Corrigé du devoir propriétés, réciproques, contraposées.

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Corrigé du devoir 2
Propriété directe, réciproque, contraposée et le parallélogramme
Exercice 1 (8 points)
1. On vérifie la véracité des deux affirmations ci-dessous :
a. Si un nombre entier se termine par 0 ; 3 ; 6 ou 9, alors ce nombre est un multiple de 3.
Cette proposition est fausse puisque 13 se termine par 3 mais n’est pas un multiple de trois.
b. Si je suis un losange, alors mes diagonales sont perpendiculaires.
Cette proposition est vraie car les diagonales d’un losange se coupent en formant un angle droit.
2. On écrit les propriétés réciproques des deux affirmations ci-dessus puis on vérifie leur véracité :
a. Si un nombre entier est un multiple de 3, alors ce nombre se termine par 0 ; 3 ; 6 ou 9.
Cette proposition est fausse puisque 12 est pas un multiple de trois mais ne se termine par 0 ; 3 ; 6 ou 9.
b. Si mes diagonales sont perpendiculaires, alors je suis un losange.
Cette proposition est fausse puisque le cerf-volant possède des diagonales perpendiculaires sans être un
losange.
3. On écrit les contraposée des deux affirmations de la question 1. :
a. Si un nombre entier n’est pas un multiple de 3, alors ce nombre ne se termine pas par 0 ; 3 ; 6 ou 9.
b. Si mes diagonales ne sont pas perpendiculaires, alors je ne suis pas un losange.

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Exercice 2 (6 points)
Données :
ABCD est un parallélogramme de centre O
AB  4 cm ; AD  3 cm et AC = 5 cm.
Dessin à main levée
La propriété que l’on peut utiliser est :
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses côtés opposés sont de même longueur.
On utilise comme instruments de géométrie :
Une règle graduée et un compas.
On construit le premier triangle ABC
Puis le deuxième ACD puisque :

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Exercice 3 (3,5 points)
Données :
ABCD est un quadrilatère convexe.
On démontre que ABCD n’est pas un parallélogramme.
Conditions :
On sait que ABCD est un quadrilatère convexe et que    ,    ,    et  
O est le point d’intersection des diagonales [BD] et [AC].
Puisque les longueurs de [OC] et [OA] ne sont pas égales, O n’est pas le milieu de [AC].
On utilise une contraposée :
Or, si un quadrilatère n’a pas ses diagonales sécantes en leur milieu, alors ce n’est pas un parallélogramme.
Conclusion
Donc, ABCD n’est pas un parallélogramme.
Exercice 4 (3,5 points)
Données :
JKLM est un parallélogramme.
.
On détermine la valeur de l’angle 
.
JKLM est un parallélogramme tel que 
.  et   sont deux de ses angles opposés.
Or, si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont de même mesure.
Donc, la mesure de l’angle 
 est égale à 115°.

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Exercice 5 (2 points)