Notions de mathématiques utiles pour les sciences

Notions mathématiques utiles pour les sciences
1 Les angles
1.1 Angles adjacents - Angles opposés par le sommet
Définition
Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et des côtés dans le
prolongement l'un de l'autre.
Exemple :
Les deux droites (xy) et (zt) sont sécantes en O.
Elles définissent 4 angles : xOt, tOy, yOz et zOx.
Les angles zOx et tOy sont opposés par le
sommet, ainsi que les angles xOt et yOz.
Propriété
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure.
Exemple : dans l'exemple précédent : zOx = tOy et xOt = yOz.
Définition
Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet et un côté commun et s'ils sont situés
de part et d'autre du côté commun.
Exemple : xOy et yOz sont deux angles adjacents.
Attention : les angles xOz et xOy ne sont pas
adjacents car ils ne sont pas situés de part et
d'autre du côté commun [Ox).
Remarque : Si xOy et yOz sont deux angles
adjacents alors l'angle xOz mesure la somme
des mesure des deux autres : xOz = xOy + yOz.
1.2 Angles complémentaires - Angles supplémentaires
Définition
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°
Exemple :
Les angles xOy et yOz sont
complémentaires car xOy + yOz = 90°.
adjacents
Définition
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°
Exemple :
Les angles xOy et yOz sont
adjacents et supplémentaires car xOy +
yOz = 180°.
et
1.3 Angles alternes-internes, angles correspondants.
On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une troisième (la sécante) (d).
Définition
Les angles situés entre (d1) et (d2), de part et d'autre de (d) et non adjacents, sont alternesinternes.
Exemple :
Les angles tAw et xBz sur la figure ci-contre sont alternesinternes
Définition
Les angles situés d'un même côté de (d), l'un à côté de (d1) et l'autre du même côté de (d2)
sont correspondants.
Exemple :
Les angles a1 et xBz sur la figure ci-contre sont
correspondants.
1.4 Angles et parallélisme : propriétés
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles alternesinternes sont de même mesure.
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors deux angles
correspondants sont de même mesure.
Exemple : On considère deux droites (d1) et (d2) parallèles coupées par une sécante (d).
Les droites (d1) et (d2) sont
parallèles. Les angles a1 et b2 sont
alternes-internes. Donc a1 = b2.
Les droites (d1) et (d2) sont
parallèles. Les angles a1 et b1 sont
correspondants. Donc a1 = b1.
1.5 Angles et parallélisme : propriétés réciproques
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même
mesure, alors ces deux droites sont parallèles.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même
mesure, alors ces droites sont parallèles.
Exemple : On considère deux droites (d1) et (d2) coupées par une sécante (d).
Les angles indiqués sur la figure
sont alternes-internes et de
même mesure (128°). Donc les
droites (d1) et (d2) sont
parallèles.
Les angles indiqués sur la figure sont
correspondants et de même mesure
(66°). Donc les droites (d1) et (d2) sont
parallèles.
2 Les triangles, notions géométriques de base
2.1 Définitions et généralités
2.2 Triangle rectangle et théorème de Pythagore
2.3 Théorème de Thalès
2.4 Les triangles semblables
Définition
Deux triangles sont semblables si les angles de l'un ont la même mesure que les angles de
l'autre.
Les critères de similitude
Premier cas de similitude
Deux triangles sont semblables si deux angles de l'un ont la même mesure que deux angles de
l'autre.
Deuxième cas de similitude
Deux triangles sont semblables si un angle de l'un est égal à un angle de l'autre et que le
rapport des deux côtés adjacents à cet angle est égal au rapport des côtés homologues.
Troisième cas de similitude
Théorème
Si deux triangles sont semblables alors les côtés opposés aux angles égaux ont des longueurs
proportionnelles.
Conséquence pour les longueurs
Conséquence sur les aires
3 Trigonométrie du triangle rectangle
Cercle trigonométrique
4 Les vecteurs
4.1 Définition
4.2 Egalité entre deux vecteurs
4.3 Addition de deux vecteurs
4.3.1 Relation de Chasles (configuration du triangle)
4.3.2 Somme de deux vecteurs de même origine (configuration du parallélogramme)
4.4 Propriétés de l’addition des vecteurs
4.5 Multiplication d’un vecteur par un scalaire
4.6 Propriétés de la multiplication par un scalaire
5 Exponentielles et logarithmes
Certaines représentations graphiques de fonctions présentent la particularité d’avoir une très
grande étendue de valeurs à placer en abscisse (ou en ordonnée). Pour rendre de tels
graphiques lisibles, on utilise des représentations semi-logarithmiques. Ainsi la transmission
du rayonnement électromagnétique dans l’atmosphère subit-elle des variations très
différentes, suivant que l’on se trouve dans le domaine des très courtes longueurs d’onde (le
nanomètre) ou dans le domaine métrique. Pour pouvoir représenter l’ensemble du
phénomène, on utilise en abscisse une échelle logarithmique pour décrire l’ensemble des
longueurs d’onde.
Graduation linéaire
La signification des différents points de l'axe donne pour l'origine une valeur initiale, ici f = 0.
En graduation linéaire, la distance entre chaque trait représente une addition toujours de
même valeur, mais le rapport entre deux séparations diminue à mesure que la grandeur
physique augmente.
Graduation logarithmique
La signification des différentes séparations sur l'axe indique qu'il n'y a pas d'origine, mais une
des graduations est choisie comme point de départ et prend la valeur unité 1. En graduation
logarithmique, chaque séparation représente le rapport de un à dix et ne varie pas.
6 Dérivation de fonctions
Dérivée des fonctions élémentaires
7 Intégration de fonctions