À propos de la réciproque d`une fonction (Deuxième partie)
À propos de la réciproque d’une fonction
(deuxième partie)
Denis Tanguay, UQAM, Département de mathématiques, section didactique
tanguay[email protected]
Michel Warisse, retraité au travail
Dans le précédent numéro de la revue, nous vous avons
présenté certaines réflexions et remarques d’ordres
mathématique et didactique à propos des fonctions
réciproques, sujet particulièrement délicat en 4e et
5e secondaires des séquences Sciences Naturelles et
Technico-Sciences. Nous reprenons le sujet, en proposant
une procédure pratique qui permet de trouver la réciproque
d’une fonction donnée, sous certaines conditions.
5. Réciproques et procédures
Le fait qu’une fonction g soit la réciproque de la fonction
f peut se traduire par l’énoncé suivant : si le point (x, y)
appartient au graphique de f, alors le point (y, x) appartient
au graphique de g. Cette dernière conclusion peut aussi
s’écrire : si y = f(x), alors x = g(y). Qu’en est-il de la
réciproque d’une fonction polynomiale du second degré,
dont la règle est donnée par :
f(x) = ax² + bx + c,
que l’on peut aussi noter y = ax² + bx + c? Isoler x dans
cette équation pour l’exprimer en fonction de y n’est pas
du tout évident. Par contre si la règle de la fonction est
écrite sous sa forme canonique, soit :
f(x) = a (x – h)2 + k,
alors le « montage » des deux règles (celle de f et celle de
g) n’est qu’une suite de composition de fonctions, bref une
suite de « procédures ». Le montage pour g se détermine en
« démontant » celui de f pour le refaire ensuite à l’envers,
dans le sens inverse et avec les règles réciproques. Ainsi,
pour évaluer l’image d’une valeur quelconque de x par f,
on suit le chemin suivant :
GRMS ENVOL no 162 — été-automne 2013 55
Ci-contre, nous avons décrit :
a) sur la première ligne, les étapes des compositions
nécessaires pour obtenir f,
b) sur la deuxième ligne, la suite des procédures
correspondantes, à appliquer avec une calculatrice
de type scientifique (AOSTM)1,
c) sur la troisième ligne, les actions, décrites en mots,
pour évaluer.
À l’envers ou à l’inverse, le « démontage » est simple à
suivre. Nous devons proposer deux chemins possibles
selon la fonction réciproque que nous cherchons à obtenir.
En effet, comme f n’est pas injective, elle donne lieu à
deux réciproques selon le domaine où on la restreint pour
« l’inverser » (voir §3).
1
AOS™ (Algebraic Operating System), processus de calcul qui tient compte de la priorité des opérations.
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À PROPOS DE LA RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION (2e partie)
Denis Tanguay, UQAM, Département de mathématiques, section didactique
Michel Warisse, retraité au travail
Dans le précédent numéro de la revue, nous vous avons présenté certaines réflexions et
remarques d'ordre mathématique et didactique à propos des fonctions réciproques, sujet
particulièrement délicat en 4e et 5e secondaires des séquences Sciences Naturelles et Technico-
Sciences. Nous reprenons le sujet, en proposant une procédure pratique qui permet de trouver la
réciproque d'une fonction donnée, sous certaines conditions.
5. Réciproques et procédures
Le fait qu’une fonction g soit la réciproque de la fonction f peut se traduire par l’énoncé
suivant : si le point (x, y) appartient au graphique de f, alors le point (y, x) appartient au graphique
de g. Cette dernière conclusion peut aussi s’écrire : si y = f (x), alors x = g(y). Qu’en est-il de la
réciproque d’une fonction polynomiale du second degré, dont la règle est donnée par
f (x) = ax² + bx + c,
que l’on peut aussi noter y = ax² + bx + c ? Isoler x dans cette équation pour l’exprimer en
fonction de y n’est pas du tout évident. Par contre si la règle de la fonction est écrite sous sa
forme canonique, soit
f (x) = a (x – h)2 + k,
alors le « montage » des deux règles (celle de f et celle de g) n’est qu’une suite de composition de
fonctions, bref une suite de « procédures ». Le montage pour g se détermine en « démontant »
celui de f pour le refaire ensuite à l’envers, dans le sens inverse et avec les règles réciproques.
Ainsi, pour évaluer l’image d’une valeur quelconque de x par f, on suit le chemin suivant :
Ci-dessus, nous avons décrit :
1. sur la première ligne, les étapes des compositions nécessaires pour obtenir f,
2. sur la deuxième ligne, la suite des procédures correspondantes, à appliquer avec une
calculatrice de type scientifique (AOSTM)1,
3. sur la troisième ligne, les actions, décrites en mots, pour évaluer.
À l’envers ou à l’inverse, le « démontage » est simple à suivre. Nous devons proposer deux
chemins possibles selon la fonction réciproque que nous cherchons à obtenir. En effet, comme f
n’est pas injective, elle donne lieu à deux réciproques selon le domaine où on la restreint pour
« l’inverser » (voir §3).
1 AOS™ (Algebraic Operating System), processus de calcul qui tient compte de la priorité des opérations.
2
On reconstruit ainsi la règle
1( ) ,
y k
f y h
a
dont l’ensemble image est [h, +[ et dont le
graphique est la moitié supérieure d’une parabole d’axe horizontal. Attention ! Le sommet de
cette parabole n’est plus (h, k) mais bien plutôt (k, h). Pour l’autre réciproque possible :
La règle qu’on reconstruit alors est
( ) .
y k
g y h
a
L’ensemble image de g est ]∞, h] et
son graphique est la moitié inférieure d’une parabole d’axe horizontal et de sommet (k, h).
Parler d’axe horizontal pour une parabole qui est le graphique d’une fonction de variable
indépendante y peut paraître déstabilisant : nous sommes peu habitués à voir l’axe y à
l’horizontal ! Il nous apparaît important, au moins les premières fois, de garder les variables
comme nous l’avons fait pour que l’élève saisisse bien ce chemin pris « à l’envers », qui part du
bout « y » pour remonter vers le point de départ « x ». Dans une classe où le travail sur les
fonctions réciproques a bien été mis en place, quand les élèves commencent à être à l’aise, il n’y
a à notre avis pas de problème à redonner à x et à y leur rôle usuel, et à exprimer la règle plutôt
sous la forme
( ) .
x k
y g x h
a
C’est à chaque enseignant de bien évaluer où en sont les élèves dans leur compréhension des
fonctions réciproques et d’être conscient des difficultés que peuvent entraîner ses choix.
On pourra utiliser ce processus avec les fonctions qui peuvent s’écrire comme une suite de
compositions de fonctions élémentaires (fonctions de base) admettant chacune une fonction
réciproque. Écrire les fonctions sous leur forme canonique facilite l’application du processus
puisque la variable indépendante n’est présente qu’une seule fois dans l’écriture. Il faut
cependant bien gérer la question des domaines quand les fonctions de base en jeu doivent être
restreintes sur leur domaine pour être inversées, comme c’est le cas pour x2 ou pour | x |. Quant à
la fonction partie entière, elle cause de sérieux problèmes « d’inversibilité ». Pourquoi, au fait ?
2
On reconstruit ainsi la règle
1
( ) ,
y k
f y h
a
dont l’ensemble image est [h, +[ et dont le
graphique est la moitié supérieure d’une parabole d’axe horizontal. Attention ! Le sommet de
cette parabole n’est plus (h, k) mais bien plutôt (k, h). Pour l’autre réciproque possible :
La règle qu’on reconstruit alors est
( ) .
y k
g y h
a
L’ensemble image de g est ]∞, h] et
son graphique est la moitié inférieure d’une parabole d’axe horizontal et de sommet (k, h).
Parler d’axe horizontal pour une parabole qui est le graphique d’une fonction de variable
indépendante y peut paraître déstabilisant : nous sommes peu habitués à voir l’axe y à
l’horizontal ! Il nous apparaît important, au moins les premières fois, de garder les variables
comme nous l’avons fait pour que l’élève saisisse bien ce chemin pris « à l’envers », qui part du
bout « y » pour remonter vers le point de départ « x ». Dans une classe où le travail sur les
fonctions réciproques a bien été mis en place, quand les élèves commencent à être à l’aise, il n’y
a à notre avis pas de problème à redonner à x et à y leur rôle usuel, et à exprimer la règle plutôt
sous la forme
( ) .
x k
y g x h
a
C’est à chaque enseignant de bien évaluer où en sont les élèves dans leur compréhension des
fonctions réciproques et d’être conscient des difficultés que peuvent entraîner ses choix.
On pourra utiliser ce processus avec les fonctions qui peuvent s’écrire comme une suite de
compositions de fonctions élémentaires (fonctions de base) admettant chacune une fonction
réciproque. Écrire les fonctions sous leur forme canonique facilite l’application du processus
puisque la variable indépendante n’est présente qu’une seule fois dans l’écriture. Il faut
cependant bien gérer la question des domaines quand les fonctions de base en jeu doivent être
restreintes sur leur domaine pour être inversées, comme c’est le cas pour x2 ou pour | x |. Quant à
la fonction partie entière, elle cause de sérieux problèmes « d’inversibilité ». Pourquoi, au fait ?
On reconstruit ainsi la règle f–1(y) =
y k h
a
−+
, dont
l’ensemble image est [h, + ∞[ et dont le graphique est
la moitié supérieure d’une parabole d’axe horizontal.
Attention! Le sommet de cette parabole n’est plus (h, k)
mais bien plutôt (k, h). Pour l’autre réciproque possible :
La règle qu’on reconstruit alors est g(y) =
.
y k h
a
−
− +
L’ensemble image de g est ]–∞, h] et son graphique est
la moitié inférieure d’une parabole d’axe horizontal et de
sommet (k, h).
Parler d’axe horizontal pour une parabole qui est le
graphique d’une fonction de variable indépendante y peut
paraître déstabilisant : nous sommes peu habitués à voir
l’axe y à l’horizontal! Il nous apparaît important, au moins
les premières fois, de garder les variables comme nous
l’avons fait pour que l’élève saisisse bien ce chemin pris
« à l’envers », qui part du bout « y » pour remonter vers
le point de départ « x ». Dans une classe où le travail sur
les fonctions réciproques a bien été mis en place, quand
les élèves commencent à être à l’aise, il n’y a à notre avis
pas de problème à redonner à x et à y leur rôle usuel, et à
exprimer la règle plutôt sous la forme :
y = g(x) =
.
x k h
a
−
− +
C’est à chaque enseignant de bien évaluer où en sont les
élèves dans leur compréhension des fonctions réciproques
et d’être conscient des difficultés que peuvent entraîner
ses choix.
On pourra utiliser ce processus avec les fonctions qui
peuvent s’écrire comme une suite de compositions de
fonctions élémentaires (fonctions de base) admettant
chacune une fonction réciproque. Écrire les fonctions sous
leur forme canonique facilite l’application du processus
puisque la variable indépendante n’est présente qu’une
seule fois dans l’écriture. Il faut cependant bien gérer la
question des domaines quand les fonctions de base en
jeu doivent être restreintes sur leur domaine pour être
inversées, comme c’est le cas pour x2 ou pour | x |. Quant à
la fonction partie entière, elle cause de sérieux problèmes
« d’inversibilité ». Pourquoi, au fait?
6. Et les fonctions trigonométriques?
Allons maintenant faire un tour du côté des fonctions
trigonométriques...
Définition : une fonction f de la variable réelle x est
dite périodique, de période p strictement
positive, si et seulement si f(x + p) = f(x),
pour tout x dans le domaine de f.
Si p est une période pour la fonction f, alors tous les
multiples entiers de p sont aussi des périodes pour f.
Pourquoi, au fait? Bien sûr, on cherchera à déterminer la
plus petite valeur positive non nulle possible pour p, et
c’est elle qu’on donnera pour période. Par exemple, pour
les fonctions trigonométriques de base :
• les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de
période 2�, quand x correspond à la mesure d’un
angle en radians,
• la fonction tangente est périodique de période �,
toujours quand x est une mesure en radians.
Étant des fonctions périodiques, les fonctions
trigonométriques sont donc éminemment peu injectives :
elles prennent une valeur donnée y0 de leur ensemble
image une infinité de fois, pour une infinité de pré-images,
ces pré-images étant toutes entre elles à des distances
qui sont des multiples entiers de �. Pour déterminer leur
réciproque, on doit donc restreindre chacune des fonctions
trigonométriques à une partie de son domaine où elle est
injective. Selon la partie du domaine choisie, on dit qu’on
a affaire à l’une ou l’autre des « branches » de la fonction
trigonométrique réciproque en cause. Mais c’est un abus
de langage, il s’agit en fait de fonctions différentes.
Exemple : supposons qu’on veuille trouver une réciproque
pour la fonction y = f(x) = sin (x).
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6. Et les fonctions trigonométriques ?
Allons maintenant faire un tour du côté des fonctions trigonométriques...
Définition : une fonction f de la variable réelle x est dite périodique, de période p strictement
positive, si et seulement si f (x + p) = f (x), pour tout x dans le domaine de f.
Si p est une période pour la fonction f, alors tous les multiples entiers de p sont aussi des périodes
pour f. Pourquoi, au fait ? Bien sûr, on cherchera à déterminer la plus petite valeur positive non
nulle possible pour p, et c’est elle qu’on donnera pour période. Par exemple, pour les fonctions
trigonométriques de base :
les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2, quand x correspond à la
mesure d’un angle en radians,
la fonction tangente est périodique de période , toujours quand x est une mesure en
radians.
Étant des fonctions périodiques, les fonctions trigonométriques sont donc éminemment peu
injectives : elles prennent une valeur donnée y0 de leur ensemble image une infinité de fois, pour
une infinité de pré-images, ces pré-images étant toutes entre elles à des distances qui sont des
multiples entiers de . Pour déterminer leur réciproque, on doit donc restreindre chacune des
fonctions trigonométriques à une partie de son domaine où elle est injective. Selon la partie du
domaine choisie, on dit qu’on a affaire à l’une ou l’autre des « branches » de la fonction
trigonométrique réciproque en cause. Mais c’est un abus de langage, il s’agit en fait de fonctions
différentes.
Exemple : supposons qu’on veuille trouver une réciproque pour la fonction y = f (x) = sin (x).
Figure 4 : le graphique de la fonction f (x) = sin (x)
Une des branches de la fonction réciproque du sinus, la
fonction « arcsinus », est :
arcsin : [–1, 1] →
, y
arcsin(y),
fonction qui a ses images dans [-�/2, �/2] et qui à y associe
l’angle en radians (et donc la longueur de l’arc2, d’où le
nom « arcsin »!) entre –�/2 et �/2 qui a y pour sinus. Par
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Pour une discussion plus complète sur le lien entre les radians et les arcs de cercle, le lecteur pourra consulter Tanguay (2007).
Figure 4 : le graphique de la fonction f(x) = sin (x)
GRMS
ENVOL no 162 — été-automne 2013
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exemple la valeur de arcsin(0,5) est la mesure en radians
de l’angle dont le sinus est 0,5, soit �/6.
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Une des branches de la fonction réciproque du
sinus, la fonction « arcsinus », est
arcsin :[ 1,1] , arcsin( ),y y
fonction qui a ses images dans
2 2
,
et qui à y
associe l’angle en radians (et donc la longueur de
l’arc2, d’où le nom « arcsin » !) entre –/2 et /2
qui a y pour sinus.
Par exemple la valeur de arcsin (0,5) c’est la
mesure en radians de l’angle dont le sinus est 0,5,
soit /6.
Figure 5 : la branche principale de la fonction
arcsinus
Mais on peut aussi décider d’inverser la
fonction sinus entre –3/2 et –/2, pour ainsi
obtenir une autre fonction, appelons-la la
fonction « arcsin bis »
arcsin bis: [ 1, 1] , arcsin bis ( ),y y
fonction qui a ses images dans
3
2 2
,
et
qui à y associe l’angle ayant y pour sinus, et
dont la mesure en radians est comprise entre
– 3/2 et –/2.
Vous aurez remarqué qu’encore une fois, le
nom des axes et le nom des variables de la
règle ne sont pas habituels. Mais comme cela a
été dit plus haut, si certains élèves sont trop
troublés par la règle d'une fonction dont la
variable indépendante serait y, on pourra
changer y pour t ou s, ou… Mais au fait, et
pourquoi pas pour x ? Belle occasion de leur
montrer que le nom des variables peut être
choisi selon nos préférences ou encore, selon la
tradition ! L’important est de comprendre ce
que l’on fait et de garder le contrôle.
Figure 6 : une autre « branche » de la fonction
arcsinus
2 Pour une discussion plus complète sur le lien entre les radians et les arcs de cercle, le lecteur pourra consulter
Tanguay (2007).
Mais on peut aussi décider d’inverser la fonction sinus
entre –3�/2 et –�/2, pour ainsi obtenir une autre fonction,
appelons-la la fonction « arcsin bis » :
arcsin bis : [–1, 1] →
, y
arcsin bis (y),
fonction qui a ses images dans [-3�/2, -�/2], qui à y associe
l’angle ayant y pour sinus, et dont la mesure en radians est
comprise entre –3�/2 et –�/2.
Vous aurez remarqué qu’encore une fois, le nom des axes
et le nom des variables de la règle ne sont pas habituels.
Mais comme cela a été dit plus haut, si certains élèves
sont trop troublés par la règle d’une fonction dont la
variable indépendante serait y, on pourra changer y pour
t ou s, ou… Mais au fait, et pourquoi pas pour x? Belle
occasion de leur montrer que le nom des variables peut
être choisi selon nos préférences ou encore, selon la
tradition! L’important est de comprendre ce que l’on fait
et de garder le contrôle.
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Une des branches de la fonction réciproque du
sinus, la fonction « arcsinus », est
arcsin :[ 1,1] , arcsin( ),y y
fonction qui a ses images dans
2 2
,
et qui à y
associe l’angle en radians (et donc la longueur de
l’arc2, d’où le nom « arcsin » !) entre –/2 et /2
qui a y pour sinus.
Par exemple la valeur de arcsin (0,5) c’est la
mesure en radians de l’angle dont le sinus est 0,5,
soit /6.
Figure 5 : la branche principale de la fonction
arcsinus
Mais on peut aussi décider d’inverser la
fonction sinus entre –3/2 et –/2, pour ainsi
obtenir une autre fonction, appelons-la la
fonction « arcsin bis »
arcsinbis: [ 1, 1] , arcsinbis ( ),y y
fonction qui a ses images dans
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,
et
qui à y associe l’angle ayant y pour sinus, et
dont la mesure en radians est comprise entre
– 3/2 et –/2.
Vous aurez remarqué qu’encore une fois, le
nom des axes et le nom des variables de la
règle ne sont pas habituels. Mais comme cela a
été dit plus haut, si certains élèves sont trop
troublés par la règle d'une fonction dont la
variable indépendante serait y, on pourra
changer y pour t ou s, ou… Mais au fait, et
pourquoi pas pour x ? Belle occasion de leur
montrer que le nom des variables peut être
choisi selon nos préférences ou encore, selon la
tradition ! L’important est de comprendre ce
que l’on fait et de garder le contrôle.
Figure 6 : une autre « branche » de la fonction
arcsinus
2 Pour une discussion plus complète sur le lien entre les radians et les arcs de cercle, le lecteur pourra consulter
Tanguay (2007).
7. Des conventions en guise de
conclusion
La branche principale des fonctions trigonométriques
réciproques est celle qui est considérée par défaut, quand
rien n’est précisé. C’est aussi celle qui correspond à ce
que calcule la calculatrice quand on utilise les touches des
fonctions réciproques, qui sont généralement situées au
« deuxième étage » des touches usuelles, auquel on accède
en combinant ces touches usuelles avec la touche désignée
par « shift » ou « 2nd » ou « inv », selon les calculatrices.
Pour les fonctions sinus, cosinus et tangente, les branches
principales sont universellement celles données ci-
dessous. Nous les donnons ici en radians, à vous de
faire les conversions pour avoir le domaine et l’image
des branches principales des fonctions trigonométriques
réciproques en degrés.
arcsin : [–1, 1] → [-�/2, �/2]
arccos : [–1, 1] → [0, �]
arctan :
= ]–∞, ∞[ → ]-�/2, �/2[
Certains s’étonneront de ne pas y voir les fonctions
sécantes, cosécantes et cotangentes ainsi que leurs
réciproques. C’est une prise de position voulue. En effet,
elles sont tombées en désuétude presque partout dans
le monde. Même les règles à calcul et les calculatrices
s’en sont toujours affranchies. Les nostalgiques de la
simplification des expressions pourront toujours les
réintroduire…
Références
Corriveau, C. et Tanguay, D. (2007). Formalisme accru
du secondaire au collégial : les cours d’Algèbre
linéaire comme indicateurs. Bulletin AMQ, vol. 47,
n°1, pp. 6-25.
Tanguay, D. (2007). Degrés, radians, arcs et sinusoïdes.
Envol, n°139, pp. 9-16.
Warisse, M. (2010). Des maths avec un peu de physique.
Envol, Première partie n°152, pp. 29-34, deuxième
partie n°153, pp. 27-30.
Figure 5 : la branche principale de la fonction arcsinus
Figure 6 : une autre « branche » de la fonction arcsinus
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