200
202
204
206
208
0,02648458
0,01937653
0,01331728
0,00859828
0,00521512
0,00297149
0,00159052
0,00079977
0,00037778
0,00016764
6,9883E-05
2,7366E-05
1,0068E-05
0,869705483
0,915434278
0,947918721
0,969603638
0,983206694
0,991225525
0,995667552
0,997979863
0,999110975
0,999630922
0,999855519
0,999946688
0,999981463
1,2
1
0,8
0,6
Série1
Série2
0,4
0,2
0
0
50
P(X>183)
100
0,1587
150
200
250
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La taille des étudiants du CPE se distribue selon une loi
normale de moyenne égale à 175 cm et d’écart-type égal
à 8 cm.
• Pourcentage des étudiants ayant une taille supérieure ou
égale à 1,83 m
• P(X>138) est aussi égale à l'aire sous la courbe normale,
centrée, réduite, à droite du point z qui correspond à la
valeur 1
183 − 175
t =
=1
8
• La table Π(t) donne P(X<1)=0,8413
• P(X>=1)=1 - 0,8413 = 0,1587
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Probabilité pour que la taille soit < 1,83 = 0,8413
• Probabilité pour que la taille soit comprise entre 1,78 m
et 1,83 ?
• La valeur de la variable normale centrée réduite pour 1,78
178 − 175
z =
= 0,375
8
• P(1,78 <= X < 1,83) = Π(1) - Π(0,375) = 0,8413 - 0,646
• P = 0,195
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La table P(t) a été établie pour permettre de déterminer
l'intervalle de confiance associé à une estimation sur
un échantillon.
• Elle donne les valeurs de t telles qu'il y ait une probabilité
P pour que t se trouve dans l'intervalle (-tlim, +tlim)
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
P (t)
Probabilité
t:
variable
normale
centrée
réduite
Π(t)
P(t)
P (t)
Probabilité
t:
variable
normale
centrée
réduite
P
t
1-P
P/2
t
P/2
P
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
P (t)
Probabilité
t:
variable
normale
centrée
réduite
Π(t)Attention : la
P (t)
logique
de
Probabilité
détermination de P
n'est pas
symétrique
P(t)
t:
variable
normale
centrée
réduite
P
t
1-P
P/2
t
P/2
P
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Déterminer l'intervalle (-tlim,+tlim) tel que la probabilité
que t se trouve à l'intérieur de cet intervalle soit égale à
99%
•
-tlim
+tlim
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Déterminer l'intervalle (-tlim,+tlim) tel que t se trouve à l'intérieur de
cet intervalle soit égale à 99%
• P(-tlim<=t<+tlim) = 1 - P(t) = 0,99
-tlim
• P(t) = 0,01 = > t=2,5758
+tlim
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Déterminer la valeur de t telle que
• P(t<tlim) = 95%
Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Déterminer la valeur de t telle que
• P(t<tlim) = 95%
• P/2 + (1-P) = 0,95
• P/2 - 2P/2 = 0,95 - 1
• P/2 = 0,05
• P = 0,1 ==> t = 1,6449
Approximation Loi binomiale / Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• X = B(n;p)
• n -> OO
• P # 0 et q # 1
OU
P # 1 et q # 0
• m=n. p
•
σ = npq
• L'approximation est acceptable dès que npq>9
Approximation Loi binomiale / Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On tire avec remise un échantillon de taille n=50 dans une
population contenant une proportion p = 0,3 de personnes
possédant le caractère "joue au loto"
• Soit X le nombre d'individus présentant ce caractère dans
l'échantillon
• Probabilité P(15<=X<18)
Approximation Loi binomiale / Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On tire avec remise un échantillon de taille n=50 dans une
population contenant une proportion p = 0,3 de personnes
possédant le caractère "joue au loto"
• Soit X le nombre d'individus présentant ce caractère dans
l'échantillon
• Probabilité P(15<=X<18)
• =P(15<=X<=17) = P(15)+P(16)+P(17) = 0,3354
11 12 14 15 16 17 18 19 20
Approximation Loi binomiale / Loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
11 12 14 15 16 17 18 19 20
• P(15)+P(16)+P(17) = F(17+1/2) - F(15-1/2)
•
•
=F(17,5) - F(14 ,5)
= Π(0,77) - Π(-0,15)
•
= Π(0,77) - (1-Π(0,15))
•
=
• =0,7794-0,4404 = 0,3390
Loi moyenne gros échantillon
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
_
• La moyenne x d'un gros échantillon de taille n, tiré avec
remise dans une population de moyenne m et d'écart type
σ suit approximativement, quelle que soit la loi de
distribution de X dans la population, suit une loi normale
de moyenne m et d'écart type
σ n
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
UV205
MATHEMATIQUES
CHAPITRE No 7
Statistiques inductives
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Quelles relations entre les caractéristiques d'une
population de plusieurs milliers d'éléments et celle d'un
échantillon de quelques dizaines extrait au hasard de
cette population ?
Quizz
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population
Recensement
Echantillon
Sondage
Inférence statistique
Tirage simple
Tirage exhaustif ou non exhaustif
Plan d'expérience
Distribution d'échantillonnage
Retour sur quelques distributions
• Quelles autres distributions
utiles, hormis Bernouilli (Loi
binomiale), Poisson et Gauss
(Loi normale)
• Distribution Gamma
• Distribution exponentielle
• Distribution du Chi Carré
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Distribution Gamma
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Dans l’étude de la durée de vie d’un équipement
industriel ainsi que dans d’autres domaines, on
rencontre souvent la distribution Gamma (du nom
de la fonction mathématique Gamma)
xα - 1 e-(x/β)
f(x) = __________ avec X>0
βα Γ(α)
Γ(α ) =
∫
∞
0
xα - 1 e - x dx
Distribution Gamma
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le raisonnement mathématique (intégration par
partie) démontre :
Γ(α + 1) = α Γ(α )
=> Γ(α + 1) = α ! (Fonction factorielle)
On démontre que la moyenne et la variance de la
distribution Gamma :
µ = E(X) = β α
σ2 = E(X2) - µ2 = β2 α
Distribution Exponentielle
La distribution exponentielle est un cas particulier
de la fonction Gamma où α = 1
e-(x/β)
f(x) = __________
β
Cette distribution survient, par exemple, dans
l'étude de la durée de vie d'une substance radioactive.
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Si le taux de désintégration d'une quantité y de
substance radioactive est proportionnelle à la
quantité de substance qui reste au temps t, alors y
vérifie une équation différentielle qui s'écrit :
dy
---- = - λ y
dt
où λ est une constante dont la valeur dépend de la
nature de la substance radioactive étudiée
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
La solution de cette équation est y = y0 e - λt
y0 est la quantité de substance au temps t = 0
Puisque (y0 - y)/y0 désigne la fraction de la
substance de départ désintégrée en t unités de
temps, c'est aussi la probabilité qu'un atome de
cette substance choisi au hasard se désintègre en t
unités de temps.
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Si X représente la durée de vie de cet atome
y0 - y
F(t) = P(X <= t) = --------- = 1 - e - λt
y
Cette expression donne la fonction de répartition de
la variable aléatoire X en X=t
En dérivant F(t) par rapport à t, on obtient la fonction
de densité en X = t.. Soit
f(t) = λ e - λt
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
f(t) = λ e - λt
Une comparaison de ce résultat avec la définition de
la distribution exponentielle
e-(x/β)
f(x) = ----β
indique que la densité de la variable aléatoire X, où
X est la durée de vie d'un atome radioactif, se
distribue selon une loi exponentielle de paramètre
β=1/λ
Cette relation fait qu'on définit souvent la distribution
Gamma en fonction des paramètres α et λ, plutôt
que α et β.
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
On a déterminé que la distribution exponentielle est
un modèle approprié pour calculer la probabilité
qu'une machine fonctionne convenablement
pendant une durée totale de t unités de temps avant
de tomber en panne.
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Un fabricant de matériel électronique sait par
expérience que son matériel fonctionne en
moyenne 2 ans sans réparation et que la durée
avant d'atteindre la première panne suit une
distribution exponentielle. S'il garantit son matériel
pour une durée d'un an, quelle proportion de ses
clients devra-t-il dépanner si ces pannes se
produisent pendant la première année ?
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Un fabricant de matériel électronique sait par expérience que son matériel
fonctionne en moyenne 2 ans sans réparation et que la durée avant d'atteindre
la première partie suit une distribution exponentielle. S'il garantit son matériel
pour une durée d'un an, quelle proportion de ses clients devra-t-il dépanner si
ces pannes se produisent pendant la première année ?
Puisque β = 2 est la moyenne de la distribution exponentielle,
la densité qui s'applique dans ce cas est f(x) = e-x/2/2
Calculons P(X<1)
En posant t = x/2
1
P(X<1) =
1/2
/ e-x/2 /2 dx = / e-t dt
0
= 0,39
0
Même si la durée de vie moyenne est le double de la durée de
vie garantie, la probabilité que l'équipement tombe en panne
avant l'expiration de la garantie est forte
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Une autre application intéressante de la distribution
exponentielle est en relation avec la distribution de Poisson.
On peut démontrer que, si le nombre de réalisations d'un
évènement dans une unité de temps suit une distribution de
Poisson de paramètre µ, alors le temps entre deux réalisations
successives de l'évènement se distribue selon une loi
exponentielle de paramètre β = 1/µ
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le nombre moyen de clients qui se présentent à une caisse
d'un supermarché sur un intervalle de 5 minutes est de 10.
On suppose que le nombre de clients suit une distribution de
Poisson.
Quelle est la probabilité qu'aucun client ne se présente à une
caisse dans un intervalle de 2 minutes ?
Distribution Exponentielle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le nombre moyen de clients qui se présentent à une caisse d'un supermarché
sur un intervalle de 5 minutes est de 10.
On suppose que le nombre de clients suit une distribution de Poisson.
Quelle est la probabilité qu'aucun client ne se présente à une caisse dans un
intervalle de 2 minutes ?
Puisque µ = 10 clients dans un intervalle de 5 minutes, µ = 2
clients dans un intervalle d'une minute.
La moyenne de la distribution exponentielle qui donne le
temps en minutes entre les arrivées est donnée par
β = 1/ µ = 1/2
La distribution exponentielle associée f(x) = 2 e-2x avec x > 0
où x représente la durée en minutes entre des arrivées
successives. En effectuant la substitution t = 2 x
∞
∞
P(x>=2) = / 2 e-2x dx = / e-tdt = e-4 = 0,018
2
4
Distribution Exponentielle
∞
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
∞
P(x>=2) = / 2 e-2x dx = / e-tdt = e-4 = 0,018
2
4
Ce résultat se traduit : si le nombre moyen de clients qui se
présentent dans ce supermarché sur une journée est 960, le
nombre moyen de creux d'au moins 2 minutes (périodes sans
clients) est de 960 * 0,018 = 17
Distribution du Chi Carré
La distribution du chi carré est un autre cas particulier de la
distribution gamma avec de nombreuses applications
statistiques
On l'obtient en choisissant β = 2 et en écrivant α = ν / 2
x (ν / 2) - 1 e-(x/2)
f(x) = ______________ avec x>0
2 (ν / 2) Γ(ν / 2)
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Distribution du Chi Carré
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Cette transformation est associée à divers problèmes
statistiques
ν est appelé nombre de degrés de liberté
On peut calculer la moyenne et la variance d'une variable du
chi carré
En posant β = 2 et α = ν / 2
dans les formules
µ = E(X) = β α
µ=ν
σ2 = 2 ν
σ2 = E(X2) - µ2 = β2 α
Introduction à la statistique inductive
• Soient des données collectées dans le
monde réel, caractéristiques d'une
population : données empiriques
• Soient des données théoriques issues
de modèles mathématiques, ceux des
lois de probabilité
• Est-il possible de prévoir la valeur de
ces caractéristiques en déterminant la
loi de probabilités qui les régit à partir de
l'analyse d'une échantillon de la
population ?
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Sondage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Lorsqu'on doit évaluer une caractéristique
X d'une population P (sexe ou taille d'êtres
vivants, goûts musicaux ou culinaires de
personnes, qualité de fabrication de
pièces), deux méthodes peuvent être
employées.
• Le recensement consiste à mesurer la
valeur du caractère chez tous les individus.
• Le sondage limite l'analyse à un sousensemble appelé échantillon
Sondage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• De nombreuses raisons évidentes militent
pour la seconde méthode
• La faisabilité
• La rapidité
• Le coût moins élevé
• Mais la méthode a bien sûr ses faiblesses
• Les valeurs de l'échantillon ne représentent
qu'accidentellement celles de la population : ce
sont des variables aléatoires
• L'écart entre échantillon et population est
d'autant plus grand que l'échantillon est
atypique (erreur d'échantillonage)
Sondage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Seule une sélection effectuée parfaitement
au hasard permet d'éliminer toutes les
causes de déviation systématique (biais)
• Exemple : dans une enquête sur les goûts
alimentaires (Aimez-vous le yaourt à la
vanille ?) il faut s'assurer d'équilibrer
hommes et femmes, actifs et inactifs, forts
et faibles pouvoir d'achat.
• Dans une population P de p individus,
chacun aura la probabilité 1/p de figurer
dans l'échantillon.
Sondage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Il faut donc :
• Une « population » P
• Une variable aléatoire X associée à cette
population
• Un échantillon E de P
• Exemple :
• Soit X le nombre de pièces
défectueuses repérées dans un lot E
de 100 pièces soumises à un contrôle,
au sein d'une production P de 5000
Echantillonage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Choisir l’échantillon
de population le
plus représentatif
du comportement
de l’ensemble
Echantillonage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La collecte des données empiriques d'un
échantillon pose divers problèmes
• Pertinence du choix de l'échantillon
(représentativité)
• Importance ou non de l'ordre d'arrivée des
données
• Classification des données
• Représentation des données
(histogrammes des valeurs en répartissant
les données en classes autour des centres
de classes)
Echantillonage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• En statistique, la population des résultats
désigne la totalité des résultats
expérimentaux possibles
• Un échantillon de la population est un
ensemble de données rassemblées en
réalisant l'expérience un certain nombre de
fois.
• L'inférence statistique consiste à tirer
des conclusions théoriques au sujet d'une
population au moyen d'un échantillon
extrait empiriquement de cette
population.
Inférence
Données
expérimentales
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Loi
Construire un modèle
Processus d’inférence inductive
Si données statistiques => Inférence statistique
Inférence et densité de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Le choix du mathématicien
• Modèle qui prédise les résultats
associés à un tirage de 100 pièces
• Ou
• Modèle qui prédise la fréquence des
différentes valeurs de X
• Le choix 2 conduit à retenir comme modèle
des fonctions de densité de variables
aléatoires et les inférences statistiques
s'appliquent généralement aux fonctions
de densité
Base théorique pour l'échantillonnage : Moments empiriques
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Pour étudier une distribution d'un
ensemble de valeurs, les histogrammes
procurent beaucoup d'informations
générales
• La description mathématique fournit des
informations plus précises et plus utiles
• Cette description est basée les moments
• Moments d'ordre 1, 2, 3, ..., n
• Dans la pratique 1 et 2
Moments empiriques
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Soit x1, X2, ..., Xn les valeurs observées
d'un échantillon de taille n de la variable
aléatoire X
• Le moment d'ordre k centré sur l'origine
d'une distribution empirique est donné par
1
mk = --n
n
Σx
k
i
i=1
Moments empiriques
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Le moment d'ordre k centré sur la moyenne
d'une distribution empirique est donné par
1
mk = --n
n
Σ (x
i
i=1
- x)k
Moments empiriques
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Le moment d'ordre 1, x, est le centre de
gravité de la distribution empirique.
• Cette moyenne de l'échantillon sert à
estimer la moyenne théorique µ
1
x = --n
n
Σ (x )
i
i=1
Moments empiriques
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Puisque σ2 est le moment d'ordre 2 d'une
distribution théorique, le moment d'ordre 2
d'une ditribution empirique est tout
naturellement associé à la variance.
• s2 est la variance de l'échantillon
• L'écart type est s
• Noter le n-1
1
s2 = --n-1
n
Σ (x
i
i=1
- x)2
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Soit la distribution empirique du tableau ci-dessous
concernant des durées en secondes de
conversations téléphoniques.
• Tracer l'histogramme, calculer la moyenne et
l'écart-type de cet échantillon
• Déterminer les pourcentages approximatifs de
données qui se situent dans les intervalles x-s et
x+s, x-2s et x+2s
Xi 49,50 149,50 249,50 349,50 449,50 549,50 649,50 749,50 849,50 949,50
fi
6
28
88
180
247
260
133
42
11
5
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
300
250
200
Série1
150
100
50
0
1
2
173
3
4
5
6
324
7
8
9
10
626 777
475
Xi 49,50 149,50 249,50 349,50 449,50 549,50 649,50 749,50 849,50 949,50
fi
6
28
88
180
247
260
133
42
11
5
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'histogramme suggère une loi normale
• Dans une loi normale, les intervalles (µ - σ, µ + σ)
et (µ - 2σ, µ + 2σ) comprennent respectivement 68
et 95% de l'aire
• Dans la distribution empirique on considère (x - s, x
+ s) et (x - 2s, x + 2s)
•
•
•
•
Les calculs donnent :
x = 475,2
s = 151
Les intervalles recherchés (324,626) et (173, 777)
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On détermine approximativement le nombre
d'observations à l'intérieur de ces intervalles en
supposant une répartition uniforme
• 678 appels dans le premier intervalle (67,8%)
• L'intervalle (173,777) exclut 52 appels (5,2%)
• Résultats très conformes à la loi normale malgré un
histogramme irrégulier
Tests d'hypothèses
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Généralement, une hypothèse statistique est une
affirmation sur la fonction de densité d'une variable
aléatoire.
• Affirmer qu'une variable aléatoire se distribue selon
une loi normale est un exemple d'hypothèse
statistique
• Dans la plupart des cas on va supposer la fonction
de densité connue et l'hypothèse va porter sur une
affirmation concernant la valeur d'un paramètre de
cette fonction de densité
• Exemple : Hypothèse que la moyenne d'une
variable aléatoire de Poisson est égale à 10
Tests d'hypothèses
• Un test d'hypothèse statistique définit une
procédure d'acceptation ou de rejet d'une
hypothèse
• Cette définition assure une liberté au statisticien
pour concevoir son test
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population vs Echantillon
• Définitions
• Caractéristiques
• Notations
• Loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Retour sur l'échantillonnage : définitions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Tirage simple
• Tirage exhaustif : un individu déjà sélectionné n'est pas
remis dans la population "mère" et ne peut donc être
sélectionné à nouveau
• Tirage non exhaustif : un individu déjà sélectionné est remis
dans la population mère et peut donc être tiré une nouvelle
fois
• Plan d'expérience : Etude des méthodes d'échantillonnage et
des problèmes qui s'y rattachent
• Echantillon aléatoire : chaque individu de la population mère
a la même probabilité d'appartenir à l'échantillon
• Distribution d'échantillonnage. Considérons tous les
échantillons de taille n tirés de la population mère et, pour
chacun d'eux, calculons une caractéritique C (moyenne,
variance). L'ensemble des valeurs de C donne la distribution
d'échantillonnage de C
Population vs échantillon : Population
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La distribution du caractère quantitatif X dans la population
mère P est caractérisée par le tableau No 1 :
Modalités
X1
...
Xi
...
Xq
Effectifs
N1
...
Ni
...
Nq
Fréquences
N1
P1 = --N
...
Ni
Pi = --N
...
Nq
Pq = --N
Population vs échantillon : Population
Cette population est de plus caractérisé par ses moments.
La moyenne (empirique):
p
M =
Σ (f X )
i i
i=1
La variance (empirique):
p
σ2 =
Σf
i
i=1
(Xi - M)2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population vs échantillon : Echantillon
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le prélèvement de n individus dans P conduit à un échantillon
de taille n.
Il y a
CNn échantillons de taille n possibles
La distribution du caractère quantitatif X dans cet échantillon est
caractérisée par le tableau No 2:
Modalités
x1
...
xi
...
xq
Effectifs
n1
...
ni
...
nq
Fréquences
n1
f1 = --n
...
ni
f1 = --n
...
nq
f1 = --n
Population vs échantillon : Echantillon
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Cet échantillonnage est de plus caractérisé par ses moments.
La moyenne :
n
x =
Σ (f X )
i i
i=1
La variance :
n
s2 =
Σ f (X - X)
i
i=1
i
2
Population vs échantillon : Distribution d'échantillonnage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Les CNn moyennes des CNn échantillons
différents consituent la distribution
d'échantillonnage des moyennes.
• Celle ci est aussi caractérisable par une
moyenne et un écart-type
Population vs échantillon : notations
Notations
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population
Echantillon
Taille
N
n
Moyenne
M
x
Ecart-type
σ
s
Fréquence
p
f
Population vs échantillon : Loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'échantillon est obtenu par n tirages successifs.
• Chacun de ces tirages représente une expérience aléatoire
dont le résultat est xi
Modalités
x1
...
xi
...
xq
Probabilités
P1
...
Pi
...
Pq
• Aux n tirages de l'échantillon sont donc associées n variables
aléatoires Xi de même loi de probabilité.
• Les tirages étant non exhaustifs (tirages avec remise) ces n
variables sont indépendantes
• P(X1 = Xa, X2 = Xb, ...) = P(X1 = Xa)*P(X2=Xa)
Estimation et Distribution d'échantillonnage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Suivant que la distribution du caractère X dans la population
mère P est connue ou non, 2 problèmes peuvent être
abordés.
• Pb No 1 : Connaissant x et s2, que peut on dire de la
moyenne M et de la variance σ2 de la population mère ?
• Ce problème est celui de l'estimation. Comment décrire la
population mère à partir d'un échantillon ? La grandeur
caractéristique de l'échantillon est l'estimateur.
• Pb No 2 : Connaissant la distribution de X dans P et les
valeurs de M et σ2 , que peut-on dire des caractéristiques d'un
échantillon tiré au hasard ?
• Ce problème est celui de la théorie des distributions
d'échantillonnage, qui étudie les distributions de toutes les
caractéristiques de l'échantillon tiré au hasard.
Distribution d'échantillonnage
• Distribution des moyennes
• Distribution des fréquences
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Distribution d'échantillonnage : cas des moyennes
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Cette théorie étudie les distributions de toutes les
caractéristiques de l'échantillon tiré au hasard : variables xi,
moyennes, variances et fréquences
• Considérons le cas des moyennes
• Considérons le cas où les variables aléatoires Xi sont
indépendantes (tirage non exhaustif) et de même loi de
probabilité normale dont l'écart-type est connu
• xn est défini comme X1 + X2 + ... + Xi + ... Xn / n
• Le théorème "Central limit" dit que la loi de la moyenne
centrée réduite de n variables aléatoires indépendantes peut
être approximée par une loi normale (centrée, réduite) avec
une précision d'autant plus grande que n est grand.
• La variable centrée réduite T =( xn - E(xn)) / σ(xn)
suit donc une loi normale centrée réduite si n est assez grand
Distribution d'échantillonnage des moyennes
On démontre (démonstration au tableau)
E(X) = M
σ(X) = σ / V n
Il en résulte que la moyenne de l'échantillon suit
approximativement une loi normale N(moyenne population,
écart type population divisé par racine carré de l'échantillon)
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Distribution d'échantillonnage des moyennes
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
C'est ici qu'il faut bien comprendre les composantes du
problème posé
Le problème posé est de déduire la distribution
d'échantillonnage de la moyenne fondée sur un échantillon
aléatoire de taille n extrait d'une population normale N.
Soit X distribué selon une loi normale de moyenne M et de
variance σ2
Nous envisageons un échantillon aléatoire de taille n prélevé
dans cette population
La moyenne de cet échantillon :
1
X = --- (X1 + X2 + ... + Xn)
n
Distribution d'échantillonnage des moyennes
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Cette moyenne est une variable aléatoire parce que
les Xi qui la composent sont des variables
aléatoires
• Après le prélèvement, X est un nombre
• Avant le prélèvement, c'est une variable aléatoire
dont les valeurs dépendent des valeurs prises par
la variable de départ X
• Il faut déterminer la fonction de densité de X
• Nous avons vu que la variable X est une variable
normale de moyenne M et de variance σ2/n
Distribution d'échantillonnage des moyennes
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On peut donc exprimer le théorème selon lequel :
• Si X se distribue selon une loi normale de
moyenne M et de variance σ2 et si on prélève un
échantillon aléatoire de taille n, la moyenne de
l'échantillon X se distribue selon une loi
normale de moyenne M et de variance σ2/n
• Ce théorème démontre que la précision d'une
moyenne d'un échantillon qui estime la moyenne
d'une population augmente lorsque la taille de
l'échantillon croit
• Il faut prélever un échantillon quatre fois plus
important si on veut doubler la précision de
l'estimateur.
Distribution d'échantillonnage des moyennes
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous avons considéré le cas du tirage non
exhaustif dans une population dont l'écart type est
connu.
• Dans le cas d'un tirage sans remise, on doit corriger
l'écart type, avec un coefficient d'exhaustivité
N −n
N −1
• Dans le cas où l'écart-type n'est pas connu, on en
fait une estimation ponctuelle (Loi de Student vue
plus loin)
Distribution d'échantillonnage des fréquences
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La fréquence d'échantillons est la variable aléatoire
F
• Dans le cas d'échantillons indépendants (tirage
avec remise)
F = P(n,p)
Si n>=30 et np(1-p) < 5
F => B(n,p)
Si n>=30 et np(1-p) < 5
F =>N dont E(F) = p et σ(F)= V (p)(1-p) / n
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Un fabricant de fil synthétique de canne à pêche a
déterminé après une longue période d'essai que la
résistance à la rupture de son fil se distribue
approximativement selon une loi normale de
moyenne égale à 30kg et d'écart type égal à 4 kg.
• Il modifie son processus de fabrication pour gagner
du temps.
• On prélève un échantillon de 25 pièces dans la
production du nouveau processus et on mesure la
moyenne de cet échantillon qui est égale à 28 kg.
• Quelle est la probabilité d'avoir une résistance
moyenne à la rupture inférieure ou égale à 28 kg si
le nouveau processus ne diminue pas la résistance
à la rupture ?
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Soit X la résistance à la rupture d'un morceau de fil
choisi au hasard et supposons que X soit une
variable normale avec µ = 30 et σ = 4.
• Suivant le théorème précédent, la moyenne de
l'échantillon calculée sur un échantillon de taille n =
25 suit une loi normale de moyenne m(x) = 30 et
d'écart type σ(x) = 4 / (25)1/2 = 0,8
• Il en résulte
• P(X<=28) = P(Z <= -2,5) avec Z = x - m(x) / σ(x)
• Z est une variable normale, centrée, réduite. On
détermine sa probabilité à partir de la table.
• P = 0,006
Estimation
• Principe
• Estimation ponctuelle
• Estimation par intervalles de confiance
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Estimation
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous venons de voir que la théorie des distributions
d'échantillonnage avait pour but de déduire la
connaissance des distributions des variables
aléatoires de l'échantillon à partir de la
connaissance de la distribution de X dans la
population mère.
• La théorie de l'estimation se propose de résoudre le
problème inverse.
• L'estimation est la recherche de la valeur d'une
caractéristique inconnue Θ d'une population mère,
à partir des observations faites sur un échantillon
• Un estimateur T de Θ est une fonction des valeurs
observées sur un échantillon ayant pour but de
fournir une valeur de Θ
Estimation
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous nous attachons plus particulièrement à
trouver une estimation, autrement dit une
approximation de la moyenne M et de l'écart-type σ
de la population lorsque le caractère X est supposé
suivre une loi de Gauss.
• Nous nous proposons aussi d'estimer une
proportion p d'une modalité X dans la population
mère.
• Dans ces travaux, nous déduisons toujours la
valeur approchée du paramètre Θ à estimer, à partir
de l'observation d'un échantillon de taille n.
Estimation : deux méthodes
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'estimation ponctuelle détermine pour le paramètre
Θ cherché une valeur approchée unique .
• L'estimation par intervalle de confiance détermine
un "intervalle de confiance" qui a une grande
probabilité de contenir la valeur exacte de Θ
Estimation ponctuelle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Cette méthode utilise un estimateur ponctuel du
paramètre inconnu Θ.
• Il s'agit d'une fonction à plusieurs variables Tn (X1,
X2, ..., Xn) qui aux n variables aléatoires Xi de
l'échantillon fait correspondre une variable aléatoire
Tn appelée estimateur.
• Cette fonction est telle que si les résultats d'un
sondage sont : X1=x1, X2=x2, ....., Xn = xn, la
valeur numérique Tn est une valeur approchée du
paramètre Θ à estimer
• L'estimation ponctuelle est la valeur unique fournie
pour le paramètre Θ par l'estimateur retenu
Estimation ponctuelle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Supposons que la moyenne M du caractère X dans
la population mère puisse être estimée par la
moyenne m (x) des valeurs observées dans
l'échantillon (mn)
• Ceci revient à dire que mn est un estimateur
ponctuel de M
• Soit Tn(X1, X2, ..., Xn) = 1/n Σ xi = mn
• Si dans un échantillon de taille 3 on trouve X1=2,
X2=6, X3=4,
• La moyenne M pourra être estimée par la valeur
T3(2,6,4) = 1/3(2+6+4) = 4
Estimation ponctuelle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Pour que la valeur approchée du paramètre Θ,
fournie par l'estimateur ponctuel, comporte une
précision suffisante, et surtout pour que cette
précision s'améliore lorsque la taille n de
l'échantillon augmente, il faut que l'estimateur
réponde aux conditions suivantes :
• E(Tn) = Θ
• V(Tn) -> 0 quand n -> ∞
• L'estimateur est dit alors "absolument correct"
• L'estimateur est une variable aléatoire, souvent
notée avec un accent circonflexe (^m, ^p) dont on
connaît, grâce à l'échantillon, une réalisation.
• Cette réalisation constitue l'estimation.
Estimation ponctuelle
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Le meilleur des estimateurs, le plus précis, est à
taille égale de l'échantillon celui dont la variance est
la plus faible.
• On peut considérer la variance de l'estimateur
comme un indice de sa précision.
• Ce meilleur estimateur est appelé estimateur
efficace.
Estimateur de la moyenne d'une population
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La moyenne x observée sur l'échantillon est l'estimateur
efficace de la moyenne M de la population
E{x} = m
• La variance de cet estimateur est égale à :
V {x} =
V {x} =
σ2
dans le cas de tirages avec remise
n
σ2 N −n
n
.
N −1
dans le cas de tirages sans remise
Estimateur de la variance d'une population
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On démontre que
n −1 2
E{s } =
.σ
n
2
n
• La variance de l'échantillon n'est donc pas un estimateur
absolument correct de la variance de la population
• L'estimateur de la variance de la population est :
n
σ =
. sn2
n −1
∧ 2
• L'estimation de la variance inconnue de la population
mère sera celle observée dans l'échantillon, multipliée par
n/n-1
Estimateur d'une proportion d'une population
Ni
p=
N
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
ni
fn =
n
• On démontre que fn est un estimateur efficace de p
∧
p = fn
• L'estimation de la proportion inconnue de la population
mère sera donc la fréquence observée dans l'échantillon
Estimation par intervalle de confiance
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'estimation ponctuelle a pour défaut de ne fournir ni la
précision de l'estimation, ni le risque d'erreur.
• La méthode d'estimation par intervalle de confiance a pour
mérite de fournir l'intervalle (Θ - ∆Θ , Θ + ∆Θ ) ou la valeur
vraie Θ* a la probabilité α de se trouver.
• Cette méthode donne, outre la valeur approchée Θ, la
précision de cette approximation ∆Θ/ Θ
• La précision de l'estimation est la probabilité α' de commettre
une erreur relative égale à l'approximation en considérant Θ à
la place de Θ*
• α' est le degré ou coefficient de confiance
• α = 1 - α' indique la probabilité inverse que l'intervalle de
confiance ne contienne pas Θ*. C'est le seuil de confiance
ou risque d'erreur
Estimation par intervalle de confiance
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Intervalle de confiance : (19,20)
Limites de confiance : 19 et 20
Coefficient de confiance : 95%
La valeur cherchée a 95 % de chances de se trouver entre 19
et 20
• 95% = P(19,5 - 0,5 < Θ* < 19,5 + 0,5)
• Précision : 0,5 / 19,5 = 3%
95%
19
20
Intervalle de confiance pour la moyenne d'une loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• A chaque individu d'une population P, est attachée une valeur
xi d'un caractère x
• La distribution de X dans P est supposée correspondre à une
loi normale N(M,σ)
• On se propose d'estimer M en prélevant au hasard un
échantillon de taille n
• Soit x la moyenne de la variable X dans l'échantillon de taille n
Intervalle de confiance pour la moyenne d'une loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Considérons que la variance est connue
• On a démontré que si X suit une loi normale dans la
population mère, mn suit également une loi normale
• E(X) = M
• σ(X) = σ / V n
• Autrement dit, si X suit la loi N(M,σ), x suit la loi N(M,σ/Vn)
• et la variable centrée réduite (mn-M) / σ/Vn suit la loi N(0,1),
Intervalle de confiance pour la moyenne d'une loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Si on se fixe à l'avance un coefficient de confiance α' et si on
cherche t tel que
• P(-t < (mn-M) / σ/Vn < +t) = α'
• il en résulte que t est défini en fonction de α' par la relation
+t
∫
−t
1
× e − u 2 / u × du = α '
2π
• et sa valeur est lue dans la table de loi normale
Intervalle de confiance pour la moyenne d'une loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Or
mn − M
σ
σ
−t <
< + t ⇔ mn − t
< M < mn + t
σ/ n
n
n
• Donc
Pr ob (mn − t
σ
n
< M < mn + t
σ
n
) =α'
• Autrement dit :
(mn − t
σ
n
< M < mn + t
σ
n
)
• constitue un intervalle de confiance à α% de M
Intervalle de confiance pour la moyenne d'une loi normale
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
•
•
•
Exemple :
On choisit α' = 95%
Donc t = 1,96
si un sondage de taille n = 100 a donné x = 3 et a
permis de supposer que σ= 2
• On peut affirmer que M a 95 chances sur 100
d'appartenir à l'intervalle :
3 − 1,96. 2 ; 3 + 1,96. 2 

10
10 
• Soit [2,6 , 3,4]
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
La gestion de la qualité de service du RTC est fondée sur
divers indicateurs comme l'indicateur TCOM : temps
d'établissement des communications (délai exprimé en
secondes de mise en relation entre deux abonnés)
•
A l'image de la durée de communication de l'exercice
précédent, on a pu déterminer que ce délai était une variable
aléatoire régie par une loi normale
•
Sur un échantillon de 300 communications, on observe une
valeur moyenne de cet indicateur X = 15,5 secondes et un
écart-type de 4 secondes.
1. Déterminer un intervalle de confiance de niveau 95% pour la
valeur moyenne de TCOM
2. Quelle taille d'échantillon serait nécessaire pour estimer la
moyenne m avec une précision de +/- 0,1 sec (pour le même
niveau de confiance de 95% et un écart-type constant
quelque soit la taille de l'échantillon)
Exercice (corrigé 1°)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Variable estimateur moyenne X
E(X) = m, s(X) = σ / Vn
On est régi par la loi normale
l'intervalle aléatoire contenant m au seuil de 95% est donné
par :
P(x -tα σ(x) <= M <= x + tα σ(x) ) = 0,95
En consultant une table P(t) pour p = a = 0,05 t = 1,96
P(X -1,96 σ(x) <= M <= x + 1,96 σ(x) )
σ(x) = σ / V300
s Vn / Vn-1, soit 4 V300 / V299 est un estimateur de σ
L'intervalle de confiance lié à l'échantillon
• 15,5 - 1,96 4 /V 299; 15,5 + 1,96 4/ V 299
• [15,05 ; 15,95]
Exercice (corrigé 2°)
• tα σ(x) < 0,1
tα
σ
≤ 0,1
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
σ(x) = σ / Vn
n
s
tα
≤ 0,1
n −1
4
1,96
≤ 0,1
n −1
• n = 6147
σ 2 = n/(n-1) s2
Cas de populations quelconques
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous avons fait l'hypothèse d'une population "normale"
(caractéristique étudiée répartie selon une loi normale)
• Dans le cas de population quelconque, la distribution de la
moyenne x ne tend vers une loi normale que lorsque l'effectif
n de l'échantillon tend vers l'infini
• Le principe vu est donc applicable pour de gros échantillons
(n>30)
• Lorsque l'effectif de l'échantillon est petit, c.a.d. en pratique
inférieur à 30 unités, la moyenne x de l'échantillon ne suit une
loi normale que si la population d'origine est elle-même
normale (Notre hypothèse de départ)
Cas où on ne connait pas l'écart-type de la population
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• A chaque prélèvement d'échantillon est attaché une valeur de
la variable aléatoire mn (moyenne de l'échantillon), une valeur
de la variable aléatoire s2n (variance de l'échantillon)
• Si on ne connait pas l'écart type de la population,on peut
introduire un estimateur de cet écart type
n
σ =
. sn2
n −1
∧ 2
• puis la variable centrée réduite
T '=
mn − M
∧
σ
n
Cas où on ne connait pas l'écart-type de la population
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On démontre que T' suit une loi de Student à ν = (n-1) degrés
de liberté (si X suit une loi de Gauss )
• n représente l'effectif de l'échantillon
• Cette loi est tabulée en fonction de ν (En Excel
LOI.STUDENT.INVERSE(probabilité, degré liberté)
• Pour des valeurs de ν suffisamment grandes (supérieures à
30) elle est convenablement approximée par la loi normale
réduite
N(0,1)
0,9
0,5
0,3
0,2
0,1
0,05
0,02
0,001
1
0,158
1,000
1,963
3,078
6,314
12,706
31,821
636,619
2
0,142
0,816
1,386
1,886
2,920
4,303
6,965
31,599
3
0,137
0,765
1,250
1,638
2,353
3,182
4,541
12,924
Exemple
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• A la suite d'un accident dans une centrale nucléaire, avec
rejet de particules radioactives dans l'atmosphère, un
échantillon aléatoire de 16 personnes a été tiré avec
probabilités égales dans la ville voisine.
• Cet échantillon a été soumis pendant une année à un contrôle
d'irradiation.
• On désigne par x la mesure du rayonnement reçue par une
personne en un an. La variable x est normalement distribuée.
• Les résultats de l'échantillon
• moyenne x = 15,125 rem
• Ecart type s = 4,841
• Estimer le rayonnement moyen reçu par les habitants de la
ville et déterminer l'intervalle de confiance à 99% de cette
estimation
Exemple
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'estimation du rayonnement moyen
• x = 15,125 rem
• La variable x étant normalement distribuée dans la population,
x suit une loi normale, bien que l'effectif de l'échantillon soit
inférieur à 30
• Toutefois, σ étant inconnu, la variable
x−M
T=
s'
n
• dans laquelle σ est estimé par s' n'est pas une variable
normale.
• Le tirage de l'échantillon dans la population normale pouvant
être considéré comme effectué avec remise (n petit par
rapport à N), T suit une loi de Student-Fisher à n-1 degrés de
liberté
Exemple
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'intervalle de confiance est donné par
Pr ob ( x − tα
s'
s'
≤ M ≤ x + tα
) = 0,99 où tα = 2,947
n
n
est donné par une table de Student-Fisher pour ν = n-1 = 15
degrés de liberté et P = α = 0,01
• Compte tenu de la faible taille de l'échantillon, il faut exprimer
σ par s' et non par s
n
16
2
s' =
. s = .(4,841) 2 = 24,9976
n −1
15
s' = 5
s' 5
= = 1,25
n 4
2
Estimation d'une proportion
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Considérons la distribution d'un caractère X dans
une population P tel que celle-ci est composée de
deux catégories d'individus en proportion p et
q = 1-p.
• On estime la proportion p inconnue par la fréquence
f = x/n observée sur l'échantillon.
• Les cas à considérer
•
Echantillon tiré avec remise
• Cas d'un gros échantillon
• Cas où p est petit, avec un échantillon assez gros
• Cas d'un petit échantillon
•
Echantillon sans remise
Estimation d'une proportion : echantillon tiré avec remise
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La fréquence f est une variable binomiale de
paramètre n et p
• f -> B(n, p)
• Son espérance mathématique
E(F ) = p
• Son écart type
σ (F ) =
p (1 − p )
=σF
n
• La connaissance de la loi d'échantillonnage de f
permet de déterminer l'intervalle de confiance
Estimation d'une proportion : Gros échantillon avec remise
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Lorsque l'échantillon est suffisamment grand, la loi
binomiale peut être approchée par la loi normale.
• L'approximation de la loi binomiale par la loi
normale est acceptable lorsque npq > 9
• Dans ces conditions f suit une loi normale de
paramètres :
• M = p et
σF =
p (1 − p )
n
• p étant inconnu, σf l'est aussi.
• La loi d'échantillonnage de f n'est pas entièrement
donnée.
• Deux possibilités existent pour déterminer
l'intervalle de confiance :
•
méthode par estimation de l'écart-type
•
méthode de l'ellipse
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On s'intéresse à la proportion d'individus achetant le journal
local dans une petite ville de 10 000 habitants. Sur 100
personnes interrogées, 70 personnes déclarent acheter le
journal.
• Au seuil de confiance de 80%, estimer la proportion
d'individus qui achètent le journal dans la ville
• Même question au seuil de 90%
• Combien de personnes doit-on interroger au seuil de 90%
pour que la précision de l'estimation soit de 5%
Exercice (Corrigé)
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Variable estimateur fréquence F
E(F ) = p σ (F ) =
p (1 − p )
=σF
n
• Intervalle aléatoire contenant p au seuil de 80% (tα = 1,28)
[F - 1,28 σF ; F + 1,28 σF ]
• Intervalle de confiance
0,7.0,3
0,7.0,3
[0,7 − 1,28.
; 0,7 + 1,28.
] = [0,64 ; 0,76]
100
100
• Même question, au seuil de 90% tα = 1,645
• Intervalle de confiance
0,7.0,3
0,7.0,3
[0,7 − 1,645.
; 0,7 + 1,645.
] = [0,62;0,78]
100
100
Exercice (Corrigé)
• Il faut tα <= 0,05 si 5% précision absolue
p (1 − p )
tα
≤ 0,05
n
0,3.0,7
1,645
≤ 0,05
n
• au seuil de 90% et en estimant ponctuellement σF
• Soit n >= 227,31
• n = 228
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Détermination de la taille d'un échantillon
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• La détermination de la taille d'un échantillon pour
obtenir une précision donnée est l'inverse du calcul
de l'intervalle de confiance d'une estimation
• Etant donné un seuil de probabilité 1-α fixé a priori,
quel doit être l'effectif n de l'échantillon pour obtenir
la précision, c'est à dire l'intervalle de confiance
désiré ?
Echantillonage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• En statistique, la population des résultats
désigne la totalité des résultats
expérimentaux possibles
• Un échantillon de la population est un
ensemble de données rassemblées en
réalisant l'expérience un certain nombre de
fois.
• L'inférence statistique consiste à tirer
des conclusions théoriques au sujet d'une
population au moyen d'un échantillon
extrait empiriquement de cette
population.
Echantillonage
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Choisir l’échantillon
de population le
plus représentatif
du comportement
de l’ensemble
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population P
avec une
caractéristique Xi
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population P
avec une
caractéristique Xi
Loi de
probabilité
régissant la
distribution de
Xi dans P
caractérisée
par M et σ
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population P
avec une
caractéristique Xi
Loi de
probabilité
régissant la
distribution de
Xi dans P
caractérisée
par M et σ
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population P
avec une
caractéristique Xi
Loi de
probabilité
régissant la
distribution de
Xi dans P
caractérisée
par M et σ
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population P
avec une
caractéristique Xi
Loi de
probabilité
régissant la
distribution de
Xi dans P
caractérisée
par M et σ
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Loi de probabilité
régissant la distribution
des échantillons
Distribution des
moyennes, des
fréquences, ..
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population P
avec une
caractéristique Xi
Problème de
distribution
d'échantillonnage
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Loi de
probabilité
régissant la
distribution de
Xi dans P
caractérisée
par M et σ
Loi de probabilité
régissant la distribution
des échantillons
Distribution des
moyennes, des
fréquences, ..
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Loi de
probabilité
Population P Si X se distribue selon une
la
loi normale de moyennerégissant
M
avec une
distribution de
2
caractéristique Xi et de variance σ et si on
prélève un échantillon Xi dans P
Problème de
aléatoire de taille n, lacaractérisée
distribution
moyenne de l'échantillonpar
X M et σ
d'échantillonnage
se distribue selon une loi
normale de moyenne M et
de variance σ2/n
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Loi de probabilité
régissant la distribution
des échantillons
Distribution des
moyennes, des
fréquences, ..
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Population P
avec une
caractéristique Xi
Problème
d'estimation
Loi de
probabilité
régissant la
distribution de
Xi dans P
caractérisée
par M et σ
• Estimation
ponctuelle
• Estimation par
intervalle de
confiance
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Loi de probabilité
régissant la distribution
des échantillons
Distribution des
moyennes, des
fréquences, ..
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Loi de
La moyenne x de
l'échantillon est un bonprobabilité
Population P
régissant la
estimateur de la moyenne
avec une
M de la population distribution de
caractéristique Xi
Xi dans P
***
caractérisée
Problème La fréquence f observée
d'estimation dans l'échantillon est unpar M et σ
• Estimation
bon estimateur de la
ponctuelle
proportion p dans la
• Estimation par
intervalle de
population
Echantillon
confiance
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Loi de probabilité
régissant la distribution
des échantillons
Distribution des
moyennes, des
fréquences, ..
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Loi de
probabilité
Population P
La variance s de régissant la
avec une
l'échantillon n'est pas distribution
un
de
caractéristique Xi
bon estimateur de la Xi dans P
variance σ de la population
caractérisée
Problème
Le bon estimateur :
par M et σ
d'estimation
• Estimation
ponctuelle
• Estimation par
intervalle de
confiance
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
n
σ =
. sn2
n −1
∧ 2
Loi de probabilité
régissant la distribution
des échantillons
Distribution des
moyennes, des
fréquences, ..
Synthèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Loi de
σ
σ probabilité
(mn − t
< M < mn + t )
Population P
n
n régissant la
avec une
distribution de
caractéristique Xi constitue un intervalle de
confiance à α% de M Xi dans P
où t est la valeur de lacaractérisée
Problème
par M et σ
d'estimation variable normale pour une
• Estimation
probabilité α
ponctuelle
• Estimation par
intervalle de
confiance
Echantillon
avecEchantillon
la même
avecEchantillon
la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
Echantillon
avec la même
caractéristique
Xi
avec la même
caractéristique
Xi
caractéristique Xi
Loi de probabilité
régissant la distribution
des échantillons
Distribution des
moyennes, des
fréquences, ..
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Une machine d'une chaîne de fabrication découpe des verres
de montres dont le diamètre doit être égal à 30 mm.
• Une certaine tolérance, toutefois est acceptée et le disque est
considéré conforme si son diamètre est compris entre 29,950
mm et 30,050 mm.
• Les diamètres des verres de montres sont supposés suivre
une loi normale.
• Le contrôle de la qualité de la production est fait par un
échantillonnage : chaque jour un échantillon de 50 verres est
extrait, de façon aléatoire, de la production des 1000 verres
fabriqués quotidiennement
• On obtient, lors d'un contrôle, les résultats suivants :
Diamètre
[29,90;29,95]
[29,95;29,99]
[29,99;30,01]
[30,01;30,05]
[30,05;30,10]
Nbre de
verres
observés
5
12
22
9
2
Exercice
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Calculez le diamètre moyen et l'écart type de ce diamètre
dans l'échantillon ainsi que la proportion de verres conformes
• En déduire une estimation ponctuelle de ses trois paramètres
dans la production
• Par intervalle de confiance, au seuil de 98%, estimer le
diamètre moyen d'un verre dans la production. Selon la règle
énoncée par la direction, si le diamètre moyen estimé est
compris dans l'intervalle [29.98 ; 30,02], la qualité est décidée
"bonne" sinon, la qualité de la production est décidée
"mauvaise" et un réglage de la machine est immédiatement
mis en place.
Etant donné l'échantillon, quelle décision doit-on prendre ?
• Estimer, par intervalle de confiance au seuil de 95%, le
nombre de verres conformes produits chaque jour.
• Quelle taille d'échantillon faudrait-il choisir pour que la
précision relative de l'estimation de ce nombre de verres
conformes soit égale à 10% pour le même seuil de 95%
Exercice (Corrigé)
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• X : diamètre d'un verre de montre
• Dans l'échantillon
ni xi
∑
= 29,9937 mm
x=
n
s=
∑ fi xi
1
2
2
− x = 0,0336 mm
43
f = = 0,86 soit 86%
50
Exercice (Corrigé)
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• M = diamètre moyen de la production estimé ponctuellement
∧
M = x = 29,9937 mm
• σ : écart type de la production estimé ponctuellement par
n
σ=
.s = 0,03397 mm
n −1
∧
• p : proportion de pièces conformes dans la production,
estimée ponctuellement par :
∧
p = f = 0,86
Exercice (Corrigé)
• Estimation d'une moyenne M
• Variable estimateur X
• X ->
N (M; σ(x)=σ / Vn)
• Intervalle aléatoire au seuil de 98%
P ( x1 ≤ X ≤ x 2 ) = 0,98
P (−t ≤ X ≤ +t ) = 0,98
• 1-P = α =0,02 => t = 2,33 lu dans P(t) et donc
P ( X − 2,33.σ ( X ) ≤ M ≤ X + 2,33.σ ( X )) = 0,98
• D'ou l'intervalle de confiance
• X prend la valeur x = 29,9937
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Exercice (Corrigé)
σ ( x) =
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
σ
50
inconnu est estimé ponctuellement par
∧
σ
s
ou
50
49
IC0 , 98 ( M ) = [29,9825 ; 30,0049]
L'estimation de M donne un diamètre moyen compris entre
29,9825 et 30,0049 et donc à l'intérieur de l'intervalle considéré
comme "bon" par la direction.
La machine n'a pas à être réglée.
Test d'hypothèses
• Tests de comparaison
• à un standard
• entre deux échantillons
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Test d'hypothèse
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Nous avons défini un test d'hypothèse statistique
comme une procédure d'acceptation ou de rejet
d'une hypothèse
• Un test paramétrique consiste à définir une règle de
décision concernant la validité d'une hypothèse
portant sur la valeur d'un paramètre d'une loi de
distribution dans la population
• Les tests non paramétriques sont construits à partir
d'une fonction des valeurs observées sur
l'échantillon, fonction indépendante de la loi de
distribution dans la population. Un bon exemple de
ce type de test est le test du χ2
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Le test du χ2 constitue la troisième et dernière étape
de la modélisation d'un phénomène statistique par
une loi de probabilité.
• 1ere étape : statistique descriptive via une
distribution empirique
• 2ème étape : ajustement d'une loi de probabilité à
la distribution empirique
• 3ème étape : test de la validité de l'ajustement
effectué. C'est ici que prend place le test du χ2
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Soit T1, T2, ... Tν, ν variables normales centrés
réduites indépendantes
• Soit χ2 la somme de leurs carrés
• Cette somme est elle-même une variable aléatoire
qui varie entre 0 et l'infini
• Cette variable aléatoire a pour fonction de densité :
x (ν / 2) - 1 e-(x/2)
f(x) = ______________ avec x= χ2 >0
2 (ν / 2) Γ(ν / 2)
Nous retrouvons la fonction vue en début de chapitre
E(χ2 )=ν V(χ2 )=2ν
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On dit que c'est une loi du χ2 à ν degrés de liberté
• La loi du χ2 est une distribution dissymétrique
étalée vers la droite.
• Elle tend à se rapprocher de la distribution normale
quand le nombre de degrés de liberté augmente
• Sous Excel, LOI.KHIDEUX(x;d) renvoie la
probabilité d'une variable aléatoire x suivant une loi
du χ2 à d degrés de liberté
• KHIDEUX.INVERSE renvoie, pour une probabilité
donnée, la valeur de la variable aléatoire suivant
une loi du χ2
• Construction table
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Pour ν = 9, la valeur du χ2 a une probabilité de 75%
d'être supérieure à 5,90 et de 5% d'être supérieure
à 16,9
Nb deg liberte
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,07172177
0,1148318
0,21579528
0,35184632
0,58437437
0,20698909
0,29710948
0,48441856
0,71072302
1,06362322
1,34441309
1,64649738
2,17973075
2,7326368
3,48953913
1,73493291
2,08790074
2,70038952
3,32511286
4,16815904
x
0,005
0,01
0,025
0,05
0,1
0,995
0,99
0,975
0,95
0,9
3,927E-05
0,00015709
0,00098207
0,00393214
0,01579077
0,01002508
0,02010067
0,05063562
0,10258659
0,21072103
0,4117419
0,55429808
0,83121162
1,14547623
1,61030799
0,67572678
0,87209033
1,23734425
1,6353829
2,20413068
0,98925569
1,23904231
1,68986919
2,16734992
2,83310693
0,25
0,5
0,75
0,9
0,75
0,5
0,25
0,1
0,10153104
0,45493643
1,32330472
2,70554397
0,57536415 1,21253292 1,92255756 2,67460285
1,38629438 2,36597389
3,356694 4,35146022
2,77258872
4,1083445 5,38526906 6,62567989
4,60517019 6,25138846 7,77944034 9,23635694
3,45459887
5,34812084
7,84080412
10,6446407
4,25485221 5,07064054 5,898826
6,34581137 7,34412163 8,34283278
9,03714745
10,218855 11,3887515
12,0170366 13,3615661 14,6836566
0,95
0,975
0,99
0,995
0,05
0,025
0,01
0,005
3,84145915
5,02388647
6,63489671
7,87943869
5,99146455
7,37775891
9,21034037
10,5966347
7,81472776 9,48772904 11,0704978 12,5915872
9,34840357 11,1432868
12,832502 14,4493753
11,3448667 13,2767041 15,0862725 16,8118938
12,8381564
14,860259 16,7496024 18,5475842
14,0671404 15,5073131 16,91898
16,0127643 17,5345461 19,0227678
18,4753069
20,090235 21,6659943
20,2777399
21,954955 23,5893508
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Pour ν = 9, la valeur du χ2 a une probabilité de 75%
d'être supérieure à 5,90 et de 5% d'être supérieure
à 16,9
Nb deg liberte
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,07172177
0,1148318
0,21579528
0,35184632
0,58437437
0,20698909
0,29710948
0,48441856
0,71072302
1,06362322
1,34441309
1,64649738
2,17973075
2,7326368
3,48953913
1,73493291
2,08790074
2,70038952
3,32511286
4,16815904
x
0,005
0,01
0,025
0,05
0,1
0,995
0,99
0,975
0,95
0,9
3,927E-05
0,00015709
0,00098207
0,00393214
0,01579077
0,01002508
0,02010067
0,05063562
0,10258659
0,21072103
0,4117419
0,55429808
0,83121162
1,14547623
1,61030799
0,67572678
0,87209033
1,23734425
1,6353829
2,20413068
0,98925569
1,23904231
1,68986919
2,16734992
2,83310693
0,25
0,5
0,75
0,9
0,75
0,5
0,25
0,1
0,10153104
0,45493643
1,32330472
2,70554397
0,57536415 1,21253292 1,92255756 2,67460285
1,38629438 2,36597389
3,356694 4,35146022
2,77258872
4,1083445 5,38526906 6,62567989
4,60517019 6,25138846 7,77944034 9,23635694
3,45459887
5,34812084
7,84080412
10,6446407
4,25485221 5,07064054 5,898826
6,34581137 7,34412163 8,34283278
9,03714745
10,218855 11,3887515
12,0170366 13,3615661 14,6836566
0,95
0,975
0,99
0,995
0,05
0,025
0,01
0,005
3,84145915
5,02388647
6,63489671
7,87943869
5,99146455
7,37775891
9,21034037
10,5966347
7,81472776 9,48772904 11,0704978 12,5915872
9,34840357 11,1432868
12,832502 14,4493753
11,3448667 13,2767041 15,0862725 16,8118938
12,8381564
14,860259 16,7496024 18,5475842
14,0671404 15,5073131 16,91898
16,0127643 17,5345461 19,0227678
18,4753069
20,090235 21,6659943
20,2777399
21,954955 23,5893508
=KHIDEUX.INVERSE(x;ν)
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Principe du test
• Les écarts entre la distribution observée et la
distribution ajustée à la loi peuvent être de deux
causes :
• Une fluctation normale d'échantillonnage
(l'échantillon est un extrait de la population)
avec des écarts faibles
• L'ajustement n'a pas lieu d'être, avec un écart
supérieur avec des écarts élevés
• Cet écart va être mesuré par la distance existante
entre la théorique ajustée et la distribution observée
• Cette distance étant une grandeur aléatoire, elle est
mesurée par une loi de probabilité
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Cette loi permet de calculer la probabilité d'obtenir
une distance supérieure à la distance observée
• On se fixe un seuil de probabilité α dit seuil de
confiance
• Si la probabilité obtenue est inférieure au seuil de
confiance, on rejette l'hypothèse.
• Si la probabilité obtenue est supérieure au seuil de
confiance, on accepte l'hypothèse.
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• L'expérience concerne N observations classées
selon k modalités (classes de valeurs)
• A chaque modalité Ci correspond un effectif Ni et la
probabilité pi déterminé par la loi P de probabilité
théorique
• La distance d :
2
(
N
−
N
)
i
pi
2
d = ∑ e1 = ∑
N pi
i =1
i =1
k
k
• Avant la réalisation des observation, d est une
variable aléatoire qui suit une loi du χ2 à ν=k-1
degrés de liberté
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Après la réalisation, on est à même de calculer d
• On connaît pas a priori la loi P. Celle-ci est ajustée
d'après la distribution observée.
• Si l'ajustement de la loi théorique a nécessité
l'estimation de r paramètres à partir des
observations, la distance d suit, dans l'hypothèse
où la distribution théorique est effectivement la loi
ajustée, une loi du χ2 à ν=k-r-1 degrés de liberté
• Tout ceci repose sur une distribution normale des
écats qui implique des effectifs suffisamment
grands (4,5) dans chaque modalité, d'où de
possibles regroupements
• Seuil α de 2 à 5%
Test d'hypothèse non paramétrique : le χ2
• Corrigé Pb N o 5
• Doc D1 et D2
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Test d'hypothèse paramétrique
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Construire un test suppose le processus suivant :
1. Choix des hypothèses
•
H0 Hypothèse dite nulle, c'est l'hypothèse qui sera
privilégiée
•
H1 contre laquelle on teste H0
2. Détermination de la variable de décision D
•
En supposant l'hypothèse H0 vraie, la loi de probabilité
de la variable D doit être parfaitement déterminée
3. Choix du risque α, de 1ère espèce, ce risque
correspond à la probabilité de rejeter, à tort,
l'hypothèse H0
•
Détermination de la région critique , ensemble des
valeurs de D conduisant au rejet de H0. Cette région
dépend de l'hypothèse H1
4. Enoncé de la règle de décision
Test de comparaison d'un paramètre à une norme
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Comparaison d'une moyenne à une norme
•
On utilise la variable de décision X
• Comparaison d'une proportion à une norme
•
On utilise la variable de décision F
Test de comparaison d'un paramètre à une norme
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Exemple
• On considère un échantillon d'effectif 50 dans
lequel on mesure x = 42, s = 7
• Tester H0 : M=40 contre H1 M>40
• La variable de décision adaptée est X
• X est régie par une loi normale N (M; σ(x)=σ / Vn)
•
Si H0 vrai, M=40
•
σ, écart-type de l'age dans la population est inconnu
•
Il est estimé par s/V n-1 = 7/7 = 1
•
La loi
N (40;1) puisque N>= 30
Test de comparaison d'un paramètre à une norme
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
N (40;1) gère l'expérience
•
La loi
•
Le seuil de signification étant fixé à α = 5 %, la limite l de la
région critique est donnée par :
•
P(x<l / M=40) = 0,05 <=> P(T<t0,05) = 0,05
•
ou T représente la variable normale centrée réduite
x−M
T=
s
n
•
La valeur de t0,05 dans la table (P(0,1) = 1,645
•
D'ou t = 1,645 = l - 40/ (7/V50)
•
=> l = 41,63
•
On rejette H0 (42 > 41,63)
Test de comparaison d'un paramètre à une norme
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
H0 : région d'acceptation
0,45
0,4
H1 : région critique
0,35
0,3
0,25
Série1
0,2
0,15
0,1
0,05
0
41,63
40
Comparaison d'échantillons
•
Soit 2 échantillons A et B
•
A : mA, σA, PA
•
B : mB, σB, PB
•
On considère que les échantillons sont indépendants
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Comparaison d'échantillons : comparaison moyennes
•
Les hypothèses :
•
H0 => mA = mB
•
H1 => mA ≠ mB
•
Pour effectuer ce test, on le transforme en
•
H0 => mA - mB = 0
•
H1 => mA - mB ≠ 0
•
On utilise la variable de décision XA - XB
•
qui répond à une loi normale
N(mA − mB ;
σ A2 σ B2
nA
+
nB
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Comparaison d'échantillons : comparaison proportions
•
Les hypothèses :
•
H0 => pA = pB
•
H1 => pA ≠ pB
•
Pour effectuer ce test, on le transforme en
•
H0 => pA - pB = 0
•
H1 => pA - pB ≠ 0
•
On utilise la variable de décision FA - FB
•
qui répond à une loi normale
p A (1 − p A ) pB (1 − pB )
N(p A − pB ;
+
nA
nB
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Comparaison d'échantillons : comparaison proportions
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• Dans une entreprise, on tire un
échantillon de 150 personnes. 30
femmes parmi 50 ont un salaire
mensuel inférieur à 2000 € alors que
65 hommes parmi 100 ont un salaire
mensuel inférieur à 2000 €
• Peut on considérer, au seuil de 5%,
que la proportion de salaires inférieurs
à 2000 est la même chez les femmes
que chez les hommes.
Test d'ajustement d'une distribution statistique par une loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Principe identique
•
Les hypothèses :
•
H0 => X suit telle loi de probabilité
•
H1 => X ne suit pas telle loi de probabilité
•
On utilise la variable de décision D
•
Sous H0
( N ith − niobs )
D=∑
N ith
2
•
Avec Nith = effectif théorique qui serait observé si H0 vrai
•
Nobs = effectif observé dans distribution empirique
Test d'ajustement d'une distribution statistique par une loi de probabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
D suit une loi du χ2(ν)
•
avec ν : paramètre loi du χ2 = k - r - 1
•
k = nombre de modalités
•
r = nombre de paramètres
•
Détermination d'une région critique, de seuil α, correspondant
au risque de 1ere espèce (Probabilité d'avoir H1 vrai alors
que H0 est considéré comme vrai, d'ou contradiction)
•
Probabilité β d'avoir H0 vrai alors que H1 est considéré
comme vrai (contradiction inverse : risque 2ème espèce)
Revue avec Excel
• Modèle RappelBase
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Exercices
•
•
•
•
•
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Le bruit émis par les avions doit être inférieur à 80 décibels dans
les zones voisines, sinon l'aéroport doit indemniser les riverains
Ceux-ci affirment que le niveau de bruit atteint effectivement 80
décibels alors que l'aéroport affirme qu'il n'est que de 78 décibels.
Des experts font des mesures en prélevant un échantillon de n=
100 et s2 = 49
1: Que signifie le choix H0 m = 80 et H1 : m<80
2. H0 m=80
· Quelle région critique ?
· Que faire si moyenne de l'échantillon est 79,1
Application à la comptabilité
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Contrôle par sondage de l'inventaire
•
Comparaison des effectifs réels à ceux figurant à l'inventaire
•
Contrôle par sondage : au lieu de contrôler toutes les
catégories d'articles, on n'effectue le contrôle que sur un
échantillon choisi au hasard
•
On vérifie que cet échantillon ne comporte pas plus d'une
certaine proportion d'erreurs, autrement dit que l'on est pas
au delà d'une limite l qui fixe la frontière de l'inacceptable
(région critique)
•
Test simple
•
Test classique
•
Test progressif
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
UV205
MATHEMATIQUES
CHAPITRE No 8
Analyse de données
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
•
Comment aller au delà de la statistique descriptive en
prenant en compte des données multidimensionnelles
•
Régression
•
Analyse en composantes principales
•
Analyse factorielle des correspondances
Régression à une variable
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
• On peut chercher un ajustement linéaire entre le
chiffre d'affaires Y (variable expliquée) et chacune
des deux variables explicatives X1 (budget pub) et
X2 (promotion des ventes)
• Les paramètres de cette droite sont donnés par
Cov ( X i , Y )
a=
V (Xi)
b = Y − aX i
• On rappelle que la covariance est la moyenne des
produits des écarts pour chaque série
d'observation
Régression à une variable
Période
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
X1
150
135
140
127
138
124
110
154
142
133
135,3
Coefficient correlation
Son carré
X2
20
18
17
18
19
17
16
20
19
18
18,2
10
8
9
7
7
6
5
11
9
8
8
0,87731343 0,95322775
0,76967885 0,90864314
covariance
covariance**2
V(X)
V(Y)
13,34
20,1
177,9556
404,01
1,56
3
148,21
148,21
0,76967885 0,90864314
Droite regression
Y,X1
8,55128205 -20,3333333
1,65385858 30,1710225
0,76967885 6,53221798
26,7341095
8
Valeur
a
Valeur
b
Régression à une variable
X1
16
17
17
18
18
18
19
19
20
20
DX1
116,487179
125,038462
125,038462
133,589744
133,589744
133,589744
142,141026
142,141026
150,692308
150,692308
(c) JP Marca pour CNAM INTEC
Y
110
140
124
135
127
133
138
142
150
154
180
160
140
120
100
Données mesurées
Ajustement
80
60
40
20
0
15
17
19
21
Régression à une variable
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La fonction Y = aXi+b minimise les carrés des écarts
entre les valeurs réelles de Y et les valeurs ajustée
Le coefficient de corrélation mesure la réalité de cet
ajustement :
Cov ( X , Y )
ρ =
σ ( X ) * σ (Y )
où X et Y sont MOYENNE(matrice1) et
MOYENNE(matrice2).
L'ajustement est meilleur avec X2
Régression à deux variables
On recherche de la même manière une fonction
Y = a1X1 + a2X2 + b qui minimise les carrés des
écarts entre les valeurs réelles de Y et les valeurs
ajustée
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Analyse en composantes principales
A partir d'un certain nombre d'observations portant
sur un ensemble d'individus, on cherche à repérer
l'existence de groupes d'individus ayant, par rapport
aux variables observées, des profils communs
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Analyse en composantes principales
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Exemple des notes obtenues par un groupe d'élèves
dans 2 matières
Individus A B C D E F G H I J K
Français 6 6 19 15 19 15 5 8 7 14 13
Maths
5 13 18 12 16 15 14 2 5 16 14
20
18
16
Maths
14
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
Français
15
20
Analyse en composantes principales
• Si plus de 2 variables, travail dans un espace à n
dimensions
• Projection sur 2 axes, choisis comme étant ceux
pour lesquels la projection du nuage de point a
une variance maximale
• Nécessité logiciel spécifique
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Analyse en composantes principales
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• Données de base (Amerique du Sud 1996)
PNB/Hab
Argentine (A)
Taux chômage
Taux
d'inflation
Dette/PNB
8320
18,0%
0,1%
30,00%
800
5,8%
10,2%
79,00%
Brésil (BR)
3801
4,7%
11,0%
22,00%
Chili (CH)
4545
4,9%
6,6%
11,00%
Colombie (CO)
1910
8,6%
21,0%
30,00%
Equateur (EQ)
1390
12,0%
23,0%
73,00%
Paraguay (PA)
1690
4,8%
8,0%
30,00%
Pérou (PE)
2310
8,8%
11,0%
48,00%
Uruguay (U)
5170
10,7%
42,2%
70,00%
Vénézuela (V)
2548
13,0%
1,02
44,00%
Bolivie (BO)
Analyse en composantes principales
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• Résultats programme ACP
Composantes sur axes principaux
Axe 1
PNB/Hab
0,727
Taux chômage
0,647
Taux d'inflation
0,076
Dette/PNB
-0,215
Part des axes dans variance totale
Axe 1
0,393
Axe 2
0,376
Axe 2
-0,237
0,403
0,619
0,631
Coordonnées des pays sur les axes
Argentine (A)
Bolivie (BO)
Brésil (BR)
Chili (CH)
Colombie (CO)
Equateur (EQ)
Paraguay (PA)
Pérou (PE)
Uruguay (U)
Vénézuela (V)
Axe 1
3,17
-1,73
-0,33
0,05
-0,41
-0,47
-1,11
-0,44
0,69
0,58
Axe 2
-0,60
0,66
-1,38
-1,85
-0,35
1,31
-0,98
-0,08
1,10
2,17
Analyse en composantes principales
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• Interprétation résultats
• Axe 1, 39% de la variance totale, marqué par le
poids de la composante PNB/Hab (0,727) =>
niveau développement
PE
CO
BO PA BR
CH
-2
-1
0
U
V
A
1
2
3
4
Analyse en composantes principales
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• Interprétation résultats
• Axe 2, 37% de la variance totale, marqué par le
poids des composantes taux d'inflation (0,619) et
dette/PNB (0,631) => Conformité FMI
CH
-3,00
-2,00
U
PA
BR
A CO PE BO
-1,00
0,00
1,00
E
V
2,00
3,00
Analyse en composantes principales
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• Projection sur le plan des deux axes principaux
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-0,50
-1,00
-1,50
-2,00
-2,50
-2
-1
0
1
2
3
4
Analyse factorielle des correspondances
• Même principe appliqué à des tableaux de
contingence répartissant une population
statistique en fonction de 2 variables, dans un
tableau à double entrée
• Les totaux verticaux et horizontaux ont alors une
signification (Vérif 100 % en valeur relative)
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