Chapitre 14 Algobox 1/2 a1 Mr ReissBarde Lycée La Bourdonnais

Chapitre 14
Algobox
Dans une population où il naît 52 filles pour 48 garçons, on s'intéresse à la probabilité d'avoir le premier garçon à un
rang donné sur une série de naissances successives. (le rang est égal à 0 s'il ne naît aucun garçon)
1) L'algorithme (incomplet) ci contre permet de
simuler 10 naissances successives et de retourner
le rang du premier garçon.
Expliquer le rôle de la ligne 6 (son
fonctionnement, ce qu'elle permet de faire et le
lien avec le problème qui nous occupe)
Compléter cet algorithme (On ne demande pas
pour l'instant de le programmer)
DEBUT_ALGORITHME
i PREND_LA_VALEUR 0
G PREND_LA_VALEUR 0
TANT_QUE (i<=... ET
DEBUT_TANT_QUE
i PREND_LA_VALEUR
G PREND_LA_VALEUR
FIN_TANT_QUE
SI (.....) ALORS
DEBUT_SI
i PREND_LA_VALEUR
FIN_SI
AFFICHER ...
FIN_ALGORITHME
G==...) FAIRE
...
floor(random()+0.48)
...
2) Créer un algorithme permettant de calculer le nombre de fois où l'on obtient le premier garçon au rang 3 lors de 10 000
simulations de 10 naissances successives ainsi que la fréquence correspondante.
3) Avec le logiciel "Algobox", programmer cet algorithme donner un encadrement de la probabilité d'obtenir le premier
garçon au rang 3 sur 10 naissances successives.
4) A l'aide d'un arbre pondéré, calculer la valeur exacte de la probabilité d'obtenir le premier garçon au rang 3 sur 10
naissances successives.
Dans une telle situation de répétition identiques et indépendantes. Si l'on note X la variable aléatoire qui prend pour
valeur le rang de la première apparition du succès " ici d'avoir un garçon" ou bien la valeur 0 si cet événement ne se
produit pas, on dit que la variable aléatoire X suit une loi géométrique tronquée.(Nous avons ici calculé P ( X=3 ) )
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5) On veut pouvoir faire afficher simultanément
les fréquences d'obtention des différents rangs k
possibles pour le premier garçon sur 10
naissances successives afin de pouvoir les
comparer.
Pour cela on utilise l'algorithme ci-contre :
La variable R est définit comme une liste de
nombres (c'est à dire une suite réelle) R[i]
représente le i-ème terme (c'est à dire le terme
d'indice i : Ri )
On se contente de 1 000 simulations pour ne pas
dépasser les limites du logiciel
Compléter puis programmer cet algorithme en
utilisant le logiciel "Algobox" .
6) Vérifier votre algorithme en calculant à l'aide
d'un arbre pondéré
P( X =0) , P( X=1) , P ( X=2) et p( X =10)
7) Quelle formule peut on conjecturer pour
P( X =k ) avec 1≤k≤10 ?
On ne demande pas de la démontrer mais vous
pouvez vérifier la cohérence de votre formule à
l'aide de l'algorithme.
DEBUT_ALGORITHME
POUR i ALLANT_DE ... A ...
DEBUT_POUR
R[i] PREND_LA_VALEUR 0
FIN_POUR
POUR k ALLANT_DE 1 A 1000
DEBUT_POUR
i PREND_LA_VALEUR 0
G PREND_LA_VALEUR 0
TANT_QUE (i<10 ET G==0) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
i PREND_LA_VALEUR i+1
G PREND_LA_VALEUR floor(random()+0.48)
FIN_TANT_QUE
SI (G==0) ALORS
DEBUT_SI
i PREND_LA_VALEUR 0
FIN_SI
R[i] PREND_LA_VALEUR ......
FIN_POUR
POUR i ALLANT_DE ... A ...
DEBUT_POUR
R[i] PREND_LA_VALEUR .....
AFFICHER "rang "
AFFICHER ...
AFFICHER " : "
AFFICHER .....
FIN_POUR
FIN_ALGORITHME
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