À propos de la réciproque d`une fonction (Deuxième partie)

À propos de la réciproque d’une fonction
(deuxième partie)
Denis Tanguay, UQAM, Département de mathématiques, section didactique
[email protected]
Michel Warisse, retraité au travail
[email protected]
Dans le précédent numéro de la revue, nous vous avons
présenté certaines réflexions et remarques d’ordres
mathématique et didactique à propos des fonctions
réciproques, sujet particulièrement délicat en 4e et
5e secondaires des séquences Sciences Naturelles et
Technico-Sciences. Nous reprenons le sujet, en proposant
une procédure pratique qui permet de trouver la réciproque
d’une fonction donnée, sous certaines conditions.
5. Réciproques et procédures
Le fait qu’une fonction g soit la réciproque de la fonction
f peut se traduire par l’énoncé suivant : si le point (x, y)
appartient au graphique de f, alors le point (y, x) appartient
au graphique de g. Cette dernière conclusion peut aussi
s’écrire : si y = f(x), alors x = g(y). Qu’en est-il de la
LUI ENVOYER UNE COPIE PDF FINALE AVANT LA PUBLICATION
réciproque
d’une fonction polynomiale du second degré,
À
PROPOS
LA RÉCIPROQUE
dont la règle estDEdonnée
par : D’UNE FONCTION (2e partie)
Denis Tanguay, UQAM, Département
de mathématiques,
f(x) = ax²
+ bx +section
c, didactique
[email protected]
Michel
retraité au
travail noter y = ax² + bx + c? Isoler x dans
que Warisse,
l’on peut
aussi
[email protected]
cette équation pour l’exprimer en fonction de y n’est pas
Dans le précédent numéro de la revue, nous vous avons présenté certaines réflexions et
du toutd'ordre
évident.
Par etcontre
si àlapropos
règledesde
la fonction
remarques
mathématique
didactique
fonctions
réciproques, est
sujet
particulièrement délicat en 4e et 5e secondaires des séquences Sciences Naturelles et Technicoécrite Nous
sous
sa forme
soit : pratique qui permet de trouver la
Sciences.
reprenons
le sujet, canonique,
en proposant une procédure
réciproque d'une fonction donnée, sous certaines conditions.
f(x) = a (x – h)2 + k,
5.
Réciproques
et procédures
alors
le « montage »
des deux règles (celle de f et celle de
Le fait qu’une fonction g soit la réciproque de la fonction f peut se traduire par l’énoncé
suivant
: si le qu’une
point (x, y) appartient
au graphique
de f, alors le
(y, x) appartient
au graphique
g) n’est
suite de
composition
depoint
fonctions,
bref
une
de g. Cette dernière conclusion peut aussi s’écrire : si y = f (x), alors x = g(y). Qu’en est-il de la
réciproque
fonction polynomiale du
degré, dont
la règle
par
suite ded’une
« procédures ».
Lesecond
montage
pour
g est
sedonnée
détermine
en
f (x) = ax² + bx + c,
que
l’on peut aussi notercelui
y = ax²
+ c ? Isoler
x dans cette
équation pour
l’exprimer en
« démontant »
de+ bxf pour
le refaire
ensuite
à l’envers,
fonction de y n’est pas du tout évident. Par contre si la règle de la fonction est écrite sous sa
danscanonique,
le sens
forme
soitinverse et avec les règles réciproques. Ainsi,
f (x) = a (x – h)2 + k,
pour
l’image
quelconque
x par f,de
alors
le «évaluer
montage » des
deux règles d’une
(celle de f valeur
et celle de g)
n’est qu’une suite de
de composition
fonctions, bref une suite de « procédures ». Le montage pour g se détermine en « démontant »
on
suit
le
chemin
suivant :
celui de f pour le refaire ensuite à l’envers, dans le sens inverse et avec les règles réciproques.
Ainsi, pour évaluer l’image d’une valeur quelconque de x par f, on suit le chemin suivant :
Ci-dessus, nous avons décrit :
1. sur la première ligne, les étapes des compositions nécessaires pour obtenir f,
2. sur la deuxième ligne, la suite des procédures correspondantes, à appliquer avec une
calculatrice de type scientifique (AOSTM)1,
3. sur la troisième ligne, les actions, décrites en mots, pour évaluer.
Ci-contre, nous avons décrit :
a) sur la première ligne, les étapes des compositions
nécessaires pour obtenir f,
b) sur la deuxième ligne, la suite des procédures
correspondantes, à appliquer avec une calculatrice
de type scientifique (AOSTM)1,
c) sur la troisième ligne, les actions, décrites en mots,
pour évaluer.
À l’envers ou à l’inverse, le « démontage » est simple à
suivre. Nous devons proposer deux chemins possibles
selon la fonction réciproque que nous cherchons à obtenir.
En effet, comme f n’est pas injective, elle donne lieu à
deux réciproques selon le domaine où on la restreint pour
« l’inverser » (voir §3).
2
yk
 h, dont l’ensemble image est [h, +[ et dont le
a
y − k! Le sommet de
graphique est la moitié supérieure d’une parabole d’axe–1horizontal. Attention
2
+h
cette parabole n’est plus (h, k) mais bien plutôt (k, h). Pour l’autre réciproqueapossible :
On reconstruit ainsi la règle f 1 ( y ) 
On reconstruit ainsi la règle f (y) =
, dont
l’ensemble image est [h, + ∞[ et dont le graphique est
la moitié supérieure d’une parabole d’axe horizontal.
Attention! Le sommet de cette parabole n’est plus (h, k)
mais bien plutôt (k, h). Pour
l’autre réciproque possible :
yk
yh, kdont l’ensemble image est [h, +[ et dont le
On reconstruit ainsi la règle f 1 ( y ) 
 h . L’ensemble image de g est ]∞, h] et
La règle qu’on reconstruit alors est g ( y ) a
a
graphique est la moitié supérieure d’une parabole d’axe horizontal. Attention ! Le sommet de
son
graphique
est
la
moitié
inférieure
d’une
parabole
d’axe
et de sommet
(k, h).
cette parabole n’est plus (h, k) mais bien plutôt (k, h). Pourhorizontal
l’autre réciproque
possible
:
Parler d’axe horizontal pour une parabole qui est le graphique d’une fonction de variable
indépendante y peut paraître déstabilisant : nous sommes peu habitués à voir l’axe y à
l’horizontal ! Il nous apparaît important, au moins les premières fois, de garder les variables
comme nous l’avons fait pour que l’élève saisisse bien ce chemin pris « à l’envers », qui part du
bout « y » pour remonter vers le point de départ « x ». Dans une classe où le travail sur les
fonctions réciproques a bien été mis en place, quand les élèves commencent à être à l’aise, il n’y
a à notre avis pas de problème à redonner à x et à y leur rôle usuel, et à exprimer la règle plutôt
sous la forme
yk
 h . L’ensemble image de g est ]∞, h] et
La règle qu’on reconstruit alors est g ( y )  
ax  k
y  g ( x)  
 h.
son graphique est la moitié inférieure d’une parabolead’axe horizontal et de sommet (k, h).
C’est
chaquehorizontal
enseignantpour
de bien
en sont
élèves dans
leur fonction
compréhension
des
Parler à d’axe
une évaluer
paraboleoùqui
est lelesgraphique
d’une
de variable
fonctions
réciproques
d’être conscient
des difficultés
que peuvent
indépendante
y peutetparaître
déstabilisant
: nous sommes
peuentraîner
habituéssesàchoix.
voir l’axe y à
l’horizontal ! Il nous apparaît important, au moins les premières fois, de garder les variables
On
pourra
cefait
processus
les saisisse
fonctionsbien
quicepeuvent
suite
comme
nousutiliser
l’avons
pour queavec
l’élève
chemins’écrire
pris « à comme
l’enversune
», qui
partdedu
À l’envers ou à l’inverse, le « démontage » est simple à suivre. Nous devons proposer deux
compositions
de remonter
fonctions vers
élémentaires
(fonctions
base)
chacune
fonction
bout « y » pour
le point de
départ «dex ».
Dansadmettant
une classe
où le une
travail
sur les
1
chemins
possibles
selon la fonction
réciproque que
nous cherchons
à obtenir.de
En calcul
effet, comme
Écrire
les priorité
sous
forme
canonique
facilite
l’application
processus
AOS™
(Algebraic
Operating
System),
processus
quif tientréciproque.
compte
de la
des
opérations.
fonctions
réciproques
afonctions
bien été mis
enleur
place,
quand
les élèves
commencent
à êtredu
à l’aise,
il n’y
n’est pas injective, elle donne lieu à deux réciproques selon le domaine où on la restreint pour
puisque
la
variable
indépendante
n’est
présente
qu’une
seule
fois
dans
l’écriture.
Il
faut
a à notre avis pas de problème à redonner à x et à y leur rôle usuel, et à exprimer la règle plutôt
« l’inverser » (voir §3).
cependant
bien gérer la question des domaines quand les fonctions de base en jeu doivent être
sous la forme
restreintes sur leur domaine pour être inversées, comme c’est le cas pour x2 ou pour | x |. Quant à
1
la fonction partie entière, elle cause de sérieux problèmes
AOS™ (Algebraic Operating System), processus de calcul qui tient compte de la priorité des opérations.
x  k « d’inversibilité ». Pourquoi, au fait ?
y  g ( x)  
 h.
a
GRMS
ENVOL no 162 — été-automne 2013
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y−k
+ h.
La règle qu’on reconstruit alors est g(y) = −
a
L’ensemble image de g est ]–∞, h] et son graphique est
la moitié inférieure d’une parabole d’axe horizontal et de
sommet (k, h).
Parler d’axe horizontal pour une parabole qui est le
graphique d’une fonction de variable indépendante y peut
paraître déstabilisant : nous sommes peu habitués à voir
l’axe y à l’horizontal! Il nous apparaît important, au moins
les premières fois, de garder les variables comme nous
l’avons fait pour que l’élève saisisse bien ce chemin pris
« à l’envers », qui part du bout « y » pour remonter vers
le point de départ « x ». Dans une classe où le travail sur
les fonctions réciproques a bien été mis en place, quand
les élèves commencent à être à l’aise, il n’y a à notre avis
pas de problème à redonner à x et à y leur rôle usuel, et à
exprimer la règle plutôt sous la forme :
y = g(x) = −
x−k
+ h.
a
C’est à chaque enseignant de bien évaluer où en sont les
élèves dans leur compréhension des fonctions réciproques
et d’être conscient des difficultés que peuvent entraîner
ses choix.
On pourra utiliser ce processus avec les fonctions qui
peuvent s’écrire comme une suite de compositions de
fonctions élémentaires (fonctions de base) admettant
chacune une fonction réciproque. Écrire les fonctions sous
leur forme canonique facilite l’application du processus
puisque la variable indépendante n’est présente qu’une
seule fois dans l’écriture. Il faut cependant bien gérer la
question des domaines quand les fonctions de base en
jeu doivent être restreintes sur leur domaine pour être
inversées, comme c’est le cas pour x2 ou pour | x |. Quant à
la fonction partie entière, elle cause de sérieux problèmes
« d’inversibilité ». Pourquoi, au fait?
6. Et les fonctions trigonométriques?
Allons maintenant faire un tour du côté des fonctions
trigonométriques...
Définition : une fonction f de la variable réelle x est
dite périodique, de période p strictement
positive, si et seulement si f(x + p) = f(x),
pour tout x dans le domaine de f.
2
Si p est une période pour la fonction f, alors tous les
multiples entiers de p sont aussi des périodes pour f.
Pourquoi, au fait? Bien sûr, on cherchera à déterminer la
plus petite valeur positive non nulle possible pour p, et
c’est elle qu’on donnera pour période. Par exemple, pour
les fonctions trigonométriques de base :
• les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de
période 2�, quand x correspond à la mesure d’un
angle en radians,
• la fonction tangente est périodique de période �,
toujours quand x est une mesure en radians.
3
Étant des fonctions périodiques, les fonctions
trigonométriques sont donc éminemment peu injectives :
6. elles
Et les fonctions
trigonométriques
prennent
une valeur? donnée y0 de leur ensemble
Allons maintenant faire un tour du côté des fonctions trigonométriques...
image une infinité de fois, pour une infinité de pré-images,
Définition : une fonction f de la variable réelle x est dite périodique, de période p strictement
ces pré-images
étantsi toutes
elles
distances
positive, si et seulement
f (x + p) = f entre
(x), pour tout
x dansàle des
domaine
de f.
Si pqui
est une
période
pour
la
fonction
f,
alors
tous
les
multiples
entiers
de
p
sont
aussi
des périodes
sont des multiples entiers de �. Pour déterminer
leur
pour f. Pourquoi, au fait ? Bien sûr, on cherchera à déterminer la plus petite valeur positive non
nulle
possible pour p, on
et c’est
elledonc
qu’on donnera
pour période.
Par exemple,
les fonctions
réciproque,
doit
restreindre
chacune
despour
fonctions
trigonométriques de base :
trigonométriques
à une
de deson
domaine
elle est
 les fonctions sinus et cosinus
sontpartie
périodiques
période
2, quand où
x correspond
à la
mesure d’un angle en radians,
injective.
Selon
la
partie
du
domaine
choisie,
on
dit
qu’on
 la fonction tangente est périodique de période , toujours quand x est une mesure en
radians.
a affaire
à l’une ou l’autre des « branches » de la fonction
Étant des fonctions périodiques, les fonctions trigonométriques sont donc éminemment peu
trigonométrique
réciproque
enleurcause.
c’est
abus
injectives
: elles prennent une valeur
donnée y0 de
ensemble Mais
image une
infinitéun
de fois,
pour
une infinité de pré-images, ces pré-images étant toutes entre elles à des distances qui sont des
de
langage,
il
s’agit
en
fait
de
fonctions
différentes.
multiples entiers de . Pour déterminer leur réciproque, on doit donc restreindre chacune des
fonctions trigonométriques à une partie de son domaine où elle est injective. Selon la partie du
domaine choisie, on dit qu’on a affaire à l’une ou l’autre des « branches » de la fonction
trigonométrique réciproque en cause. Mais c’est un abus de langage, il s’agit en fait de fonctions
différentes.
Exemple : supposons qu’on veuille trouver une réciproque
pour la fonction y = f(x) = sin (x).
Exemple : supposons qu’on veuille trouver une réciproque pour la fonction y = f (x) = sin (x).
: le graphique de la fonction f (x) = sin (x)
Figure Figure
4 : le4graphique
de la fonction f(x) = sin (x)
Une des branches de la fonction réciproque du sinus, la
fonction « arcsinus », est :
arcsin : [–1, 1] →  , y  arcsin(y),
fonction qui a ses images dans [-�/2, �/2] et qui à y associe
l’angle en radians (et donc la longueur de l’arc2, d’où le
nom « arcsin »!) entre –�/2 et �/2 qui a y pour sinus. Par
Pour une discussion plus complète sur le lien entre les radians et les arcs de cercle, le lecteur pourra consulter Tanguay (2007).
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ENVOL no 162 — été-automne 2013
GRMS
exemple la valeur de arcsin(0,5) est la mesure en radians
4
de l’angle dont le sinus est 0,5, soit �/6.
éciproque du
in( y),

2
et qui à y
longueur de
e –/2 et /2
0,5) c’est la
sinus est 0,5,
Figure 5 : la branche principale de la fonction arcsinus
Figure 5 : la branche principale de la fonction
arcsinus
Mais on peut aussi décider
d’inverser la fonction sinus
entre –3�/2 et –�/2, pour ainsi obtenir une autre fonction,
appelons-la la fonction « arcsin bis » :
verser la
pour ainsi
arcsin bis : [–1, 1] →  , y  arcsin bis (y),
ons-la la
fonction qui a ses images dans [-3�/2, -�/2], qui à y associe
n bis (y), l’angle ayant y pour sinus, et dont la mesure en radians est
comprise entre –3�/2 et –�/2.
,
 2  et
4
Vous aurez remarqué qu’encore une fois,
le nom des axes
sinus, et
et
le
nom
des
variables
de
la
règle
ne
sont
pas habituels.
de la fonction
rise
entre réciproque du
arcsinus », est Mais comme cela a été dit plus haut, si certains élèves
1]  , y arcsin( y),
trop
mages dans   2sont
à y troublés par la règle d’une fonction dont la
, 2  et qui
adians
(et
donc
la
longueur
deindépendante serait y, on pourra changer y pour
variable
e« arcsin
fois,» !) le
entre –/2 et /2
bles de lat ou s, ou… Mais au fait, et pourquoi pas pour x? Belle
mme
cela
aoccasion
aleur de
arcsin
(0,5) c’est la de leur montrer que le nom des variables peut
desont
l’angle trop
dont le sinus est 0,5,
être choisi selon nos préférences ou encore, selon la
n dont latradition! L’important est de comprendre ce que l’on fait
Figure 5 : la branche principale de la fonction
n pourra
et de garder le contrôle.arcsinus
au fait, et
n de
leur
ussi
décider
d’inverser la
epeut
–3/2 etêtre
–/2, pour ainsi
fonction, appelons-la la
e,
s » selon la
rendre
ce (y),
 , y arcsin bisFigure
6 : une autre « branche » de la fonction
arcsinus
images dans   32 ,  2  et
ngle ayant y pour sinus, et
radians est comprise entre
7. D
es conventions en guise de
conclusion
La branche principale des fonctions trigonométriques
réciproques est celle qui est considérée par défaut, quand
rien n’est précisé. C’est aussi celle qui correspond à ce
que calcule la calculatrice quand on utilise les touches des
fonctions réciproques, qui sont généralement situées au
« deuxième étage » des touches usuelles, auquel on accède
en combinant ces touches usuelles avec la touche désignée
par « shift » ou « 2nd » ou « inv », selon les calculatrices.
Pour les fonctions sinus, cosinus et tangente, les branches
principales sont universellement celles données cidessous. Nous les donnons ici en radians, à vous de
faire les conversions pour avoir le domaine et l’image
des branches principales des fonctions trigonométriques
réciproques en degrés.
arcsin : [–1, 1] → [-�/2, �/2]
arccos : [–1, 1] → [0, �]
arctan :  = ]–∞, ∞[ → ]-�/2, �/2[
Certains s’étonneront de ne pas y voir les fonctions
sécantes, cosécantes et cotangentes ainsi que leurs
réciproques. C’est une prise de position voulue. En effet,
elles sont tombées en désuétude presque partout dans
le monde. Même les règles à calcul et les calculatrices
s’en sont toujours affranchies. Les nostalgiques de la
simplification des expressions pourront toujours les
réintroduire…
Références
Corriveau, C. et Tanguay, D. (2007). Formalisme accru
du secondaire au collégial : les cours d’Algèbre
linéaire comme indicateurs. Bulletin AMQ, vol. 47,
n°1, pp. 6-25.
Tanguay, D. (2007). Degrés, radians, arcs et sinusoïdes.
Envol, n°139, pp. 9-16.
Warisse, M. (2010). Des maths avec un peu de physique.
Envol, Première partie n°152, pp. 29-34, deuxième
partie n°153, pp. 27-30.
qué qu’encore une fois, le
e nom des variables de la
abituels.
Mais comme
cela a et les arcs de cercle, le lecteur pourra consulter
lien entre
les radians
si certains élèves sont trop
gle d'une fonction dont la
ante serait y, on pourra
ou s, ou… Mais au fait, et
x ? Belle occasion de leur
m des variables peut être
éférences ou encore, selon la
tant est de comprendre
ce
Figure
6 : une
autre
de la fonction arcsinus
Figure
6 : une
autre «« branche »
branche » de la fonction
arder le contrôle.
arcsinus
GRMS
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