Parallélogramme

Unparallélogramme.
(C,D)et(E,F)sont
équipollentsà(A,B).
L'aired'unparallélogramme
estégaleàcelledurectangle
demêmesbaseethauteur.
Un
antiparallélogramme.
Parallélogramme
Engéométrie,unparallélogrammeestunquadrilatèredontlescôtésopposéssontparallèlesdeuxàdeux.
Sommaire
1 Définitionséquivalentes
2 Propriétés
2.1 Casparticuliers
3 Caractérisationvectorielle
4 Aire
5 Antiparallélogramme
6 Voiraussi
Définitionséquivalentes
Unquadrilatèreestunparallélogramme(ausensdéfinienintroduction)sietseulements'ilsatisfaitl'unedespropriétéséquivalentes
suivantes:
sesdiagonalessecoupentenleursmilieux;
ilestnoncroiséetsescôtésopposéssontdemêmelongueurdeuxàdeux;
ilestconvexeetsesanglesopposésontlamêmemesuredeuxàdeux;
sesanglesconsécutifssontsupplémentairesdeuxàdeux;
c'estuntrapèze(noncroisé)dontlesbasesontmêmelongueur.
Propriétés
Toutparallélogrammeauncentredesymétrie:lepointd'intersectiondesesdiagonales.
Casparticuliers
Unlosangeestunparallélogrammeayantaumoinsdeuxcôtésconsécutifsdemêmelongueur.Ilestmêmeéquilatéral.
Unrectangleestunparallélogrammeayantaumoinsunangledroit.Ilestmêmeéquiangle.
Uncarréestunlosangerectangle.
Caractérisationvectorielle
Lanotiondeparallélogrammepermetdedéfinirlarelationd'équipollencededeuxbipoints,cequiamèneàlanotiondevecteuren
géométrieeuclidienne:
onappellebipointtoutcoupledepoints(l'ordredespointsauneimportance);
deuxbipoints(A,B)et(C,D)sontditséquipollentssiABDCestunparallélogramme,éventuellementaplati;
onpeutdiredemanièreéquivalenteque(A,B)et(C,D)sontéquipollentssi[AD]et[BC]ontlemêmemilieu(cequirèglele
problèmedesparallélogrammesaplatis);
danscecas,lessegments[AB]et[CD]sontparallèlesetdemêmelongueur,maispasseulement:ilsontaussi«lemêmesens».
Larelationd'équipollenceestunerelationd'équivalence.
onappellevecteur laclassed'équivalencedubipoint(A,B),c'est-à-direl'ensembledesbipointséquipollentsà(A,B).
Ainsi,unquadrilatèreABCDestunparallélogrammesietseulementsi .
Aire
Soient lalongueurd'uncôtéduparallélogrammeet lalongueurdelahauteurassociée.L'aire duparallélogrammevaut:
L'aired'unparallélogrammeestaussidonnéeparundéterminant.
Antiparallélogramme
Unantiparallélogrammeestunquadrilatèrecroisédontlescôtésopposésontlamêmelongueurdeuxàdeux.
Dansunantiparallélogramme,lesanglesopposésontlamêmemesureenvaleurabsolue.
Voiraussi
Aired'unpolygone
Parallélépipède
Paralléloèdre(en)
Parallélogone(en)
ThéorèmedeVarignon
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